4.4一次函数的应用同步练习 2024-2025学年北 师大版八年级数学上册

北师大版2024-2025学年八年级数学上册4.4一次函数的应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．函数的图象如图所示，下列说法正确的是（     ）    A．当时， B． C．若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则 D．若点和点在直线上，则 2．已知一次函数的图象与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为（    ）． A． B． C． D． 3．直线y=kx+b的图象如图所示，则（    ） A．k=－,b=－2 B．k=,b=－2 C．k=－,b=－2 D．k=,b=－2 4．“千里游学，古已有之”，两名老师带领x名学生到某红色旅游景点研学，此次研学每位老师的费用为元，每位学生的费用为元．设研学的总费用为y元，则y与x的函数关系为（    ） A． B． C． D． 5．如图，小球从点A运动到点B，速度v（米/秒）和时间t（秒）的函数关系式是v=2t.如果小球运动到点B时的速度为6米/秒，小球从点A到点B 的时间是（   ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 6．如图，边长为4的正方形的边上一动点，沿的路径匀速移动，设点经过的路径长为，三角形的面积是，则变量与变量的关系图象正确的是（   ） A． B． C． D． 7．小翊早9点从家骑自行车出发，沿一条直路去邮局办事，小翊出发的同时，他的爸爸从邮局沿同一条道路匀速步行回家；小翊在邮局停留了一会后沿原路以原速返回，小翊比爸爸早3分钟到家．设两人离家的距离s（m）与小翊离开家的时间t（min）之间的函数关系如图所示．下列说法： ①邮局与家的距离为2400米； ②爸爸的速度为96m/min； ③小翊到家的时间为9：22分； ④小翊在返回途中离家480米处与爸爸相遇． 其中，正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知A，B两地间有汽车站C，客车由A地驶向C站，货车由B地经过C站去A地（客货车在A，C两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶（中间不停留），货车的速度是客车速度的．如图所示是客、货车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系图象，小明由图象信息得出如下结论： ①货车速度为60千米/时    ②B、C两地相距120千米 ③货车由B地到A地用12小时    ④客车行驶240千米时与货车相遇． 你认为正确的结论有（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（   ） A．(-3，0) B．(-6，0) C．(-，0) D．(-，0) 二、填空题 10．请你写出一个图像经过点(0，2)，且y随x的增大而减小的一次函数解析式 ． 11．已知直线y=kx+b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程kx+b=0的解是x= . 12．已知关于x的一元一次方程kx+b=0的解是x=-2，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，2），则这个一次函数的表达式是 . 13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0），B（2，0），点P在直线上，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标为 ． 14．已知A，B，C三地位于同一条笔直的直线上，B地在A，C两地之间，张华、李平两人分别从A，B两地同时出发赶往C地，张华、李平两人距C地的距离s（单位：m）与张华运动的时间t（单位：s）之间的关系如图所示，则两人相遇时离C地 m. 15． 在平面直角坐标系中，x轴一动点P到定点A(1，1)、B(7，5)的距离分别为AP和BP，那么当BP+AP最小时，P点坐标为 ． 三、解答题 16．直线y=kx+b过点A(－1,5)且平行于直线y=－x. (1)求这条直线的解析式. (2)点B（m,－5）在这条直线上，O为坐标原点，求m的值. 17．在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数．某弹簧不挂物体时长14.5cm；当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm．写出y与x之间的关系式，并求出所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度． 18．我国边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防部迅速派出快艇B追赶如图（1），图（2）中，中，分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系． 根据图象回答问题： (1)哪条线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系？ (2)A、B哪个速度快？ (3)15分钟内B能否追上A？为什么？ (4)如果一直追下去，那么B能否追上A？ (5)当A逃离海岸12海里时，B将无法对其进行检查，照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？为什么？ (6)与对应的两个一次函数与中，、的实际意义各是什么？可疑船只与快艇的速度各是多少？ 19．甲、乙两人相约周末登山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)__________米； (2)甲登山的速度是__________米/分； (3)若乙提速后，乙登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，则在整个爬山过程中，登山多长时间时，甲乙两人距离地面的高度差为70米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A C B C C B D C D 1．A 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图象可知：当时，，正确； B、由图象可知，，原选项错误； C、若的图象与坐标轴围成的三角形面积为2，则，，原选项错误； D、由图象可知，随的增大而增大， ∵， ∴，原选项错误； 故选A． 2．C 【分析】根据两直线平行，设一次函数解析式为y＝-x+b，然后把（8，2）代入y＝﹣x+b求出b，即可得到一次函数解析式． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行，设一次函数解析式为y＝-x+b， 把（8，2）代入y＝﹣x+b得，2＝﹣8+b，解得，b＝10， 一次函数的解析式为：y＝﹣x+10． 故选：C． 【点睛】考查了一次函数图象平行的问题，解题关键是明确一次函数图象平行时k的值不变，再利用待定系数法求解析式． 3．B 【详解】由图可知：一次函数图象过点（3，0）和点（0，-2），由此可得： ， 解得： . 故选B. 4．C 【分析】本题考查了一次函数的应用．根据题意确定一次函数解析式是解题的关键． 依题意得，，整理作答即可． 【详解】解：依题意得，， 故选：C． 5．C 【详解】由题意可知:将v=6代入函数关系式v＝2t，解得6=2t，t=3 6．B 【分析】根据动点在正方形各边上的运动状态分类讨论三角形的面积随着的变化而变化规律． 【详解】动点在运动过程中，分为以下四个阶段 ①当时，点在上运动，的值为； ②当时，点在上运动，，随着的增大而增大； ③当时，点在上运动，，不变； ④当时，点在上运动，，随着的增大而减小； 故选：B 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图像，能够发现随着的变化而变化的趋势是解本题的关键． 7．D 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可得， 邮局与家的距离为2400米，故①正确； 爸爸的速度为：2400÷（12＋10＋3）＝96（m/min），故②正确； ∵10＋12＋10＝22， ∴小翊到家的时间为9：22分，故③正确； 小翊的速度为：2400÷10＝240（m/min）， 设小翊在返回途中离家a米处与爸爸相遇， ， 解得，a＝480， 即小翊在返回途中离家480米处与爸爸相遇，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 8．C 【分析】 ①根据客车由地驶向站判断出函数图象，然后根据速度路程时间列式计算即可得解；②根据货车与客车的速度的关系求出货车的速度，然后求出间的距离，③求出间的距离，再根据时间路程速度计算即可求出货车到达地的时间；④设两车小时后相遇，然后根据相遇问题的等量关系列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，客车由地驶向站共需要9小时，行驶路程为720千米， 所以，客车速度千米小时， 货车的速度是客车速度的， 货车的速度千米时；故①正确； 、间的距离为千米，故②正确； 、两地间的距离为千米， 货车由地到地用时为：小时，故③错误； 设两车小时后相遇， 由题意得，， 解得， 此时，客车行驶路程为千米，故④错误； 综上所述，正确的结论有2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图像的应用，主要利用了路程、时间、速度三者之间的关系，从图象准确获取信息并判断出客车的函数图象是解题的关键． 9．D 【分析】根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， 有，解得：， 直线的解析式为． 令中，则，解得：， 点的坐标为，． 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点的位置． 10．y=﹣x+2（答案不唯一） 【分析】由图像经过点（0，2），则b=2，又y随x的增大而减小，只要k＜0即可． 【详解】解：设函数（k≠0，k，b为常数）， ∵图像经过点（0，2）， ∴b=2， 又∵y随x的增大而减小， ∴k＜0，可取k=﹣1． 这样满足条件的函数可以为：y=﹣x+2． 故答案为：y=﹣x+2（答案不唯一） 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，熟知一次函数的图像及其性质是解题的关键. 11．2 【详解】试题解析：∵直线y=kx+b与x轴的交点坐标是(2,0)， ∴关于x的方程kx+b=0的解是x=2. 故答案为2. 点睛：一次函数与轴交点的横坐标即为一元一次方程的解． 12．y=-x+2 【详解】试题解析：把x=-2代入kx+b=0得-2k+b=0， 把（0，2）代入y=kx+b得b=2， 所以-2k+2=0，解得k=1， 所以一次函数解析式为y=x+2． 13．(1,)，(-1,-)，(2,)，(-2,-) 【分析】设P点的坐标是（x，x）有三种类型：①∠APB=90°，②∠PAB=90°，③∠ABP=90°，根据点的坐标和勾股定理求出x即可． 【详解】∵点P在直线y=x上， ∴设P点的坐标是（x，x） 有三种类型： ①如图1，当∠APB=90°时， ∵A（-2，0），B（2，0），P（x，x）， ∴由勾股定理得：AP2+BP2=AB2， 即（-2-x）2+（0-x）2+（x-2）2+（x-0）2=（2+2）2， 解得：x=±1， 即此时点P的坐标是（1，）或（-1，-）； ②如图2，当∠PAB=90°时， ∵A（-2，0），B（2，0），P（x，x）， ∴P点的横坐标是-2，纵坐标是-2，即点P的坐标是（-2，-2）； ③当∠ABP=90°时， 点P的坐标是（2，2）， 故答案为：（1，）或（-1，-）或（-2，-2）或（2，2）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和直角三角形，勾股定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 14．24 【分析】本题考查了一次函数在路程问题中的应用，用待定系数法求出二者的函数关系式，当二者相遇时距离处的距离相等，即可求解；能结合图象理解和的实际意义是解题的关键． 【详解】解：设经过，的直线为，则有 ， 解得， ， 同理可求：经过，的直线为， ， 解得：， ， 二者相遇时距离地； 故答案：． 15．（2, 0） 【详解】依题意得： B（7，5）关于x轴的对称点是（7，-5） 过（1，1）与（7，-5）的直线为y=kx+b ∴ 1="k+b" -5=7k+b  ， ∴ k="-1" b=2 ∴y=-x+2 令y=0，得x=2 故P点坐标为（2 ，0）． 16．(1) 函数解析式为y=－x+4 .(2)9. 【详解】试题分析： （1）由直线y=kx+b平行于直线y=-x，可得直线解析式为：y=-x+b，再把点A的坐标代入解析式可求得b的值，由此可得直线的解析式； （2）把点B的坐标代入（1）中所得解析式即可求得“m”的值. 试题解析： (1)∵直线y=kx+b平行于直线y=－x. ∴可设直线的解析式为y=-x+b. ∵直线过点A(－1,5)， ∴把点A坐标代入所设解析式，得5=1+b. 解得：b=4. ∴所求函数解析式为y=－x+4 . (2)∵点B（m,－5）在这条直线上， ∴-5=-m+4，解得m=9. 17．16.5cm 【分析】设y与x的函数关系式为y＝kx+b，由待定系数法求出解析式，再把x＝4时代入解析式求出y的值即可． 【详解】设y与x的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得 ， 解得：． 故y与x之间的关系式为：y＝0.5x+14.5； 当x＝4时， y＝0.5×4+14.5＝16.5． 答：当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度为16.5cm． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，弄清题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键. 18．(1)表示快艇是从海岸开始去追击可疑船只的 (2)B的速度比A快 (3)快艇B在15分钟内追不上可疑船A (4)B能够追上A (5)A逃入公海前快艇可以将其拦截 (6)表示A、B的速度，可疑船只的速度＝0.2（海里/分钟），快艇的速度＝0.5（海里/分钟） 【分析】（1）根据图2中的图象可以得到可疑船只和快艇的起始位置和行驶速度，再用这些量可解决问题； （2）根据倾斜程度即可判断； （3）分别计算15分钟时，、离海岸的距离即可判断； （4）通过图像有交点即可判断； （5）设追上所用时间为，可得，求解后，看距离是否在公海方向即可判断； （6）根据一次函数在题中的应用，两个一次函数与中，、的实际意义就是和的速度，从而即可求解． 【详解】（1）解：从图2中不难看出，表示快艇是从海岸开始去追击可疑船只的； （2）解：根据一次函数的图象可知，的倾斜度大于，所以的速度比快； （3）解：分别计算15分钟时，、离海岸的距离： 根据一次函数图象在本题中的意义，可得的速度为0.2海里分钟，的速度为0.5海里分钟， 则15分钟各行驶的距离：（海里），（海里）， ，所以快艇在15分钟内追不上可疑船； （4）解：从图2中两条线相交可知是能够追上的； （5）解：设追上所用时间为，可得： ，解得（分钟），可见经过分钟时，追上． 此时可疑船离海岸的距离（海里）， 可见在逃离海岸海里时，快艇就追上了，也就是说在逃入公海前快艇可以将其拦截； （6）解：根据一次函数在题中的应用，两个一次函数与中，、的实际意义就是和的速度， 由图2可知，可疑船只的速度（海里分钟），快艇的速度（海里分钟）． 【点睛】本题考查一次函数在行程中的应用，理解表达式中、的实际含义是关键． 19．(1)30 (2) (3)3或10或13分钟 【分析】此题考查了一次函数的图象，一元一次方程的应用， （1）根据图象直接得到答案； （2）结合函数图象，根据路程除以速度即可求解； （3）求出甲登山速度，由此求出乙登山的函数解析式，列方程当时，解得，当时，当时，解方程即可． 【详解】（1）解：由图象可得米， 故答案为：． （2）解：甲登山的速度是米分 故答案为： （3）解：当时，； 当时，． 当时，． 甲登山的速度是米分，登山全程中，距地面的高度米与登山时间分之间的函数关系式为⩽⩽， 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得： 登山分钟、分钟或分钟时，甲乙两人距离地面的高度差为米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$