18.2.3　正方形（第1课时）教案 2023—2024学年人教版数学八年级下册

人教版初中数学　八年级下册 18.2.3　正方形（第1课时） 教学目标 　　1．带领学生探索正方形的定义，猜想并证明正方形的性质．在探究学习的过程中，让学生体会类比的数学思想，逐步提升合情推理能力和抽象概括能力． 　　2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，进一步体会特殊与一般的关系． 教学重点 　　正方形的定义及性质． 教学难点 　　正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系及正方形性质的简单应用． 教学准备 　　A4纸、带刻度的直尺、可活动的菱形框架． 教学过程 知识回顾 　　1．矩形的性质： 　　（1）角：矩形的四个角都是直角． 　　（2）边：对边平行且相等． 　　（3）对角线：矩形的对角线互相平分且相等． 　　（4）对称性：矩形是轴对称图形，对边中点所在的直线是它的对称轴． 　　2．菱形的性质： 　　（1）菱形的四条边都相等． 　　（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 　　（3）菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴． 　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答． 　　【设计意图】复习已学过的特殊平行四边形的知识，为引出本节课的新知作铺垫． 新知探究 一、探究学习 　　【问题】准备一张矩形的纸片，按照下图方式折叠，展开之后，你能得到一个什么图形？ 　　【师生活动】教师提出问题，学生分小组动手操作，观察折叠后图形的特点并回答：能得到一个正方形． 　　教师提问：通过折纸，你能试着总结满足什么条件的矩形是正方形吗？ 　　学生分小组交流，并派代表发言，教师补充：有一组邻边相等的矩形是正方形． 　　【问题】把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，你发现了什么？ 　　【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流、观察并回答：能得到一个正方形． 　　教师提问：满足什么条件的菱形是正方形？ 　　学生分小组交流，并派代表发言，教师补充：有一个角是直角的菱形是正方形． 　　【问题】除了矩形、菱形之外，正方形也是特殊的平行四边形，那么它们之间有什么关系？ 　　【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流，教师提示：可以参照探究矩形、菱形性质和判定的学习过程，思考它们之间的关系． 　　学生根据提示交流思考，教师补充总结． 　　【答案】平行四边形与矩形、菱形的关系： 　　（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形； 　　（2）有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 　　矩形、菱形与正方形的关系： 　　（1）有一组邻边相等的矩形是正方形； 　　（2）有一个角是直角的菱形是正方形． 　　平行四边形与正方形的关系：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形． 　　【新知】正方形的定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 　　拓展：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形； 　　（2）有一个角是直角的菱形是正方形． 　　【设计意图】带领学生探索正方形的定义，在探究学习过程中，让学生感受从一般到特殊的研究方法，体会类比的数学思想． 　　【问题】正方形既是矩形，又是菱形，是特殊的平行四边形．那么它都有哪些性质？ 　　【师生活动】教师提示：正方形具有平行四边形的一切性质． 　　学生思考并回答：正方形具有以下性质： 　　（1）边：两组对边分别平行且相等； 　　（2）角：两组对角相等； 　　（3）对角线：对角线互相平分． 　　教师追问：类比这种方法，你还能得出正方形的什么性质？ 　　学生小组交流思考，并派代表回答： 　　正方形具有矩形的性质： 　　（1）角：四个角都是直角； 　　（2）对角线：对角线相等． 　　正方形具有菱形的性质： 　　（1）边：四条边相等； 　　（2）对角线：对角线互相垂直． 　　【新知】正方形的性质： 　　（1）边：四条边相等； 　　（2）角：四个角都是直角； 　　（3）对角线：对角线相等，且互相垂直平分． 　　【设计意图】带领学生探究正方形的性质，让学生体会类比的数学思想，提升学生的合情推理能力和抽象概括能力． 　　【问题】你能证明正方形的性质吗？ 　　【师生活动】教师提出问题，学生独立思考并尝试证明，教师巡查并及时纠错． 　　【答案】已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O． 　　求证：（1）∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，AB＝BC＝CD＝DA； 　　（2）AC＝BD，AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD． 　　证明：（1）∵正方形ABCD是矩形， 　　∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°． 　　又∵正方形ABCD是菱形， 　　∴AB＝BC＝CD＝DA． 　　（2）∵正方形ABCD是矩形， 　　∴AC＝BD，OA＝OB＝OC＝OD． 　　又∵正方形ABCD是菱形， 　　∴AC⊥BD． 　　【设计意图】让学生亲自证明验证正方形的性质，加深学生对正方形性质的理解． 　　【问题】观察动图，思考正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 　　【师生活动】教师展示动图，学生观察并回答：正方形是轴对称图形，有四条对称轴． 　　【新知】正方形的性质： 　　（4）对称性：正方形是轴对称图形，有四条对称轴，分别是对边中点所在的直线以及两条对角线所在的直线． 　　【设计意图】通过动图，让学生体会正方形的对称性． 二、典例精讲 　　【例1】正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）． 　　A．对角线互相垂直平分 　　B．对角线相等 　　C．对角线平分一组对角 　　D．四边相等 　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答，教师讲解． 　　【答案】B 　　【例2】正方形具有而矩形不具有的性质是（　　）． 　　A．对角互补 　　B．对角线相等 　　C．四个角相等 　　D．对角线互相垂直 　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答，教师讲解． 　　【答案】D 　　【例3】求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 　　【师生活动】教师提出问题，学生思考． 　　教师提示：首先根据命题画出草图，写出已知、求证，再进行证明． 　　学生根据提示，独立作答，教师巡查并及时纠错． 　　【答案】已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC，BD相交于点O． 　　求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是全等的等腰直角三角形． 　　证明：∵四边形ABCD是正方形， 　　∴AC＝BD，AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO． 　　∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO． 　　【追问】观察例3所画的图形，猜想图中共有多少个等腰直角三角形并给出证明． 　　【师生活动】教师提出问题，学生小组交流，大胆猜想并进行证明，教师板书． 　　【答案】图中共有8个等腰直角三角形． 　　证明：由例3可知，△ABO，△BCO，△CDO，△DAO是等腰直角三角形． 　　∵四边形ABCD是正方形， 　　∴AB＝BC，BC＝DC，DC＝AD，AD＝AB． 　　∴△ABC，△BCD，△CDA，△DAB也是等腰直角三角形． 　　∴图中共有8个等腰直角三角形． 　　【总结】正方形的每一条对角线都把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形． 　　【设计意图】通过例1～例3的练习与讲解，巩固学生对正方形的定义和性质的理解及应用． 课堂小结 板书设计 　　一、正方形的定义 　　二、正方形的性质 课后任务 　　完成教材第59页练习第2题． 教学反思 ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $$