第一章 有理数（单元专项）

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 有理数 第一单元专项提升 考点 1 有理数相关概念辨析及简单应用 1．（17-18七年级上·江苏泰州·期末）对于任何有理数 a ，下列各式中一定为负数的是 模块一 章节思维导图 模块二 章节重难点考察 考点 1.有理数相关概念辨析及简单应用 考点 2.数轴相关综合考察 考点 3.绝对值的非负性考察 【高效学】有学习视频哦 考点 4.绝对值的几何意义考察 【高效学】有学习视频哦 模块导航 章节思维导图 章节重难点考察 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 （ ） A．  3 a   B． 1a  C． 1a  D． a 2.（22-23七年级上·福建龙岩·阶段练习）已知 ,a b为有理数，且 0, 0,a b a b   ，则 , , ,a b a b  的大小顺序是（ ） A．b a a b     B． a a b b     C． a b a b     D． b a a b     3.（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）下列说法错误的有（ ） ①绝对值是它本身的数是正数；②任何有理数都有倒数；③有理数分为正有理数和负有理 数；④在数轴上 7与 9之间的有理数是 8；⑤数轴上表示 a 的点一定在原点的左边． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（21-22七年级上·湖南长沙·期末）下列结论：①若 a b ，那么 2 2a b ；②若 a b ， 那么 a b ；③若 a b ，那么 2 2a b ；④若 2 2a b ，那么 a b ；⑤ a b a b   ，则 0ab  ，其 中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）若 a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的 绝对值为 2． (1)直接写出a b ______，cd  ____，m  ____． (2)求 bmm cd a    的值． 考点 2 数轴相关综合考察 1．（20-21七年级上·山东滨州·期中）在数轴上，到表示﹣1的点的距离等于 6的点表 示的数是 ． 2．（15-16七年级上·山东临沂·阶段练习）将一刻度尺如图所示放在数轴上（数轴的单 位长度是 1cm），数轴上的两点 A、B恰好与刻度尺上的“0cm”和“7cm”分别对应，若 点 A表示的数为﹣2.3，则点 B表示的数应为 ． 3．（23-24七年级上·山东德州·期中）有理数 a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面 式子中正确的是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ① 0b a  ；② | | | |b a ；③ 0ab  ；④ a b a b   ． A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 4．（2024七年级上·江苏·专题练习）操作与探索： (1)如图，写出数轴上点 A，B，C，D表示的数． (2)请你自己画出数轴并表示有理数： 5 2  ，3． (3)如图，观察数轴，回答下列问题： ①大于 3 并且小于 3的整数有哪几个？ ②在数轴上表示到 1 的点的距离等于 2个单位长度的点表示的数是什么？ 考点 3 绝对值的非负性考察 1．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）已知有理数 x， y 满足  23 2 0x y    ，则代 数式  2023x y 的值为 ． 2．（2022七年级上·浙江·专题练习）若 3 1 2 0x y z y x y       ，则 x  ， y  ， z  ． 3．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知 a为有理数，则 2 4a   的最小值为 ． 考点 4 绝对值的几何意义考察 1．（2024六年级下·上海·专题练习）求 | 2 | | 7 |x x   的最小值是 ． 2．（23-24六年级上·山东烟台·期中）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有数 数 0表示的点）的距离，叫做这个有理数的绝对值例如： 2 2 0  ，它表示数轴上有理数 2 表示的点到原点 0的距离，从数轴上容易发现，有理数 2表示的点到原点 0的距离是 2个 单位长度，即 2 2 0 2   （如图 1）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 同样的，数轴上表示 m和表示 n的两个有理数之间的距离可以用 m n 来表示．例如：数轴 上表示 3 的点到表示 2的点的距离用 3 2  表示，从数轴上容易发现，表示-3的点到表示 2 的点的距离是 5个单位长度，即 3 2 5   （如图 2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方 法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： 任务一： 请根据以上阅读列式并计算（不必在卷面上画数轴）：数轴上表示 2的点和表示 7 的点之 间的距离； 任务二： 根据绝对值的意义求字母的值： （1）若 3 2x   ，求 x 所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“ 3 2x   ”指数轴上表示 x 的点到表示 3的点的距离是 2个单位长度， x 表示的有理数是______． （2）若 1 4x   ，求 x 所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“ 1 4x   ”指数轴上表示 x 的点到表示_______的点的距离是 4个单位 长度， x 表示的有理数是______． 任务三： 设点 P在数轴上表示的有理数是 x ，借助数轴解答下列问题： （1）当 x 取哪些有理数时， 4 1x x   的值最小？最小值是多少？ （2）若 4 1 8x x    ，求 x 所表示的有理数； （3）若 2 3 0x x    ，求 x 所表示的有理数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 有理数 第一单元专项提升 考点 1 有理数相关概念辨析及简单应用 1．【答案】B 模块一 章节思维导图 模块二 章节重难点考察 考点 1.有理数相关概念辨析及简单应用 考点 2.数轴相关综合考察 考点 3.绝对值的非负性考察 【高效学】有学习视频哦 考点 4.绝对值的几何意义考察 【高效学】有学习视频哦 模块导航 章节思维导图 章节重难点考察 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 【分析】根据正负数的定义、非负数的性质来一一判断即可． 【详解】解：A．  3 3a a     ，当 3a  时，  3 0a    ，故此选项不符合题意； B．在 1a  中，无论 a取何值， a 为非正数，非正数加一个负数仍为负数，故此选项符合 题意； C．在 1a  中，当 1a   时， 1 0a   ，故此选项不符合题意； D．在 a 中，当 0a  时 0a  ， a 都不是负数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了正负数的定义、绝对值、非负数的性质，关键要掌握这些定义与性质． 2.【答案】A 【分析】根据 0a  ， 0b  ， | |a b ，推出 0a  ， 0b  ， b a  ， a b  ，即可得出答案． 【详解】解： 0a  ， 0b  ， | |a b ， 0a  ， 0b  ， b a  ， a b  ， 即b a a b     ． 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数和有理数的大小比较的应用，关键是能根据已知得出 0a  ， 0b  ， b a  ， a b  ，题型较好，但是一道比较容易出错的题目． 3.【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值和倒数的定义，有理数的分类，有理数与数轴等等，熟知 相关知识是解题的关键． 【详解】解：①绝对值是它本身的数是正数和 0，原说法错误； ②任何有理数（0除外）都有倒数，原说法错误； ③有理数分为正有理数，负有理数和 0，原说法错误； ④在数轴上 7与 9之间的有理数有无数个，原说法错误； ⑤数轴上表示 a 的点不一定在原点的左边，例如 1a   时， 1a  在原点右边，原说法错误． ∴说法错误的有 5个， 故选：D． 4．【答案】A 【分析】举出符合已知条件的反例，求出后判断即可． 【详解】解：①当 3 3a b  ， 时， a b ，此时 2 2a b ，故①说法错误； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 ②当 3 2a b   ， 时， a b ，此时 a b ，故②说法错误； ③若 a b ，那么 2 2a b ，此说法正确； ④当 3 2a b   ， 时， 2 2a b ，此时 a b ，故④说法错误；； ⑤当 0a b  时，即 0ab  ，此时 a b a b   ，故⑤说法错误；； 所以，正确的绪论有 1个 故选：A 【点睛】本题考查了绝对值，有理数的大小等知识点的应用，是一道比较容易出错的题目． 5．【答案】(1)0，1， 2 ； (2)3或-1 【分析】（1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值即可； （2）把各自的值代入原式计算即可求出值． 【详解】（1）∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为 2， ∴ 0a b  ， 1cd  ， 2m   ， 故答案为：0，1， 2 ； （2）当 2m  时，原式 02 1 3 2     ； 当 2m   时，原式 02 1 1 2        ， 则原式的值为 3或-1． 【点睛】此题考查了相反数、倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 考点 2 数轴相关综合考察 1．【答案】﹣7或 5． 【分析】结合数轴进行求解，从表示-1的点向左向右分两种情况分别计算，即可得出结果． 【详解】在﹣1的左边时，表示﹣1的点到-7的距离等于 6， 在﹣1的右边时，表示﹣1的点到 5的距离等于 6， 所以，表示的数是﹣7或 5． 故答案为：﹣7或 5． 【点睛】本题考查数轴，数轴上点的距离，解题的关键是明确数轴的特点，知道到一个点 的距离相等的点有两个．结合数轴进行求解，从表示-1的点向左用减法，向右用加法分别 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 计算． 2．【答案】4.7． 【分析】根据两点间的距离关系可得结果. 【详解】向右数到表示﹣2.3的点的距离等于 7的点表示的数是 4.7， 故答案为 4.7． 【点睛】考点：数轴．理解数轴意义是关键. 3．【答案】B 【分析】本题考查了数轴，学会根据点在数轴上的位置来判断数的正负以及代数式的值的 符号． 在数轴上，右边的数总大于左边的数．原点右边的表示正数，原点左边的表示负数． 【详解】解：①根据图示知， 0b a  ，故①正确； ②根据图示知， | | | |b a ，故②错误； ③根据图示知， 0b  、 0a  ，则 0ab  ．故③错误； ④根据图示知， 0b a  ， | | | |b a ，则 0a b > ， 0a b+ < ，所以 a b a b   ．故④正确． 综上所述，正确的结论是①④． 故选：B． 4．【答案】(1) 3, 1.5,0, 2  (2)见解析 (3)① 2, 1,0,1, 2  ；② 3 ，1 【分析】本题考查数轴、有理数，关键是能利用数轴表示各数的大小． （1）根据数轴的知识，准确的读出数轴上的点 A、B、C、D表示的数； （2）根据数轴上数的特点，原点左边的点表示的是负数，原点右边的点表示的是正数，准 确的画出数值 5 2  ，3在数轴上的位置； （3）①根据数轴的知识，从数轴上找到大于 3 并且小于 3的整数；②到表示 1 的点的距 离等于 2个单位长度的点可能在 1 的左边也可能在 1 的右边，从而找到这些点表示的数． 【详解】（1）解：A、B、C、D表示的数分别是 3, 1.5,0, 2  ； （2）解：如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 （3）解：①由数轴得，大于 3 并且小于 3的整数有 5个： 2, 1,0,1, 2  ； ②在数轴上到表示到 1 的点的距离等于 2个单位长度的点表示的数是 1 2 3    ； 1 2 1   ． 考点 3 绝对值的非负性考察 1．【答案】1 【分析】本题主要考查了代数式求值、绝对值和偶次方的非负性．根据绝对值和偶次方的 非负性求得 x、y的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵  23 2 0x y    ， ∴ 3 0x   ， 2 0y   ， ∴ 3x  ， 2y  ， ∴    2023 2023 20233 2 1 1x y     ． 故答案为：1． 2．【答案】 1 2 /0.5 1 16  【分析】直接根据绝对值的非负性求解即可. 【详解】解：∵ | 3 | | 1 | | 2 | 0x y z y x y       ， ∴ | 3 | 0.x y z   ， | 1 | 0y   ， | 2 | 0x y  ， ∴ 1 0y   ， 2 0x y  ， 3 0.x y z   ， ∴ 1y  ， 1 2 x  ， 1 6 z   ， 故答案为： 1 2 ，1， 16  ． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握若 a为有理数，则有 0a  是解答本题的关 键． 3．【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的 绝对值是它的相反数，0的绝对值是 0．根据绝对值的非负性即可解答． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 【详解】解：∵ 2 0a   ， ∴ 2 4 4a    ， ∴ 2 4a   的最小值为 4， 故答案为：4． 考点 4 绝对值的几何意义考察 1．【答案】5 【分析】本题主要考查绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相 反数；0的绝对值是0．注意当 x的值不明确时，要分情况讨论是解题的关键． 根据绝对值均大于等于0的性质，对 x的大小进行分情况讨论，去掉绝对值后，再进行比较 大小，再求最小值． 【详解】解：当 2x  时，原代数式2 7 9 2x x x     ①； 当2 7x  时，原代数式 2 7 5x x    ②； 当 7x  时，原代数式 2 7 2 9x x x     ③； 据以上可得 ① ②，且 ③ ②； 所以当2 7x  时，原代数式取得最小值为5， 故答案为：5． 2．【答案】任务一：数轴上表示 2的点和表示 7 的点之间的距离为 9个单位长度；任务二： （1）1或 5；（2） 1 ；3或 5 ；任务三：（1） x 取 1 与 4之间（包含 1 和 4）的有理数 时， 4x  + 1x  的值最小；最小值是 5；（2） x 所表示的有理数是 2.5 或5.5；（3） x 所表 示的有理数的值是 0.5 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离的求法，以及相反数和绝对值的含义和求法， 熟练掌握数形结合是解题关键． 任务一，阅读：数轴上表示 m和表示 n的两个有理数之间的距离可以用 m n 表示， 2m  7n   ，可求出． 任务二∶（1）数轴上表示 x的点到表示 3的点的距离是 2个单位长度， x 有两个值；（2） 数轴上表示必的点到表示 1 的点的距离是 4个单位长度，必有两个值，计算即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 任务三∶（1） 4 1x x   指数轴上表示必的点到表示 4和 1 的两点的距离的和； （2） 4 1 8x x    指数轴上表示 x的点到表示 4和 1 的两点的距离的和等于 8；(3) 2 3 0x x    指数轴上表示必的点到表示 2和-3的两点的距离相等． 【详解】任务一： | 2 ( 7) | | 2 7 | | 9 | 9      ， 所以，数轴上表示 2的点和表示 7 的点之间的距离为 9个单位长度； 任务二： （1） | 3 | 2x   ， 数轴上表示 x 的点到表示 3的点的距离是 2个单位长度， 3 2 5x    ， 3 2 1x    ， 故答案为：1或 5 （2） | 1 | 4x   ， 数轴上表示 x 的点到表示-1的点的距离是 4个单位长度， 1 4 3x     ， 1 4 5x      ， 故答案为： 1 ；3或 5 任务三： （1） 4 1x x   指数轴上表示 x 的点到表示 4和 1 的两点的距离和，  x 取 1 与 4之间（包含 1 和 4）， 4 1x x   的值最小； 最小值是 4 1 4 1 5x x x x        ； （2）①当点 P在 1 和 4之间时， 4 1 4 1 5x x x x         ， ∴点 P表示的数不在 1 和 4之间， ②当点 P在 1 左边时， (8 5) 2 1.5  ， 1 1.5 2.5    ， ③当点 P在 4右边时， (8 5) 2 1.5  ， 4 1.5 5.5  ， 所以 x 的值是 2.5 或5.5， （3） 2 3 0x x    即数轴上点 P到 2表示的点的距离与到 3 表示的点的距离相等， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 2到 3 的距离是 5个单位长度， 5 2 2.5  ， 3 2.5 0.5    ， 所以 x 的值是 0.5 ．