专题3-2 椭圆中7大最值问题总结-【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（人教A版2019）

【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学（人教A版2019）常考题专练 专题3-2 椭圆7大最值问题总结 总览 题型解读 【题型1】椭圆上的点到坐标轴上一点的距离最值 【题型2】椭圆上的点到直线距离最值问题 【题型3】与焦半径有关的线段和差最值问题 【题型4】焦半径的最小值问题 【题型5】与数量积有关的最值问题 【题型6】结合不等式求最值 【题型7 】弦长公式与面积最值问题 题型汇编 知识梳理与常考题型汇总 【题型1】椭圆上的点到坐标轴上一点的距离最值 例：点A为椭圆上的动点，点，求最大值 法一：构造二次函数模型求最值（最优） 步骤一：设点： 步骤二：写出两点距离公式： 步骤三：把点坐标代入椭圆方程得出x²与y²的关系，再代入消元 ，代入得，此时根号内是一个关于的二次函数，且 步骤四：通过二次函数单调性和定义域求最值 （注意定义域） 法二：利用椭圆的参数方程构造三角函数模型 对于椭圆，它的参数方程为 大致步骤：利用两点距离公式表示 1． （23-24高二上·江苏常州·期中）设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（    ） A．16 B．4 C．3 D．5 2． 已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小为　　 A．2 B． C． D． 3． 已知点在椭圆：上运动，，动点满足，则的最大值为 . 【巩固练习1】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为 A．2 B． C． D． 【巩固练习2】（多选）已知P是椭圆上的动点，Q是圆上的动点，则（    ） A．椭圆C的焦距为 B．椭圆C的离心率为 C．的最大值为3 D．的最小值为 【巩固练习3】点在圆上移动，点在椭圆上移动，则线段的最大值为 ． 【题型2】椭圆上的点到直线距离最值问题 人教版选择性必修一P114页例题7的思考题： 当直线与椭圆没有公共点时，椭圆上是否存在点P，使点P到直线有是大距离和最少距离？ 人教 A 版选必一第 116 页拓展探究第 13 题： 已知椭圆直线．椭圆上是否存在一点，使得： (1)它到直线l的距离最小?最小距离是多少? (2)它到直线l的距离最大?最大距离是多少? 【思路分析】考虑将直线平移到和椭圆相切，两条切线，，则两条切线和l的距离就是椭圆上点到直线的最小距离和最大距离． 4． 长为3的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，点为线段靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为 .若直线的方程为，则点到直线的距离的最小值为 . 5． 曲线上点到直线距离的最小值为 ． 6． 点M是椭圆上任意点，则点M到直线的距离的最大值为 . 7． 在直角坐标系中，椭圆C方程为，P为椭圆C上的动点，直线的方程为：，则点P到直线的距离d的最小值为 . 【巩固练习1】若P为椭圆上任意一点，则点P到直线的距离的最大值是 ；此时点P坐标是 . 【巩固练习2】（高二上·湖北武汉·期中）已知P是椭圆上动点，则P点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知椭圆，则椭圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点是直线上一点，点是椭圆上一点，设点为线段的中点，为坐标原点，若的最小值为，则椭圆的离心率为 . 【题型3】与焦半径有关的线段和差最值问题 在椭圆中，处理焦半径有关的线段和差最值问题时，可以利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转换成另一条焦半径 8． 已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ． 9． 动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（       ） A．4 B．8 C． D．12 10． 设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（       ） A． B．13 C．3 D．5 【巩固练习2】已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【巩固练习3】已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 . 【巩固练习4】已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值；(2)的最大值与最小值． 【题型4】焦半径的最小值问题 椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c ． 11． 若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为 ． 12． 平面内有一长度为4的线段，动点P满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为 ． 【巩固练习2】在椭圆中，，分别是其左右焦点，是椭圆上一点，若，则该椭圆离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． 【巩固练习3】已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________． 【题型5】与数量积有关的最值问题 类型一：通过极化恒等式转换成单线段最值问题 极化恒等式：在三角形ABC中（M为BC的中点），则 A B C M 证明（基底法）：因为，所以 类型二：设点，利用坐标表示数量积 13． 已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（       ） A．[8，12] B． C． D． 14． 已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知是椭圆的两个焦点，分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为__________. 【巩固练习2】已知点满足，点A，B关于点对称且，则的最大值为（       ） A．10 B．9 C．8 D．2 【巩固练习3】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，在轴上任取一点，直线与直线相交于点，则的最大值为 . 【题型6】结合不等式求最值 基本不等式：如果，那么，当且仅当时，等号成立．（仅限和与积） 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号；（从左至右为积，和，平方和） 15． （2021·新高考1卷真题）已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（       ）． A．13 B．12 C．25 D．16 16． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”.如图为一直角三角形，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，若以，为焦点，且过点C的椭圆方程为则直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为 . 17． 已知函数，且的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为　　 A．12 B．10 C．9 D．8 【巩固练习1】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知 P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【巩固练习3】设是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【巩固练习5】已知，分别为椭圆的左右焦点，过的一条直线与交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（   ） A．12 B． C．6 D． 【题型7 】弦长公式与面积最值问题 弦长公式 一、设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， （1）若此时AB直线方程为： 则AB＝ （2）若AB直线方程为： 则AB＝ 面积处理策略 (1)底：高(通常选弦长做底，点到直线的距离为高) (2)水平宽·铅锤高或 18． 若过原点的直线与椭圆交于A、B两点，则的最大值为 ． 19． 在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的椭圆过点，离心率. (1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆相交于两点，求的面积最大值. 【巩固练习1】（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆的离心率为，过的左焦点且斜率为1的直线与交于两点.若，则的焦距为 . 【巩固练习2】是原点，椭圆，直线过且与椭圆交于A，两点，则面积的最大值为 . 【巩固练习3】平面中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为.设点为，过原点的直线交椭圆于、两点，则面积的最大值为 . 【巩固练习4】已知椭圆C：的离心率为，且椭圆长轴长为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l（不过原点O）与C交于AB，两点，求面积的最大值． 【巩固练习5】（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆的离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值. 10 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学（人教A版2019）常考题专练 专题3-2 椭圆7大最值问题总结 总览 题型解读 【题型1】椭圆上的点到坐标轴上一点的距离最值 【题型2】椭圆上的点到直线距离最值问题 【题型3】与焦半径有关的线段和差最值问题 【题型4】焦半径的最小值问题 【题型5】与数量积有关的最值问题 【题型6】结合不等式求最值 【题型7 】弦长公式与面积最值问题 题型汇编 知识梳理与常考题型汇总 【题型1】椭圆上的点到坐标轴上一点的距离最值 例：点A为椭圆上的动点，点，求最大值 法一：构造二次函数模型求最值（最优） 步骤一：设点： 步骤二：写出两点距离公式： 步骤三：把点坐标代入椭圆方程得出x²与y²的关系，再代入消元 ，代入得，此时根号内是一个关于的二次函数，且 步骤四：通过二次函数单调性和定义域求最值 （注意定义域） 法二：利用椭圆的参数方程构造三角函数模型 对于椭圆，它的参数方程为 大致步骤：利用两点距离公式表示 1． （23-24高二上·江苏常州·期中）设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（    ） A．16 B．4 C．3 D．5 【答案】B 【分析】设得，利用，配方后利用的范围可得答案. 【详解】，设，则，所以， ， 因为，所以当时，有最大值为. 故选：B.    2． 已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小为　　 A．2 B． C． D． 【解答】解：设圆的圆心为，则， 设，则， 椭圆， ， ，，， 令， 在，单调递减，单调递增， 在时最小，即最小值为， ，． 3． 已知点在椭圆：上运动，，动点满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，先根据两点距离公式结合二次函数求解，然后利用圆的性质求得最值. 【详解】依题设，则，， 因为， 所以，当且仅当取等号，即， 由，可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故.    【巩固练习1】已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以 【巩固练习2】（多选）已知P是椭圆上的动点，Q是圆上的动点，则（    ） A．椭圆C的焦距为 B．椭圆C的离心率为 C．的最大值为3 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，可判定A不正确，B正确，设椭圆上一点，求得，求得和，进而可判定C正确，D不正确. 【详解】由椭圆，可得，所以， 所以椭圆的焦距为，离心率为，所以A不正确，B正确； 又由圆，可得圆心，半径为， 设椭圆上任意一点， 则， 令，可得图象是开口向上的抛物线，且对称轴为， 当时，可得，所以； 当时，可得，所以， 则的最小值为，所以C正确，D不正确. 【巩固练习3】点在圆上移动，点在椭圆上移动，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】，要求的最大值，需先求的最大值，设出，代两点间的距离公式即可求出的最大值，进而求解. 【详解】如图，设点在圆上，设，而, 则， 故, 此时， 又因为， 所以的最大值是.    故答案为：. 【题型2】椭圆上的点到直线距离最值问题 人教版选择性必修一P114页例题7的思考题： 当直线与椭圆没有公共点时，椭圆上是否存在点P，使点P到直线有是大距离和最少距离？ 人教 A 版选必一第 116 页拓展探究第 13 题： 已知椭圆直线．椭圆上是否存在一点，使得： (1)它到直线l的距离最小?最小距离是多少? (2)它到直线l的距离最大?最大距离是多少? 【思路分析】考虑将直线平移到和椭圆相切，两条切线，，则两条切线和l的距离就是椭圆上点到直线的最小距离和最大距离． 4． 长为3的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，点为线段靠近点的三等分点，则点的轨迹方程为 .若直线的方程为，则点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【分析】首先分别设三点的坐标，即，，，再根据坐标间的关系，，即可求解；利用数形结合，转化为平行线间的距离，即可求解. 【详解】设，， 由题意可知，，即， 又由，得，化简为； 如图，向椭圆平移直线，设平移直线为， 当直线与椭圆相切时，此时切点到直线的距离最近； 联立，得， 此时，得，由图可知，正的舍去， 直线与之间的距离， 即点到直线的距离的最小值为. 5． 曲线上点到直线距离的最小值为 ． 【答案】 【分析】求曲线的切线方程，利用平行线的距离公式求所得直线与已知直线的距离，即可知最小距离. 【详解】令与相切，联立整理可得， 所以，可得， 当，此时与的距离， 当，此时与的距离， 所以曲线到直线距离的最小值为. 6． 点M是椭圆上任意点，则点M到直线的距离的最大值为 . 【答案】 【分析】设与直线平行的直线与椭圆相切，根据切线的意义可知切点到直线的距离最大或最小，求出切线方程，计算两平行线间的距离，即可得到最大值. 【详解】设与直线平行的直线与椭圆相切， 联立得，, 则， 解得或， 由椭圆和的位置关系，取离直线远的切线， 此时切点M是椭圆上到直线的距离最大的点， 等于两平行直线的距离 7． 在直角坐标系中，椭圆C方程为，P为椭圆C上的动点，直线的方程为：，则点P到直线的距离d的最小值为 . 【答案】 【分析】设椭圆切线，联立椭圆方程求出切线方程，利用平行线的距离判断椭圆上点到已知直线距离的最值. 【详解】令与椭圆相切，消去x整理得：， 所以，可得，显然与椭圆无交点， 当，切线为，与距离为； 当，切线为，与距离为； 所以点P到直线的距离d的最小值为. 【巩固练习1】若P为椭圆上任意一点，则点P到直线的距离的最大值是 ；此时点P坐标是 . 【答案】 【分析】设与直线平行的直线与椭圆相切，联立方程组得，利用判别式求，从而利用平行线的距离公式得到答案. 【详解】设与直线平行的直线与椭圆相切， 联立直线与椭圆方程得，消去，整理得， 由，即，解得. 当时，直线与直线的距离； 当时，直线与直线的距离. 由可知符合题意. 将代入，即，可解得， 将代入可得，则点的坐标为，此时距离的最大值为. 【巩固练习2】（高二上·湖北武汉·期中）已知P是椭圆上动点，则P点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据椭圆的参数方程，结合点到直线的距离公式及三角函数的性质可求得结果. 【详解】将椭圆化为参数方程为（为参数）， 设，则P点到直线的距离为 ， 当时，取得最小值 【巩固练习3】（24-25高二上·河南南阳·期中）已知椭圆，则椭圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设椭圆上的点为，结合点到直线的距离公式与辅助角公式计算即可得解. 【详解】设椭圆上的点为， 则点到直线的距离为，其中， 由，故椭圆上的点到直线的距离的最大值为． 【巩固练习4】（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点是直线上一点，点是椭圆上一点，设点为线段的中点，为坐标原点，若的最小值为，则椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】根据题意先求出直线关于原点的对称直线，然后利用几何知识得，设，在利用点到直线的距离公式，从而可求解. 【详解】直线关于原点的对称直线为，记直线与直线的交点为，连结，，如图， 为的中位线，则， 设， ，或， 当时，与椭圆相交，最小值为0，与矛盾，舍去. 当时，符合要求，此时，，椭圆离心率. 故答案为：. 【题型3】与焦半径有关的线段和差最值问题 在椭圆中，处理焦半径有关的线段和差最值问题时，可以利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转换成另一条焦半径 8． 已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当 M、 N、 E共线时取等号），结合，求得的最小值． 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点， 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， ， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 由题意知，，， 则，的最小值为 9． 动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（       ） A．4 B．8 C． D．12 【答案】B 【分析】求出轨迹方程，根据椭圆的定义，可得，当经过点时，最短. 【详解】设动点 的坐标为 ，则 整理后得： ，动点 的轨迹为椭圆，左焦点为，右焦点为 ， ，如下图所示，当经过点时，最短，此时 10． 设椭圆的右焦点为，动点在椭圆上，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 定点到直线最短距离是过定点直线的垂线段， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故选：C 【巩固练习1】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（       ） A． B．13 C．3 D．5 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义求解. 【详解】如图所示： ， 故选：B 【巩固练习2】已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当三点共线时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【详解】如图，    设椭圆C的左焦点为，由由椭圆定义可得，， 所以 . 【巩固练习3】已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 . 【答案】10 【分析】利用点与圆的位置关系，结合椭圆的定义，转化，利用数形结合，即可求的最大值. 【详解】设点为椭圆的左焦点，点为圆的圆心， 点为圆外的点，的最大值为,,即， 的最大值为， 如图，当四点共线时,“=”成立， ，,, 所以的最大值为. 【巩固练习4】已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 【分析】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得然后得到的最大值与最小值； (2)利用椭圆的定义表示出，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案． 【详解】(1)由椭圆可知，，， 则，， 则，当且仅当、、三点共线时成立， 所以， 所以的最大值与最小值分别为和； (2)，，， 设是椭圆上任一点，由，， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 由， ， 等号仅当时成立，此时、、共线， 故的最大值与最小值为． 【题型4】焦半径的最小值问题 椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c ． 11． 若椭圆上的点到焦点距离的最大值是最小值的2倍，则该椭圆的离心率为 ． 【答案】 【详解】依题意，由图象的性质可知， 点到焦点距离的最大值为，最小值为， 所以，化简得，即离心率 12． 平面内有一长度为4的线段，动点P满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得动点在以为焦点，长轴长为6的椭圆上， ， 则可得的最小值为，最大值为， 的取值范围是. 【巩固练习1】已知，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，且的最大值是它的最小值的2倍，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【分析】先结合椭圆的定义表示出，化简后结合的范围可求出的最值，然后列方程可表示出的关系，从而可求出椭圆的离心率. 【详解】因为， 所以， 所以当时，取得最大值， 因为，所以的最小值为， 因为的最大值是它的最小值的2倍， 所以， 所以，所以， 所以椭圆的离心率为 【巩固练习2】在椭圆中，，分别是其左右焦点，是椭圆上一点，若，则该椭圆离心率的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据椭圆定义，将设代入得， 根据椭圆的几何性质，，故，即 ，故，即，又，故该椭圆离心率的取值范围是． 【巩固练习3】已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________． 【答案】[1,3] 【分析】设出点P的坐标，由两点间的距离公式求出，进而根据点在椭圆上将式子化简，最后求出范围. 【详解】由题意，，设，则，所以，因为，所以的范围是. 故答案为：. 【题型5】与数量积有关的最值问题 类型一：通过极化恒等式转换成单线段最值问题 极化恒等式：在三角形ABC中（M为BC的中点），则 A B C M 证明（基底法）：因为，所以 类型二：设点，利用坐标表示数量积 13． 已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（       ） A．[8，12] B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得圆心恰好是椭圆的右焦点，将化简得，由椭圆的性质可知，从而可求出的取值范围 【详解】由，得，则， 圆的圆心恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为2， 因为 ， 因为P为椭圆上任意一点，为椭圆的右焦点， 所以，即， 所以，所以， 所以的取值范围为 14． 已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一 ：由题意可得，，，设.表示出，然后根据椭圆的范围即可求出范围；解法二：由题意可得，，，设，取线段AF的中点，可推得，然后根据椭圆的范围即可求出范围. 【详解】解法一： 由题意知，，设. 则. 因为，所以，所以， 所以． 解法二： 由题意知，． 设，取线段AF的中点N，则，连接MN. 则. 因为，所以，所以， 所以． 【巩固练习1】已知是椭圆的两个焦点，分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】由题可设，则，然后利用数量积坐标表示及二次函数的性质即得. 【详解】由题可得，， 设，因为点P在线段AB上， 所以， ∴， ∴当时，的最小值为. 【巩固练习2】已知点满足，点A，B关于点对称且，则的最大值为（       ） A．10 B．9 C．8 D．2 【答案】C 【分析】利用向量的加法运算求出，根据向量数量积基底模式求出， 再用两点间的距离公式及点在椭圆上即可求解. 【详解】由椭圆定义可得点在椭圆上，因为点A，B关于点对称，所以，而，因为， 所以当时取得最大值3，所以的最大值为. 【巩固练习3】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在第一象限内，，在轴上任取一点，直线与直线相交于点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，根据得到，联立方程组解出点坐标，再设点坐标为，将直线与直线联立解得点坐标，由结合二次函数得性质即可求解. 【详解】由椭圆得左，右焦点分别为，，    设， 因为，所以，整理得， 又因为，联立方程组，解得，， 所以点A点坐标为， 设点坐标为，因为直线斜率不为，设直线方程为， 将，代入解得直线方程为， 再将直线与直线联立解得点坐标为， 所以， 当时，取最大值，最大值为 【题型6】结合不等式求最值 基本不等式：如果，那么，当且仅当时，等号成立．（仅限和与积） 常用不等式：若，则，当且仅当时取等号；（从左至右为积，和，平方和） 15． （2021·新高考1卷真题）已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（       ）． A．13 B．12 C．25 D．16 【答案】C 【分析】根据椭圆定义可得，利用基本不等式可得结果. 【详解】由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：， （当且仅当时取等号），的最大值为. 16． 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”.如图为一直角三角形，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，若以，为焦点，且过点C的椭圆方程为则直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为 . 【答案】 【分析】先根据已知条件结合椭圆定义求出，再利用基本不等式即可求解. 【详解】设，，根据椭圆定义得 ， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以直角三角形的“勾”“股”之积的最大值为. 17． 已知函数，且的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为　　 A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】C 【解答】解：对于函数，且的图象，令，求得，， 可得它的图象恒过定点． 因为点在椭圆，，上，则， 则，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为9 【巩固练习1】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的定义可得；利用基本不等式，若 ，则，当且仅当时取等号. 【详解】根据椭圆的定义可知，，即， 因为，， 所以 【巩固练习2】已知 P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得的范围，及，从而可得，从而可得出答案. 【详解】解：因为P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点， 所以， 且，则， 则， 因为，所以， 所以， 即. 【巩固练习3】设是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式可求得的最小值. 【详解】在椭圆中，，，， 由椭圆定义可得，， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 【巩固练习5】已知，分别为椭圆的左右焦点，过的一条直线与交于A，B两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是（   ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义，结合勾股定理，利用基本不等式转化求解即可． 【详解】设，则，，，    由，得，则，有， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以椭圆长轴长的最小值是. 【题型7 】弦长公式与面积最值问题 弦长公式 一、设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， （1）若此时AB直线方程为： 则AB＝ （2）若AB直线方程为： 则AB＝ 面积处理策略 (1)底：高(通常选弦长做底，点到直线的距离为高) (2)水平宽·铅锤高或 18． 若过原点的直线与椭圆交于A、B两点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先讨论直线的斜率不存在的情况，算出，再讨论直线的斜率存在，设出直线的方程，联立椭圆后利用韦达定理和弦长公式得到，即可得到结果 【详解】解：若过原点的直线斜率不存在时，则直线为， 将代入椭圆得，此时； 若过原点的直线斜率存在时，设直线的斜率为，方程可设为， 联立直线与椭圆方程：化简得：， 设，则 ， 因为，所以，所以，所以， 综上所述，的最大值为 19． 在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的椭圆过点，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于两点，求的面积最大值. 【答案】(1)，(2)1 【分析】（1）根据椭圆的离心率及椭圆过一点，列方程求解，即可得椭圆的方程； （2）设，联立直线与椭圆求解交点坐标关系，即可得相交弦长，再利用点到直线的距离求得点到直线的距离，即可得的表达式，利用函数性质求最值即可. 【详解】（1）设椭圆方程为， 由椭圆过点，离心率 所以，解得， 所以椭圆的方程为： （2）设，则，得， ，得，所以， 所以， 点到直线的距离 所以的面积 当时，的面积取到最大值1. 【巩固练习1】（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆的离心率为，过的左焦点且斜率为1的直线与交于两点.若，则的焦距为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到椭圆的方程为，由的方程为，联立方程组，求得，结合弦长公式，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】由椭圆的离心率为，可得，则， 所以椭圆的方程为，即， 由直线过椭圆的右焦点且斜率为，可得的方程为， 联立方程组，整理得， 则， 设，则， 所以， 解得，所以椭圆的焦距为. 【巩固练习2】是原点，椭圆，直线过且与椭圆交于A，两点，则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】设直线，联立方程，利用韦达定理可得，换元，利用对勾函数性质分析求解. 【详解】由题意可知：直线与椭圆必相交，且斜率不为0， 设直线， 联立方程，消去x得，因为直线所过定点在椭圆内部，则直线与椭圆必有两交点， 则， 可得， 则面积， 令，则，可得， 因为在内单调递增，则， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为. 【巩固练习3】平面中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为.设点为，过原点的直线交椭圆于、两点，则面积的最大值为 . 【答案】 【分析】由题意求椭圆方程，分类讨论直线斜率，利用三角形面积公式结合最值的求法即可得解. 【详解】因为左焦点为，右顶点为， 所以，可得 所以椭圆的标准方程为 当直线垂直于轴时，，因此，的面积 当直线不垂直于轴时，设直线方程为. 由 解得 所以，又点到直线的距离， 所以的面积, 要求的最大值，故， 当时，，当且仅当， 即等号成立，所以， 可得，当等号成立. 所以的最大值是. 【巩固练习4】已知椭圆C：的离心率为，且椭圆长轴长为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点的直线l（不过原点O）与C交于AB，两点，求面积的最大值． 【答案】(1),(2) 【分析】（1）根据题意可得出，，再利用的关系求出，进而求解； （2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，,，,，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由弦长公式可得，点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再计算的面积，利用基本不等式，即可得出答案． 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，且椭圆长轴长为，所以，，则，所以椭圆的标准方程为：. （2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，,，,， 联立，得， ， 所以，即或， 则， 故， 点到直线的距离，所以的面积， 设，则， 故，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为 【巩固练习5】（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆的离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入方程得，结合离心率公式可得，可得椭圆方程. （2）应用韦达定理结合弦长公式，点到直线的距离，基本不等式即可求解. 【详解】（1）椭圆过点，得①， ，，即②， 由①②联立解得，则椭圆方程为 （2）当直线垂直于轴时，三点共线，不能构成三角形， 故直线的斜率存在，则设直线为：， 设， 联立，得， 则，即或， ， 则， 点到直线的距离为， 则， 令，则， 则， 当且仅当，即，即时等号成立，故面积的最大值为. 25 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $$