第4章 一次函数（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（广东省专用,北师大版）

第4章 一次函数（单元培优卷 北师大版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各曲线中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．将直线向右平移2个单位长度得到的直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知点均在一次函数的图象上，点，则下列说法正确的是（    ） A．函数图象经过二、三、四象限 B．点在第二象限 C． D．与x轴的交点坐标为 7．已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 8．在动画片《熊出没》中，有一次光头强追赶熊大，在距离光头强家的地方追上了熊大，如图所示反映了这一过程，其中s 表示离光头强家的距离，t表示光头强追赶的时间，根据相关信息，下列说法错误的是（    ） A．开始熊大与光头强之间的距离是 B．光头强跑了追上熊大 C．后光头强追上了熊大 D．光头强追上熊大时，熊大跑了 9．【新考向】已知y是x的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点M为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列4个结论： ①它的图象由直线向下平移2个单位所得． ②y随着x的增大而增大． ③当时，y随着x的增大而减小． ④函数有最小值． 其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．③④ 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．一次函数的截距为 ． 12．从地向地打长途电话，通话分钟以内收费元，分钟后通话时间每增加分钟加收元，若通话时间为（单位：分，且为整数），则通话费用（单位：元）与通话时间（分）函数关系式是 （其中且为整数）． 13．如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 14．已知方程的解为，则直线与轴的交点坐标为 ． 15．直线与坐标轴围成的的面积是 ． 16．一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是 ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数． (1)圆的半径为x，周长为y； (2)每本练习本的价格为元，购买练习本的总费用y（元）与购买练习本的数量x（本）； (3)汽车以80千米/时的速度匀速行驶，行驶的时间为x小时，行驶的路程为y千米； (4)水箱中有水，以的流速往外放水，水箱中的剩余水量随放水时间的变化而变化． 18．（4分）已知一次函数的图象经过，两点． (1)求此一次函数表达式； (2)试判断点是否在此一次函数的图象上． 19．（6分）分别画出函数和的图象，再根据图象，回答下列问题： （1）两个图象各经过哪些象限？ （2）判断点、是否在所画的图象上，并且在哪一个图象上？为什么？ 20．（6分）如图，一次函数与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)点在轴上，若的面积为6，求点的坐标． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线，点的坐标分别为，． (1)直线与线段有公共点，则的取值范围是_______； (2)若点的坐标为，直线与的边有公共点，则的取值范围是_______． 22．（10分）盆栽超市要到盆栽批发市场批发两种盆栽共300盆，种盆栽盆数不少于种盆栽盆数，且不超过160盆，两种盆栽的批发价和零售价如下表．设该超市采购盆种盆栽． 品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆 种盆栽 12 19 种盆栽 10 15 (1)直接写出该超市采购费用（单位：元）与（单位：盆）的函数关系式______． (2)该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元； (3)受市场行情等因素影响，超市实际采购时，种盆栽的批发价每盆上涨了元，同时种盆栽批发价每盆下降了元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元，求的值． 23．（10分）如图①，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值并直接写出正比例函数的解析式； (2)如图②，点在线段上，且与点O，C不重合，过点作轴于点，交线段于点，点的横坐标为4．若是直线上的一点，的面积为面积的3倍，求点的坐标． 24．（12分）已知图形的相邻两边垂直，，，，．当动点M以的速度沿图1的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图2所示．回答下列问题： (1)直接写出______；______；______； (2)当点M在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点M的运动过程中，当时间t为何值时，面积为？请直接写出t的值． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一个正比例函数的图像经过点，把此正比例函数的图像向上平移个单位，得到直线．已知直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式，并直接写出，两点坐标． (2)求原点到直线的距离； (3)点是直线上一点，直线：与线段有公共点，直接写出的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 一次函数（单元培优卷 北师大版） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．下列函数中，y是x的一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是一次函数，符合题意； B、不是一次函数，不符合题意； C、不是一次函数，不符合题意； D、不是一次函数，不符合题意． 故选：A 2．下列各曲线中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系， 故A不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y有唯一一个值与之对应关系， 故B不符合题意； C、满足对于x的每一个取值，y都有两个值与之对应关系， 故C符合题意； D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系， 故D不符合题意； 故选：C． 3．若一次函数的函数值随的增大而减小，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是一次函数且函数值y随x的增大而减小， ∴， ∴， 故选：C． 4．将直线向右平移2个单位长度得到的直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将直线向右平移2个单位长度得到的直线的解析式为， 故选：D． 5．函数的自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B． 6．已知点均在一次函数的图象上，点，则下列说法正确的是（    ） A．函数图象经过二、三、四象限 B．点在第二象限 C． D．与x轴的交点坐标为 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A错误，不符合题意； 把分别代入得： ，， ∴点C的坐标为， ∴点在第三象限，故B错误，不符合题意； ∵， ∴，故C正确，符合题意； 把代入得：， 解得：， ∴与x轴的交点坐标为，故D错误，不符合题意． 故选：C． 7．已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：直线中，， 随增大而增大， ， ， 故选：C． 8．在动画片《熊出没》中，有一次光头强追赶熊大，在距离光头强家的地方追上了熊大，如图所示反映了这一过程，其中s 表示离光头强家的距离，t表示光头强追赶的时间，根据相关信息，下列说法错误的是（    ） A．开始熊大与光头强之间的距离是 B．光头强跑了追上熊大 C．后光头强追上了熊大 D．光头强追上熊大时，熊大跑了 【答案】B 【详解】解：由图可得：开始熊大与光头强之间的距离是，故A正确，不符合题意； 光头强跑了追上熊大，故B错误，符合题意； 后光头强追上了熊大，故C正确，不符合题意； 光头强追上熊大时，熊大跑了，故D正确，不符合题意； 故选 B． 9．【新考向】已知y是x的函数；若函数图象上存在一点，满足，则称点M为函数图象上的“姐妹点”．例如：直线上存在的“姐妹点”．直线上的“姐妹点”的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设梦幻点 ∵ ∴， 点是直线上的“姐妹点”， ， ， 点； 故答案为：D． 10．在函数的学习中，认识了函数图象的画法，并能结合图象研究函数的性质．已知函数，分析得到了下列4个结论： ①它的图象由直线向下平移2个单位所得． ②y随着x的增大而增大． ③当时，y随着x的增大而减小． ④函数有最小值． 其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【详解】解： 当时，则； 当时，则； 如图： ∴的图象是分段函数，不是由直线向下平移2个单位所得． 故①是错误的； 结合图象，当时，y随着x的增大而减小． 当时，y随着x的增大而增大． 故②是错误的， 故③是正确的； 结合图象，函数有最小值． 故④是正确的； 故选：D． 二、填空题：共6题，每题3分，共18分。 11．一次函数的截距为 ． 【答案】 【详解】解：依题意，一次函数的截距为， 故答案为：． 12．从地向地打长途电话，通话分钟以内收费元，分钟后通话时间每增加分钟加收元，若通话时间为（单位：分，且为整数），则通话费用（单位：元）与通话时间（分）函数关系式是 （其中且为整数）． 【答案】 【详解】解：由题意得，通话时间不超过分钟收费均为元，超过分钟后，每分钟收取元，且为整数， 故可得函数关系式为：且为整数， 故答案为：． 13．如图，四个一次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系是 ． 【答案】 【详解】解：由图象可得：，，，， 由于直线比陡，直线比陡， ，， ， 故答案为：． 14．已知方程的解为，则直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】 【详解】解：方程的解是函数与轴交点的横坐标， ∴直线与 轴的交点坐标为． 故答案为： 15．直线与坐标轴围成的的面积是 ． 【答案】8 【详解】解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴的面积为； 故答案为：8． 16．一次函数的图象交轴、轴分别于点，，点，分别是，的中点，若是上一动点．当周长最小时，的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为，点是的中点，点为的中点， 点的坐标为，点的坐标为． 作点关于轴的对称点，连接交于点，此时周长最小，如图所示． 点的坐标为， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为． 当时，， 此时点的坐标为． 故答案为： ． 三、解答题：共9题，共72分，其中第17~18题每小题4分，第19~20题每小题6分，第21题8分，第22~23题每小题10分，第24~25题每小题12分。 17．（4分）列式表示下列问题中的y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数． (1)圆的半径为x，周长为y； (2)每本练习本的价格为元，购买练习本的总费用y（元）与购买练习本的数量x（本）； (3)汽车以80千米/时的速度匀速行驶，行驶的时间为x小时，行驶的路程为y千米； (4)水箱中有水，以的流速往外放水，水箱中的剩余水量随放水时间的变化而变化． 【答案】(1)，是正比例函数 (2)，是正比例函数． (3)，是正比例函数 (4)，不是正比例函数 【详解】（1）解：由题意得，，y是x的正比例函数； （2）解：由题意得，，y是x的正比例函数； （3）解：由题意得，，y是x的正比例函数； （4）解：由题意得，y不是x的正比例函数． 18．（4分）已知一次函数的图象经过，两点． (1)求此一次函数表达式； (2)试判断点是否在此一次函数的图象上． 【答案】(1)； (2)在此一次函数的图象上． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， ∵，在函数图象上， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：由（1）知，函数解析式为：， ∴当时，， ∴点在一次函数的图象上． 19．（6分）分别画出函数和的图象，再根据图象，回答下列问题： （1）两个图象各经过哪些象限？ （2）判断点、是否在所画的图象上，并且在哪一个图象上？为什么？ 【答案】画图见解析；（1）函数的图象过第一、二、三象限，函数的图象过第二、三、四象限；（2）、在函数的图象上，在函数的图象上 【详解】解：在中，令，则，得，令，得， 函数的图象过点和， 在中，令，则，得，令，得， 函数的图象过点和， 在坐标轴上画出两函数图象，如图所示． （1）观察两函数的图象发现：函数的图象过第一、二、三象限，函数的图象过第二、三、四象限； （2）当时，，， 在函数的图象上； 当时，，， 在函数的图象上； 当时，，， 不在这两个图象上； 当时，，， 在函数的图象上； 20．（6分）如图，一次函数与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)点在轴上，若的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)当点在点上方时，；当点在点下方时， 【详解】（1）解：当时，， ， 当时，，， ； （2）点在轴上，若的面积为6， ， ， ， 当点在点上方时，． 当点在点下方时，． 21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，直线，点的坐标分别为，． (1)直线与线段有公共点，则的取值范围是_______； (2)若点的坐标为，直线与的边有公共点，则的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：点的坐标分别为，， 当直线经过点时，， 则； 当直线经过点时，， 则． 直线与线段有公共点时，的取值范围是， 故答案为：． （2）解：点的坐标分别为，， 当直线经过点时，， 则； 当直线经过点时，， 则； 当直线经过点时，， 则； 直线与有公共点时，的取值范围是， 故答案为：． 22．（10分）盆栽超市要到盆栽批发市场批发两种盆栽共300盆，种盆栽盆数不少于种盆栽盆数，且不超过160盆，两种盆栽的批发价和零售价如下表．设该超市采购盆种盆栽． 品名 批发市场批发价：元/盆 盆栽超市零售价：元/盆 种盆栽 12 19 种盆栽 10 15 (1)直接写出该超市采购费用（单位：元）与（单位：盆）的函数关系式______． (2)该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元； (3)受市场行情等因素影响，超市实际采购时，种盆栽的批发价每盆上涨了元，同时种盆栽批发价每盆下降了元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元，求的值． 【答案】(1) (2)最大利润为1820元 (3) 【详解】（1）解：设该超市采购盆种盆栽，则采购盆B种盆栽， 商场的采购费用与的函数关系式为 ； （2）解：设总利润为W元，根据题意得： 随的增大而增大，且， 当时，W最大，最大值为1820； ∴超市能获得的最大利润是1820元； （3）设总利润为元，根据题意得： 当即时，随的增大而增大， 又， 当时，有最小值为 解得，舍去 当即时，随的增大而减小， 又， 当时，有最小值为 解得： 综上分析可知，满足条件的值为2． 23．（10分）如图①，一次函数的图象分别交轴、轴于点A，B，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值并直接写出正比例函数的解析式； (2)如图②，点在线段上，且与点O，C不重合，过点作轴于点，交线段于点，点的横坐标为4．若是直线上的一点，的面积为面积的3倍，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【详解】（1）将代入得：， 解得：， ， ， ， 正比例函数的解析式为； （2）点在线段上，点的横坐标为4， 在中，当时，， ， 轴于点，交线段于点， 点的横坐标与点的横坐标相同为4， 在中，当时，， ， ， ，， ， 的面积为面积的3倍， ， 轴于点，点的横坐标为4， ， 直线上的一点， 设， ，即， 解得：或， 点的坐标为或． 24．（12分）已知图形的相邻两边垂直，，，，．当动点M以的速度沿图1的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图2所示．回答下列问题： (1)直接写出______；______；______； (2)当点M在边上运动时，求S与t的关系式； (3)点M的运动过程中，当时间t为何值时，面积为？请直接写出t的值． 【答案】(1)5；24；9 (2) (3)或 【详解】（1）解：∵图形的相邻两边垂直，，，，， ∴，， 当点M从点B运动到点C时，的面积逐渐增大，到达点C时，面积最大，当点M从点C向点D运动时，的面积不变，当点M从点D向点E运动时，的面积逐渐减小，当点M从点E向点F运动时，的面积不变，当点M从点F向点A运动时，的面积逐渐减小， ∴，； （2）解：当点M在上运动时，点M到的距离为： ， ∴此时的面积为： ． （3）解：当点M在上运动时，， 解得：； 当点M在上运动时，的面积为，不可能是； 当点M在上运动时，， 解得：， ∵， ∴符合题意； 当点M在上运动时，的面积为，不可能是； 当点M在上运动时，的面积小于，不可能是； 综上分析可知：当或时，面积为． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一个正比例函数的图像经过点，把此正比例函数的图像向上平移个单位，得到直线．已知直线与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线的表达式，并直接写出，两点坐标． (2)求原点到直线的距离； (3)点是直线上一点，直线：与线段有公共点，直接写出的最小值． 【答案】(1)直线的表达式为，， (2) (3)最小值为 【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为，将点代入得：， 正比例函数的解析式为， 正比例函数的图像向上平移个单位，得到直线， 直线的表达式为：， 令，则；令，则， ，； （2）过点作于点， 由（1）知，， ，，， ， ， 原点到直线的距离为； （3）点是直线：上的一点， ，即， 点， 当直线：经过点时，， 解得：， 当直线：经过点时， ， 解得：， ， 最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$