精品解析：山西省晋中市榆次区山西现代双语学校南校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

山西现代双语学校南校高三年级第二次月考 高中数学 一､单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次不等式的解集求得集合，结合对数与根式有意义，求得集合，利用集合交集的运算，即可求解. 【详解】由不等式，即，解得，即； 又，故，解得，即. 所以. 故选：C 2. 已知函数，则“是函数为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分必要条件的判定方法，结合余弦函数的奇偶性即可得解. 【详解】当时，，故函数为偶函数，即充分性成立； 当为偶函数时，，此时不一定成立，即必要性不成立； 所以“是函数为偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质及对数的运算性质判断即可. 【详解】因为，，又， 所以，又， 所以. 故选：A 4. 若函数满足对任意，且，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可知，分段函数在定义域上单调递减，分别限定各函数的单调性以及端点处的取值即可求出实数的取值范围. 【详解】根据题意可知，函数在上单调递减， 所以需满足，解得. 即实数的取值范围为. 故选：A 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，把和用表示出来，根据等量关系求出的值，而，可得结果. 【详解】设， 则有，，， 可得，即，解得， 所以. 故选：D. 6. 已知定义域为的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数关于点对称公式可得关于对称，从而判断得在上单调递减，再将不等式变形为，由此利用的单调性及解二次不等式即可得解. 【详解】因为，所以关于对称， 因为在单调递减，所以在上单调递减， 又，则， 所以由可得，即， 所以，即，解得或， 所以的取值范围为， 故选：. 【点睛】结论点睛：若满足，则关于中心对称. 7. 在中，角的对边分别是，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理化角为边，再通过换元转化为分式函数，变形后利用基本不等式求最值求解可得. 【详解】由余弦定理得，代入得， ， 则，即， ， 令，， 则， 当且仅当时， ，即时等号成立， 此时，，即，为等腰直角三角形时， 取到最小值. 故选：B. 8. 已知的定义域为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用赋值法，求得，得到的一个周期是，再根据函数的周期性和奇偶性，求得的值，进而得到答案. 【详解】由题意知，函数的定义域为，且， 令，得，所以； 令，得，所以，所以是偶函数， 令，得①，所以②， 由①②知，所以， 所以，所以的一个周期是， 由②得，所以，同理，所以， 又由周期性和偶函数可得： 所以， 所以. 故选：B. 二､多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列结论中，所有正确的结论是（　　） A. 若，则 B. 命题的否定是： C. 若且，则 D. 若，则实数的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质、特称命题的否定、作差法比较大小以及恒成立问题的求解方法，对每个选项逐一进行分析. 【详解】对于选项A： 因为，所以. 因为，所以，即，所以A正确； 对于选项B： 特称命题的否定是全称命题，对于命题的否定是： ，所以B正确； 对于选项C： ，因为， 所以，所以， 所以，所以C正确； 对于选项D： 因为时，恒成立，即恒成立. 根据基本不等式的性质， 所以要使得不等式恒成立，则，所以D错误. 故选：ABC. 10. 已知定义在上的函数满足：关于中心对称，关于对称，且.则下列选项中说法正确的有（ ） A. 为奇函数 B. 周期为2 C. D. 是奇函数 【答案】AD 【解析】 【分析】由于的定义域为，且关于中心对称，可知是奇函数，又关于对称，由此即可求出函数的周期，根据函数的奇偶性及周期性判断各项的正误. 【详解】由于的定义域为，且关于中心对称，可得是奇函数，故A项正确； 因为关于直线对称，即，所以， 所以函数的周期，故B项错误； ，故C项错误； ，所以是奇函数，故D项正确. 故选：AD. 11. 定义在上的偶函数满足，当时，.设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象在处的切线方程为 C. D. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据奇偶性和对称性可得图象关于对称；对于B，根据周期性和对称性可求函数在给定范围范围上的解析式，故可求切线方程；对于C，根据周期性可求目标代数式的值；对于D，数形结合后可求交点的横坐标的和. 【详解】对于A，因为为偶函数，故， 故，所以，故的图象关于直线对称， 故A正确. 对于B，由A中分析可得是周期函数且周期为， 故当时，，故， 故当时，，故， 故切线方程为：，故B错误. 对于C，由是周期函数且周期为可得： ， 故C正确. 对于D，因为，故的图象关于对称， 而，且时，此时在上为增函数， 故图象如图所示： 由图可得的图象与的图象共有10个交点，所有交点的横坐标之和为10. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：分段函数的性质讨论，一般需利用变换的思想探究该函数的周期性、对称性，如果已知确定范围上的解析式，那么可利用周期性和对称性求出其他范围上的解析式；对于不同函数的交点情况的讨论，可结合它们的图象来分析. 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数为幂函数求出的值，再通过的图象关于轴对称来确定的值. 【详解】由为幂函数，则，解得，或， 当时，，其图象关于轴对称， 当时，，其图象关于对称， 因此， 故答案为：2. 13. 已知函数的定义域为，对任意的且，都有成立.若对任意恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题设可得为上的增函数，故可得关于的不等式，利用判别式可求实数的取值范围. 【详解】不妨设，又， ，即，在上单调递增， 对任意恒成立， 又在上单调递增， ，即对任意恒成立， ，解得或， 实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，E为的中点，延长交于点F，若，则的面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦定理以及三角形面积公式求得的面积，设所求面积为，利用向量共线定理、平面向量基本定理得出即可求解. 【详解】 的面积为， 注意到， 所以 ， 因为三点共线，所以设， 而点是中点，点是中点， 所以，设， 所以，因为不共线， 所以，解得， 因为， 设的面积为，则. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于得到的面积，，由此即可顺利得解. 四､解答题：（本题共5小题，共77分） 15. 二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用求得，由可求得，即得答案； （2）依题意可得当时，恒成立，参变分离可得恒成立，再令，，求出，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 由题意设， 由得； 由得， 即恒成立，故，则， 故； 【小问2详解】 因为当时，的图象恒在图象的上方， 所以当时，恒成立， 即当时，恒成立， 令，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，即实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）若函数y=f(x)在上的最大值为8，求实数m的值； （2）若函数y=f(x)在(1，2)上有唯一的零点，求实数m的取值范围. 【答案】（1）1或-1；（2）. 【解析】 【分析】（1）令，则，由的取值范围求出的取值范围，对二次函数的对称轴分类讨论，分别求出参数的值； （2）依题意函数在上有唯一的零点，令，又，，对分三种情况讨论，最后取并集； 【详解】解：因为， 令，则， （1）因为，所以，所以， 当，即m≥0时，此时当t=-2，即时，y取最大值， 即4+2m+2=8，解得m=1，满足； 当，即时，此时当t=2时，即x=4时，y取最大值， 即4-2m+2=8，解得m=-1，满足.所以实数m的值为1或-1. （2）因为x∈(1，2)，所以， 因为函数y=f(x)在(1，2)上有唯一的零点，且在(1，2)是增函数， 所以函数在(0，1)上有唯一的零点， 令g(t)=t2-mt+2，因为g(0)=2，g（1）=3-m， ①当g（1）=3-m<0，即m>3时，满足题意 ②当g（1）=3-m=0，则m=3时，此时g(t)=t2-3t+2， 令g(t)=t2-3t+2=0，解得t=1或t=2，不满足； ③当g（1）=3-m>0时，且此时无解； 综上，实数m的取值范围为(3，+∞). 【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 17. 函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求时，的解析式； （2）问是否存在这样的正数：当时，的值域为？若存在，求出所有的的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在正实数. 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性，求解解析式即可； （2）根据题意，结合函数单调性，将问题转化为是方程的两个根的问题，进而解方程即可得答案. 【小问1详解】 当时，，于是， 因为是定义在上的奇函数， 所以，即； 【小问2详解】 假设存在正实数，当时， 的值域为， 根据题意，， 因为 ， 则，得， 又函数在上是减函数，所以， 由此得到：是方程的两个根， 即， 解方程求得， 所以，存在正实数，当时，的值域为. 18. 已知，（），函数的周期为，当时，函数有两个不同的零点，． （1）求函数的对称中心的坐标； （2）（i）实数的取值范围； （ii）求的值． 【答案】（1）（） （2）（i）；（ii）2. 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算以及降幂公式、辅助角公式可将化为三角函数的一般形式，根据周期性求出的值，由三角函数的对称性即可得结果； （2）题意转化为的图象与交点的情形，进而得的范围以及的值，进而可得结果. 【小问1详解】 由题意 ． 因为函数的周期为，所以．所以 由，得， 所以的对称中心为（）． 【小问2详解】 由，得， 作出函数在上的图像，如图所示． （i）由图可知，，所以的取值范围为 （ii）由图可知，，所以 19. “三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系. （1）利用恒等式和，求函数和的最小值. （2）在中，角对应的边为. （i）求证：. （ii）已知实数满足，求二元函数的最大值. 【答案】（1）的最小值为：，的最小值为： （2） （i）因为， 所以 ，证毕. （ii） 【解析】 【分析】（1）利用三角换元结合余弦函数的性质可求的最小值，利用三角换元结合距离公式可求的最小值； （2）（i）利用两角差的余弦公式、同角的三角函数基本关系化简可证；（ii）利用（i）中的结论可设，再化简，结合几何意义可求最大值. 【小问1详解】 设，则， 因为，所以，所以，所以， 即的最小值为， 当时， ， 表示点到点和的距离之和， 所以. 当时， ， 表示点到点和的距离之差， 所以， 综上，的最小值为：. . 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为，故， 故，同理. 若， 当为三角形内角时，由（i）可得： ， 若有一个为零或，不妨设或， 若，则， 若，则， 若（i）中可以推广为： 若，则. 在（i）中，令，则且， 故设， 所以. 可得， 则 其表示点到点和的距离之差再加上， 所以， 当且仅当， 即时等号取得，此时满足. 【点睛】思路点睛：对于“即学即用”型的问题，应根据题设给出的方法指引结合函数解析式的特征展开讨论，对于带根号的形式的解析式，注意利用其几何意义来出最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西现代双语学校南校高三年级第二次月考 高中数学 一､单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则“是函数为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 若函数满足对任意，且，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义域为的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角的对边分别是，且，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 已知的定义域为，且，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 下列结论中，所有正确的结论是（　　） A. 若，则 B. 命题的否定是： C. 若且，则 D. 若，则实数的取值范围为 10. 已知定义在上的函数满足：关于中心对称，关于对称，且.则下列选项中说法正确的有（ ） A. 为奇函数 B. 周期为2 C. D. 是奇函数 11. 定义在上的偶函数满足，当时，.设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象在处的切线方程为 C. D. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为10 三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则实数的值是______． 13. 已知函数的定义域为，对任意的且，都有成立.若对任意恒成立，则实数的取值范围是__________. 14. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为的中点，E为的中点，延长交于点F，若，则的面积为______. 四､解答题：（本题共5小题，共77分） 15. 二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2）若时，的图象恒在图象的上方，试确定实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）若函数y=f(x)在上的最大值为8，求实数m的值； （2）若函数y=f(x)在(1，2)上有唯一的零点，求实数m的取值范围. 17. 函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求时，的解析式； （2）问是否存在这样的正数：当时，的值域为？若存在，求出所有的的值；若不存在，说明理由. 18. 已知，（），函数的周期为，当时，函数有两个不同的零点，． （1）求函数的对称中心的坐标； （2）（i）实数的取值范围； （ii）求的值． 19. “三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系. （1）利用恒等式和，求函数和的最小值. （2）在中，角对应的边为. （i）求证：. （ii）已知实数满足，求二元函数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $