13.3.1等腰三角形 课件 2024—2025学年人教版八年级数学上册

13.3等腰三角形 第1课时 等腰三角形 学习目标 1.理解并掌握等腰三角形的性质 2.运用等腰三角形的性质进行证明和计算 3.观察等腰三角形的对称性，发展形象思维 4.理解并掌握等腰三角形的判定方法 5.运用等腰三角形的判定进行证明和计算 2 一、按角分类 复习：三角形的分类 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 二、按边分类 三边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 3 定义：等腰三角形 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 111 4 复习：轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线即折痕所在的直线就是它的对称轴 ∠A= ∠B 5 性质：等腰三角形 等腰三角形两个底角相等（简写成“等边对等角”） ∵AC=BC ∴∠A= ∠B 111 6 性质：等腰三角形 等腰三角形两个底角相等（简写成“等边对等角”） 作ab边的中线cd，∴ad=bd 在△acd和△bcd中， ∵ac=bc，ad=bd，cd=cd ∴△acd≌△bcd（sss） ∴∠A= ∠B 111 7 性质：等腰三角形 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（“三线合一”） 作ab边的高线cd，∴ab⊥cd 即∠adc=∠bdc=90° 在rt△acd和rt△bcd中， ∵ac=bc，cd=cd ∴rt△acd≌rt△bcd（hl） ∴∠A= ∠B 8 等腰三角形的三线合一 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（“三线合一”） 作ab边的高线cd，…… 得rt△acd≌rt△bcd（hl） ∴∠Acd= ∠Bcd（顶角平分线） ad=bd（底边中线） 9 等腰三角形的三线合一 作ab边的中线cd，…… 得△acd≌△bcd（sss） ∴∠Acd= ∠Bcd（顶角平分线） ∠adc=∠bdc=90° 即ab⊥cd（底边高） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（“三线合一”） 111 10 等腰三角形的三线合一 作∠acb的角平分线cd，…… 得△acd≌△bcd（sas） ∴ad=bd（底边中线） ∠adc=∠bdc=90° 即ab⊥cd（底边高） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（“三线合一”） 对称轴！！！ 对称轴 11 小结 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形两个底角相等（简写成“等边对等角”） （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（“三线合一”） 12 例题 1.等腰三角形一个内角的度数为80°，求它的底角的度数. 2.等腰三角形一个内角的度数为100°，求它的底角的度数. 一个三角形中最多只有一个钝角或直角 答案： 1.80°或50° 2.40° 13 判定：等腰三角形 已知∠a=∠b，求证：ac=bc 我们知道如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等，反过来如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 作∠acb的角平分线cd， ∴∠Acd= ∠Bcd 在△acd和△bcd中， ∵∠a=∠b，∠Acd= ∠Bcd，cd=cd ∴△acd≌△bcd（aas） ∴ac=bc，即△abc是等腰三角形 作高也可以！！！ 对称轴 14 判定：等腰三角形 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） ∵∠A= ∠B ∴AC=BC 对称轴 15 判定：等腰三角形 已知ab⊥cd，ad=bd，∠Acd= ∠Bcd 求证：ac=bc 那“三线合一”反过来也成立吗？ 易证△acd≌△bcd ∴ac=bc 或者 ∵cd是线段ab的垂直平分线， ∴ac=bc 对称轴 16 判定：等腰三角形 “三线合一”反过来成立，那只知道二线呢？ 已知ab⊥cd，ad=bd，求证：ac=bc ∵cd是线段ab的垂直平分线， ∴ac=bc 对称轴 17 判定：等腰三角形 “三线合一”反过来成立，那只知道二线呢？ 已知ab⊥cd，∠Acd= ∠Bcd 求证：ac=bc 在△acd和△bcd中， ∵∠Acd= ∠Bcd，cd=cd，∠adc=∠bdc=90° ∴△acd≌△bcd（asa） ∴ac=bc 对称轴 18 判定：等腰三角形 “三线合一”反过来成立，那只知道二线呢？ 已知ad=bd，∠Acd= ∠Bcd 求证：ac=bc 对称轴 19 判定：等腰三角形 “三线合一”反过来成立，那只知道二线呢？ 已知ad=bd，∠Acd= ∠Bcd 求证：ac=bc 延长cd到e，使de=cd，连接be 易证△acd≌△bed（sas） ∴ac=be，∠acd=∠bed ∵∠Acd= ∠Bcd ∴∠Acd= ∠Bcd=∠bed ∴bc=be（等角对等边） ∴ac=bc 对称轴 20 判定：等腰三角形 在一个三角形中一边上的高、中线和这边所对角的平分线中有任意两条互相重合，那么这个三角形也是等腰三角形 两线合一即可证明是等腰三角形 对称轴 21 小结 等腰三角形的判定 （1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） （2）在一个三角形中一边上的高、中线和这边所对角的平分线中有任意两条互相重合，那么这个三角形也是等腰三角形 22 例题 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形 已知∠1=∠2，且cd//ab，求证：ac=bc 证明： ∵cd//ab，∴∠1=∠a，∠2=∠b ∵∠1=∠2，∴∠a=∠b ∴ac=bc 23 例题 求证：等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边 已知ac=bc，∠1=∠2，求证：cd//ab 证明： ∵ac=bc，∴∠a=∠b ∴∠ecb=∠a+∠b=2∠a=2∠b（外角性质） ∵∠ecb=∠1+∠2，且∠1=∠2 ∴∠ecb=2∠1=2∠2 ∴∠1=∠a=∠2=∠b ∴cd//ab 24 例题 如图，△abc中，ab=ac，d在bc上，且bd=ad，dc=ac，求∠b的度数. 解：∵ab=ac，bd=ad，dc=ac ∴∠b=∠c，∠b=∠bad，∠cad=∠cda 设∠b=x，所以∠c=∠b=∠bad=x 所以∠cda=∠b+∠bad=2x 所以∠cad=∠cda=2x 在△adc中，∠cad+∠cda+∠c=180° 即2x+2x+x=180°，解得x=36° 即∠b=36 ° 25 感谢聆听 $$