精品解析：湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题

2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 高三数学试卷 命题学校：鄂南高中 命题教师：高一数学教研组 审题学校：黄梅一中 审题教师：吴启红 考试时间：2024年11月4日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，再根据集合的交集运算求解. 【详解】由，解得， ，又， . 故选：B. 2. 已知，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的余弦公式求出即可得解. 【详解】由，得，而， 因此，所以. 故选：C 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，则，即可以推导出，故充分性成立； 由推不出，如，，满足，但是，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在性定理，计算区间端点的函数值的正负判断零点区间即可. 【详解】因为，在上均连续且单调递减， 所以在上连续且单调递减， 对于A，， 因为在上单调递增，所以，函数在上无零点，故A说法错误； 对于B，因为在上单调递减，所以， 所以，函数在上存在零点，故B说法正确； 对于CD，因为在上连续且单调递减，所以至多存在个零点，故CD说法错误； 故选：B 5. 在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得. 【详解】依题意，，而， 所以 故选：D 6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在同一条直线上，且在点的同侧，若在处分别测量球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】数形结合求得，进而根据即可求解. 【详解】如图，设球的半径为， 则， 所以由题，又， 故 ， 所以，即该球体建筑物的高度约为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是依据已知条件数形结合得，进而由求出球的半径得解. 7. 已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数与直线的交点，再结合数列求和计算即可. 【详解】解：由，则或， 解得或， 所以，，，，…，， 所以，故B正确. 故选：B 8. 已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，函数的对称中心为，则下述结论正确的是（ ）（注：） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件证明，函数的对称中心为， 对于A，结合单调性证明，再证明，由此判断结论； 对于B，结合对称性可得，结合单调性可得，由此判断结论； 对于C，结合性质，可得，再由单调性比较大小判断结论； 对于D，由条件可得，，再结合单调性比较大小判断结论. 【详解】解：，故 所以， 函数的对称中心为， 函数往左平移2个单位得到函数， 故函数的对称中心为，所以， 取可得，， 对于A，在区间上单调递减，故， 且， 所以，故A错误： 对于B，在区间上单调递减，对称中心为， 故，且在区间上单调递减， 则，，故B错误； 对于C，结合在区间上单调递减， 故，故C正确： 对于D，因为， 取可得，又， 所以， 所以， 因为函数的对称中心为，故， 所以 因为， 故， 且，，即， 结合在区间上单调递减，故，故D错误. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设四个复数，，，在复平面内的对应点、、、在同一个圆上，则下述结论正确的是（ ） A. 与互为共轭复数 B. 点在第二象限 C. 复数的虚部是 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先需要求出这四个复数在复平面内的坐标，根据共轭复数概念，几何意义，除法，虚部概念来判断前面ABC选项， 再根据四个点在同一个圆上这一条件，可利用圆的方程相关知识来判断D选项. 【详解】对于，其对应点. 对于，其对应点. 对于，其对应点. 对于，其对应点. 对于选项A,，，它们实部不同，不是共轭复数，所以选项A错误. 对于选项B，对于，所以点在第二象限，选项B正确. 对于选项C,，，. 其虚部是，选项C正确. 对于选项D，，，，在同一个圆上. 设圆的方程为. 将代入方程得，即 ①. 将代入方程得，即 ②. 将代入方程得，即③. 用②-①可得： 即解得. 将代入①和③，①变为，③变为. 用③-①可得：，解得. 将代入，可得. 所以圆的方程为. 将代入，得到，即， ，解得. ，. 则，即，所以选项D正确. 故选：BCD. 10. 已知两个正数，满足，则下述结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】变形等式判断A；利用基本不等式判断B；举例说明判断C；作差与0比较大小判断D. 【详解】对于A，由，得，因此，A正确； 对于B，由，得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，取，满足，而，C错误； 对于D，由，得，则 ，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，若不等式对任意都成立，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，按分类作出函数和的图象，结合图象可得当，，成立时，恒成立，再构造函数，利用导数求出最小值即可得解. 【详解】依题意，函数的图象恒在的图象及上方， 作函数和的图象， 当时，如上左图所示，观察图知在上不恒成立，不合题意； 当时，如上右图所示，观察图知，当且仅当，成立时，恒成立， 即当时，，令，，求导得， 当时，，当时，，函数在上递减，在上递增， 因此，所以实数的取值范围是，的值可以为AC. 故选：AC 【点睛】关键点睛：分类作出函数和的图象，结合图象确定求解条件是关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的最小正周期是，则的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】k利诱导公式化简，结合二倍角正弦和周期公式计算即可. 【详解】解： ， 所以，. 故答案为：2. 13. 已知两个单位向量，满足，则向量和的夹角为______. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合数量积运算律可求，再求，，根据向量夹角公式求结论. 【详解】因为向量，为单位向量，所以，， 又，所以，所以， 所以， ， 所以， 又，所以. 故答案为：. 14. 设数列的前项和为，若是以为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数，使得数列也成等差数列，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出及，再利用等差数列通项的特征分析求解即得. 【详解】依题意，，则， 由数列为等差数列，得，且是的一次式 而对任意正整数，不恒成立，因此对恒成立， 即，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由为等差数列，探求得是解决问题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记是等差数列的前项和，，且，，成等比数列. （1）求和； （2）若，求数列的前20项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设出等差数列的公差，由给定条件列出方程求出，利用等差数列前项和公式求解即可. （2）由（1）的结论求出，利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 由，得，即，解得， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，，又，则 因此， 所以. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【小问1详解】 由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； 【小问2详解】 由正弦定理得：，则，则，. 17. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线按逆时针方向旋转后于单位圆交于点，，. （1）若，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，当函数的最大值是时，求的值. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义求出，进而求出，利用正弦函数的性质求出范围. （2）利用（1）的信息，求出，利用换元法，结合闭区间上二次函数最值求解即得. 【小问1详解】 由三角函数定义，得，， ， 由，得，则， 因此，的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）及已知，得，， 令 ，， ①当时，在上单调递减，，则； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， ，不符合题意； ③当时，在单调递增，，则， 所以或. 18. 已知为函数的极小值点. （1）求的值； （2）设函数，若对，，使得，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，由求出并验证即可得解. （2）由（1）求出在上的最小值，再按分类，并借助导数讨论值即可求解. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 依题意，，解得或， 当时，，当或时，，当时，， 因此为函数的极小值点，符合题意，则； 当时，，当或时，，当时，， 因此为函数的极大值点，不符合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减，因此， ①当时，对，，使得， 因此，符合题意，则； ②当时，，取，对，有，不符合题意； ③当时，函数，求导得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增，则， 若对，，使得，只需，即，解得， 所以的取值范围为. 19. 已知正实数构成的集合 （1）若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质. ①当，时，判断集合，是否具有性质，并说明理由； ②设集合，其中数列为等比数列，且公比为2，判断集合是否具有性质并说明理由. （2）若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质.设集合具有性质且中的所有元素能构成等差数列.问：集合中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）①集合不具有性质，集合具有性质，理由： ，中元素个数不具有性质； ，中元素个数具有性质. ②集合具有性质，理由：若集合具有性质，设， 假设当时有成立，则有， 等式左边为偶数，右边为奇数，显然不成立，则不成立， 因此中元素个数，所以集合具有性质. （2）存在，最大值为4. 【解析】 【分析】（1）①写出中的所有元素，利用定义判断即可；②求出等比数列的通项，证明该数列任意两项的和不等，由此求出中的元素个数即可判断. （2）根据新定义得在集合中，，得到，由此分类讨论，可确定n的取值，可得答案. 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 不妨设， 则在集合中，， 又中的所有元素能构成等差数列，设公差为， 则， 即，于是， 当时，是集合A中互不相同的4项， 从而中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾， 当时，，即成等差数列，且公差也为， 则中的元素从小到大的前三项为，且第四项只能是或， （i）若第四项为，则，从而， 于是，中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾； （ii）若第四项为，则，有， 而，即，于是， 因此中元素个数小于，与集合A具有性质矛盾，则， 取，，则集合A具有性质， 所以集合A中的元素个数存在最大值，最大值为4. 【点睛】关键点睛：本题是关于集合新定义类型题目，解答的关键是要理解新定义，并依据该定义去解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 高三数学试卷 命题学校：鄂南高中 命题教师：高一数学教研组 审题学校：黄梅一中 审题教师：吴启红 考试时间：2024年11月4日下午15：00-17：00 试卷满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在同一条直线上，且在点的同侧，若在处分别测量球体建筑物的最大仰角为和，且，则该球体建筑物的高度约为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，当时，把的图象与直线的所有交点的横坐标限依次记为，记它们的和为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数在区间上单调递减，且满足，函数的对称中心为，则下述结论正确的是（ ）（注：） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设四个复数，，，在复平面内的对应点、、、在同一个圆上，则下述结论正确的是（ ） A. 与互为共轭复数 B. 点在第二象限 C. 复数的虚部是 D. 10. 已知两个正数，满足，则下述结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若不等式对任意都成立，则实数的值可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的最小正周期是，则的值为______. 13. 已知两个单位向量，满足，则向量和的夹角为______. 14. 设数列的前项和为，若是以为首项，公差为1的等差数列，并且存在实数，使得数列也成等差数列，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记是等差数列的前项和，，且，，成等比数列. （1）求和； （2）若，求数列的前20项和. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． （1）求的面积； （2）若，求b． 17. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线按逆时针方向旋转后于单位圆交于点，，. （1）若，求的取值范围； （2）在（1）的条件下，当函数的最大值是时，求的值. 18. 已知为函数的极小值点. （1）求的值； （2）设函数，若对，，使得，求的取值范围. 19. 已知正实数构成的集合 （1）若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质. ①当，时，判断集合，是否具有性质，并说明理由； ②设集合，其中数列为等比数列，且公比为2，判断集合是否具有性质并说明理由. （2）若定义，当集合中的元素恰有个数时，称集合具有性质.设集合具有性质且中的所有元素能构成等差数列.问：集合中的元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $