第五单元平行四边形和梯形·思维素养篇【从课内到奥数】-2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

1 / 9 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 11 月 5 日 2 / 9 目 录 【课内精选一】平行与垂直（一） ........................................................................................ 3 【课内精选二】平行与垂直（二） ........................................................................................ 3 【课内精选三】平行四边形和梯形（一） ............................................................................ 4 【课内精选四】平行四边形和梯形（二） ............................................................................ 5 【奥数拓展一】点到直线的距离 ............................................................................................ 6 【奥数拓展二】平行线之间的距离 ........................................................................................ 7 【奥数拓展三】平行四边形 .................................................................................................... 8 【奥数拓展四】直角梯形和等腰梯形 .................................................................................... 9 3 / 9 2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列 第五单元平行四边形和梯形·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】平行与垂直（一）。 下面几组直线中，互相平行的有( )，互相垂直的有( )。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【专项训练】 1．黑板左右两条边互相( )，下面的边和左边的边互相( )。 2．下面图形中，有( )组线段互相平行，( )组线段互相垂直。 3．下图中直线 a与 c互相( )，记作( )；直线 a与 b互相( )， 记作( )。 【课内精选二】平行与垂直（二）。 过 O点画射线 AB的平行线。 4 / 9 【专项训练】 1．点 A为顶点画一个 55°的角，并经过点 B画出这个角其中一条边的垂线。 2．先经过点 A画已知直线 b的垂线段，然后再经过点 A画已知直线 b的平行线。 3．从张村修一条小路与公路连接，如何修才能使小路最短，请在图上画出来。 【课内精选三】平行四边形和梯形（一）。 只有( )对边平行的四边形叫做梯形，两组对边分别( )的四边形 叫做( )。 【专项训练】 1．用四根木条钉成一个四边形，轻轻一拉，这个四边形容易( )，说明 四边形具有( )性。 2．如图，将一个三角形与一个长方形叠放在一起，在这个图形中，一共可以找 出( )个梯形。 5 / 9 3．如下图，将一张长 9厘米，宽 6厘米的长方形纸和一张三角形纸交叉摆放， 重叠部分（四边形）是一个( )形，它的高是( )厘米。已知∠1＝ 80°，那么∠2＝( )°。 【课内精选四】平行四边形和梯形（二）。 用一条长 80厘米的铁丝围一个平行四边形，已知其中一条边的长度 16厘米，与 它相邻的一条边的长是( )厘米，如果把这条铁丝围成一个上底与下底之 和是 26厘米的等腰梯形，这个梯形的腰长是( )厘米。 【专项训练】 1．一个活动长方形木框的长是 8分米，宽是 5分米，将长方形木框拉成平行四 边形后，平行四边形的周长是( )分米。 2．用两个完全相等的等腰梯形拼成一个平行四边形（如图）其中一个等腰梯形 的周长是( )厘米。 3．一个等腰梯形的上底是 9厘米，下底是 5厘米，一条腰长是 7厘米，围成这 个梯形至少要( )厘米铁丝。 6 / 9 【奥数拓展一】点到直线的距离。 长方形内有一中心点，它到各边的距离分别是 5厘米与 6厘米，这个长方形的面 积是多少平方厘米? 【专项训练】 1. 如图，如果 C点到圆直径 AB的距离是 2厘米，那么在圆周上还能找到多少 个点，使得它们到圆直径 AB的距离也是 2厘米?请在图上画一画。 2. 一个长方形，周长为 44厘米，对角线的交点到短边的距离比到长边的距离远 6厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米? 3. 正方形内有一点，它到各边的距离分别是 11厘米、12厘米、13厘米与 14厘 米，这个正方形的周长是多少厘米?面积是多少平方厘米? 7 / 9 【奥数拓展二】平行线之间的距离。 一张纸上有三条直线，分别是直线 a、b、c，已知 a//b，b//c，并且直线 a与直线 b之间的距离为 2厘米，直线 b与直线 c之间的距离为 5厘米，那么直线 a与直 线 c之间的距离是多少厘米呢? 【专项训练】 1. 图中大、小两个正方形的对角线分别长 10厘米与 6厘米，两条对角线之间的 距离是多少厘米? 2. 一张纸上有三条直线，分别是直线 a、b、c，已知 a//b，b//c，并且直线 a 与 直线 b之间的距离为 7厘米，直线 b与直线 c之间的距离为 4厘米，那么直线 a 与直线 c之间的距离是多少厘米? 3. 一组平行线之间的距离为 1米，在它们之间等距离画了 4条直线，分别与它 们互相平行，相邻两条平行线之间的距离是多少? 8 / 9 【奥数拓展三】平行四边形。 在平行四边形 ABCD中，AB长 12厘米，BC长 5厘米，图中甲、乙、丙、丁四 个平行四边形的周长总和是多少厘米? 【专项训练】 1. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB长 16厘米，BC 长 9厘米，编号为①～ ⑨的九个平行四边形的周长总和是多少厘米? 2. 在下图的平行四边形中画两条线段，最多可以形成几个平行四边形? 3. 用两个同样大小的直角三角形，最多可以拼成几种不同的平行四边形? 9 / 9 【奥数拓展四】直角梯形和等腰梯形。 在一张长方形纸片上剪一刀，能否剪出一个等腰梯形与两个直角梯形?如果可以 的话，该怎样剪? 【专项训练】 1. 一个直角梯形，上底为 2厘米，一腰长为 10厘米，如果把它的上底增加 6厘 米，就变成一个正方形，这个梯形的周长是多少厘米? 2. 下图是由 9个小等边三角形构成的大三角形，其中共有多少个等腰梯形? 3. 如图 1是三条边都相等的等边三角形，用多少个这样的等边三角形可以拼成 如图 2所示的等腰梯形。 1 / 15 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让 学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力， 老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”， 苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节 编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点 进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的 奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》 主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到 核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝 贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 11 月 5 日 2 / 15 目 录 【课内精选一】平行与垂直（一） ........................................................................................ 3 【课内精选二】平行与垂直（二） ........................................................................................ 4 【课内精选三】平行四边形和梯形（一） ............................................................................ 7 【课内精选四】平行四边形和梯形（二） ............................................................................ 8 【奥数拓展一】点到直线的距离 .......................................................................................... 11 【奥数拓展二】平行线之间的距离 ...................................................................................... 12 【奥数拓展三】平行四边形 .................................................................................................. 13 【奥数拓展四】直角梯形和等腰梯形 .................................................................................. 14 3 / 15 2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列 第五单元平行四边形和梯形·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】平行与垂直（一）。 下面几组直线中，互相平行的有( )，互相垂直的有( )。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【答案】 ①⑥ ③ 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条 直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。同一平面内不相交的两条直线互相平 行，其中一条直线是另一条直线的平行线。据此解答即可。 【详解】互相平行的有（ ①⑥），互相垂直的有（③）。 【点睛】熟练掌握平行和垂直的特征是解决本题的关键。 【专项训练】 1．黑板左右两条边互相( )，下面的边和左边的边互相( )。 【答案】 平行 垂直 【分析】黑板的形状是长方形，根据长方形的特征：相对的两组对边分别平行且 相等，相邻两边互相垂直；解答即可。 【详解】黑板左右两条边互相（平行），下面的边和左边的边互相（垂直）。 【点睛】熟悉长方形的特征是解答此题的关键。 2．下面图形中，有( )组线段互相平行，( )组线段互相垂直。 4 / 15 【答案】 2/两/二 4/四 【分析】同一平面内，永不相交的两条直线互相平行，相交成直角的两条直线互 相垂直。 【详解】根据图上可知，有 2组线段互相平行，有 4组线段互相垂直。 【点睛】本题考查了学生对平行和垂直的掌握与运用。 3．下图中直线 a与 c互相( )，记作( )；直线 a与 b互相( )， 记作( )。 【答案】 垂直 a c 平行 a b∥ 【分析】在同一平面内两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直 线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足；同一平面内永不相交的 两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；并用它们的表现形式表 示出来即可。 【详解】根据题意可知：图中直线 a与 c互相垂直，记作 a c 或c a ；直线 a 与 b互相平行，记作a b∥ 或b a∥ 。 【点睛】熟练掌握平行与垂直的特点是解答此题的关键。 【课内精选二】平行与垂直（二）。 过 O点画射线 AB的平行线。 【答案】见详解 【分析】过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与 已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直 5 / 15 尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即 可。 【详解】画图如下： 【点睛】此题考查的是过直线外一点画平行线，熟练掌握平行的特点是解答此题 的关键。 【专项训练】 1．点 A为顶点画一个 55°的角，并经过点 B画出这个角其中一条边的垂线。 【答案】见详解 【分析】先以 A点为端点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0° 刻度线和射线重合，然后在量角器 55°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射 线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；依此画图并标上对应的度数即 可。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角 板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂 线，依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】画图如下： 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握用量角器画角的方法，以及过一点作已知 6 / 15 直线的垂线的方法。 2．先经过点 A画已知直线 b的垂线段，然后再经过点 A画已知直线 b的平行线。 【答案】见详解 【分析】过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线 滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的 直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线 重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三 角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。 【详解】画图如下： 【点睛】此题考查的是过直线外一点作垂线、画平行线，熟练掌握垂直与平行的 特点是解答此题的关键。 3．从张村修一条小路与公路连接，如何修才能使小路最短，请在图上画出来。 【答案】见详解 【分析】直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以只要作出张 村到公路的垂线段，这条垂线段就是通往对面的公路最近的小路，据此解答。 【详解】如下图： 7 / 15 【点睛】本题考查的是对垂线段最短的理解及应用。 【课内精选三】平行四边形和梯形（一）。 只有( )对边平行的四边形叫做梯形，两组对边分别( )的四边形 叫做( )。 【答案】 一组 平行 平行四边形 【详解】只有一组对边平行的四边形叫做梯形，两组对边分别平行的四边形叫做 平行四边形。如下图所示： 【专项训练】 1．用四根木条钉成一个四边形，轻轻一拉，这个四边形容易( )，说明 四边形具有( )性。 【答案】 变形 不稳定 【分析】四边形易变形，具有不稳定性，人们在实际生活有很多应用，例如伸缩 门、升降机、衣帽架等，据此即可解答。 【详解】用四根木条钉成一个四边形，轻轻一拉，这个四边形容易变形，说明四 边形具有 不稳定性。 【点睛】本题主要考查学生对四边形的特征及性质的掌握和灵活运用。 2．如图，将一个三角形与一个长方形叠放在一起，在这个图形中，一共可以找 出( )个梯形。 8 / 15 【答案】5 【分析】梯形是只有一组对边平行的四边形，结合题图可知，要求的梯形中平行 的一组对边是长方形的一组长边，可知一共有 5个梯形。据此解答。 【详解】由分析得： 一共可以找出 5个梯形。 【点睛】熟练掌握梯形的特征是解决本题的关键。 3．如下图，将一张长 9厘米，宽 6厘米的长方形纸和一张三角形纸交叉摆放， 重叠部分（四边形）是一个( )形，它的高是( )厘米。已知∠1＝ 80°，那么∠2＝( )°。 【答案】 梯形 6 100 【分析】观察上图可知，长方形的对边平行，所以重叠部分有一组对边平行，另 一组对边是三角形两条边上的一部分，这组对边不平行，长方形的宽与梯形的高 相等；∠1与∠2组成的是一个平角，∠2等于 180度减∠1；据此即可解答。 【详解】∠2＝180°－∠1＝180°－80°＝100° 将一张长 9厘米，宽 6厘米的长方形纸和一张三角形纸交叉摆放，重叠部分（四 边形）是一个梯形形，它的高是 6厘米。 【点睛】本题主要考查学生对角的分类、梯形的概念及特征的掌握。 【课内精选四】平行四边形和梯形（二）。 用一条长 80厘米的铁丝围一个平行四边形，已知其中一条边的长度 16厘米，与 它相邻的一条边的长是( )厘米，如果把这条铁丝围成一个上底与下底之 和是 26厘米的等腰梯形，这个梯形的腰长是( )厘米。 【答案】 24 27 【分析】①根据平行四边形的特征可知：相邻的两边之后等于周长的一半；用铁 丝的长度除以 2，再减去已知边的长度，即可求出邻边的长度； 9 / 15 ②根据等腰梯形的两腰长度相等，用铁丝的长度减去上底和下底之和，再除以 2， 即可求出这个梯形的腰的长度；据此解答。 【详解】根据分析： ①80÷2－16 ＝40－16 ＝24（厘米） 所以用一条长80厘米的铁丝围一个平行四边形，已知其中一条边的长度16厘米， 与它相邻的一条边的长是 24厘米； ②（80－26）÷2 ＝54÷2 ＝27（厘米） 所以如果把这条铁丝围成一个上底与下底之和是 26厘米的等腰梯形，这个梯形 的腰长是 27厘米。 【点睛】本题考查平行四边形和等腰梯形的周长的认识；理解题意，找出边与周 长的关系是解决本题的关键。 【专项训练】 1．一个活动长方形木框的长是 8分米，宽是 5分米，将长方形木框拉成平行四 边形后，平行四边形的周长是( )分米。 【答案】26 【分析】将长方形木框拉成平行四边形后，长方形四条边的长度不变，则平行四 边形的周长等于长方形的周长；长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据即可解 答。 【详解】（8＋5）×2 ＝13×2 ＝26（分米） 平行四边形的周长是 26分米。 【点睛】解答本题的关键是明确平行四边形的周长等于长方形的周长。 2．用两个完全相等的等腰梯形拼成一个平行四边形（如图）其中一个等腰梯形 的周长是( )厘米。 10 / 15 【答案】18 【分析】梯形的上、下底之和等于平行四边形的底边，是 8厘米，梯形的腰是平 行四边形的另一条边，是 5厘米。据此解答。 【详解】8＋5＋5 ＝13＋5 ＝18（厘米） 用两个完全相等的等腰梯形拼成一个平行四边形（如图）其中一个等腰梯形的周 长是（18）厘米。 【点睛】熟记等腰梯形和平行四边形特征是解题关键。 3．一个等腰梯形的上底是 9厘米，下底是 5厘米，一条腰长是 7厘米，围成这 个梯形至少要( )厘米铁丝。 【答案】28 【分析】根据题意可知，需要铁丝的长度等于这个等腰梯形的周长，等腰梯形的 两腰相等，因此等腰梯形的周长＝上底＋下底＋腰长×2，依此计算出这个等腰梯 形的周长即可。 【详解】9＋5＋7×2 ＝14＋14 ＝28（厘米） 围成这个梯形至少要 28厘米铁丝。 【点睛】此题考查的是梯形的周长的计算，熟练掌握等腰梯形的特点，是解答此 题的关键。 11 / 15 【奥数拓展一】点到直线的距离。 长方形内有一中心点，它到各边的距离分别是 5厘米与 6厘米，这个长方形的面 积是多少平方厘米? 解析： 长方形内有一点，它到各边的距离分别是 5厘米、6厘米、5厘米与 6厘米，首 先要找到这个点，这个点一定位于长方形的中心，由此我们可以知道长方形长与 宽 的 尺 寸 分 别 是 6×2=12( 厘 米 ) ， 5×2=10( 厘 米 ) ， 长 方 形 面 积 =(6×2)×(5×2)=12×10=120(平方厘米) 答：这个长方形的面积是 120平方厘米。 【专项训练】 1. 如图，如果 C点到圆直径 AB的距离是 2厘米，那么在圆周上还能找到多少 个点，使得它们到圆直径 AB的距离也是 2厘米?请在图上画一画。 解析： 如图所示，3个点 2. 一个长方形，周长为 44厘米，对角线的交点到短边的距离比到长边的距离远 6厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米? 解析： (44÷2－6×2)÷2=5(厘米) 12 / 15 22－5=17(厘米) 5×17=85(平方厘米) 3. 正方形内有一点，它到各边的距离分别是 11厘米、12厘米、13厘米与 14厘 米，这个正方形的周长是多少厘米?面积是多少平方厘米? 解析： 11+14=12+13=25(厘米) 正方形周长=25×4=100(厘米) 正方形面积=25×25=625(平方厘米) 【奥数拓展二】平行线之间的距离。 一张纸上有三条直线，分别是直线 a、b、c，已知 a//b，b//c，并且直线 a与直线 b之间的距离为 2厘米，直线 b与直线 c之间的距离为 5厘米，那么直线 a与直 线 c之间的距离是多少厘米呢? 解析： 直线 a与直线 c之间的距离的长短要看三条直线的位置关系，如果直线 b位于直 线 a与直线 c之间，那么直线 a与直线 c之间的距离是 5+2=7(厘米)，如果直线 a位于直线 b与直线 c之间，那么直线 a与直线 c之间的距离是 5－2=3(厘米)。 【专项训练】 1. 图中大、小两个正方形的对角线分别长 10厘米与 6厘米，两条对角线之间的 距离是多少厘米? 解析： 如下图，大正方形的两条对角线互相垂直平分，两条对角线之间的距离为 10÷ 2=5(厘米)。 13 / 15 2. 一张纸上有三条直线，分别是直线 a、b、c，已知 a//b，b//c，并且直线 a 与 直线 b之间的距离为 7厘米，直线 b与直线 c之间的距离为 4厘米，那么直线 a 与直线 c之间的距离是多少厘米? 解析：11厘米或 3厘米。 3. 一组平行线之间的距离为 1米，在它们之间等距离画了 4条直线，分别与它 们互相平行，相邻两条平行线之间的距离是多少? 解析：1米=100厘米，100÷5=20(厘米) 【奥数拓展三】平行四边形。 在平行四边形 ABCD中，AB长 12厘米，BC长 5厘米，图中甲、乙、丙、丁四 个平行四边形的周长总和是多少厘米? 解析： 我们可以将甲、乙、丙、丁四个平行四边形分为两组来计算它们的周长总和，将 甲、丁两个平行四边形看作一组，通过平移，可以发现甲、丁两个平行四边形的 周长之和等于平行四边形 ABCD 的周长，是(12+5)×2=34(厘米)；同理，乙、丙 两个平行四边形的周长之和也等于平行四边形 ABCD的周长，所以甲、乙、丙、 丁四个平行四边形的周长总和是 34×2=68(厘米)。 【专项训练】 1. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AB长 16厘米，BC 长 9厘米，编号为①～ ⑨的九个平行四边形的周长总和是多少厘米? 解析： 平行四边形①、⑤、⑨的周长之和=平行四边形②、⑥、⑦的周长之和=平行四 14 / 15 边形③、④、⑧的周长之和=平行四边形 ABCD的周长，所以编号为①～⑨的九 个平行四边形的周长总和是(16+9)×2×3=150(厘米)。 2. 在下图的平行四边形中画两条线段，最多可以形成几个平行四边形? 解析： 如图所示，9个。 3. 用两个同样大小的直角三角形，最多可以拼成几种不同的平行四边形? 解析： 如图所示，3种。 【奥数拓展四】直角梯形和等腰梯形。 在一张长方形纸片上剪一刀，能否剪出一个等腰梯形与两个直角梯形?如果可以 的话，该怎样剪? 解析： 如图所示， 15 / 15 【专项训练】 1. 一个直角梯形，上底为 2厘米，一腰长为 10厘米，如果把它的上底增加 6厘 米，就变成一个正方形，这个梯形的周长是多少厘米? 解析： 梯形的下底为 2+6=8(厘米)，上底延长 6厘米后，组成边长为 8厘米的正方形， 梯形的周长是 2+8+8+10=28(厘米)，如图所示： 2. 下图是由 9个小等边三角形构成的大三角形，其中共有多少个等腰梯形? 解析：18个。 3. 如图 1是三条边都相等的等边三角形，用多少个这样的等边三角形可以拼成 如图 2所示的等腰梯形。 解析： 图 2的等腰梯形可以划分成 5个边长是 3的等边三角形，每个边长是 3的等边三 角形由 9 个边长为 1 的小等边三角形组成，所以图 2 的等腰梯形由 9×5=45(个) 边长为 1的等边三角形组成。 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年11月5日 目 录 【课内精选一】平行与垂直（一） 3 【课内精选二】平行与垂直（二） 3 【课内精选三】平行四边形和梯形（一） 4 【课内精选四】平行四边形和梯形（二） 5 【奥数拓展一】点到直线的距离 6 【奥数拓展二】平行线之间的距离 7 【奥数拓展三】平行四边形 8 【奥数拓展四】直角梯形和等腰梯形 9 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列 第五单元平行四边形和梯形·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】平行与垂直（一）。 下面几组直线中，互相平行的有( )，互相垂直的有( )。 ①②③④⑤⑥ 【专项训练】 1．黑板左右两条边互相( )，下面的边和左边的边互相( )。 2．下面图形中，有( )组线段互相平行，( )组线段互相垂直。 3．下图中直线a与c互相( )，记作( )；直线a与b互相( )，记作( )。 【课内精选二】平行与垂直（二）。 过O点画射线AB的平行线。    【专项训练】 1．点A为顶点画一个55°的角，并经过点B画出这个角其中一条边的垂线。    2．先经过点A画已知直线b的垂线段，然后再经过点A画已知直线b的平行线。 3．从张村修一条小路与公路连接，如何修才能使小路最短，请在图上画出来。      【课内精选三】平行四边形和梯形（一）。 只有( )对边平行的四边形叫做梯形，两组对边分别( )的四边形叫做( )。 【专项训练】 1．用四根木条钉成一个四边形，轻轻一拉，这个四边形容易( )，说明四边形具有( )性。 2．如图，将一个三角形与一个长方形叠放在一起，在这个图形中，一共可以找出( )个梯形。 3．如下图，将一张长9厘米，宽6厘米的长方形纸和一张三角形纸交叉摆放，重叠部分（四边形）是一个( )形，它的高是( )厘米。已知∠1＝80°，那么∠2＝( )°。 【课内精选四】平行四边形和梯形（二）。 用一条长80厘米的铁丝围一个平行四边形，已知其中一条边的长度16厘米，与它相邻的一条边的长是( )厘米，如果把这条铁丝围成一个上底与下底之和是26厘米的等腰梯形，这个梯形的腰长是( )厘米。 【专项训练】 1．一个活动长方形木框的长是8分米，宽是5分米，将长方形木框拉成平行四边形后，平行四边形的周长是( )分米。 2．用两个完全相等的等腰梯形拼成一个平行四边形（如图）其中一个等腰梯形的周长是( )厘米。 3．一个等腰梯形的上底是9厘米，下底是5厘米，一条腰长是7厘米，围成这个梯形至少要( )厘米铁丝。 【奥数拓展一】点到直线的距离。 长方形内有一中心点，它到各边的距离分别是5厘米与6厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米? 【专项训练】 1. 如图，如果C点到圆直径AB的距离是2厘米，那么在圆周上还能找到多少个点，使得它们到圆直径AB的距离也是2厘米?请在图上画一画。 2. 一个长方形，周长为44厘米，对角线的交点到短边的距离比到长边的距离远6厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米? 3. 正方形内有一点，它到各边的距离分别是11厘米、12厘米、13厘米与14厘米，这个正方形的周长是多少厘米?面积是多少平方厘米? 【奥数拓展二】平行线之间的距离。 一张纸上有三条直线，分别是直线a、b、c，已知a//b，b//c，并且直线a与直线b之间的距离为2厘米，直线b与直线c之间的距离为5厘米，那么直线a与直线c之间的距离是多少厘米呢? 【专项训练】 1. 图中大、小两个正方形的对角线分别长10厘米与6厘米，两条对角线之间的距离是多少厘米? 2. 一张纸上有三条直线，分别是直线a、b、c，已知a//b，b//c，并且直线a与直线b之间的距离为7厘米，直线b与直线c之间的距离为4厘米，那么直线a与直线c之间的距离是多少厘米? 3. 一组平行线之间的距离为1米，在它们之间等距离画了4条直线，分别与它们互相平行，相邻两条平行线之间的距离是多少? 【奥数拓展三】平行四边形。 在平行四边形ABCD中，AB长12厘米，BC长5厘米，图中甲、乙、丙、丁四个平行四边形的周长总和是多少厘米? 【专项训练】 1. 如图，在平行四边形ABCD中，AB长16厘米，BC长9厘米，编号为①～⑨的九个平行四边形的周长总和是多少厘米? 2. 在下图的平行四边形中画两条线段，最多可以形成几个平行四边形? 3. 用两个同样大小的直角三角形，最多可以拼成几种不同的平行四边形? 【奥数拓展四】直角梯形和等腰梯形。 在一张长方形纸片上剪一刀，能否剪出一个等腰梯形与两个直角梯形?如果可以的话，该怎样剪? 【专项训练】 1. 一个直角梯形，上底为2厘米，一腰长为10厘米，如果把它的上底增加6厘米，就变成一个正方形，这个梯形的周长是多少厘米? 2. 下图是由9个小等边三角形构成的大三角形，其中共有多少个等腰梯形? 3. 如图1是三条边都相等的等边三角形，用多少个这样的等边三角形可以拼成如图2所示的等腰梯形。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 有人坚信：“奥数能培养和提高学生的思维能力，所以一定要让学生学习奥数。”但也有人认为：“奥数难度太大，学生学起来吃力，老师教起来麻烦。”事实上，奥数离我们很近，人教版的“数学广角”，苏教版的“解决问题的策略”，北师大版的“数学好玩”，这些章节编排的数学思考题都带有一定的思维性，每学期也会作为期末必考点进行考察。从实际情况出发，绝大部分同学其实不需要涉猎高难度的奥数内容，那么“浅奥”，就是值得我们修炼的内容了。 《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列·思维素养篇》主要分为三种专题，即从课内到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年11月5日 目 录 【课内精选一】平行与垂直（一） 3 【课内精选二】平行与垂直（二） 4 【课内精选三】平行四边形和梯形（一） 7 【课内精选四】平行四边形和梯形（二） 8 【奥数拓展一】点到直线的距离 11 【奥数拓展二】平行线之间的距离 12 【奥数拓展三】平行四边形 13 【奥数拓展四】直角梯形和等腰梯形 14 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列 第五单元平行四边形和梯形·思维素养篇【从课内到奥数】 【课内精选一】平行与垂直（一）。 下面几组直线中，互相平行的有( )，互相垂直的有( )。 ①②③④⑤⑥ 【答案】 ①⑥ ③ 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。据此解答即可。 【详解】互相平行的有（ ①⑥），互相垂直的有（③）。 【点睛】熟练掌握平行和垂直的特征是解决本题的关键。 【专项训练】 1．黑板左右两条边互相( )，下面的边和左边的边互相( )。 【答案】 平行 垂直 【分析】黑板的形状是长方形，根据长方形的特征：相对的两组对边分别平行且相等，相邻两边互相垂直；解答即可。 【详解】黑板左右两条边互相（平行），下面的边和左边的边互相（垂直）。 【点睛】熟悉长方形的特征是解答此题的关键。 2．下面图形中，有( )组线段互相平行，( )组线段互相垂直。 【答案】 2/两/二 4/四 【分析】同一平面内，永不相交的两条直线互相平行，相交成直角的两条直线互相垂直。 【详解】根据图上可知，有2组线段互相平行，有4组线段互相垂直。 【点睛】本题考查了学生对平行和垂直的掌握与运用。 3．下图中直线a与c互相( )，记作( )；直线a与b互相( )，记作( )。 【答案】 垂直 平行 【分析】在同一平面内两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足；同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；并用它们的表现形式表示出来即可。 【详解】根据题意可知：图中直线a与c互相垂直，记作或；直线a与b互相平行，记作或。 【点睛】熟练掌握平行与垂直的特点是解答此题的关键。 【课内精选二】平行与垂直（二）。 过O点画射线AB的平行线。    【答案】见详解 【分析】过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。 【详解】画图如下： 【点睛】此题考查的是过直线外一点画平行线，熟练掌握平行的特点是解答此题的关键。 【专项训练】 1．点A为顶点画一个55°的角，并经过点B画出这个角其中一条边的垂线。    【答案】见详解 【分析】先以A点为端点画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器55°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；依此画图并标上对应的度数即可。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 【详解】画图如下： 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握用量角器画角的方法，以及过一点作已知直线的垂线的方法。 2．先经过点A画已知直线b的垂线段，然后再经过点A画已知直线b的平行线。 【答案】见详解 【分析】过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。 【详解】画图如下：     【点睛】此题考查的是过直线外一点作垂线、画平行线，熟练掌握垂直与平行的特点是解答此题的关键。 3．从张村修一条小路与公路连接，如何修才能使小路最短，请在图上画出来。      【答案】见详解 【分析】直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以只要作出张村到公路的垂线段，这条垂线段就是通往对面的公路最近的小路，据此解答。 【详解】如下图： 【点睛】本题考查的是对垂线段最短的理解及应用。 【课内精选三】平行四边形和梯形（一）。 只有( )对边平行的四边形叫做梯形，两组对边分别( )的四边形叫做( )。 【答案】 一组 平行 平行四边形 【详解】只有一组对边平行的四边形叫做梯形，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。如下图所示： 【专项训练】 1．用四根木条钉成一个四边形，轻轻一拉，这个四边形容易( )，说明四边形具有( )性。 【答案】 变形 不稳定 【分析】四边形易变形，具有不稳定性，人们在实际生活有很多应用，例如伸缩门、升降机、衣帽架等，据此即可解答。 【详解】用四根木条钉成一个四边形，轻轻一拉，这个四边形容易变形，说明四边形具有 不稳定性。 【点睛】本题主要考查学生对四边形的特征及性质的掌握和灵活运用。 2．如图，将一个三角形与一个长方形叠放在一起，在这个图形中，一共可以找出( )个梯形。 【答案】5 【分析】梯形是只有一组对边平行的四边形，结合题图可知，要求的梯形中平行的一组对边是长方形的一组长边，可知一共有5个梯形。据此解答。 【详解】由分析得： 一共可以找出5个梯形。 【点睛】熟练掌握梯形的特征是解决本题的关键。 3．如下图，将一张长9厘米，宽6厘米的长方形纸和一张三角形纸交叉摆放，重叠部分（四边形）是一个( )形，它的高是( )厘米。已知∠1＝80°，那么∠2＝( )°。 【答案】 梯形 6 100 【分析】观察上图可知，长方形的对边平行，所以重叠部分有一组对边平行，另一组对边是三角形两条边上的一部分，这组对边不平行，长方形的宽与梯形的高相等；∠1与∠2组成的是一个平角，∠2等于180度减∠1；据此即可解答。 【详解】∠2＝180°－∠1＝180°－80°＝100° 将一张长9厘米，宽6厘米的长方形纸和一张三角形纸交叉摆放，重叠部分（四边形）是一个梯形形，它的高是6厘米。 【点睛】本题主要考查学生对角的分类、梯形的概念及特征的掌握。 【课内精选四】平行四边形和梯形（二）。 用一条长80厘米的铁丝围一个平行四边形，已知其中一条边的长度16厘米，与它相邻的一条边的长是( )厘米，如果把这条铁丝围成一个上底与下底之和是26厘米的等腰梯形，这个梯形的腰长是( )厘米。 【答案】 24 27 【分析】①根据平行四边形的特征可知：相邻的两边之后等于周长的一半；用铁丝的长度除以2，再减去已知边的长度，即可求出邻边的长度； ②根据等腰梯形的两腰长度相等，用铁丝的长度减去上底和下底之和，再除以2，即可求出这个梯形的腰的长度；据此解答。 【详解】根据分析： ①80÷2－16 ＝40－16 ＝24（厘米） 所以用一条长80厘米的铁丝围一个平行四边形，已知其中一条边的长度16厘米，与它相邻的一条边的长是24厘米； ②（80－26）÷2 ＝54÷2 ＝27（厘米） 所以如果把这条铁丝围成一个上底与下底之和是26厘米的等腰梯形，这个梯形的腰长是27厘米。 【点睛】本题考查平行四边形和等腰梯形的周长的认识；理解题意，找出边与周长的关系是解决本题的关键。 【专项训练】 1．一个活动长方形木框的长是8分米，宽是5分米，将长方形木框拉成平行四边形后，平行四边形的周长是( )分米。 【答案】26 【分析】将长方形木框拉成平行四边形后，长方形四条边的长度不变，则平行四边形的周长等于长方形的周长；长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据即可解答。 【详解】（8＋5）×2 ＝13×2 ＝26（分米） 平行四边形的周长是26分米。 【点睛】解答本题的关键是明确平行四边形的周长等于长方形的周长。 2．用两个完全相等的等腰梯形拼成一个平行四边形（如图）其中一个等腰梯形的周长是( )厘米。 【答案】18 【分析】梯形的上、下底之和等于平行四边形的底边，是8厘米，梯形的腰是平行四边形的另一条边，是5厘米。据此解答。 【详解】8＋5＋5 ＝13＋5 ＝18（厘米） 用两个完全相等的等腰梯形拼成一个平行四边形（如图）其中一个等腰梯形的周长是（18）厘米。 【点睛】熟记等腰梯形和平行四边形特征是解题关键。 3．一个等腰梯形的上底是9厘米，下底是5厘米，一条腰长是7厘米，围成这个梯形至少要( )厘米铁丝。 【答案】28 【分析】根据题意可知，需要铁丝的长度等于这个等腰梯形的周长，等腰梯形的两腰相等，因此等腰梯形的周长＝上底＋下底＋腰长×2，依此计算出这个等腰梯形的周长即可。 【详解】9＋5＋7×2 ＝14＋14 ＝28（厘米） 围成这个梯形至少要28厘米铁丝。 【点睛】此题考查的是梯形的周长的计算，熟练掌握等腰梯形的特点，是解答此题的关键。 【奥数拓展一】点到直线的距离。 长方形内有一中心点，它到各边的距离分别是5厘米与6厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米? 解析： 长方形内有一点，它到各边的距离分别是5厘米、6厘米、5厘米与6厘米，首先要找到这个点，这个点一定位于长方形的中心，由此我们可以知道长方形长与宽的尺寸分别是6×2=12(厘米)，5×2=10(厘米)，长方形面积=(6×2)×(5×2)=12×10=120(平方厘米) 答：这个长方形的面积是120平方厘米。 【专项训练】 1. 如图，如果C点到圆直径AB的距离是2厘米，那么在圆周上还能找到多少个点，使得它们到圆直径AB的距离也是2厘米?请在图上画一画。 解析： 如图所示，3个点 2. 一个长方形，周长为44厘米，对角线的交点到短边的距离比到长边的距离远6厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米? 解析： (44÷2－6×2)÷2=5(厘米) 22－5=17(厘米) 5×17=85(平方厘米) 3. 正方形内有一点，它到各边的距离分别是11厘米、12厘米、13厘米与14厘米，这个正方形的周长是多少厘米?面积是多少平方厘米? 解析： 11+14=12+13=25(厘米) 正方形周长=25×4=100(厘米) 正方形面积=25×25=625(平方厘米) 【奥数拓展二】平行线之间的距离。 一张纸上有三条直线，分别是直线a、b、c，已知a//b，b//c，并且直线a与直线b之间的距离为2厘米，直线b与直线c之间的距离为5厘米，那么直线a与直线c之间的距离是多少厘米呢? 解析： 直线a与直线c之间的距离的长短要看三条直线的位置关系，如果直线b位于直线a与直线c之间，那么直线a与直线c之间的距离是5+2=7(厘米)，如果直线a位于直线b与直线c之间，那么直线a与直线c之间的距离是5－2=3(厘米)。 【专项训练】 1. 图中大、小两个正方形的对角线分别长10厘米与6厘米，两条对角线之间的距离是多少厘米? 解析： 如下图，大正方形的两条对角线互相垂直平分，两条对角线之间的距离为10÷2=5(厘米)。 2. 一张纸上有三条直线，分别是直线a、b、c，已知a//b，b//c，并且直线a与直线b之间的距离为7厘米，直线b与直线c之间的距离为4厘米，那么直线a与直线c之间的距离是多少厘米? 解析：11厘米或3厘米。 3. 一组平行线之间的距离为1米，在它们之间等距离画了4条直线，分别与它们互相平行，相邻两条平行线之间的距离是多少? 解析：1米=100厘米，100÷5=20(厘米) 【奥数拓展三】平行四边形。 在平行四边形ABCD中，AB长12厘米，BC长5厘米，图中甲、乙、丙、丁四个平行四边形的周长总和是多少厘米? 解析： 我们可以将甲、乙、丙、丁四个平行四边形分为两组来计算它们的周长总和，将甲、丁两个平行四边形看作一组，通过平移，可以发现甲、丁两个平行四边形的周长之和等于平行四边形ABCD的周长，是(12+5)×2=34(厘米)；同理，乙、丙两个平行四边形的周长之和也等于平行四边形ABCD的周长，所以甲、乙、丙、丁四个平行四边形的周长总和是34×2=68(厘米)。 【专项训练】 1. 如图，在平行四边形ABCD中，AB长16厘米，BC长9厘米，编号为①～⑨的九个平行四边形的周长总和是多少厘米? 解析： 平行四边形①、⑤、⑨的周长之和=平行四边形②、⑥、⑦的周长之和=平行四边形③、④、⑧的周长之和=平行四边形ABCD的周长，所以编号为①～⑨的九个平行四边形的周长总和是(16+9)×2×3=150(厘米)。 2. 在下图的平行四边形中画两条线段，最多可以形成几个平行四边形? 解析： 如图所示，9个。 3. 用两个同样大小的直角三角形，最多可以拼成几种不同的平行四边形? 解析： 如图所示，3种。 【奥数拓展四】直角梯形和等腰梯形。 在一张长方形纸片上剪一刀，能否剪出一个等腰梯形与两个直角梯形?如果可以的话，该怎样剪? 解析： 如图所示， 【专项训练】 1. 一个直角梯形，上底为2厘米，一腰长为10厘米，如果把它的上底增加6厘米，就变成一个正方形，这个梯形的周长是多少厘米? 解析： 梯形的下底为2+6=8(厘米)，上底延长6厘米后，组成边长为8厘米的正方形，梯形的周长是2+8+8+10=28(厘米)，如图所示： 2. 下图是由9个小等边三角形构成的大三角形，其中共有多少个等腰梯形? 解析：18个。 3. 如图1是三条边都相等的等边三角形，用多少个这样的等边三角形可以拼成如图2所示的等腰梯形。 解析： 图2的等腰梯形可以划分成5个边长是3的等边三角形，每个边长是3的等边三角形由9个边长为1的小等边三角形组成，所以图2的等腰梯形由9×5=45(个)边长为1的等边三角形组成。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$