第四章 一次函数（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记.巧练（北师大版，贵州专用）

第四章 一次函数（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下面平面直角坐标系中的曲线不表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：、、选项的图象都符合函数的定义，一个对应的值只有一个， 只有选项的图象，一个对应的值不止一个，因而不能表示是的函数． 故选：． 2．关于一次函数，下列说法正确的是　　 A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 【解答】解：、当时，， 一次函数的图象经过点，选项错误，不符合题意； 、由的图象向下平移2个单位长度得到，故选项错误，不合题意 、， 随的增大而减小，选项错误，不符合题意； 、，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项正确，符合题意； 故选：． 3．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是　　 A． B． C． D． 【解答】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断、一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，随的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度不再变化． 故选：． 4．若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【解答】解：一次函数的图象不经过第三象限， 一次函数的图象经过第二、四象限或一次函数的图象经过第一、二、四象限， 当一次函数的图象经过第二、四象限时，则有， 解得：， 当一次函数的图象经过第一、二、四象限时，则有， 解得：， 综上所述，的取值范围是：， 故选：． 5．把一个长为8，宽为3的长方形的宽增加，长不变，所得长方形的面积关于的函数表达式为　　 A． B． C． D． 【解答】解：变化后长方形的宽为，长为8，因此面积， 故选：． 6．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（单位：与所挂的物体的质量（单位：（不超过间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 则下列说法不正确的是　　 A．与都是变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度增加 D．当所挂物体质量为时，弹簧的长度为 【解答】解：．与都是变量，说法正确，故不符合题意； ．弹簧不挂重物时的长度为，原说法错误，故符合题意； ．物体质量每增加，弹簧长度增加，说法正确，故不符合题意； ．当所挂物体质量为时，弹簧的长度为，说法正确，故不符合题意； 故选：． 7．若点，，在一次函数是常数）的图象上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【解答】解：， 随的增大而减小， 又点，，在一次函数是常数）的图象上，且， ． 故选：． 8．一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为　　 A． B． C． D． 【解答】解：、由一次函数图象可知，，则；由正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； 、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 、由一次函数图象可知，；即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项不符合题意； 故选：． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，．若，则直线的函数解析式为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为直线由直线平移得到，且直线的函数解析式为， 所以令直线的函数解析式为． 又因为， 则． 将代入得， ， 所以点坐标为， 所以， 则点坐标为． 将点坐标代入得， ， 所以直线的函数解析式为． 故选：． 10．已知，两地相距40千米，甲、乙两车从地出发沿相同路线，匀速前往地，图中和，分别表示甲、乙两车所行驶的路程（千米）与乙行驶的时间（小时）之间的关系，下列说法正确的是　　 A．乙晚出发1小时 B．甲的速度是12千米小时 C．乙出发2小时后追上甲 D．乙先到达地 【解答】解：经过， 甲晚出发1小时，故错误，不符合题意； （千米小时）， 甲的速度是12千米小时，故正确，符合题意； 由图可知，乙出发3小时与甲相遇，故错误，不符合题意； 甲出发2小时追上乙，此时离地24千米， 甲先到地，故错误； 故选：． 11．甲、乙两人登山，登山的过程中，甲、乙两人距离地面的高度（米与登山时间（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲的登山速度的3倍，并先到达山顶．嘉嘉、淇淇、亮亮根据图象，提出如下看法： 嘉嘉：甲登山的速度是每分钟10米． 淇淇：乙登山5.5分钟时追上甲． 亮亮：当登山时间为4分钟、9分钟、13分钟时，甲、乙两人距离地面的高度差为50米． 对于三人的看法，下列说法正确的是　　 A．嘉嘉对，淇淇、亮亮不对 B．淇淇对，嘉嘉、亮亮不对 C．亮亮对，嘉嘉、淇淇不对 D．嘉嘉、淇淇、亮亮都对 【解答】解：甲登山的速度是（米分钟），故嘉嘉说法正确； 设甲对应的函数关系式为：， 将代入解析式得：， 解得：， 甲对应的函数关系式为：， 由图象可得：当时，， 当时，， 当时，设乙对应的关系式为， 将代入解析式得：， 解得：， 故当时，设乙对应的关系式为， ， 解得：，故淇淇说法错误； 当时， 解得， 当时， 解得， 当时， 解得， 故当登山时间为4分钟、9分钟、15分钟时，甲、乙两人距离地面的高度差为50米．故亮亮说法错误； 故选：． 12．青少年机器人竞赛是一项综合多学科知识和技能的科技活动．如图是某项机器人竞赛的一段比赛轨道示意图，中间部分为圆形，点，，，在同一直线上，，点，所连线段、点，所连线段均为圆的直径，现有两个机器人分别从，两点同时出发，以相同的速度沿着该轨道匀速运动，其路线分别为和．若机器人（看作点）的运动时间为，两机器人之间的距离为，则与关系的图象大致是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从，两点同时出发， 设圆的半径为， 两个机器人最初的距离是， 两个人机器人速度相同， 分别同时到达点，， 两个机器人之间的距离越来越小，故排除，； 当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变， 当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除． 故选：． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．若关于的函数是一次函数，则的值为 　　． 【解答】解：关于的函数是一次函数， ，， 解得：． 故答案为：． 14．在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降．已知某登山大本营所在位置的气温是，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高千米时，所在位置的气温是，那么与的关系式为 　　． 【解答】解：由题意得与之间的函数关系式为：． 故答案为：． 15．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是 　　． 【解答】解：根据题意得：点的纵坐标为7， 把代入，得： ，解得：， 点的坐标为， 一次函数与的图象相交于点， 关于的方程的解是． 故答案为：． 16．甲、乙两车同时从、两地出发，相向而行，甲车到达地后立即返回地，两车离地的距离（单位：与所用时间（单位：之间的函数关系如图所示（粗线表示乙车，细线表示甲车），则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为 　7.5　． 【解答】解：设乙车的速度为 ，则甲车的速度为 ，，两地间的距离为 ， 两车第一次相遇的时间为； 两车第二次相遇的时间为， 甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为． 故答案为：7.5． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．已知正比例函数为常数，且经过点． （1）求该正比例函数的解析式； （2）判断点是否在该正比例函数的图象上． 【解答】解：（1）将点代入， 得，解得， 该正比例函数的解析式为； （2）当时，， 点不在该正比例函数的图象上． 18．已知关于的一次函数． （1）当为何值时，这个函数为正比例函数？ （2）当为何值时，这个函数的值随着值的增大而减小？ （3）若该一次函数的图象经过第一、三、四象限，直接写出的取值范围． 【解答】解：（1）． 函数为正比例函数， ， 解得：， 答：当时，这个函数为正比例函数， （2）一次函数， 函数的值随着值的增大而减小， ， 答：当时，函数的值随着值的增大而减小． （3）一次函数的图象经过第一、三、四象限， ， 解得：， 答：当时，函数的图象经过第一、三、四象限． 19．已知一次函数的图象经过点，． （1）求该一次函数的解析式； （2）已知点，，，在一次函数的图象上，且，直接写出，的大小关系 　　． 【解答】解：（1）将，两点坐标代入得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为． （2）由（1）知， 一次函数的解析式为， 则随的增大而增大． 因为点，，，在一次函数的图象上，且， 所以． 故答案为：． 20．用100米长的篱笆在地上围成一个长方形，当长方形的宽由小到大变化时，长方形的面积也随之发生变化．设长方形的宽为（米，长方形的面积为（平方米）． （1）在这个变化过程中，自变量是 　长方形的宽　，因变量是 　　； （2）求长方形的面积（平方米）与长方形的宽（米之间的关系式； （3）当长方形的宽由1米变化到20米时，长方形面积由（平方米）变化到（平方米），求和的值． 【解答】解：（1）当长方形的宽由小到大变化时，长方形的面积也随之发生变化，在这个变化过程中，自变量是长方形的宽，因变量是长方形的面积； 故答案为：长方形的宽；长方形的面积； （2）由题意得：， 所以长方形的面积（平方米）与长方形的宽（米之间的关系式为． （3）当时，， 当时，． 21．随着电商行业的发展，我国快递市场经历了爆发式增长，通过前期调查，小茗同学了解到快递公司有两种最受欢迎的套餐，调查结果的相关信息如下：套餐：月快递总重量不超过时收费4120元，超重部分2元；套餐：每千克9元，月底结算时按八折收费．设每月快递费用元，每月快递总重量为千克． （1）请分别写出、两种套餐每月快递费用（元与快递总重量（千克）之间的函数关系式； （2）若已知某公司每月邮寄快递超过，根据该公司的实际情况，选择哪种套餐较合算？说明理由． 【解答】解：（1）根据题意，套餐分以下和以上两种情况， ，．， 套餐：． （2）公司每月邮寄快递超过，根据该公司的实际情况， 套餐：． 套餐：． 若时，．解得， 若时，．解得， 若时，．解得， 综上分析，快递总重量是时，套餐价格一样，时套餐便宜，大于时套餐便宜． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴、轴交于点、，直线与轴交于点，点在第四象限，． （1）求直线的解析式； （2）当，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，已知点在轴上，点在直线上．如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出线段的长． 【解答】解：（1）直线分别与轴、轴交于点、， 令，则， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为； （2）如图，过点作轴于点， 直线分别与轴交于点， 令，则，解得：， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 轴， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 点的坐标为； （3）以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①如图，四边形为平行四边形时， 轴，， 点的纵坐标为， 点在直线上， 令，则，解得：， ， ， ； ②如图，四边形为平行四边形时， 同①理可得，，， ， ； ③如图，四边形为平行四边形时， ， ，，设， ，解得 ， 综上可知，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，或． 23．【项目化学习】“浮力与浸水深度之间的关系” 如图是小马同学做物体浮力实验的示意图，下方为盛水的烧杯，上方是由弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，已知该圆柱体的重力为，高度为小马将弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度的数据记录如下： 圆柱体浸入水中的深度 0 1 2 3 4 弹簧测力计示数 12 10.4 8.8 7.2 5.6 （1）请你观察表中数据，利用合适的函数模型求出弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度之间的函数表达式 （2）请你计算出当圆柱体完全浸入水中时，该圆柱体所受浮力的大小；（温馨提示：当圆柱体入水后， （3）已知当圆柱体完全浸入水中之后，浮力大小不变，请你在平面直角坐标系中画出圆柱体浸入水中的深度为的函数图象． 【解答】解：（1）解：由题意，得． 方法二：由题意，与满足一次函数关系， 设与之间的函数表达式为， 把，与，代入，得： ， ， ． （2）由题意，得 当时，， ，， ． 答：当圆柱体完全浸入水中时，圆柱体所受浮力的大小为． （3）根据题意可知当，与是一次函数关系；当，浮力大小不变为，图象是一条平行于轴的线段，因此的函数图象如图所示． 24．小明从学校步行去美术馆，同时小红骑车从美术馆回学校，两人都沿同一条路直线运动，小红回到学校停留三分钟后又以同样的速度去美术馆，小明的速度是80米分钟，如图是两人与学校的距离（米与小明的运动时间（分钟）之间的关系图． （1）学校与美术馆之间的距离为 　1600　米； （2）求小红停留再出发后与的关系式； （3）请直接写出小明和小红在途中相遇时小明的运动时间． 【解答】解：（1）， 学校与美术馆的距离是， 故答案为：1600； （2）由图可得，小红的速度是， 把和代入得， 解得：， 所以小红停留再出发后与的关系式为； （3）小红从美术馆回学校的途中，设分钟时两人相遇， 则， 解得， 小红从学校去美术馆的途中，设分钟时两人相遇， 则， 解得， 所以小明和小红在途中相遇时小明的运动时间是或分钟． 25．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点是，，，，连接． （1）求直线的解析式； （2）若过点作轴于点，交于点，若点是轴正半轴上一动点，且满足，求点的坐标； （3）若直线与相交于点，为平面内任意一点，在轴是否存在点，使得以、、、为顶点且以为边的菱形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设直线的解析式为， ， ， 解得， 直线的解析式为． 故直线的解析式为， （2）当点位于的左侧时，如图，作于点，交于点， ， ， ， ， 点的横坐标为2． ， 点， ， ， 点的坐标为； 同理，在的右侧时，求得， 综上所述，或者， 故点的坐标为或者， （3）设直线直线的解析式为， 由于，在直线上， ， 解得：， 的解析式为：． 联立直线和的解析式： ， 解得：， 与的交点的坐标， 以为边的菱形求得 或 或， 故点坐标为： 或 或． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 一次函数（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下面平面直角坐标系中的曲线不表示是的函数的是　　 A． B． C． D． 2．关于一次函数，下列说法正确的是　　 A．图象过点 B．其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 C．随着的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 3．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是　　 A． B． C． D． 4．若一次函数的图象不经过第三象限，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．把一个长为8，宽为3的长方形的宽增加，长不变，所得长方形的面积关于的函数表达式为　　 A． B． C． D． 6．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度（单位：与所挂的物体的质量（单位：（不超过间有下面的关系： 0 1 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 则下列说法不正确的是　　 A．与都是变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度增加 D．当所挂物体质量为时，弹簧的长度为 7．若点，，在一次函数是常数）的图象上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 8．一次函数与正比例函数在同一坐标系中的图象可能为　　 A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，将直线向左平移后与轴，轴分别交于点，．若，则直线的函数解析式为　　 A． B． C． D． 10．已知，两地相距40千米，甲、乙两车从地出发沿相同路线，匀速前往地，图中和，分别表示甲、乙两车所行驶的路程（千米）与乙行驶的时间（小时）之间的关系，下列说法正确的是　　 A．乙晚出发1小时 B．甲的速度是12千米小时 C．乙出发2小时后追上甲 D．乙先到达地 11．甲、乙两人登山，登山的过程中，甲、乙两人距离地面的高度（米与登山时间（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲的登山速度的3倍，并先到达山顶．嘉嘉、淇淇、亮亮根据图象，提出如下看法： 嘉嘉：甲登山的速度是每分钟10米． 淇淇：乙登山5.5分钟时追上甲． 亮亮：当登山时间为4分钟、9分钟、13分钟时，甲、乙两人距离地面的高度差为50米． 对于三人的看法，下列说法正确的是　　 A．嘉嘉对，淇淇、亮亮不对 B．淇淇对，嘉嘉、亮亮不对 C．亮亮对，嘉嘉、淇淇不对 D．嘉嘉、淇淇、亮亮都对 12．青少年机器人竞赛是一项综合多学科知识和技能的科技活动．如图是某项机器人竞赛的一段比赛轨道示意图，中间部分为圆形，点，，，在同一直线上，，点，所连线段、点，所连线段均为圆的直径，现有两个机器人分别从，两点同时出发，以相同的速度沿着该轨道匀速运动，其路线分别为和．若机器人（看作点）的运动时间为，两机器人之间的距离为，则与关系的图象大致是　　 A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．若关于的函数是一次函数，则的值为 　　． 14．在登山过程中，海拔每升高1千米，气温下降．已知某登山大本营所在位置的气温是，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高千米时，所在位置的气温是，那么与的关系式为 　　． 15．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是 　　． 16．甲、乙两车同时从、两地出发，相向而行，甲车到达地后立即返回地，两车离地的距离（单位：与所用时间（单位：之间的函数关系如图所示（粗线表示乙车，细线表示甲车），则甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为 　　． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）已知正比例函数为常数，且经过点． （1）求该正比例函数的解析式； （2）判断点是否在该正比例函数的图象上． 18．（11）已知关于的一次函数． （1）当为何值时，这个函数为正比例函数？ （2）当为何值时，这个函数的值随着值的增大而减小？ （3）若该一次函数的图象经过第一、三、四象限，直接写出的取值范围． 19．（10分）已知一次函数的图象经过点，． （1）求该一次函数的解析式； （2）已知点，，，在一次函数的图象上，且，直接写出，的大小关系 　　． 20．（10）用100米长的篱笆在地上围成一个长方形，当长方形的宽由小到大变化时，长方形的面积也随之发生变化．设长方形的宽为（米，长方形的面积为（平方米）． （1）在这个变化过程中，自变量是 　　，因变量是 　　； （2）求长方形的面积（平方米）与长方形的宽（米之间的关系式； （3）当长方形的宽由1米变化到20米时，长方形面积由（平方米）变化到（平方米），求和的值． 21．（10分）随着电商行业的发展，我国快递市场经历了爆发式增长，通过前期调查，小茗同学了解到快递公司有两种最受欢迎的套餐，调查结果的相关信息如下：套餐：月快递总重量不超过时收费4120元，超重部分2元；套餐：每千克9元，月底结算时按八折收费．设每月快递费用元，每月快递总重量为千克． （1）请分别写出、两种套餐每月快递费用（元与快递总重量（千克）之间的函数关系式； （2）若已知某公司每月邮寄快递超过，根据该公司的实际情况，选择哪种套餐较合算？说明理由． 22．（11）如图，在平面直角坐标系中，已知直线分别与轴、轴交于点、，直线与轴交于点，点在第四象限，． （1）求直线的解析式； （2）当，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，已知点在轴上，点在直线上．如果以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出线段的长． 23．（12分）【项目化学习】“浮力与浸水深度之间的关系” 如图是小马同学做物体浮力实验的示意图，下方为盛水的烧杯，上方是由弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，已知该圆柱体的重力为，高度为小马将弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度的数据记录如下： 圆柱体浸入水中的深度 0 1 2 3 4 弹簧测力计示数 12 10.4 8.8 7.2 5.6 （1）请你观察表中数据，利用合适的函数模型求出弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度之间的函数表达式 （2）请你计算出当圆柱体完全浸入水中时，该圆柱体所受浮力的大小；（温馨提示：当圆柱体入水后， （3）已知当圆柱体完全浸入水中之后，浮力大小不变，请你在平面直角坐标系中画出圆柱体浸入水中的深度为的函数图象． 24．（12分）小明从学校步行去美术馆，同时小红骑车从美术馆回学校，两人都沿同一条路直线运动，小红回到学校停留三分钟后又以同样的速度去美术馆，小明的速度是80米分钟，如图是两人与学校的距离（米与小明的运动时间（分钟）之间的关系图． （1）学校与美术馆之间的距离为 　　米； （2）求小红停留再出发后与的关系式； （3）请直接写出小明和小红在途中相遇时小明的运动时间． 25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点是，，，，连接． （1）求直线的解析式； （2）若过点作轴于点，交于点，若点是轴正半轴上一动点，且满足，求点的坐标； （3）若直线与相交于点，为平面内任意一点，在轴是否存在点，使得以、、、为顶点且以为边的菱形，若存在，请直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$