八年级数学第三次月考卷01（北师大版，八上第1～6章）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第三次月考

6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 2024-2025学年八年级数学上学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 6 10 C B C B B C D C D 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） x=1 11.y=-7x+1 12.丙 y=2 4 15.2 三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(7分) 【详解】(1)解：原式=√5-2√5+6√5， -1分 =55: 3分 (2)解：原式= 4分 52x22: 5分 2 =10. -7分 17.(7分) 【详解】(1) x-y=10① 2.x+y=-1②' ①+②得：3x=9, 解得r=3. -1分 把x=3代入①得：3-y=10, 解得y=-7, -2分 x=3 故原方程组的解是： 3分 y=-7 1 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 [2x+2y=15① (2) 5x+4y-35②' ①×2得：4x+4y=30③， -4分 ②-③得：X=5，-----5分 把x=5代入①得：10+2y=15, 解特一子 -6分 [x=5 故原方程组的解是： 5 -7分 V= 18.(7分) 【详解】(1)解：如图，△4B,C即为所求，点C的坐标为-5,3， -1分 1B2345 故答案为：(-5,3： -2分 (2)解：Sc=2+3列x52x2-x3x3=6, 故答案为：6：-一 一--4分 (3)解：连接B,C交y轴于点P,连接BP,此时满足PB+PC的值最小， 设直线B,C的解析式为：y=c+b, -2k+b=0 将B,-20),C(5,3)代入得： 5k+b=3, 3 k= 解得： > 6 b= 3 :直线B,C的解析式为：y= 6 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 令x=0,则y=7 6 :点P的坐标为07 故答案为： 0, 7分 19.(8分) 【详解】(1)解：设购进A种服装a件，B种服装b件， 1分 a+b=100 30a+50b=3500 -2分 解得 a=75 b=25 -3分 答：购进A种服装75件，B种服装25件。 -4分 (2)设A种服装进货为x件，则B种服装进货为(100-x)件，总的利润为w元， 由题意可得：w=(45-30)x十(70-50)(100-x)=-5x+2000,--- -5分 .w随x的增大而减小， :商场规定A种服装进货不少于50件，购进A,B两种服装共100件， .50s≤100，-- ---6分 ÷当x=50时，w取得最大值，此时w=1750,100-x=50, -7分 答：当购进A种服装50件，乙种服装50件时才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为1750元. -8分 20.(8分) 【详解】(1)由图像可直接得出：甲车出发1小时后，乙车才出发： 故答案为：1； -2分 (2)由图像可知，甲车的速度为240÷5=48(kmh), 乙车的速度为240÷(4-)=80(kmh), 故答案为：48：80：- 一-4分 (3)设乙所在的直线解析式为y-:+b, k+b=0 把L,0),(4,240)代入解析式得： 4k+b=240' ○⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 [k=80 解得 b=801 :乙所在的直线解析式为y=801-80, 故答案为：y=801-80:---- -一6分 (4)设甲出发1小时，两车相遇， 根据题意得：481=80(1-1)， 解得1=2.5， 、.甲、乙两车经过2.5小时后第一次相遇. 故答案为：2.5. -8分 21.(9分) 【详解】(1)解：条形图中捐款5元的有4人，饼图中捐款5元的百分比为8%， :本次共抽取的捐款学生有：4+8%=50（名）， 故答案为：50：--- 一--2分 (2)解：样本容量为50， :捐款15元的人数为：50-(4+16+10+8)=12（人）， -3分 补全条形统计图如下， 学生捐款金额条形统计图 人数 16 16 12 10 一4分 4 4 0 5元10元15元20元30元捐款 金额 (3)解：捐款5元的有4人，捐款10元的有16人，捐款15元的有12人，捐款20元的有10人，捐款30元的 有8人， 捐款的众数是10， 捐款的中位数是第25名，26名的和的一半， :捐款的中位数是：5+15=15. 2 故答案为：10,15： 6分 a ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 (4)解： 5×4+10×16+15×12+20×10+30x8_20+160+180+200+240=16,-------8分 50 50 本次抽取样本学生捐款的平均金额为16元. 9分 22.(10分) 【详解】(1)解：(1) 5+5 2×W5-5） --1分 (W5+5V5-5 =5-5: 3分 (2):a是√6的小数部分，且2<√6<3， …-4分 a=V6-2, 5分 2.2 26+2 =V6+2: a6-2(W6-26+2) 6分 1 1 3》55+5+万+5… √2023+√202I 5-l+5-5,万-5…+2023-202西 -7分 2 2 2 2 -5-1+5-5+万-5++2-22可 -8分 √2023-1 -10分 2 23.(10分) 【详解】(1)解：由题意可得： +产+V+1-x=AP+DP的线段和， 3分 (2)作点D关于BC的对称点D,连接AD', 则DD'=1+1=2, 则AP+PD的最小值即为AD的长， 4分 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 5 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 D B C 在Rt△ADD'中，由勾股定理得，AD'=√AD2+DD=√P+2=5, -5分 即1+2+1+1-x的最小值为5： 6分 故答案为：√5； (3)V2+9-V2-12x+37=V+32-Vx-6)2+F, -7分 如图，AB=3,CD=1,BC=6,AB上BC,CD⊥BC, 设BE=X, A D H -8分 B 则V+3-Vx-6+=AE-DE, :当点A、D、E三点共线时，AE-ED的最大值为AD: 延长AD,BC交于E,作DH⊥AB于H, 可得AH=AB-BH=AB-CD=2,DH=BC=6, 由勾股定理得，AD=√AH+DH=√22+62=2√10，一一一 -9分 :√r2+9-Vr2-12x+37的最大值为2√10. -10分 24.(12分) 【详解】(1)解：当y=0时， 2+2=0,解得x=-4, A-4,0, 6 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 .A0=4, -1分 0A=20B, .0B=2, B2,0), -2分 设直线Z的函数表达式为y=kx+b, 把B(2,0),D(0,-4)代入， [2k+b=0 得 1b=-4 k=2 解得 b=-4 3分 直线Z的函数表达式为y=2x-4； -4分 y=2x-4 (2)解：联立方程组 1 P=2+2 解得 x=4 y=4 .C(4,4,----5分 S.ABC =2S.aCE 2-小4=2x3E×4 -6分 BE=3, B2,0, .E5,0或-1,0)： --8分 (3)解：BCF是等腰直角三角形. -9分 理由：设直线与y轴交于点E,过点C作CG⊥y轴于点G, ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 7 6学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 C(4,4 .0G=4, .-10分 对于+2，当=0，测y=2. E(0,2, .0E=2, .GE=0G-0E=2, :CG⊥y轴，AO⊥y轴， .CG∥A0, .∠CA0=LACG, ∠ACF=2∠CA0, .∠ACF=2∠ACG, :ZECG=ZFCG, 又∠CGE=∠CGF=90°，CG=CG, .aCGE≌aCFG, :FG=EG=2, .0F=6, .F(0,6), -11分 BF2=22+62=40,CF2=4-6)+4=20,BC2=(4-2+4=20, :.BF2=CF2+BC2,BC=FC, ∠BCF=90°， ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 :.BCF是等腰直角三角形. 12分 25.(12分) 【详解】(1)解：把B(-4,0代入y=2x+b, 0=2×-4+b, :b=8, 直线AB:y=2x+8, 把Am4)代入y=2x+8, m=-2, .A-2,4, 把A(-2,4代入y=kx+3, 4=(-2]k+3, :k=2 1 故答案为：8，-2， 2 -3分 (2)解：①：直线4C:y=- +3, 点C的坐标为6,0)， -4分 如下图，过点A作AH⊥y轴于点H,作AG⊥x轴于点G,则AH=2,CG=8, :△ACD翻折得到△AED AE2=AC2=(6+2+42=80: 5分 AE=45 -6分 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 9 可学易金卷 精创试卷 精品频道·倾力推荐 ②当E点落在y轴上时， 在Rt△AHE中， AE-AH=HE ·HE=√AE2-AH2=V80-22=2W19, -7分 .0E=HE-0H=2V9-4,--- 一---8分 点E的坐标为0,4-219： -9分 ③如下图， GO D 当∠EDF=90°时，由翻折得∠ADC=∠ADE=360,90 =135°， 2 ∴.∠AD0=135°-90°=45°， AG=4, DG=AG=4, ∴.0D=DG-0G=4-2=2, .点D的坐标为2,01： -10分 如下图， ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 10 试题 第 1 页（共 6 页） 试题 第 2 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年八年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大：第一章勾股定理 15%+第二章实数 14%+第三章位置与坐标 7%+第四章一次函 数 37%+第五章二元一次方程 16%+第六章数据的分析 11%。 5．难度系数： 0.75。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．下列二次根式中，最简二次根式的是( ) A． 18 B． 8 C． 10 D． 1 2 2．下列不能判定△ABC是直角三角形的是（ ） A．a2＋b2－c2＝0 B．a∶b∶c＝3∶4∶5 C．∠A∶∠B∶∠C＝3：4∶5 D．∠A＋∠B＝∠C 3．“杂交水稻之父”袁隆平培有的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的 长势，从稻田中随机抽取 7 株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：23，24，23，25，26，23，25．则 这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．23，25 B．23，24 C．24，24 D．24，25 4．若点  1 1, 2P a  和  2 3, 1P b  关于 x轴对称，则  2024a b 的值为（ ） A． 20243 B．1 C． 20243 D． 20245 5．一个两位数的十位数字与个位数字的和是 8，把这个两位数加上 18，结果恰好成为数字对调后组成的 两位数，求这个两位数．设个位数字为 x，十位数字为 y ，所列方程组正确的是（ ） A． 8 18 x y xy yx      B． 8 10 18 10 x y x y x y        C． 8 10 18 x y x y yx       D．   8 10 x y x y yx      6．已知点  14, y ，  22, y 都在直线 3y x   上，则 1y 与 2y 的大小关系为（ ） A． 1 2y y B． 1 2y y C． 1 2y y D．无法确定 7．方程组 2 3 x y k x y k       的解适合方程 x+y＝2，则 k值为( ) A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣ 1 2 8．甲、乙两车从 A地出发，沿同一路线驶向 B地．甲车先出发匀速驶向 B地，40min 后，乙车出发，匀 速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km / h， 结果与甲车同时到达 B地．甲乙两车距 A地的路程  kmy 与乙车行驶时间  hx 之间的函数图象如图所示， 则下列说法：① 4.5a  ；②甲的速度是60km / h ；③乙出发80min追上甲；④乙刚到达货站时，甲距 B 地180km．其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 9．如图，在Rt ABC△ 中， 90B  ，AD平分 BAC ，DE垂直平分 AC，若 3AB  ，则DE的值为（ ） A． 3 3 B． 3 C．1 D． 2 3 3 10．《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线 1l ： 1 1 2 y x  与 y 轴交于点A ，过 点A 作 x轴的平行线交直线 2l ：y x 于点 1O ，过点 1O 作 y 轴的平行线交直线 1l 于点 1A，以此类推，令 1OA a ， 1 1 2O A a ，…， 1 1n n nO A a   ，若 1 2 na a a S       对任意大于 1 的整数n恒成立，则S的最小值为（ ） A．1.5 B．1.75 C．1.875 D．2 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分） 11．将直线 y=﹣7x+4 向下平移 3 个单位长度后得到的直线的表达式是 ． 12．某射击队计划从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加射击比赛，在选拔过程中，每人射击10次，计 算他们的平均成绩及方差如表所示：射击队决定依据他们成绩的平均数及稳定性进行选拔，那么被选中的 运动员是 ． 试题 第 3 页（共 6 页） 试题 第 4 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 13．如图，直线 3y x   与 y mx n  交点的横坐标为1，则关于 x、 y 的二元一次方程组 3 y mx n y x       的解 为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B、C的坐标分别为 (1,1) 、(4,1)、(2,3) ，若直线 y kx 与 ABC 的 三边有两个公共点，则 k的取值范围为 ． 15．如图，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = 6，𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 10．点𝐸为线段𝐷𝐶上的一个动点，△ 𝐴𝐷𝐸与△𝐴𝐷 𝐸关 于直线𝐴𝐸对称，当△ 𝐴𝐷 𝐵为直角三角形时，𝐷𝐸为 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7 分）计算下列各题： (1) 3 12 2 27  ； (2) 1 18 8 2         ． 17．（7 分）解方程组 (1) 10 2 1 x y x y       ； (2) 2 2 15 5 4 35 x y x y      ． 18．（7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy中， ABC 三个顶点的坐标分别为      0 2 2 0 5 3A B C，， ，， ， ． (1)画出 ABC 关于 y 轴对称的 1 1 1ABC△ ，写出 1C 的坐标______； (2)计算： ABC 的面积是______； (3)若点P为 y 轴上一动点，使得 PB PC 的值最小，直接写出点 P的坐标______． 19．（8 分）某商场计划购进 A，B两种服装共 100 件，这两种服装的进价、售价如表所示： 价格 类型 进价(元/件) 售价(元/件) A 30 45 B 50 70 (1)若商场预计进货用 3500 元，则这两种服装各购进多少件? (2)若商场规定 A种服装进货不少于 50 件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润 为多少元? 20．（8 分）甲、乙两车从 A城出发匀速行驶至 B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 A城的距离 y（千 米）与甲车行驶的时间 t（小时）之间的函数关系如图所示： (1)甲车出发 小时后，乙车才出发； (2)甲车的速度为 km/h ，乙车的速度为 km/h ； (3)请直接写出乙车对应函数的关系式 ； (4)甲、乙两车经过 小时后第一次相遇． 21．（9 分）毛泽东主席曾亲笔题词号召全国人民“向雷锋同志学习”，“雷锋精神”激励着一代又一代中国人．今 年3月5号，某校团委组织全校学生开展“学习雷锋精神，爱心捐款活动”，活动结束后对本次活动的捐款抽 取了样本进行了统计，制作了下面的统计表，根据统计表回答下面的问题： (1)本次共抽取了______名学生的捐款； (2)补全条形统计图； (3)本次抽取样本学生捐款的众数是______元，中位数是______元； (4)求本次抽取样本学生捐款的平均金额． 试题 第 5 页（共 6 页） 试题 第 6 页（共 6 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 22．（10 分）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、 分母同时乘以同一个不等于 0 的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简 1 3 2 ．解： 1 1 ( 3 2) 3 2 3 2 ( 3 2)( 3 2)         ． [理解应用] (1)化简： 2 5 3 ； (2)若 a是 6 的小数部分，化简 2 a (3)化简： 1 1 1 1 3 1 5 3 7 5 2023 2021          23．（10 分）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离 分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下， 数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知0 1x  ，求  221 1 1x x    的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 21 x 和  21 1 x  的线 段，将代数求和转化为线段．．．．．．．．求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为 1 的正方形 ABCD，P为BC边上的动点．设 BP x ，则 1PC x  ．则  221 1 1x x     ______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知0 1x  ，求  221 1 1x x    的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，求 2 29 12 37x x x    的最大值． 24．（12 分）如图，直线 1 1 : 2 2 l y x  和直线 2l 与 x轴分别相交于 ,A B两点，且两直线相交于点C，直线 2l 与 y 轴相交于点  0, 4 , 2D OA OB  ． (1)求出直线 2l 的函数表达式； (2)E是 x轴上一点，若 2ABC BCES S  ，求点E的坐标； (3)若F 是直线 1l 上方且位于 y 轴上一点， 2ACF CAO   ，判断 BCF 的形状并说明理由． 25．（12 分）如图 1，在同一平面直角坐标系中，直线 AB： 2y x b  与直线 AC： 3y kx  相交于点  4A m， ， 与 x轴交于点  4 0B  ， ，直线 AC与 x轴交于点 C． (1)填空：b  ，m  ， k  ； (2)如图 2，点 D为线段BC上一动点，将 ACD 沿直线 AD翻折得到 AED△ ，线段 AE交 x轴于点 F． ①求线段 AE的长度； ②当点 E落在 y轴上时，求点 E的坐标； ③若 DEF 为直角三角形，请直接写出满足条件的点 D的坐标． 2024-2025学年八年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大：第一章勾股定理15%+第二章实数14%+第三章位置与坐标7%+第四章一次函数37%+第五章二元一次方程16%+第六章数据的分析11%。 5．难度系数： 0.75。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列二次根式中，最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．，不符合题意； B.，不符合题意； C.是最简二次根式，符合题意； D.，不符合题意； 故选：C． 2．下列不能判定△ABC是直角三角形的是（   ） A．a2＋b2－c2＝0 B．a∶b∶c＝3∶4∶5 C．∠A∶∠B∶∠C＝3：4∶5 D．∠A＋∠B＝∠C 【答案】C 【详解】解：A.由，可得，故是直角三角形，不符合题意； B.可设，，，则，能构成直角三角形，不符合题意； C. ，所以∠C最大，，故不是直角三角形，符合题意； D.，，故是直角三角形，不符合题意． 故选：C． 3．“杂交水稻之父”袁隆平培有的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．23，25 B．23，24 C．24，24 D．24，25 【答案】B 【详解】23，24，23，25，26，23，25中，23出现次数最多， ∴众数为23， 将这组数据从小到大排序为：23，23，23，24，25，25，26，共七个数，最中间位置的数是24， ∴中位数是24， 故选：B． 4．若点和关于轴对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵点和关于轴对称， ∴，，解得，， ∴， 故选：． 5．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设个位数字为，十位数字为， 由题意得，， 故选：B 6．已知点，都在直线上，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵直线，， ∴随的增大而减小， 又∵， ∴． 故选：B． 7．方程组的解适合方程x+y＝2，则k值为(　　) A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣ 【答案】C 【详解】解：， ①+②得，x+y=k+1， 由题意得，k+1=2， 解得，k=1， 故选C． 8．甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法：①；②甲的速度是；③乙出发追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：由题意可得， ，故①正确， 甲的速度是：，故②正确， 设乙刚开始的速度为，则，得， 则设经过，乙追上甲， ， 解得，，故③正确， 乙刚到达货站时，甲距B地：，故④正确， 综上，四个选项都是正确的， 故选：D． 9．如图，在中，，平分，垂直平分，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】解：， ， 平分， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ∴， 在中，， ∴， ∴， ， 平分，，， ， 故选：C． 10．《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线：于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，…，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】把代入得，， ， ， 把代入得，， ， 把代入得，， 把代入得， 把代入得， 以此类推，得，，，，……，， ， 若对任意大于1的整数恒成立， 时，的值最小， 的最小值为． 故选：D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11．将直线y=﹣7x+4向下平移3个单位长度后得到的直线的表达式是 ． 【答案】y=﹣7x+1 【详解】把直线y=﹣7x+4向下平移3个单位长度后，得到 直线 . 故答案为 . 12．某射击队计划从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加射击比赛，在选拔过程中，每人射击次，计算他们的平均成绩及方差如表所示：射击队决定依据他们成绩的平均数及稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是 ． 甲 乙 丙 环 【答案】丙 【详解】解：∵甲、乙、丙三人中甲和丙的平均数最大且相等，甲、乙、丙三人中丙的方差最小， ∴丙的成绩最稳定， ∴综合平均数和方差两个方面说明丙成绩既高又稳定， ∴最合适的人选是丙， 故答案为：丙． 13．如图，直线与交点的横坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【详解】解：直线与交点的横坐标为， 纵坐标为， 两直线交点坐标， 关于、的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、，若直线与的三边有两个公共点，则k的取值范围为 ． 【答案】 【详解】解：∵点、的坐标分别为、， ∴把，代入得： 解得： ， 把，代入得： 解得： ， ∵直线与的三边有两公共点，即直线与的边有公共点（不包含，两点）， ∴， 故答案为：． 15．如图，长方形中，，．点为线段上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，为 【详解】解：如图所示， 与关于直线对称，，，当为直角三角形时， ∵， ∴点，，在同一条直线上，则有，， ∴设，则，， ∴，则， ∴，即，解方程得，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7分）计算下列各题： (1)； (2)． 【详解】（1）解：原式，--------------------------------1分 ；--------------------------------3分 （2）解：原式，--------------------------------4分 ，--------------------------------5分 ．--------------------------------7分 17．（7分）解方程组 (1)； (2)． 【详解】（1）， 得：， 解得．--------------------------------1分 把代入①得：， 解得，--------------------------------2分 故原方程组的解是：；--------------------------------3分 （2）， 得：③，--------------------------------4分 得：，--------------------------------5分 把代入①得：， 解得，--------------------------------6分 故原方程组的解是：．--------------------------------7分 18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的，写出的坐标______； (2)计算：的面积是______； (3)若点为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点的坐标______． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为， ，--------------------------------1分 故答案为：；--------------------------------2分 （2）解：， 故答案为：；--------------------------------4分 （3）解：连接交轴于点，连接，此时满足的值最小， 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， 点的坐标为， 故答案为：．--------------------------------7分 19．（8分）某商场计划购进A，B两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示： 价格 类型 进价(元/件) 售价(元/件) A 30 45 B 50 70 (1)若商场预计进货用3500元，则这两种服装各购进多少件? (2)若商场规定A种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元? 【详解】（1）解：设购进A种服装a件，B种服装b件，--------------------------------1分 ，--------------------------------2分 解得，--------------------------------3分 答：购进A种服装75件，B种服装25件．--------------------------------4分 （2）设A种服装进货为x件，则B种服装进货为（100−x）件，总的利润为w元， 由题意可得：w＝（45−30）x＋（70−50）（100−x）＝−5x＋2000，--------------------------------5分 ∴w随x的增大而减小， ∵商场规定A种服装进货不少于50件，购进A，B两种服装共100件， ∴50≤x≤100，--------------------------------6分 ∴当x＝50时，w取得最大值，此时w＝1750，100−x＝50，--------------------------------7分 答：当购进A种服装50件，乙种服装50件时才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为1750元．--------------------------------8分 20．（8分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示： (1)甲车出发 小时后，乙车才出发； (2)甲车的速度为 ，乙车的速度为 ； (3)请直接写出乙车对应函数的关系式 ； (4)甲、乙两车经过 小时后第一次相遇． 【详解】（1）由图像可直接得出：甲车出发1小时后，乙车才出发； 故答案为：1；--------------------------------2分 （2）由图像可知，甲车的速度为, 乙车的速度为， 故答案为：48；80；--------------------------------4分 （3）设乙所在的直线解析式为， 把，代入解析式得：， 解得， ∴乙所在的直线解析式为， 故答案为：；--------------------------------6分 （4）设甲出发t小时，两车相遇， 根据题意得：， 解得， ∴甲、乙两车经过2.5小时后第一次相遇． 故答案为：2.5．--------------------------------8分 21．（9分）毛泽东主席曾亲笔题词号召全国人民“向雷锋同志学习”，“雷锋精神”激励着一代又一代中国人．今年月号，某校团委组织全校学生开展“学习雷锋精神，爱心捐款活动”，活动结束后对本次活动的捐款抽取了样本进行了统计，制作了下面的统计表，根据统计表回答下面的问题： (1)本次共抽取了______名学生的捐款； (2)补全条形统计图； (3)本次抽取样本学生捐款的众数是______元，中位数是______元； (4)求本次抽取样本学生捐款的平均金额． 【详解】（1）解：条形图中捐款元的有人，饼图中捐款元的百分比为， ∴本次共抽取的捐款学生有：（名）， 故答案为：；--------------------------------2分 （2）解：样本容量为， ∴捐款元的人数为：（人），--------------------------------3分 ∴补全条形统计图如下， --------------------------------4分 （3）解：捐款元的有人，捐款元的有人，捐款元的有人，捐款元的有人，捐款元的有人， ∴捐款的众数是， 捐款的中位数是第名，名的和的一半， ∴捐款的中位数是：， 故答案为：，；--------------------------------6分 （4）解：，----------------------------8分 ∴本次抽取样本学生捐款的平均金额为元．--------------------------------9分 22．（10分）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简．解：． [理解应用] (1)化简：； (2)若是的小数部分，化简 (3)化简： 【详解】（1）解：（1） --------------------------------1分 ；--------------------------------3分 （2）∵a是的小数部分，且，--------------------------------4分 ∴，--------------------------------5分 ∴；--------------------------------6分 （3） --------------------------------7分 --------------------------------8分 ．--------------------------------10分 23．（10分）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 【详解】（1）解：由题意可得： 的线段和；--------------------------------3分 （2）作点关于的对称点，连接， 则， 则的最小值即为的长，--------------------------------4分 在中，由勾股定理得，，--------------------------------5分 即的最小值为；--------------------------------6分 故答案为：； （3），--------------------------------7分 如图，，，，，， 设， --------------------------------8分 则， 当点、、三点共线时，的最大值为， 延长，交于，作于， 可得，， 由勾股定理得，，--------------------------------9分 的最大值为．--------------------------------10分 24．（12分）如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点．    (1)求出直线的函数表达式； (2)是轴上一点，若，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由． 【详解】（1）解：当时，，解得， ∴， ∴，--------------------------------1分 ∵， ∴， ∴，--------------------------------2分 设直线的函数表达式为， 把，代入， 得， 解得，--------------------------------3分 ∴直线的函数表达式为；--------------------------------4分 （2）解：联立方程组， 解得， ∴，--------------------------------5分 ∵， ∴，--------------------------------6分 ∴， ∵， ∴或；--------------------------------8分 （3）解：是等腰直角三角形.--------------------------------9分 理由：设直线与y轴交于点E，过点C作轴于点G，    ∵ ∴，--------------------------------10分 对于，当，则， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴， ∴，--------------------------------11分 ∴，，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形．--------------------------------12分 25．（12分）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． ①求线段的长度； ②当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 【详解】（1）解：把代入， ∵， ∴， ∴直线：， 把代入， ∴， ∴， 把代入， ∵， ∴． 故答案为：8，，；--------------------------------3分 （2）解：①∵直线：， ∴点C的坐标为，--------------------------------4分 如下图，过点A作轴于点H，作轴于点G，则，， ∵翻折得到 ∴，--------------------------------5分 ∴--------------------------------6分 ②当E点落在y轴上时， 在中， ∵ ∴，--------------------------------7分 ∴，--------------------------------8分 ∴点E的坐标为；--------------------------------9分 ③如下图， 当时，由翻折得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为； --------------------------------10分 如下图， 当时，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴点D的坐标为， --------------------------------11分 综上，点D的坐标为或．--------------------------------12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级上学期第三次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7分） 18．（7分） 19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10分） 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年八年级上学期第三次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 11. _______________ 12. ________________ 13. ________________ 14. ________________ 15. ________________ 三、解答题（共 90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（7 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（7 分） 18．（7 分） 19．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8 分） 21．（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（10 分） 23．（10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年八年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大：第一章勾股定理15%+第二章实数14%+第三章位置与坐标7%+第四章一次函数37%+第五章二元一次方程16%+第六章数据的分析11%。 5．难度系数： 0.75。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列二次根式中，最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．下列不能判定△ABC是直角三角形的是（   ） A．a2＋b2－c2＝0 B．a∶b∶c＝3∶4∶5 C．∠A∶∠B∶∠C＝3：4∶5 D．∠A＋∠B＝∠C 3．“杂交水稻之父”袁隆平培有的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．23，25 B．23，24 C．24，24 D．24，25 4．若点和关于轴对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知点，都在直线上，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 7．方程组的解适合方程x+y＝2，则k值为(　　) A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣ 8．甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法：①；②甲的速度是；③乙出发追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在中，，平分，垂直平分，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 10．《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线：于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，…，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11．将直线y=﹣7x+4向下平移3个单位长度后得到的直线的表达式是 ． 12．某射击队计划从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加射击比赛，在选拔过程中，每人射击次，计算他们的平均成绩及方差如表所示：射击队决定依据他们成绩的平均数及稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是 ． 13．如图，直线与交点的横坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、，若直线与的三边有两个公共点，则k的取值范围为 ． 15．如图，长方形中，，．点为线段上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，为 三、解答题（本大题共10小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7分）计算下列各题： (1)； (2)． 17．（7分）解方程组 (1)； (2)． 18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的，写出的坐标______； (2)计算：的面积是______； (3)若点为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点的坐标______． 19．（8分）某商场计划购进A，B两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示： 价格 类型 进价(元/件) 售价(元/件) A 30 45 B 50 70 (1)若商场预计进货用3500元，则这两种服装各购进多少件? (2)若商场规定A种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元? 20．（8分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示： (1)甲车出发 小时后，乙车才出发； (2)甲车的速度为 ，乙车的速度为 ； (3)请直接写出乙车对应函数的关系式 ； (4)甲、乙两车经过 小时后第一次相遇． 21．（9分）毛泽东主席曾亲笔题词号召全国人民“向雷锋同志学习”，“雷锋精神”激励着一代又一代中国人．今年月号，某校团委组织全校学生开展“学习雷锋精神，爱心捐款活动”，活动结束后对本次活动的捐款抽取了样本进行了统计，制作了下面的统计表，根据统计表回答下面的问题： (1)本次共抽取了______名学生的捐款； (2)补全条形统计图； (3)本次抽取样本学生捐款的众数是______元，中位数是______元； (4)求本次抽取样本学生捐款的平均金额． 22．（10分）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简．解：． [理解应用] (1)化简：； (2)若是的小数部分，化简 (3)化简： 23．（10分）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 24．（12分）如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点．    (1)求出直线的函数表达式； (2)是轴上一点，若，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由． 25．（12分）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． ①求线段的长度； ②当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年八年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大：第一章勾股定理 15%+第二章实数 14%+第三章位置与坐标 7%+第四章一次函 数 37%+第五章二元一次方程 16%+第六章数据的分析 11%。 5．难度系数： 0.75。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．下列二次根式中，最简二次根式的是( ) A． 18 B． 8 C． 10 D． 1 2 【答案】C 【详解】A． 18 3 2 ，不符合题意； B. 8 2 2 ，不符合题意； C. 10 是最简二次根式，符合题意； D. 1 2 2 2  ，不符合题意； 故选：C． 2．下列不能判定△ ABC是直角三角形的是（ ） A．a2＋b2－c2＝0 B．a∶b∶c＝3 4 5∶ ∶ C．∠A∶∠B∶∠C＝3：4 5∶ D．∠A＋∠B＝∠C 【答案】C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【详解】解：A.由 2 2 2 0a b c   ，可得 2 2 2a b c  ，故是直角三角形，不符合题意； B.可设 3a k ， 4b k ， 5c k ，则      2 2 23 4 5k k k  ，能构成直角三角形，不符合题意； C. : : 3: 4 :5A B C    ，所以∠C最大， 5180 75 3 4 5 C       ，故不是直角三角形，符合题意； D. A B C     ， 90C  ，故是直角三角形，不符合题意． 故选：C． 3．“杂交水稻之父”袁隆平培有的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的 长势，从稻田中随机抽取 7 株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：23，24，23，25，26，23，25．则 这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．23，25 B．23，24 C．24，24 D．24，25 【答案】B 【详解】23，24，23，25，26，23，25 中，23 出现次数最多， ∴ 众数为 23， 将这组数据从小到大排序为：23，23，23，24，25，25，26，共七个数，最中间位置的数是 24， ∴ 中位数是 24， 故选：B． 4．若点  1 1, 2P a  和  2 3, 1P b  关于 x轴对称，则  2024a b 的值为（ ） A． 20243 B．1 C． 20243 D． 20245 【答案】C 【详解】∵ 点  1 1, 2P a  和  2 3, 1P b  关于 x轴对称， ∴ 1 3a   ， 1 2b    ，解得 4a  ， 1b   ， ∴  2024 20243a b  ， 故选：C ． 5．一个两位数的十位数字与个位数字的和是 8，把这个两位数加上 18，结果恰好成为数字对调后组成的两 位数，求这个两位数．设个位数字为 x，十位数字为 y ，所列方程组正确的是（ ） A． 8 18 x y xy yx      B． 8 10 18 10 x y x y x y        原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 C． 8 10 18 x y x y yx       D．   8 10 x y x y yx      【答案】B 【详解】解：设个位数字为 x，十位数字为 y ， 由题意得， 8 10 18 10 x y x y x y        ， 故选：B 6．已知点  14, y ，  22, y 都在直线 3y x   上，则 1y 与 2y 的大小关系为（ ） A． 1 2y y B． 1 2y y C． 1 2y y D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵ 直线 3y x   ， 1 0k    ， ∴ y 随 x的增大而减小， 又∵ 4 2  ， ∴ 1 2y y ． 故选：B． 7．方程组 2 3 x y k x y k       的解适合方程 x+y＝2，则 k值为( ) A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣ 1 2 【答案】C 【详解】解： 2 3 x y k x y k         ① ② ， ①+②得，x+y=k+1， 由题意得，k+1=2， 解得，k=1， 故选 C． 8．甲、乙两车从 A地出发，沿同一路线驶向 B地．甲车先出发匀速驶向 B地，40min 后，乙车出发，匀速 行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km / h，结 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 果与甲车同时到达 B地．甲乙两车距 A地的路程  kmy 与乙车行驶时间  hx 之间的函数图象如图所示，则 下列说法：① 4.5a  ；②甲的速度是60km / h ；③乙出发80min追上甲；④乙刚到达货站时，甲距 B地 180km．其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 【详解】解：由题意可得， 4 0.5 4.5a    ，故①正确， 甲的速度是： 40 460 7 60km / h 60        ，故②正确， 设乙刚开始的速度为 km / hx ，则4 (7 4.5)( 50) 460x x    ，得 90x  ， 则设经过 minb ，乙追上甲， 40 90 60 60 60 b b    ， 解得， 80b  ，故③正确， 乙刚到达货站时，甲距 B地： m( )60 7 4 180k   ，故④正确， 综上，四个选项都是正确的， 故选：D． 9．如图，在Rt ABC△ 中， 90B  ，AD平分 BAC ，DE垂直平分 AC，若 3AB  ，则DE的值为（ ） A． 3 3 B． 3 C．1 D． 2 3 3 【答案】C 【详解】解： 90B   ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 90BAC C   ， AD 平分 BAC ， BAD DAE   ， DE 垂直平分 AC， DA DC  ， DAE C   ， BAD DAE C     ， 90BAD DAE C     ， 30BAD  ， ∴ 2AD BD ， 在Rt ABD△ 中， 3AB  ， ∴ 2 2 2BD AB AD  ， ∴ 23 3BD  ， 1BD  ， AD 平分 BAC ，DB BA ，DE AC ， 1DB DE   ， 故选：C． 10．《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线 1l ： 1 1 2 y x  与 y 轴交于点A ，过 点A 作 x轴的平行线交直线 2l ：y x 于点 1O ，过点 1O 作 y 轴的平行线交直线 1l 于点 1A，以此类推，令 1OA a ， 1 1 2O A a ，…， 1 1n n nO A a   ，若 1 2 na a a S       对任意大于 1 的整数n恒成立，则S的最小值为（ ） A．1.5 B．1.75 C．1.875 D．2 【答案】D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【详解】把 0x  代入 1 1 2 y x  得， 1y  ，   0 1A ，，  1 1OA a  ， 把 1y  代入 y x 得， 1x  ，   1 1,1O ， 把 1x  代入 1 1 2 y x  得， 1 3 1 1 2 2 y     ，  1 3 (1, ) 2 A  1 1 2 3 1 1 2 2 O A a    把 3 2 y  代入 y x 得， 3 2 y   2 3 3 ( , ) 2 2 O 把 3 2 x  代入 1 1 2 y x  得， 1 3 7 1 , 2 2 4 y      2 3 7 ( , ), 2 4 A  2 2 3 7 3 1 4 2 4 O A a    以此类推，得 1 1OA a  ， 1 1 2 1 2 O A a  ， 2 2 3 1 4 O A a  ， 3 3 4 1 8 O A a  ，……， 1 1 1 1 2n n n n O A a    ，  1 2 3 1 1 1 1 1 2 4 2n n S a a a a            1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 4 4 2 2n n          1 1 2 2n   ， 若 1 2 na a a S       对任意大于 1 的整数n恒成立，  2n  时，S的值最小，  S的最小值为2． 故选：D． 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 11．将直线 y=﹣7x+4 向下平移 3 个单位长度后得到的直线的表达式是 ． 【答案】y=﹣7x+1 【详解】把直线 y=﹣7x+4 向下平移 3 个单位长度后，得到 直线 7 4 3 7 1y x x       . 故答案为 7 1y x   . 12．某射击队计划从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加射击比赛，在选拔过程中，每人射击10次，计 算他们的平均成绩及方差如表所示：射击队决定依据他们成绩的平均数及稳定性进行选拔，那么被选中的 运动员是 ． 甲 乙 丙 /x 环 9.7 9.6 9.7 2s 0.095 0.032 0.023 【答案】丙 【详解】解：∵ 甲、乙、丙三人中甲和丙的平均数最大且相等，甲、乙、丙三人中丙的方差最小， ∴ 丙的成绩最稳定， ∴ 综合平均数和方差两个方面说明丙成绩既高又稳定， ∴ 最合适的人选是丙， 故答案为：丙． 13．如图，直线 3y x   与 y mx n  交点的横坐标为1，则关于 x、 y 的二元一次方程组 3 y mx n y x       的解 为 ． 【答案】 1 2 x y    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 【详解】解：直线 3y x   与 y mx n  交点的横坐标为1， 纵坐标为 1 3 2y     ， 两直线交点坐标  1,2 ， 关于 x、 y 的二元一次方程组 3 y mx n y x       的解为 1 2 x y    ， 故答案为： 1 2 x y    ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B、C的坐标分别为 (1,1) 、(4,1)、(2,3) ，若直线 y kx 与 ABC 的 三边有两个公共点，则 k的取值范围为 ． 【答案】 1 3 4 2 k  【详解】解：∵ 点 B、C的坐标分别为  4,1 、  2,3 ， ∴ 把 B  4,1 ，代入 y kx 得：4 1k  解得： 1 4 k  ， 把C  2,3 ，代入 y kx 得：2 3k  解得： 3 2 k  ， ∵ 直线 y kx 与 ABC 的三边有两公共点，即直线与 ABC 的边BC有公共点（不包含 B，C两点）， ∴ 1 3 4 2 k  ， 故答案为： 1 3 4 2 k  ． 15．如图，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = 6，𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 10．点𝐸为线段𝐷𝐶上的一个动点，△ 𝐴𝐷𝐸与△𝐴𝐷 𝐸关于 直线𝐴𝐸对称，当△ 𝐴𝐷 𝐵为直角三角形时，𝐷𝐸为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【详解】解：如图所示， △ 𝐴𝐷𝐸与△ 𝐴𝐷 𝐸关于直线𝐴𝐸对称，𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = 6，𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 10，当△ 𝐴𝐷 𝐵为直角三角形时， ∵∠𝐷 = ∠𝐴𝐷 𝐸 = ∠𝐴𝐷 𝐵 = 90°， ∴点𝐸，𝐷 ，𝐵在同一条直线上，则有Rt △ 𝐴𝐷 𝐵，Rt △𝐵𝐶𝐸， ∴设𝐷𝐸 = 𝑥，则𝐷 𝐸 = 𝑥， 10EC x  ， ∴𝐵𝐷 = √𝐴𝐵 − 𝐷 𝐴 = √10 − 6 = 8，则𝐵𝐸 = 8 + 𝑥， ∴𝐵𝐸 = 𝐶𝐸 + 𝐶𝐵 ，即(8 + 𝑥) = (10 − 𝑥) + 6 ，解方程得， 2x  ， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7 分）计算下列各题： (1) 3 12 2 27  ； (2) 1 18 8 2         ． 【详解】（1）解：原式 33 2 63   ，--------------------------------1 分 5 3 ；--------------------------------3 分 （2）解：原式 2 3 2 2 2 2          ，--------------------------------4 分 5 2 2 2 2   ，--------------------------------5 分 10 ．--------------------------------7 分 17．（7 分）解方程组 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 (1) 10 2 1 x y x y       ； (2) 2 2 15 5 4 35 x y x y      ． 【详解】（1） 10 2 1 x y x y       ① ② ， ① ②得：3 9x  ， 解得 3x  ．--------------------------------1 分 把 3x  代入①得：3 10y  ， 解得 7y   ，--------------------------------2 分 故原方程组的解是： 3 7 x y     ；--------------------------------3 分 （2） 2 2 15 5 4 35 x y x y      ① ② ， 2① 得：4 4 30x y  ③，--------------------------------4 分 ② ③得： 5x  ，--------------------------------5 分 把 5x  代入①得：10 2 15y  ， 解得 5 2 y  ，--------------------------------6 分 故原方程组的解是： 5 5 2 x y     ．--------------------------------7 分 18．（7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy中， ABC 三个顶点的坐标分别为      0 2 2 0 5 3A B C，， ，， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 (1)画出 ABC 关于 y轴对称的 1 1 1ABC△ ，写出 1C 的坐标______； (2)计算： ABC 的面积是______； (3)若点P为 y轴上一动点，使得 PB PC 的值最小，直接写出点 P的坐标______． 【详解】（1）解：如图， 1 1 1ABC△ 即为所求，点 1C 的坐标为  5 3 ， ， ，--------------------------------1 分 故答案为：  5 3 ， ；--------------------------------2 分 （2）解：  1 1 12 3 5 2 2 3 3 6 2 2 2ABC S            ， 故答案为：6 ；--------------------------------4 分 （3）解：连接 1BC交 y轴于点P，连接BP，此时满足PB PC 的值最小， 设直线 1BC的解析式为： y kx b  ， 将  1 2 0B  ， ，  5 3C ，代入得： 2 0 5 3 k b k b       ， 解得： 3 7 6 7 k b       ， 直线 1BC的解析式为： 3 6 7 7 y x  ， 令 0x  ，则 6 7 y  ， 点 P的坐标为 6 0 7       ， ， 故答案为： 6 0 7       ， ．--------------------------------7 分 19．（8 分）某商场计划购进 A，B两种服装共 100 件，这两种服装的进价、售价如表所示： 价格 进价(元/件) 售价(元/件) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 类型 A 30 45 B 50 70 (1)若商场预计进货用 3500 元，则这两种服装各购进多少件? (2)若商场规定 A种服装进货不少于 50 件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为 多少元? 【详解】（1）解：设购进 A种服装 a件，B种服装 b件，--------------------------------1 分 100 30 50 3500 a b a b      ，，--------------------------------2 分 解得 75 25 a b    ，--------------------------------3 分 答：购进 A种服装 75 件，B种服装 25 件．--------------------------------4 分 （2）设 A种服装进货为 x件，则 B种服装进货为（100−x）件，总的利润为 w元， 由题意可得：w＝（45−30）x＋（70−50）（100−x）＝−5x＋2000，--------------------------------5 分 ∴ w随 x的增大而减小， ∵ 商场规定 A种服装进货不少于 50 件，购进 A，B两种服装共 100 件， ∴ 50≤x≤100，--------------------------------6 分 ∴ 当 x＝50 时，w取得最大值，此时 w＝1750，100−x＝50，--------------------------------7 分 答：当购进 A种服装 50 件，乙种服装 50 件时才能使商场销售完这批货时获利最多，此时利润为 1750 元．--------------------------------8 分 20．（8 分）甲、乙两车从 A城出发匀速行驶至 B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 A城的距离 y（千 米）与甲车行驶的时间 t（小时）之间的函数关系如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 (1)甲车出发 小时后，乙车才出发； (2)甲车的速度为 km/h ，乙车的速度为 km/h ； (3)请直接写出乙车对应函数的关系式 ； (4)甲、乙两车经过 小时后第一次相遇． 【详解】（1）由图像可直接得出：甲车出发 1 小时后，乙车才出发； 故答案为：1；--------------------------------2 分 （2）由图像可知，甲车的速度为240 5 48 km/h( )  , 乙车的速度为 ( )240 4 1 8 (0 /h)km   ， 故答案为：48；80；--------------------------------4 分 （3）设乙所在的直线解析式为 y kt b  ， 把 (1,0)， (4, 240)代入解析式得： 0 4 240 k b k b      ， 解得 80 80 k b     ， ∴ 乙所在的直线解析式为 80 80y t  ， 故答案为： 80 80y t  ；--------------------------------6 分 （4）设甲出发 t小时，两车相遇， 根据题意得：48 80 1( )t t  ， 解得 2.5t  ， ∴ 甲、乙两车经过 2.5 小时后第一次相遇． 故答案为：2.5．--------------------------------8 分 21．（9 分）毛泽东主席曾亲笔题词号召全国人民“向雷锋同志学习”，“雷锋精神”激励着一代又一代中国人．今 年3月5号，某校团委组织全校学生开展“学习雷锋精神，爱心捐款活动”，活动结束后对本次活动的捐款抽 取了样本进行了统计，制作了下面的统计表，根据统计表回答下面的问题： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 (1)本次共抽取了______名学生的捐款； (2)补全条形统计图； (3)本次抽取样本学生捐款的众数是______元，中位数是______元； (4)求本次抽取样本学生捐款的平均金额． 【详解】（1）解：条形图中捐款5元的有4 人，饼图中捐款5元的百分比为8% ， ∴ 本次共抽取的捐款学生有：4 8% 50  （名）， 故答案为：50；--------------------------------2 分 （2）解：样本容量为50， ∴ 捐款15元的人数为：  50 4 16 10 8 12     （人），--------------------------------3 分 ∴ 补全条形统计图如下， --------------------------------4 分 （3）解：捐款5元的有4 人，捐款10元的有16人，捐款15元的有12人，捐款20元的有10人，捐款30元的 有8人， ∴ 捐款的众数是10， 捐款的中位数是第25名，26名的和的一半， ∴ 捐款的中位数是： 15 15 15 2   ， 故答案为：10，15；--------------------------------6 分 （4）解： 5 4 10 16 15 12 20 10 30 8 20 160 180 200 240 16 50 50                ，----------------------------8 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 ∴ 本次抽取样本学生捐款的平均金额为16元．--------------------------------9 分 22．（10 分）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、 分母同时乘以同一个不等于 0 的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简 1 3 2 ．解： 1 1 ( 3 2) 3 2 3 2 ( 3 2)( 3 2)         ． [理解应用] (1)化简： 2 5 3 ； (2)若 a是 6 的小数部分，化简 2 a (3)化简： 1 1 1 1 3 1 5 3 7 5 2023 2021          【详解】（1）解：（1） 2 5 3      2 5 3 5 3 5 3      --------------------------------1 分 5 3  ；--------------------------------3 分 （2）∵ a是 6 的小数部分，且2 6 3  ，--------------------------------4 分 ∴ 6 2a   ，--------------------------------5 分 ∴      2 6 22 2 6 2 6 2 6 2 6 2a         ；--------------------------------6 分 （3） 1 1 1 1 3 1 5 3 7 5 2023 2021          23 1 5 3 7 5 2 2 2 2 20 3 2021          --------------------------------7 分  1 3 1 5 3 7 5 2023 2021 2           --------------------------------8 分 2023 1 2   ．--------------------------------10 分 23．（10 分）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离 分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下， 数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 【提出问题】已知0 1x  ，求  221 1 1x x    的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 21 x 和  21 1 x  的线 段，将代数求和转化为线段．．．．．．．．求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为 1 的正方形 ABCD，P为BC边上的动点．设 BP x ，则 1PC x  ．则  221 1 1x x     ______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知0 1x  ，求  221 1 1x x    的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，求 2 29 12 37x x x    的最大值． 【详解】（1）解：由题意可得：  221 1 1x x AP DP      的线段和；--------------------------------3 分 （2）作点D关于BC的对称点D，连接 AD， 则 1 1 2DD    ， 则 AP PD 的最小值即为 AD的长，--------------------------------4 分 在Rt ADD△ 中，由勾股定理得， 2 2 2 21 2 5AD AD DD      ，--------------------------------5 分 即  221 1 1x x    的最小值为 5 ；--------------------------------6 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 故答案为： 5 ； （3） 2 2 2 2 2 29 12 37 3 ( 6) 1x x x x x         ，--------------------------------7 分 如图， 3AB  ， 1CD  ， 6BC  ， AB BC ，CD BC ， 设BE x ， --------------------------------8 分 则 2 2 2 23 ( 6) 1x x AE DE      ， 当点A 、D、E三点共线时， AE ED 的最大值为 AD， 延长 AD， BC交于E，作DH AB 于H ， 可得 2AH AB BH AB CD     ， 6DH BC  ， 由勾股定理得， 2 2 2 22 6 2 10AD AH DH     ，--------------------------------9 分  2 29 12 37x x x    的最大值为2 10 ．--------------------------------10 分 24．（12 分）如图，直线 1 1 : 2 2 l y x  和直线 2l 与 x轴分别相交于 ,A B两点，且两直线相交于点C，直线 2l 与 y轴相交于点  0, 4 , 2D OA OB  ． (1)求出直线 2l 的函数表达式； (2)E是 x轴上一点，若 2ABC BCES S  ，求点E的坐标； (3)若F 是直线 1l 上方且位于 y轴上一点， 2ACF CAO   ，判断 BCF 的形状并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 18 【详解】（1）解：当 0y  时， 1 2 0 2 x   ，解得 4x   ， ∴  4,0A  ， ∴ 4AO  ，--------------------------------1 分 ∵ 2OA OB ， ∴ 2OB  ， ∴  2,0B ，--------------------------------2 分 设直线 2l 的函数表达式为 y kx b  ， 把  2,0B ，  0, 4D  代入， 得 2 0 4 k b b      ， 解得 2 4 k b     ，--------------------------------3 分 ∴ 直线 2l 的函数表达式为 2 4y x  ；--------------------------------4 分 （2）解：联立方程组 2 4 1 2 2 y x y x       ， 解得 4 4 x y    ， ∴  4,4C ，--------------------------------5 分 ∵ 2ABC BCES S  ， ∴  1 12 4 4 2 4 2 2 BE          ，--------------------------------6 分 ∴ 3BE  ， ∵  2,0B ， ∴  5,0E 或  1,0 ；--------------------------------8 分 （3）解： BCF 是等腰直角三角形.--------------------------------9 分 理由：设直线 1l 与 y轴交于点 E，过点 C作CG y 轴于点 G， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 19 ∵  4,4C ∴ 4OG  ，--------------------------------10 分 对于 1 2 2 y x  ，当 0x  ，则 2y  ， ∴  0,2E ， ∴ 2OE  ， ∴ 2GE OG OE   ， ∵ CG y 轴， AO y 轴， ∴ CG AO∥ ， ∴ CAO ACG  ， ∵ 2ACF CAO   ， ∴ 2 ACGACF   ， ∴ ECG FCG  ， 又 90CGE CGF    ，CG CG ， ∴ CGE CFG≌  ， ∴ 2FG EG  ， ∴ 6OF  ， ∴  0,6F ，--------------------------------11 分 ∴ 2 2 22 6 40BF    ，  22 24 6 4 20CF     ，  22 24 2 4 20BC     ， ∴ 2 2 2BF CF BC  ，BC FC ， ∴ 90BCF  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 20 ∴ BCF 是等腰直角三角形．--------------------------------12 分 25．（12 分）如图 1，在同一平面直角坐标系中，直线 AB： 2y x b  与直线 AC： 3y kx  相交于点  4A m， ， 与 x轴交于点  4 0B  ， ，直线 AC与 x轴交于点 C． (1)填空：b  ，m  ， k  ； (2)如图 2，点 D为线段BC上一动点，将 ACD 沿直线 AD翻折得到 AED△ ，线段 AE交 x轴于点 F． ①求线段 AE的长度； ②当点 E落在 y轴上时，求点 E的坐标； ③若 DEF 为直角三角形，请直接写出满足条件的点 D的坐标． 【详解】（1）解：把  4 0B  ， 代入 2y x b  ， ∵  0 2 4 b    ， ∴ 8b  ， ∴ 直线 AB： 2 8y x  ， 把  4A m， 代入 2 8y x  ， ∴ 2m   ， ∴  2 4A  ， ， 把  2 4A  ， 代入 3y kx  ， ∵  4 2 3k   ， ∴ 1 2 k   ． 故答案为：8， 2 ， 1 2  ；--------------------------------3 分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 21 （2）解： ∵① 直线 AC： 1 3 2 y x   ， ∴ 点 C的坐标为  6 0， ，--------------------------------4 分 如下图，过点 A作 AH y 轴于点 H，作 AG x 轴于点 G，则 2AH  ， 8CG  ， ∵ ACD 翻折得到 AED△ ∴  22 2 26 2 4 80AE AC     ，--------------------------------5 分 ∴ 4 5AE  --------------------------------6 分 ②当 E点落在 y轴上时， 在Rt AHE△ 中， ∵ 2 2 2AE AH HE  ∴ 2 2 280 2 2 19HE AE AH     ，--------------------------------7 分 ∴ 2 19 4OE HE OH    ，--------------------------------8 分 ∴ 点 E的坐标为  0 4 2 19， ；--------------------------------9 分 ③如下图， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 22 当 90EDF  时，由翻折得 360 90 135 2 ADC ADE      ， ∴ 135 90 45ADO     ， ∵ 4AG  ， ∴ 4DG AG  ， ∴ 4 2 2OD DG OG     ， ∴ 点 D的坐标为  2 0， ； --------------------------------10 分 如下图， 当 90DFE  时， 80 4 5AE AC   ， 设DF x ，则 8DE DC x   ， 在Rt DEF△ 中，由勾股定理得：    22 28 4 5 4x x    ， 解得： 2 5 2x   ， ∴ 2 5 4OD DF OF    ， ∴ 点 D的坐标为  2 5 4,0 ， --------------------------------11 分 综上，点 D的坐标为  2 0， 或  2 5 4,0 ．--------------------------------12 分 2024-2025学年八年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大：第一章勾股定理15%+第二章实数14%+第三章位置与坐标7%+第四章一次函数37%+第五章二元一次方程16%+第六章数据的分析11%。 5．难度系数： 0.75。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列二次根式中，最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．下列不能判定△ABC是直角三角形的是（   ） A．a2＋b2－c2＝0 B．a∶b∶c＝3∶4∶5 C．∠A∶∠B∶∠C＝3：4∶5 D．∠A＋∠B＝∠C 3．“杂交水稻之父”袁隆平培有的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：23，24，23，25，26，23，25．则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．23，25 B．23，24 C．24，24 D．24，25 4．若点和关于轴对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知点，都在直线上，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法确定 7．方程组的解适合方程x+y＝2，则k值为(　　) A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣ 8．甲、乙两车从A地出发，沿同一路线驶向B地．甲车先出发匀速驶向B地，后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了，结果与甲车同时到达B地．甲乙两车距A地的路程与乙车行驶时间之间的函数图象如图所示，则下列说法：①；②甲的速度是；③乙出发追上甲；④乙刚到达货站时，甲距B地．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在中，，平分，垂直平分，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 10．《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线：与轴交于点，过点作轴的平行线交直线：于点，过点作轴的平行线交直线于点，以此类推，令，，…，，若对任意大于1的整数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 11．将直线y=﹣7x+4向下平移3个单位长度后得到的直线的表达式是 ． 12．某射击队计划从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加射击比赛，在选拔过程中，每人射击次，计算他们的平均成绩及方差如表所示：射击队决定依据他们成绩的平均数及稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是 ． 甲 乙 丙 环 13．如图，直线与交点的横坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，点、、的坐标分别为、、，若直线与的三边有两个公共点，则k的取值范围为 ． 15．如图，长方形中，，．点为线段上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，为 三、解答题（本大题共10小题，满分90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7分）计算下列各题： (1)； (2)． 17．（7分）解方程组 (1)； (2)． 18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于轴对称的，写出的坐标______； (2)计算：的面积是______； (3)若点为轴上一动点，使得的值最小，直接写出点的坐标______． 19．（8分）某商场计划购进A，B两种服装共100件，这两种服装的进价、售价如表所示： 价格 类型 进价(元/件) 售价(元/件) A 30 45 B 50 70 (1)若商场预计进货用3500元，则这两种服装各购进多少件? (2)若商场规定A种服装进货不少于50件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为多少元? 20．（8分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示： (1)甲车出发 小时后，乙车才出发； (2)甲车的速度为 ，乙车的速度为 ； (3)请直接写出乙车对应函数的关系式 ； (4)甲、乙两车经过 小时后第一次相遇． 21．（9分）毛泽东主席曾亲笔题词号召全国人民“向雷锋同志学习”，“雷锋精神”激励着一代又一代中国人．今年月号，某校团委组织全校学生开展“学习雷锋精神，爱心捐款活动”，活动结束后对本次活动的捐款抽取了样本进行了统计，制作了下面的统计表，根据统计表回答下面的问题： (1)本次共抽取了______名学生的捐款； (2)补全条形统计图； (3)本次抽取样本学生捐款的众数是______元，中位数是______元； (4)求本次抽取样本学生捐款的平均金额． 22．（10分）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、分母同时乘以同一个不等于0的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简．解：． [理解应用] (1)化简：； (2)若是的小数部分，化简 (3)化简： 23．（10分）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 24．（12分）如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点．    (1)求出直线的函数表达式； (2)是轴上一点，若，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，，判断的形状并说明理由． 25．（12分）如图1，在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：相交于点，与x轴交于点，直线与x轴交于点C． (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)如图2，点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． ①求线段的长度； ②当点E落在y轴上时，求点E的坐标； ③若为直角三角形，请直接写出满足条件的点D的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年八年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大：第一章勾股定理 15%+第二章实数 14%+第三章位置与坐标 7%+第四章一次函 数 37%+第五章二元一次方程 16%+第六章数据的分析 11%。 5．难度系数： 0.75。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的） 1．下列二次根式中，最简二次根式的是( ) A． 18 B． 8 C． 10 D． 1 2 2．下列不能判定△ ABC是直角三角形的是（ ） A．a2＋b2－c2＝0 B．a∶b∶c＝3 4 5∶ ∶ C．∠A∶∠B∶∠C＝3：4 5∶ D．∠A＋∠B＝∠C 3．“杂交水稻之父”袁隆平培有的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的 长势，从稻田中随机抽取 7 株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：23，24，23，25，26，23，25．则 这组数据的众数和中位数分别是（ ） A．23，25 B．23，24 C．24，24 D．24，25 4．若点  1 1, 2P a  和  2 3, 1P b  关于 x轴对称，则  2024a b 的值为（ ） A． 20243 B．1 C． 20243 D． 20245 5．一个两位数的十位数字与个位数字的和是 8，把这个两位数加上 18，结果恰好成为数字对调后组成的两 位数，求这个两位数．设个位数字为 x，十位数字为 y ，所列方程组正确的是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A． 8 18 x y xy yx      B． 8 10 18 10 x y x y x y        C． 8 10 18 x y x y yx       D．   8 10 x y x y yx      6．已知点  14, y ，  22, y 都在直线 3y x   上，则 1y 与 2y 的大小关系为（ ） A． 1 2y y B． 1 2y y C． 1 2y y D．无法确定 7．方程组 2 3 x y k x y k       的解适合方程 x+y＝2，则 k值为( ) A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣ 1 2 8．甲、乙两车从 A地出发，沿同一路线驶向 B地．甲车先出发匀速驶向 B地，40min 后，乙车出发，匀速 行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时．由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50km / h，结 果与甲车同时到达 B地．甲乙两车距 A地的路程  kmy 与乙车行驶时间  hx 之间的函数图象如图所示，则 下列说法：① 4.5a  ；②甲的速度是60km / h ；③乙出发80min追上甲；④乙刚到达货站时，甲距 B地 180km．其中正确的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 9．如图，在Rt ABC△ 中， 90B  ，AD平分 BAC ，DE垂直平分 AC，若 3AB  ，则DE的值为（ ） A． 3 3 B． 3 C．1 D． 2 3 3 10．《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如图，直线 1l ： 1 1 2 y x  与 y 轴交于点A ，过 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 点A 作 x轴的平行线交直线 2l ：y x 于点 1O ，过点 1O 作 y 轴的平行线交直线 1l 于点 1A，以此类推，令 1OA a ， 1 1 2O A a ，…， 1 1n n nO A a   ，若 1 2 na a a S       对任意大于 1 的整数n恒成立，则S的最小值为（ ） A．1.5 B．1.75 C．1.875 D．2 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分） 11．将直线 y=﹣7x+4 向下平移 3 个单位长度后得到的直线的表达式是 ． 12．某射击队计划从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加射击比赛，在选拔过程中，每人射击10次，计 算他们的平均成绩及方差如表所示：射击队决定依据他们成绩的平均数及稳定性进行选拔，那么被选中的 运动员是 ． 甲 乙 丙 /x 环 9.7 9.6 9.7 2s 0.095 0.032 0.023 13．如图，直线 3y x   与 y mx n  交点的横坐标为1，则关于 x、 y 的二元一次方程组 3 y mx n y x       的解 为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 14．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B、C的坐标分别为 (1,1) 、(4,1)、(2,3) ，若直线 y kx 与 ABC 的 三边有两个公共点，则 k的取值范围为 ． 15．如图，长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷 = 𝐵𝐶 = 6，𝐴𝐵 = 𝐶𝐷 = 10．点𝐸为线段𝐷𝐶上的一个动点，△ 𝐴𝐷𝐸与△𝐴𝐷 𝐸关于 直线𝐴𝐸对称，当△ 𝐴𝐷 𝐵为直角三角形时，𝐷𝐸为 三、解答题（本大题共 10 小题，满分 90 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（7 分）计算下列各题： (1) 3 12 2 27  ； (2) 1 18 8 2         ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 17．（7 分）解方程组 (1) 10 2 1 x y x y       ； (2) 2 2 15 5 4 35 x y x y      ． 18．（7 分）如图，在平面直角坐标系 xOy中， ABC 三个顶点的坐标分别为      0 2 2 0 5 3A B C，， ，， ， ． (1)画出 ABC 关于 y 轴对称的 1 1 1ABC△ ，写出 1C 的坐标______； (2)计算： ABC 的面积是______； (3)若点P为 y 轴上一动点，使得 PB PC 的值最小，直接写出点 P的坐标______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 19．（8 分）某商场计划购进 A，B两种服装共 100 件，这两种服装的进价、售价如表所示： 价格 类型 进价(元/件) 售价(元/件) A 30 45 B 50 70 (1)若商场预计进货用 3500 元，则这两种服装各购进多少件? (2)若商场规定 A种服装进货不少于 50 件，应该怎样进货才能使商场销售完这批货时获利最多？此时利润为 多少元? 20．（8 分）甲、乙两车从 A城出发匀速行驶至 B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开 A城的距离 y（千 米）与甲车行驶的时间 t（小时）之间的函数关系如图所示： (1)甲车出发 小时后，乙车才出发； (2)甲车的速度为 km/h ，乙车的速度为 km/h ； (3)请直接写出乙车对应函数的关系式 ； (4)甲、乙两车经过 小时后第一次相遇． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 21．（9 分）毛泽东主席曾亲笔题词号召全国人民“向雷锋同志学习”，“雷锋精神”激励着一代又一代中国人．今 年3月5号，某校团委组织全校学生开展“学习雷锋精神，爱心捐款活动”，活动结束后对本次活动的捐款抽 取了样本进行了统计，制作了下面的统计表，根据统计表回答下面的问题： (1)本次共抽取了______名学生的捐款； (2)补全条形统计图； (3)本次抽取样本学生捐款的众数是______元，中位数是______元； (4)求本次抽取样本学生捐款的平均金额． 22．（10 分）[阅读材料]把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．通常把分子、 分母同时乘以同一个不等于 0 的数，以达到化去分母中根号的目的． 例如：化简 1 3 2 ．解： 1 1 ( 3 2) 3 2 3 2 ( 3 2)( 3 2)         ． [理解应用] (1)化简： 2 5 3 ； (2)若 a是 6 的小数部分，化简 2 a (3)化简： 1 1 1 1 3 1 5 3 7 5 2023 2021          原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 23．（10 分）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离 分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下， 数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知0 1x  ，求  221 1 1x x    的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为 21 x 和  21 1 x  的线 段，将代数求和转化为线段．．．．．．．．求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为 1 的正方形 ABCD，P为BC边上的动点．设 BP x ，则 1PC x  ．则  221 1 1x x     ______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知0 1x  ，求  221 1 1x x    的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，求 2 29 12 37x x x    的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 24．（12 分）如图，直线 1 1 : 2 2 l y x  和直线 2l 与 x轴分别相交于 ,A B两点，且两直线相交于点C，直线 2l 与 y 轴相交于点  0, 4 , 2D OA OB  ． (1)求出直线 2l 的函数表达式； (2)E是 x轴上一点，若 2ABC BCES S  ，求点E的坐标； (3)若F 是直线 1l 上方且位于 y 轴上一点， 2ACF CAO   ，判断 BCF 的形状并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 25．（12 分）如图 1，在同一平面直角坐标系中，直线 AB： 2y x b  与直线 AC： 3y kx  相交于点  4A m， ， 与 x轴交于点  4 0B  ， ，直线 AC与 x轴交于点 C． (1)填空：b  ，m  ， k  ； (2)如图 2，点 D为线段BC上一动点，将 ACD 沿直线 AD翻折得到 AED△ ，线段 AE交 x轴于点 F． ①求线段 AE的长度； ②当点 E落在 y轴上时，求点 E的坐标； ③若 DEF 为直角三角形，请直接写出满足条件的点 D的坐标．