（典型例题篇）第五单元平行四边形和梯形【十八大考点】-2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

1 / 28 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 11 月 4 日 2 / 28 2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列 第五单元平行四边形和梯形【十八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第五单元平行四边形和梯形 专题内容 本专题包括平行与垂直的认识及画法、平行四边形和梯形的 认识及应用等内容。 总体评价 讲解建议 本专题细分考点较多，但内容较为基础，建议作为本章核心 内容进行讲解。 考点数量 十八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】平行与垂直 .......................................................................................................4 【考点二】数平行线与垂线 ...............................................................................................7 【考点三】平行与垂直作图其一：作平行线与垂线 .........................................................8 【考点四】平行与垂直作图其二：垂线与最佳路线问题 ................................................. 9 【考点五】平行与垂直作图其三：画指定长、宽（边长）的长方形或正方形 .............11 【考点六】平行四边形和梯形的认识 ..............................................................................12 【考点七】平行四边形的性质 ......................................................................................... 14 【考点八】梯形的分类：等腰梯形和直角梯形 .............................................................. 14 【考点九】作平行四边形和梯形的高 ..............................................................................15 【考点十】画平行四边形和梯形 ..................................................................................... 18 3 / 28 【考点十一】裁剪平行四边形和梯形 ..............................................................................19 【考点十二】在平行线之间画最大的正方形 .................................................................. 20 【考点十三】数平行四边形和梯形 ..................................................................................21 【考点十四】平行四边形的周长及反求问题 .................................................................. 22 【考点十五】平行四边形的拉伸问题 ..............................................................................24 【考点十六】梯形的周长及反求问题 ..............................................................................25 【考点十七】梯形的拼接问题 ......................................................................................... 27 【考点十八】梯形底边的变化问题 ..................................................................................28 4 / 28 【第三篇】典型例题篇 【考点一】平行与垂直。 【方法点拨】 1.同一平面内两条直线的位置关系：（ ）和（ ）两种。 2.平行及其特征。 在同一个平面内（ ）的两条直线叫做（ ）线，也可以说这两条 直线互相（ ）；平行可以用符号“∥”表示，直线 a与 b互相平行，记作 （ ），读作（ ）。 平行线的性质：两条平行线之间的距离处处（ ）。 3.垂直及其特征。 如果两条直线相交成（ ），就说这两条直线互相（ ），其中一 条直线叫做另一条直线的（ ），这两条直线的交点叫做（ ）； 垂直可以用用符号“⊥”表示，直线 a 与 b 互相垂直，记作（ ），读作 （ ）。 【典型例题 1】平行与垂直的表示及特征。 直线 a和直线 b互相平行，记作( )；直线 m和直线 n互相垂直，记作 ( )。 【对应练习 1】 用符号表示下面 a、b两条直线的关系。 5 / 28 a( )b a( )b 【对应练习 2】 在同一平面内，直线 a垂直直线 m，直线 a垂直直线 n，那么直线 m和直线 n( )。 【对应练习 3】 下图中( )垂直于( )，( )是 AB的垂线，可以画( ) 条直线垂直于 AB，经过点 E能画( )条直线垂直于 AB。 【典型例题 2】平行与垂直的认识。 下面各组直线，互相平行的有( )，互相垂直的有( )。 【对应练习1】 下面图形中，互相平行的直线有( )，互相垂直的直线有( ) 。 【对应练习2】 下面是四组直线，根据要求，在括号里填上合适的序号。 两条直线是互相平行的有( )；两条直线是互相垂直的有( )；两 条直线是相交的有( )。 【对应练习3】 如图各组直线 a、b是否互相平行？平行的在括号里画“√”，不平行的画“×”。 6 / 28 ( ) ( ) ( ) ( ) 【典型例题 3】平行与垂直的判断。 下图中，a与 b互相( )，b与 c互相( )，c与 d互相( )。 【对应练习1】 如下图。直线 a和( )互相平行，直线 c和( )互相垂直，o是 ( )。 【对应练习2】 观察图，在括号里填上“⊥”或“∥”。 a( )c b( )c a( )b 【对应练习3】 图 1中，直线 a与直线 b的位置关系是( )，图 2中，直线 c是直线 d的 ( )线；图 3中，线段 AB的长度叫做点 A到直线 e的( )。 7 / 28 【考点二】数平行线与垂线。 【方法点拨】 熟悉平行线和垂线的特征和性质，注意按顺序数数，不要遗漏。 【典型例题】 下图中互相平行的线段有( )组，互相垂直的线段有( )组。 【对应练习 1】 有 4条直线（如图），其中，与直线 c垂直的直线有( )条，与直线 c相 交的直线有( )条。 【对应练习 2】 如图里有( )条线段与 AB垂直，有( )条线段与 CD平行。如图中 一共有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。 【对应练习 3】 图中，有( )组互相平行的线段，有( )组互相垂直的线段。 8 / 28 【考点三】平行与垂直作图其一：作平行线与垂线。 【方法点拨】 1. 过一点作已知直线的垂线： 把三角板的一直角边靠紧直线 l，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过 A 点时，沿这条直角边画的直线就是过 l点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直 符号。 总结：边线重合、平移到点、画线标号。 2. 过直线外一点作已知直线的平行线的方法： 先把三角尺的一条直角边与已知直线 l重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直 角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的A点在三角尺的直角边 上，沿直角边画出另一条直线即可。 总结：边线重合、平移到点、画线标号。 【典型例题】 过 A点作直线 L的垂线，过 B点作直线 L的平行线。 【对应练习 1】 过点 P作 OA的平行线、OB的垂线。 9 / 28 【对应练习 2】 过 O点分别作射线 AB的平行线、AC的垂线。 【对应练习 3】 按要求画图。 （1）过点A画直线 a的平行线b 。 （2）过点A画直线 a的垂线，垂足为 B，并从点 B引一条射线 BC ，使 ABC 的度 数为135。 【考点四】平行与垂直作图其二：垂线与最佳路线问题。 【方法点拨】 边线重合、平移到点、画线标号。 【典型例题】 李爷爷从 A点到对面的河边取水，怎样走才最近呢？请在图中画出来。 10 / 28 【对应练习 1】 小狗和小猫是好朋友，它们打算在两家门口 C和 D之间修一条最近的路，请画 出这条路。如果要从小狗家 D点接一条水管，怎样接用材料最少，请画出来。 【对应练习 2】 直线 m是一条公路，公路的一侧有甲、乙两个村子（如图）。现在要在公路边 建一个公共汽车站，如果想让这两个村子的村民到公共汽车站的路程之和最短， 那么公共汽车站应该建在什么地方？画一画。 【对应练习 3】 小明家附近有一条河。（1）小明家到哪里取水近些？请在图中标出取水的最近 路线。（2）现将沿着这条最近路线修一条水管。已知每米水管售价 36元，如果 图上 1厘米表示实际的距离是 150米，那么小明家要准备多少元？ 11 / 28 【考点五】平行与垂直作图其三：画指定长、宽（边长）的长方 形或正方形。 【方法点拨】 边线重合、平移到点、画线标号。 【典型例题】 画一个长为 4厘米、宽为 10毫米的长方形。 【对应练习 1】 以给出的线段 AB为一条边，画一个正方形。 【对应练习 2】 有一块靠墙的长方形菜地，长 60米，宽 30米，只画出了一部分，请你把它补充 完整。 【对应练习 3】 在下面画出一个长 3厘米、宽 2厘米的长方形和一个边长为 4厘米的正方形。 12 / 28 【考点六】平行四边形和梯形的认识。 【方法点拨】 1. 平行四边形的概念及组成。 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；从平行四边形一条边上的一点向对 边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高；垂足所在的边叫做 平行四边形的底。 2. 梯形的概念及组成。 只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形；在梯形中，互相平行的一组对边分别 是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰；从梯形一条底边上的一点 到它对边的垂直线段叫做梯形的高。。 【典型例题 1】平行四边形和梯形的概念与组成。 写出下面图形各部分的名称。 【对应练习】 写出下面图形各部分的名称。 13 / 28 【典型例题 2】平行四边形和梯形的认识与判断。 分一分，填一填。把下面的图形分类。 平行四边形有( )，梯形有( )。 【对应练习】 将下面的图形按要求分类。（填序号。） 梯形有( )，平行四边形有( )。 【典型例题 3】四边形的分类。 把“长方形”“平行四边形”“梯形”填在合适的位置。 【对应练习】 按要求填空。 （1）在这些图形中，是四边形的有( )，是平行四边形的有( )， 是梯形的有( )。（填序号） 14 / 28 （2）选择合适的位置，把“正方形”“长方形”“梯形”填在下面的关系图中。 【考点七】平行四边形的性质。 【方法点拨】 平行四边形具有不稳定的特性。 【典型例题】 伸缩门就是利用平行四边形( )的特点制作的。 【对应练习 1】 伸缩晾衣架运用了平行四边形( )的特点。 【对应练习 2】 下图是电动推拉门，这是利用了平行四边形的( )。 【对应练习 3】 折叠椅利用了平行四边形的( )性，在不使用时收起来可以节省空间。 【考点八】梯形的分类：等腰梯形和直角梯形。 【方法点拨】 1. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 2. 有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 【典型例题】 15 / 28 如图中，( )是直角梯形，( )是等腰梯形。（填序号） 【对应练习 1】 如图所示四边形 ABCD，如果点 A、点 B、点 D不动，点 C向左滑动到点 A停 止，四边形 ABCD的变化过程是：直角梯形 →( )→( )→( )→( )。（可重复选） A．梯形 B．平行四边形 C．长方形 D．三角形 【对应练习2】 如图，在直角梯形 ABCD中，与 AB互相平行的线段有( )条，与 AC互 相垂直线段的有( )条；图中一共有( )个钝角，( )个直角。 【对应练习3】 如图，已知四边形 ABCD是等腰梯形，用量角器量一量，你发现了什么？ ∠1＝( )，∠2＝( )，∠3＝( )，∠4＝( )。 我发现：等腰梯形同一条底上的两个角的大小( )。梯形四个内角和是 ( )。 【考点九】作平行四边形和梯形的高。 【方法点拨】 1.从平行四边形一条边上的一点向（ ）引一条（ ），这点和垂 16 / 28 足之间的线段叫做平行四边形的（ ）。 2.通过底上的一个点向对边画（ ），这点和垂足之间的线段叫做梯形的 （ ）。 【典型例题 1】高认识与判断。 下面左图中，平行四边形 AB边上的高是( )厘米；下面右图中，梯形的 高是( )厘米。 【对应练习 1】 图中平行四边形底边上的高是( )，梯形的高是( )。 【对应练习 2】 找出下列各图中的底和高。 (1)图一以( )为底，( )是高；以( )为底，( )是高。 (2)图二以 AB为底，( )是高。 【对应练习 3】 找出下列各图中的底和高。 以 BC为底，( )是高。 17 / 28 以 AB为底，( )是高。 【典型例题 2】作高。 画出下面各图形的高，并用文字标出相应的底。 【对应练习 1】 按要求画一画。 分别过点 A画出下面平行四边形和梯形的高。 【对应练习 2】 画出平行四边形和梯形底边上的高。 【对应练习 3】 分别画出下面图形指定底边上的高。 18 / 28 【考点十】画平行四边形和梯形。 【方法点拨】 1. 平行四边形： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 梯形： 只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一 个角是直角的梯形叫做直角梯形。 【典型例题】 在下面的点子图上分别画一个梯形和一个平行四边形，使这两个图形的高相等。 【对应练习 1】 在下面的方格中根据给出的部分补全平行四边形；再在方格中画一个梯形，并画 出它的高。 【对应练习 2】 在下面格子图中先画一个底是 4cm，高是 3cm的平行四边形，再画一个等腰梯 形，并分别作出它们的高。（每个小正方形的边长为 1cm） 19 / 28 【对应练习 3】 请在下面的点子图中画一个平行四边形和一个梯形，并分别画出它们的一条高。 【考点十一】裁剪平行四边形和梯形。 【方法点拨】 熟练掌握平行四边形和梯形的定义和特征。 【典型例题】 我会画。 （1）在平行四边形里画一条线段，使它变成两个梯形。 （2）在梯形里画一条线段，使它变成一个平行四边形和一个三角形。 【对应练习1】 根据要求画图。 （1）在平行四边形和梯形里各画一条线段，把它们分别分割成两个三角形。 （2）在平行四边形和梯形里各画一条线段，把它们分别分割成两个梯形。 （3）在平行四边形和梯形里各画一条线段，把它们分别分割成一个三角形和一 个梯形。 20 / 28 【对应练习2】 按要求在下面的梯形中画一条线段，把梯形分成两个图形。 （1）两个三角形。 （2）两个梯形。 （3）一个长方形和一个三角形。 【对应练习3】 在平行四边形上面画一条线段，使分成的两个图形都是直角梯形。 【考点十二】在平行线之间画最大的正方形。 【方法点拨】 在平行线之间画一个最大的正方形，需要量出平行线之间的距离是多少，以平行 线间的距离为正方形的边长来画正方形。 【典型例题】 21 / 28 用画垂直线段的方法画出两条平行线间最大的正方形。 【对应练习1】 下面是一组平行线，在平行线之间画一个最大的正方形。 【对应练习2】 用画垂线的方法画出两条平行线间最大的正方形。 【对应练习3】 下面是一块被折断的长方形木板，怎样在这块木板上裁出一个面积最大的正方形 木板？（画一画） 【考点十三】数平行四边形和梯形。 【方法点拨】 熟练掌握梯形和平行四边形的定义和特征，按照顺序依次数。 【典型例题】 图中 a∥b，两条平行线之间有( )个梯形，( )个平行四边形。 22 / 28 【对应练习1】 下图中有( )个平行四边形和( )个梯形。 【对应练习2】 观察下图，数一数，填一填。 有( )个平行四边形，有( )个梯形。 【对应练习3】 下图中有( )个平行四边形，有( )个梯形。 【考点十四】平行四边形的周长及反求问题。 【方法点拨】 平行四边形=邻边之和的 2倍。 【典型例题 1】平行四边形的周长。 下图平行四边形的高是( )厘米，周长是( )厘米。 【对应练习 1】 平行四边形相邻两条边的和是 23厘米，那么这个平行四边形的周长是( ) 厘米。 23 / 28 【对应练习2】 平行四边形相邻的两条边分别是 5厘米、4厘米，它的周长是( )。 【对应练习3】 有一块平行四边形的菜地，一条边的长度是 8米，与它相邻的另一条边的长度是 15米，这块菜地的周长是( )米。 【典型例题 2】已知周长，反求边长。 如图，平行四边形ABCD的周长是126厘米，边CD的长是16厘米，那么边AD的 长是( )厘米。 【对应练习 1】 一个平行四边形的周长是 36厘米，其中一条边的长度是 12厘米，与它相邻的另 一条边的长度是( )厘米。 【对应练习 2】 一个平行四边形的周长是 44cm，一条边长是 14cm，邻边长是( )。 【对应练习 3】 一个平行四边形的周长是 80厘米，其中一条边是 30厘米，那么它邻边的长度是 ( )。 【典型例题3】平行四边形周长与实际问题。 王阿姨有一块平行四边形的菜地，这块菜地的一边长 12米，它的邻边比它短 3 米。这块菜地的周长是多少米？ 【对应练习1】 一块平行四边形的菜地，一条边长 48米，比另一条边短 2米。围这块菜地需要 多少米的篱笆？ 24 / 28 【对应练习2】 一个平行四边形的一条边长是 23厘米，它的邻边比它长 6厘米。这个平行四边 形的周长是多少厘米？ 【对应练习3】 一块平行四边形菜地，相邻两边分别是 120米和 80米，现在要在这块菜地的四 周围上篱笆，篱笆至少需要多少米？ 【考点十五】平行四边形的拉伸问题。 【方法点拨】 把长方形拉成平行四边形，周长不变，面积变小。 【典型例题】 用四根吸管串成一个长方形，然后用两手捏住长方形的两个对角，向相反方向拉， ( )不变，( )变了。 【对应练习1】 一个平行四边形的周长是 32cm，其中一条边长是 10cm。把它拉成一个长方形（如 图）这个长方形的宽是( )cm，这个长方形的面积是( )cm2。 【对应练习2】 用细木条钉成一个长方形框，长 12厘米，宽 7厘米，如果把它拉成一个平行四 边形，它的周长是( )厘米。 25 / 28 【对应练习3】 一个平行四边形的每条边的长度相等，周长是 60dm，把它拉动变成一个正方形， 正方形的面积是( )dm²。 【考点十六】梯形的周长及反求问题。 【方法点拨】 梯形的周长=上底+下底+两条腰。 【典型例题1】梯形的周长。 一个等腰梯形上底长 12cm，下底长 30cm，腰长 15cm，这个梯形的周长为 ( )cm。 【对应练习1】 一个等腰梯形的上底是 6厘米，下底是 9厘米，一条腰是 12厘米，这个梯形的 周长是( )。 【对应练习2】 一个等腰梯形上、下底的和是 36厘米，一条腰长 13厘米，这个等腰梯形的周长 是( )厘米。 【对应练习3】 一个等腰梯形的上底是 6厘米，下底是 8厘米，一条腰是 7厘米，围成这个等腰 梯形至少要( )厘米长的铁丝。 【典型例题2】已知梯形周长，反求上底、下底或高。 等腰梯形的周长是 18cm，腰长 3cm，这个梯形的上下底之和是( )cm。 【对应练习1】 明明用 33厘米的铁丝做了一个等腰梯形，它的上底和下底分别是 9厘米和 12 厘米，它的腰是( )厘米。 【对应练习2】 一个等腰梯形的周长 100厘米，上底 17厘米，下底 33厘米，它的一条腰长 ( )厘米。 【对应练习3】 一个等腰梯形，它的周长是 43厘米，上底和下底分别是 5厘米和 8厘米，它的 一条腰长是( )厘米。 26 / 28 【典型例题3】围栏问题。 如图，某农场要在蔬菜种植区的三面围上栅栏（一面是墙）。已知每米栅栏需要 45元，围这三面栅栏需要花多少钱？ 【对应练习1】 如图所示，李大爷沿墙用篱笆围了一个等腰梯形形状的花园，篱笆共长 18米， 则这个花园的一条腰的长是多少米？ 【对应练习2】 墨爷爷打算用篱笆靠墙围一个养鸡场，养鸡场的形状是一个等腰梯形。梯形的上 底是 6米，下底是 15米，腰长是 8米，请问：墨爷爷有几种围法，最少需要篱 笆多少米？ 27 / 28 【对应练习3】 植物园有一个等腰梯形的菊花园（如图），其中一边靠墙，上底是 15米，下底 是 20米，腰是 13米。现在要围上篱笆，篱笆的费用是每米 15元，一共要花多 少钱？ 【考点十七】梯形的拼接问题。 【方法点拨】 梯形的周长=上底+下底+两条腰。 【典型例题1】 两个完全一样的梯形一定可以拼成一个( )形；两个完全一样的直角梯形 可以拼成一个( )形或( )形，也可以拼成一个( )形。 【典型例题 2】 用两个完全相同的等腰梯形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是 100 厘米，已知一个等腰梯形的周长是 60厘米，等腰梯形一条腰的长是( ) 厘米。 【对应练习1】 等腰梯形上、下底分别长 3厘米、5厘米，一条腰长 6厘米。把两个这样的梯形 拼成一个平行四边形，两条不相等的边分别长( )厘米和( )厘米。 【对应练习 2】 如图，等腰梯形的腰长 8厘米，两个完全一样的等腰梯形拼成平行四边形，周长 是 46厘米，梯形周长为( )。 28 / 28 【对应练习3】 把两个完全一样的直角梯形拼成一个长方形（如图），这个直角梯形的周长是 ( )。 【考点十八】梯形底边的变化问题。 【方法点拨】 熟练掌握梯形的定义及特征是解决问题的关键。 【典型例题】 一个等腰梯形的上底是 11厘米，一条腰长为 6厘米，如果将上底延长 2厘米就 成为一个平行四边形，那么这个等腰梯形的下底是( )，围成这个梯形至 少要( )长的绳子。 【对应练习 1】 一个直角梯形的下底是上底的 3倍，如果将上底延长 12厘米，就变成了一个长 方形；这个梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米。 【对应练习 2】 一个梯形，上底是 4厘米，如果将上底延长 3厘米，这个梯形就变成了正方形， 这个梯形的下底是( )厘米，高是( )厘米。 【对应练习 3】 一个梯形上底长度是下底的一半，如果将上底延长 4厘米，这个梯形就变成了平 行四边形，这个梯形的上底是( )厘米。 【对应练习 4】 一个等腰梯形，下底是上底的 3倍，把上底延长 6厘米，恰好变成一个周长 26 厘米的平行四边形，原来梯形的一条腰长( )厘米。 1 / 56 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 11 月 4 日 2 / 56 2024-2025 学年四年级数学上册典型例题系列 第五单元平行四边形和梯形【十八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第五单元平行四边形和梯形 专题内容 本专题包括平行与垂直的认识及画法、平行四边形和梯形的 认识及应用等内容。 总体评价 讲解建议 本专题细分考点较多，但内容较为基础，建议作为本章核心 内容进行讲解。 考点数量 十八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】平行与垂直 .......................................................................................................4 【考点二】数平行线与垂线 ............................................................................................. 10 【考点三】平行与垂直作图其一：作平行线与垂线 .......................................................13 【考点四】平行与垂直作图其二：垂线与最佳路线问题 ............................................... 16 【考点五】平行与垂直作图其三：画指定长、宽（边长）的长方形或正方形 .............20 【考点六】平行四边形和梯形的认识 ..............................................................................22 【考点七】平行四边形的性质 ......................................................................................... 26 【考点八】梯形的分类：等腰梯形和直角梯形 .............................................................. 27 【考点九】作平行四边形和梯形的高 ..............................................................................29 【考点十】画平行四边形和梯形 ..................................................................................... 34 3 / 56 【考点十一】裁剪平行四边形和梯形 ..............................................................................37 【考点十二】在平行线之间画最大的正方形 .................................................................. 40 【考点十三】数平行四边形和梯形 ..................................................................................42 【考点十四】平行四边形的周长及反求问题 .................................................................. 44 【考点十五】平行四边形的拉伸问题 ..............................................................................47 【考点十六】梯形的周长及反求问题 ..............................................................................48 【考点十七】梯形的拼接问题 ......................................................................................... 52 【考点十八】梯形底边的变化问题 ..................................................................................53 4 / 56 【第三篇】典型例题篇 【考点一】平行与垂直。 【方法点拨】 1.同一平面内两条直线的位置关系：（ ）和（ ）两种。 2.平行及其特征。 在同一个平面内（ ）的两条直线叫做（ ）线，也可以说这两条 直线互相（ ）；平行可以用符号“∥”表示，直线 a与 b互相平行，记作 （ ），读作（ ）。 平行线的性质：两条平行线之间的距离处处（ ）。 3.垂直及其特征。 如果两条直线相交成（ ），就说这两条直线互相（ ），其中一 条直线叫做另一条直线的（ ），这两条直线的交点叫做（ ）； 垂直可以用用符号“⊥”表示，直线 a 与 b 互相垂直，记作（ ），读作 （ ）。 【典型例题 1】平行与垂直的表示及特征。 直线 a和直线 b互相平行，记作( )；直线 m和直线 n互相垂直，记作 ( )。 【答案】 a∥b/b∥a m⊥n/n⊥m 【分析】如图： 5 / 56 平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直 线的平行线； 如图： 垂直的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另 一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足； “⊥”是垂直符号，“∥”是平行符号；据此解答。 【详解】根据分析：直线 a和直线 b互相平行，记作 a∥b；直线 m和直线 n互 相垂直，记作 m⊥n。 【对应练习 1】 用符号表示下面 a、b两条直线的关系。 a( )b a( )b 【答案】 ∥ ⊥ 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条 直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。同一平面内不相交的两条直线互相平 行，其中一条直线是另一条直线的平行线。据此解题即可。 【详解】根据分析可知， 6 / 56 【对应练习 2】 在同一平面内，直线 a垂直直线 m，直线 a垂直直线 n，那么直线 m和直线 n( )。 【答案】互相平行 【分析】根据平行的性质：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平 行；由此解答即可。 【详解】在同一平面内，直线 a垂直直线 m，直线 a垂直直线 n，那么直线 m和 直线 n互相平行。 【对应练习 3】 下图中( )垂直于( )，( )是 AB的垂线，可以画( ) 条直线垂直于 AB，经过点 E能画( )条直线垂直于 AB。 【答案】 CD AB CD 无数 1/一 【分析】如果两条直线相交形成的四个角是直角，则这两条直线互相垂直，观察 图可以发现，AB与 CD相交形成的四个角是直角，说明 AB垂直于 CD，或 CD 垂直于 AB，那么 CD是 AB的垂线。根据垂直的性质可知，过直线 AB上任意 一点，都可以画 1条直线与直线 AB垂直，则可以画无数条直线与直线 AB垂直。 在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，所以经过点 E能画 一条直线垂直于 AB。 【详解】由分析可知，图中 CD垂直于 AB，CD是 AB的垂线，可以画无数条直 线垂直于 AB，经过点 E能画 1条直线垂直于 AB。 【典型例题 2】平行与垂直的认识。 下面各组直线，互相平行的有( )，互相垂直的有( )。 7 / 56 【答案】 ②④ ③⑥ 【分析】将两条直线无限延长，有交点的就不平行，没有交点的就是平行的，则 互相平行的只有②④；两条直线相交构成直角的就是互相垂直的，则互相垂直的 有③⑥。 【详解】根据平行和垂直的定义可知，互相平行的只有②④，互相垂直的有③⑥。 【点睛】本题主要考查的是垂直与平行的特征及性质的理解，即可判断是否平行 或垂直，在判断过程中不要漏掉，按顺序判断。 【对应练习1】 下面图形中，互相平行的直线有( )，互相垂直的直线有( ) 。 【答案】 ④ ①⑤ 【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；两条直线相交所成的 四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。既不互相平行也不互 相垂直的两条直线就相交。据此解答即可。 【详解】上面图形中，互相平行的直线有④，互相垂直的直线有①⑤。 【点睛】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。 【对应练习2】 下面是四组直线，根据要求，在括号里填上合适的序号。 两条直线是互相平行的有( )；两条直线是互相垂直的有( )；两 条直线是相交的有( )。 【答案】 （2）、（4） （3） （1）、（3） 【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线 8 / 56 互相平行；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；在同一 平面内，两条直线无限延长后相交于一点，则这两条直线相交，依此填空。 【详解】根据分析可知，两条直线是互相平行的有（2）、（4）； 两条直线是互相垂直的有（3）； 两条直线是相交的有（1）、（3）。 【点睛】熟练掌握平行、垂直、相交的特点，是解答此题的关键。 【对应练习3】 如图各组直线 a、b是否互相平行？平行的在括号里画“√”，不平行的画“×”。 ( ) ( ) ( ) ( ) 【答案】 √ × × √ 【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线 互相平行，依此填空。 【详解】根据平行的特点，填空如下： 【点睛】熟练掌握平行的特点是解答此题的关键。 【典型例题 3】平行与垂直的判断。 下图中，a与 b互相( )，b与 c互相( )，c与 d互相( )。 【答案】 平行 垂直 平行 9 / 56 【分析】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成 90度 时，这两条直线就互相垂直。 【详解】上图中，a与 b互相平行，b与 c互相垂直，c与 d互相平行。 【点睛】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。 【对应练习1】 如下图。直线 a和( )互相平行，直线 c和( )互相垂直，o是 ( )。 【答案】 直线 c 直线 d 垂足 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成 90 度时，这两条直线就相互垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交 点叫做垂足，据此解答。 【详解】如下图。直线 a和（直线 c）互相平行，直线 c和（直线 d）互相垂直， o是（垂足）。 【点睛】本题考查垂直与平行的特征，熟练掌握并灵活运用。 【对应练习2】 观察图，在括号里填上“⊥”或“∥”。 a( )c b( )c a( )b 【答案】 ⊥ ⊥ ∥ 10 / 56 【分析】垂直的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直； 平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直 线的平行线；据此解答。 【详解】根据分析：a⊥c，b⊥c，a∥b。 【点睛】本题考查的是对平行和垂直的认识。 【对应练习3】 图 1中，直线 a与直线 b的位置关系是( )，图 2中，直线 c是直线 d的 ( )线；图 3中，线段 AB的长度叫做点 A到直线 e的( )。 【答案】 平行 垂 距离 【分析】根据平行线定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线； 根据垂线的定义：当两条直线相交成 90度时，这两条直线就互相垂直，据此解 答即可。 【详解】图 1中，直线 a与直线 b的位置关系是平行； 图 2中，直线 c是直线 d的垂线； 图 3中，线段 AB的长度叫做点 A到直线 e的距离。 【点睛】此题考查了平行、垂直的定义，注意平时基础知识的积累。 【考点二】数平行线与垂线。 【方法点拨】 熟悉平行线和垂线的特征和性质，注意按顺序数数，不要遗漏。 【典型例题】 下图中互相平行的线段有( )组，互相垂直的线段有( )组。 11 / 56 【答案】 4 4 【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线； 当两条直线相交成 90度时，这两条直线就互相垂直；据此解答即可。 【详解】上图中互相平行的线段有 4组，互相垂直的线段有 4组。 【点睛】掌握平行和垂直的概念是解答本题的关键。 【对应练习 1】 有 4条直线（如图），其中，与直线 c垂直的直线有( )条，与直线 c相 交的直线有( )条。 【答案】 2 3 【分析】在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中 一条直线是另一条直线的垂线。 【详解】与直线 c垂直的直线有 a、b，延长直线 c和直线 d，直线 c和直线 d会 相交，与直线 c相交的直线有 a、b、d。 有 4条直线（如图），其中，与直线 c垂直的直线有（2）条，与直线 c相交的 直线有（3）条。 【点睛】熟记垂直的定义是解题关键。 【对应练习 2】 如图里有( )条线段与 AB垂直，有( )条线段与 CD平行。如图中 一共有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。 12 / 56 【答案】 2 1 4 10 2 【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线；如果两条直线相交成 直角，就说这两条直线互相垂直；长方形的四个角都是直角；小于 90度的角是 锐角；大于 90度而小于 180度的角是钝角；据此进行解答即可。 【详解】与 AB垂直的线段有：AD、BC，共 2条； 与 CD平行的线段是 AB，共 1条； 直角有 4个，长方形 ABCD的四个直角； 锐角有 10个，如图所示： 钝角有 2个：∠AOB、∠DOC。 【点睛】本题考查了对平行线和垂线的定义的理解及运用，同时考查了角的分类， 解答此题时要认真、仔细。 【对应练习 3】 图中，有( )组互相平行的线段，有( )组互相垂直的线段。 【答案】 6 6 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行；两条直线相交成直角时，这两 条直线互相垂直；将平行或垂直的定义运用于线段即可。 【详解】图形共 6条边，横向 3条中任意两条相互平行，共 3组平行线段，纵向 条中任意两条相互平行，共 3组平行线段，所以总共 6组平行线段； 13 / 56 图中共 6个角，其中从图内看有 5个直角，从图外看有 1个直角，所以 6个角的 两条边相互垂直，共 6组互相垂直的线段。 【点睛】本题主要考查平行和垂直，明确其特征是解答本题的关键。 【考点三】平行与垂直作图其一：作平行线与垂线。 【方法点拨】 1. 过一点作已知直线的垂线： 把三角板的一直角边靠紧直线 l，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过 A 点时，沿这条直角边画的直线就是过 l点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直 符号。 总结：边线重合、平移到点、画线标号。 2. 过直线外一点作已知直线的平行线的方法： 先把三角尺的一条直角边与已知直线 l重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直 角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的A点在三角尺的直角边 上，沿直角边画出另一条直线即可。 总结：边线重合、平移到点、画线标号。 【典型例题】 过 A点作直线 L的垂线，过 B点作直线 L的平行线。 【答案】见详解 【分析】过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线 滑动三角板，当另一直角边经过 A点时，沿这条直角边画的直线就是过 A点作 的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线 重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三 角尺，使直线外的点 B在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可， 14 / 56 依此画图。 【详解】画图如下： 【对应练习 1】 过点 P作 OA的平行线、OB的垂线。 【答案】见详解 【分析】过点 P画已知直线 OA的平行线：先把三角板的一条直角边与直线 OA 重合，并把直尺靠在三角板另一条直角边上，保持直尺固定不动，再移动三角板， 使其直角边与点 P重合，最后沿着三角板直角边过点 P画直线，即为 OA的平行 线； 过点 P画直线 OA的垂线：先将直尺的一边与直线 OB重合，把直角三角板的一 条直角边靠在直尺上，再移动三角板，使三角板的另一条直角边与已知点 P重合， 最后沿着三角板另一条直角边向 OB画直线，即为 OB的垂线，并标直角符号。 【详解】如图所示： 15 / 56 【点睛】本题考查平行与垂直，解答本题的关键是掌握过直线外一点作直线的平 行线或垂线的方法。 【对应练习 2】 过 O点分别作射线 AB的平行线、AC的垂线。 【答案】见详解 【分析】过直线外一点作平行线：先把三角尺的一条直角边靠在已知直线上，再 把直尺放在三角尺的另一条边上，平推三角尺，让它的边与给定的点对齐，沿三 角尺画直线，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 过直线上或直线外一点作作垂线的步骤：1、把三角尺的一条直角边与已知直线 重合。2、沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角 边上。3、沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就 是已知直线的垂线。过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此解答。 【详解】作图如下： 【对应练习 3】 按要求画图。 16 / 56 （1）过点A画直线 a的平行线b 。 （2）过点A画直线 a的垂线，垂足为 B，并从点 B引一条射线 BC ，使 ABC 的度 数为135。 【答案】见详解 【分析】（1）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直 角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后 沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条 直线即可，依此画图。 （2）过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑 动三角板，当另一直角边经过 A点时，沿这条直角边画的直线就是过 A点作的 直线的垂线，垂足为 B点，依此画图并标上垂直符号即可。 用量角器的中心和 B点重合，0°刻度线和 BA重合，在量角器 135°的刻度上点上 点，并写上 C，以 B点为端点，过 C点的画一条射线；依此画图即可。 【详解】（1）（2）画图如下： 【考点四】平行与垂直作图其二：垂线与最佳路线问题。 【方法点拨】 边线重合、平移到点、画线标号。 【典型例题】 李爷爷从 A点到对面的河边取水，怎样走才最近呢？请在图中画出来。 17 / 56 【答案】见详解 【分析】从直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最段，所以只需从 A 点作小河左边所在直线的垂线，即可确定最近的路线。 【详解】最近的路线如图所示： 【对应练习 1】 小狗和小猫是好朋友，它们打算在两家门口 C和 D之间修一条最近的路，请画 出这条路。如果要从小狗家 D点接一条水管，怎样接用材料最少，请画出来。 【答案】见详解 【分析】根据两点之间线段最短在 C和 D之间修一条最近的路； 根据直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短画图，垂线段的画法：过一点画 已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角 边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，从已 知点向所画直线作垂线段即可。 【详解】如图： 18 / 56 【对应练习 2】 直线 m是一条公路，公路的一侧有甲、乙两个村子（如图）。现在要在公路边 建一个公共汽车站，如果想让这两个村子的村民到公共汽车站的路程之和最短， 那么公共汽车站应该建在什么地方？画一画。 【答案】见详解 【分析】两点之间线段最短，A、B两个村子在公路的同一侧，连接 A、B两点 是从 A村去 B村的最近距离，但是这样不经过公路 m。可以把 A村“搬到”公路 m的对面。过点 A向直线 m画一条垂线，在垂线上找到一点 A，使点 A到直线 m的距离与点 A到直线 m的距离相等，此时点 A就相当于点 A的影子。连接 B A与直线 m相交于点 O，公共汽车站应建在点 O处，此时这两个村子的人到公 共汽车站的路程之和最短。 【详解】公共汽车站应该建在点 O处，如下图所示： 【对应练习 3】 小明家附近有一条河。（1）小明家到哪里取水近些？请在图中标出取水的最近 路线。（2）现将沿着这条最近路线修一条水管。已知每米水管售价 36元，如果 图上 1厘米表示实际的距离是 150米，那么小明家要准备多少元？ 19 / 56 【答案】（1）见详解 （2）5400元 【分析】（1）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点 到直线的距离。因此，过小明家到河边做的垂线段就是取水的最近路线，图中可 画两条垂线段，那么可通过直尺测量，从而找出最短路线再画图。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角 板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂 线，依此画图并标上垂直符号即可。 （2）先用直尺测量出图上垂线段的长度，然后用这个长度乘 150，即可计算出 实际距离，再用实际距离乘每米水管的售价即可。 【详解】（1）画图如下： 经过测量可知，BC＞AB，因此最短的路线画图如下： （2）经过测量可知，垂线段大约长 1厘米； 20 / 56 1×150＝150（米） 150×36＝5400（元） 答：小明家要准备 5400元。 【考点五】平行与垂直作图其三：画指定长、宽（边长）的长方 形或正方形。 【方法点拨】 边线重合、平移到点、画线标号。 【典型例题】 画一个长为 4厘米、宽为 10毫米的长方形。 【答案】见详解 【分析】 10毫米＝1厘米，把毫米化成厘米，再根据长方形的特征，每个角都是直角，对 边平行且相等，邻边垂直，用三角尺的两条直角边，分别画一条长 4厘米的线段， 一条宽 1厘米的线段，然后再用两条长和宽同长度的线段连接成长方形。 【详解】 【对应练习 1】 以给出的线段 AB为一条边，画一个正方形。 【答案】见详解 【分析】用直尺先测量出线段 AB的长度，过点 A、点 B分别作线段 AB的垂线 DA和 CB，垂线的距离等于线段 AB的长度，连接 C、D两点即可得到一个正方 形。 【详解】据分析作图如下： 21 / 56 【对应练习 2】 有一块靠墙的长方形菜地，长 60米，宽 30米，只画出了一部分，请你把它补充 完整。 【答案】见详解 【分析】长方形的特征：长方形两组对边平行且相等，两条对角线相等且互相平 分，长方形是特殊的平行四边形；过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角 尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点 在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直 符号；这条直线就是已知直线的垂线；根据长方形的特征，以及垂线段的画法， 补全长方形菜地的长与另一条宽；据此作图。 【详解】根据分析如图： 【点睛】掌握长方形的特征，以及垂线的作法是解答本题的关键。 【对应练习 3】 在下面画出一个长 3厘米、宽 2厘米的长方形和一个边长为 4厘米的正方形。 22 / 56 【答案】见详解 【分析】对边相等，有两条长，两条宽，四个角都是直角四边形的叫长方形；四 条边都相等，四个角都是直角四边形的叫正方形；再根据每个小格的边长是 1 厘米，据此画出长方形和正方形即可，据此解答。 【详解】如图所示： 【点睛】本题考查画指定长度的长方形和正方形，熟练掌握并正确作图。 【考点六】平行四边形和梯形的认识。 【方法点拨】 1. 平行四边形的概念及组成。 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；从平行四边形一条边上的一点向对 边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高；垂足所在的边叫做 平行四边形的底。 2. 梯形的概念及组成。 只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形；在梯形中，互相平行的一组对边分别 23 / 56 是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰；从梯形一条底边上的一点 到它对边的垂直线段叫做梯形的高。。 【典型例题 1】平行四边形和梯形的概念与组成。 写出下面图形各部分的名称。 解析： 【对应练习】 写出下面图形各部分的名称。 【答案】见详解 【分析】在梯形中，互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一 组对边是梯形的腰；从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。 从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平 行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底；据此可解此题。 【详解】根据分析： 24 / 56 【典型例题 2】平行四边形和梯形的认识与判断。 分一分，填一填。把下面的图形分类。 平行四边形有( )，梯形有( )。 解析：②、④；①、③ 【对应练习】 将下面的图形按要求分类。（填序号。） 梯形有( )，平行四边形有( )。 【答案】 ③⑤ ①②④⑥ 【分析】梯形和平行四边形的特征，梯形只有一组对边互相平行，平行四边形有 两组对边分别平行且相等，据此解答。 【详解】梯形有（③⑤），平行四边形有（①②④⑥）。 【典型例题 3】四边形的分类。 把“长方形”“平行四边形”“梯形”填在合适的位置。 解析： 25 / 56 【对应练习】 按要求填空。 （1）在这些图形中，是四边形的有( )，是平行四边形的有( )， 是梯形的有( )。（填序号） （2）选择合适的位置，把“正方形”“长方形”“梯形”填在下面的关系图中。 【答案】（1）①②③④⑤⑥；①③④⑤；②⑥ （2）见详解 【分析】根据四边形的定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首 尾顺次相连组成的封闭图形，叫做四边形。只有一组对边平行的四边形叫梯形， 平行四边形对边平行且相等，正方形和长方形是特殊的平行四边形，正方形是特 殊的长方形，即可解题。 【详解】由分析可知： （1）在这些图形中，是四边形的有①②③④⑤⑥，是平行四边形的有①③④⑤， 是梯形的有②⑥。 （2）如图： 【点睛】本题主要考查了四边形的特点、分类及识别，需熟练掌握。 26 / 56 【考点七】平行四边形的性质。 【方法点拨】 平行四边形具有不稳定的特性。 【典型例题】 伸缩门就是利用平行四边形( )的特点制作的。 【答案】容易变形 【分析】由平行四边形的特性可知，平行四边形具有不稳定性，所以容易变形， 伸缩门运用了平行四边形易变形的特性。生活中人们利用这个特性制作很多实用 工具，如：升降梯、折叠椅等；据此解答。 【详解】伸缩门就是利用平行四边形容易变形的特点制作的。 【点睛】本题主要考查学生对平行四边形不稳定性知识的掌握和灵活应用。 【对应练习 1】 伸缩晾衣架运用了平行四边形( )的特点。 【答案】不稳定性 【分析】平行四边形具有不稳定性，容易变形；据此进行解答。 【详解】伸缩晾衣架运用了平行四边形不稳定性的特点。 【点睛】解答此题的关键是明确平行四边形的不稳定性，生活中还有很多利用平 行四边形不稳定性的例子，比如伸缩门、升降机等。 【对应练习 2】 下图是电动推拉门，这是利用了平行四边形的( )。 【答案】不稳定性 【分析】由平行四边形的特性可知，平行四边形具有不稳定性，所以容易变形， 电动推拉门，就是利用了平行四边形的不稳定性。 27 / 56 【详解】根据分析可知，电动推拉门是利用了平行四边形的不稳定性。 【点睛】此题主要考查了平行四边形的特性是容易变形，即：平行四边形具有不 稳定性。 【对应练习 3】 折叠椅利用了平行四边形的( )性，在不使用时收起来可以节省空间。 【答案】不稳定 【分析】平行四边形容易变形，具有不稳定性，依此填空。 【详解】根据分析可知，折叠椅利用了平行四边形的不稳定性，在不使用时收起 来可以节省空间。 【点睛】此题考查的是平行四边形的不稳定性及其应用，应熟练掌握。 【考点八】梯形的分类：等腰梯形和直角梯形。 【方法点拨】 1. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 2. 有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 【典型例题】 如图中，( )是直角梯形，( )是等腰梯形。（填序号） 【答案】 ② ① 【分析】直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形；等腰梯形：两腰相等的 梯形叫做等腰梯形；据此即可解答。 【详解】观察上图中可知，②是直角梯形，①是等腰梯形。 【对应练习 1】 如图所示四边形 ABCD，如果点 A、点 B、点 D不动，点 C向左滑动到点 A停 止，四边形 ABCD的变化过程是：直角梯形 →( )→( )→( )→( )。（可重复选） 28 / 56 A．梯形 B．平行四边形 C．长方形 D．三角形 【答案】 A B A D 【分析】观察上图可知，如果点 A、点 B、点 D不动，点 C向左滑动到点 A停 止，首先线段 CD与直线 BD不再垂直，直角梯形变成了梯形，当点 C再向左滑 动，滑动到 AB平行于 CD位置时，四边形 ABCD变成了平行四边形，点 C继 续滑动，AB与 CD又不平行了，四边形 ABCD又变成了梯形，当点 C滑动到点 A时，点 C与点 A重合，四边形 ABCD变成了三角形，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，四边形 ABCD，如果点 A、点 B、点 D不动，点 C向 左滑动到点 A停止，四边形 ABCD的变化过程是：直角梯形→（ A ）→（ B ） →（ A ）→（ D ） 。（可重复选） 【对应练习2】 如图，在直角梯形 ABCD中，与 AB互相平行的线段有( )条，与 AC互 相垂直线段的有( )条；图中一共有( )个钝角，( )个直角。 解析：2；3；2；4 【对应练习3】 如图，已知四边形 ABCD是等腰梯形，用量角器量一量，你发现了什么？ ∠1＝( )，∠2＝( )，∠3＝( )，∠4＝( )。 我发现：等腰梯形同一条底上的两个角的大小( )。梯形四个内角和是 ( )。 解析：70°；70°；110°；110°；相等；360° 29 / 56 【考点九】作平行四边形和梯形的高。 【方法点拨】 1.从平行四边形一条边上的一点向（ ）引一条（ ），这点和垂 足之间的线段叫做平行四边形的（ ）。 2.通过底上的一个点向对边画（ ），这点和垂足之间的线段叫做梯形的 （ ）。 【典型例题 1】高认识与判断。 下面左图中，平行四边形 AB边上的高是( )厘米；下面右图中，梯形的 高是( )厘米。 【答案】 20 12.7 【分析】从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。从平行四 边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形 的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。也就是垂足所在的边叫做底。据此解 答。 【详解】平行四边形 AB边上的高是 20厘米；梯形的高是 12.7厘米。 【对应练习 1】 图中平行四边形底边上的高是( )，梯形的高是( )。 【答案】 5cm/5厘米 3cm/3厘米 【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间 的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高；梯形两底 间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高。 【详解】平行四边形中右边为底边，底边上的高是 5cm； 30 / 56 梯形的上底和下底平行，所以 4cm是上底，7cm是下底，垂直于两个底的线是 高即 3cm。 图中平行四边形底边上的高是 5cm，梯形的高是 3cm。 【对应练习 2】 找出下列各图中的底和高。 (1)图一以( )为底，( )是高；以( )为底，( )是高。 (2)图二以 AB为底，( )是高。 【答案】(1) BC AF CD AE (2)BE/EB 【分析】（1）根据两种图形的特点，先分析图形的底和高，根据平行四边形高 的定义：在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间 的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高； （2）同理，根据梯形的高的定义：在梯形中，从一底的任一点作另一底的垂线， 这点与垂足间的距离叫做梯形的高，以此即可解答。 【详解】（1）由分析知，图一以 BC为底，AF是高；以 CD为底，AE是高。 （2）由分析知，图二以 AB为底，BE是高。 【对应练习 3】 找出下列各图中的底和高。 以 BC为底，( )是高。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年11月4日 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列 第五单元平行四边形和梯形【十八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第五单元平行四边形和梯形 专题内容 本专题包括平行与垂直的认识及画法、平行四边形和梯形的认识及应用等内容。 总体评价 讲解建议 本专题细分考点较多，但内容较为基础，建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】平行与垂直 4 【考点二】数平行线与垂线 7 【考点三】平行与垂直作图其一：作平行线与垂线 8 【考点四】平行与垂直作图其二：垂线与最佳路线问题 9 【考点五】平行与垂直作图其三：画指定长、宽（边长）的长方形或正方形 11 【考点六】平行四边形和梯形的认识 12 【考点七】平行四边形的性质 14 【考点八】梯形的分类：等腰梯形和直角梯形 14 【考点九】作平行四边形和梯形的高 15 【考点十】画平行四边形和梯形 18 【考点十一】裁剪平行四边形和梯形 19 【考点十二】在平行线之间画最大的正方形 20 【考点十三】数平行四边形和梯形 21 【考点十四】平行四边形的周长及反求问题 22 【考点十五】平行四边形的拉伸问题 24 【考点十六】梯形的周长及反求问题 25 【考点十七】梯形的拼接问题 27 【考点十八】梯形底边的变化问题 28 【第三篇】典型例题篇 【考点一】平行与垂直。 【方法点拨】 1.同一平面内两条直线的位置关系：（ ）和（ ）两种。 2.平行及其特征。 在同一个平面内（ ）的两条直线叫做（ ）线，也可以说这两条直线互相（ ）；平行可以用符号“∥”表示，直线a与b互相平行，记作（ ），读作（ ）。 平行线的性质：两条平行线之间的距离处处（ ）。 3.垂直及其特征。 如果两条直线相交成（ ），就说这两条直线互相（ ），其中一条直线叫做另一条直线的（ ），这两条直线的交点叫做（ ）；垂直可以用用符号“⊥”表示，直线a与b互相垂直，记作（ ），读作（ ）。 【典型例题1】平行与垂直的表示及特征。 直线a和直线b互相平行，记作( )；直线m和直线n互相垂直，记作( )。 【对应练习1】 用符号表示下面a、b两条直线的关系。 a( )b                   a( )b 【对应练习2】 在同一平面内，直线a垂直直线m，直线a垂直直线n，那么直线m和直线n( )。 【对应练习3】 下图中( )垂直于( )，( )是AB的垂线，可以画( )条直线垂直于AB，经过点E能画( )条直线垂直于AB。 【典型例题2】平行与垂直的认识。 下面各组直线，互相平行的有( )，互相垂直的有( )。    【对应练习1】 下面图形中，互相平行的直线有( )，互相垂直的直线有( ) 。 【对应练习2】 下面是四组直线，根据要求，在括号里填上合适的序号。 两条直线是互相平行的有( )；两条直线是互相垂直的有( )；两条直线是相交的有( )。 【对应练习3】 如图各组直线、是否互相平行？平行的在括号里画“√”，不平行的画“×”。 ( )      ( )        ( )         ( ) 【典型例题3】平行与垂直的判断。 下图中，a与b互相( )，b与c互相( )，c与d互相( )。 【对应练习1】 如下图。直线和( )互相平行，直线c和( )互相垂直，o是( )。 【对应练习2】 观察图，在括号里填上“⊥”或“∥”。 a( )c       b( )c       a( )b 【对应练习3】 图1中，直线a与直线b的位置关系是( )，图2中，直线c是直线d的( )线；图3中，线段AB的长度叫做点A到直线e的( )。 【考点二】数平行线与垂线。 【方法点拨】 熟悉平行线和垂线的特征和性质，注意按顺序数数，不要遗漏。 【典型例题】 下图中互相平行的线段有( )组，互相垂直的线段有( )组。 【对应练习1】 有4条直线（如图），其中，与直线c垂直的直线有( )条，与直线c相交的直线有( )条。 【对应练习2】 如图里有( )条线段与AB垂直，有( )条线段与CD平行。如图中一共有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。 【对应练习3】 图中，有( )组互相平行的线段，有( )组互相垂直的线段。 【考点三】平行与垂直作图其一：作平行线与垂线。 【方法点拨】 1. 过一点作已知直线的垂线： 把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过A点时，沿这条直角边画的直线就是过点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号。 总结：边线重合、平移到点、画线标号。 2. 过直线外一点作已知直线的平行线的方法： 先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的A点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。 总结：边线重合、平移到点、画线标号。 【典型例题】 过A点作直线L的垂线，过B点作直线L的平行线。 【对应练习1】 过点P作OA的平行线、OB的垂线。 【对应练习2】 过O点分别作射线AB的平行线、AC的垂线。 【对应练习3】 按要求画图。 （1）过点画直线的平行线。 （2）过点画直线的垂线，垂足为，并从点引一条射线，使的度数为。 【考点四】平行与垂直作图其二：垂线与最佳路线问题。 【方法点拨】 边线重合、平移到点、画线标号。 【典型例题】 李爷爷从A点到对面的河边取水，怎样走才最近呢？请在图中画出来。 【对应练习1】 小狗和小猫是好朋友，它们打算在两家门口C和D之间修一条最近的路，请画出这条路。如果要从小狗家D点接一条水管，怎样接用材料最少，请画出来。 【对应练习2】 直线m是一条公路，公路的一侧有甲、乙两个村子（如图）。现在要在公路边建一个公共汽车站，如果想让这两个村子的村民到公共汽车站的路程之和最短，那么公共汽车站应该建在什么地方？画一画。 【对应练习3】 小明家附近有一条河。（1）小明家到哪里取水近些？请在图中标出取水的最近路线。（2）现将沿着这条最近路线修一条水管。已知每米水管售价36元，如果图上1厘米表示实际的距离是150米，那么小明家要准备多少元？ 【考点五】平行与垂直作图其三：画指定长、宽（边长）的长方形或正方形。 【方法点拨】 边线重合、平移到点、画线标号。 【典型例题】 画一个长为4厘米、宽为10毫米的长方形。 【对应练习1】 以给出的线段AB为一条边，画一个正方形。    【对应练习2】 有一块靠墙的长方形菜地，长60米，宽30米，只画出了一部分，请你把它补充完整。 【对应练习3】 在下面画出一个长3厘米、宽2厘米的长方形和一个边长为4厘米的正方形。 【考点六】平行四边形和梯形的认识。 【方法点拨】 1. 平行四边形的概念及组成。 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高；垂足所在的边叫做平行四边形的底。 2. 梯形的概念及组成。 只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形；在梯形中，互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰；从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。。 【典型例题1】平行四边形和梯形的概念与组成。 写出下面图形各部分的名称。 【对应练习】 写出下面图形各部分的名称。 【典型例题2】平行四边形和梯形的认识与判断。 分一分，填一填。把下面的图形分类。 平行四边形有( )，梯形有( )。 【对应练习】 将下面的图形按要求分类。（填序号。） 梯形有( )，平行四边形有( )。 【典型例题3】四边形的分类。 把“长方形”“平行四边形”“梯形”填在合适的位置。 【对应练习】 按要求填空。 （1）在这些图形中，是四边形的有( )，是平行四边形的有( )，是梯形的有( )。（填序号） （2）选择合适的位置，把“正方形”“长方形”“梯形”填在下面的关系图中。 【考点七】平行四边形的性质。 【方法点拨】 平行四边形具有不稳定的特性。 【典型例题】 伸缩门就是利用平行四边形( )的特点制作的。 【对应练习1】 伸缩晾衣架运用了平行四边形( )的特点。 【对应练习2】 下图是电动推拉门，这是利用了平行四边形的( )。 【对应练习3】 折叠椅利用了平行四边形的( )性，在不使用时收起来可以节省空间。 【考点八】梯形的分类：等腰梯形和直角梯形。 【方法点拨】 1. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 2. 有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 【典型例题】 如图中，( )是直角梯形，( )是等腰梯形。（填序号） 【对应练习1】 如图所示四边形ABCD，如果点A、点B、点D不动，点C向左滑动到点A停止，四边形ABCD的变化过程是：直角梯形→( )→( )→( )→( )。（可重复选） A．梯形   B．平行四边形   C．长方形   D．三角形 【对应练习2】 如图，在直角梯形ABCD中，与AB互相平行的线段有( )条，与AC互相垂直线段的有( )条；图中一共有( )个钝角，( )个直角。 【对应练习3】 如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，用量角器量一量，你发现了什么？ 　　 ∠1＝( )，∠2＝( )，∠3＝( )，∠4＝( )。 我发现：等腰梯形同一条底上的两个角的大小( )。梯形四个内角和是( )。 【考点九】作平行四边形和梯形的高。 【方法点拨】 1.从平行四边形一条边上的一点向（ ）引一条（ ），这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的（ ）。 2.通过底上的一个点向对边画（ ），这点和垂足之间的线段叫做梯形的（ ）。 【典型例题1】高认识与判断。 下面左图中，平行四边形AB边上的高是( )厘米；下面右图中，梯形的高是( )厘米。 【对应练习1】 图中平行四边形底边上的高是( )，梯形的高是( )。 【对应练习2】 找出下列各图中的底和高。 (1)图一以( )为底，( )是高；以( )为底，( )是高。 (2)图二以AB为底，( )是高。 【对应练习3】 找出下列各图中的底和高。 以BC为底，( )是高。 以AB为底，( )是高。 【典型例题2】作高。 画出下面各图形的高，并用文字标出相应的底。    【对应练习1】 按要求画一画。 分别过点A画出下面平行四边形和梯形的高。 【对应练习2】 画出平行四边形和梯形底边上的高。    【对应练习3】 分别画出下面图形指定底边上的高。    【考点十】画平行四边形和梯形。 【方法点拨】 1. 平行四边形： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 梯形： 只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 【典型例题】 在下面的点子图上分别画一个梯形和一个平行四边形，使这两个图形的高相等。    【对应练习1】 在下面的方格中根据给出的部分补全平行四边形；再在方格中画一个梯形，并画出它的高。    【对应练习2】 在下面格子图中先画一个底是4cm，高是3cm的平行四边形，再画一个等腰梯形，并分别作出它们的高。（每个小正方形的边长为1cm） 【对应练习3】 请在下面的点子图中画一个平行四边形和一个梯形，并分别画出它们的一条高。 【考点十一】裁剪平行四边形和梯形。 【方法点拨】 熟练掌握平行四边形和梯形的定义和特征。 【典型例题】 我会画。 （1）在平行四边形里画一条线段，使它变成两个梯形。 （2）在梯形里画一条线段，使它变成一个平行四边形和一个三角形。 【对应练习1】 根据要求画图。 （1）在平行四边形和梯形里各画一条线段，把它们分别分割成两个三角形。 （2）在平行四边形和梯形里各画一条线段，把它们分别分割成两个梯形。 （3）在平行四边形和梯形里各画一条线段，把它们分别分割成一个三角形和一个梯形。 【对应练习2】 按要求在下面的梯形中画一条线段，把梯形分成两个图形。 （1）两个三角形。 （2）两个梯形。 （3）一个长方形和一个三角形。 【对应练习3】 在平行四边形上面画一条线段，使分成的两个图形都是直角梯形。 【考点十二】在平行线之间画最大的正方形。 【方法点拨】 在平行线之间画一个最大的正方形，需要量出平行线之间的距离是多少，以平行线间的距离为正方形的边长来画正方形。 【典型例题】 用画垂直线段的方法画出两条平行线间最大的正方形。 【对应练习1】 下面是一组平行线，在平行线之间画一个最大的正方形。 【对应练习2】 用画垂线的方法画出两条平行线间最大的正方形。 【对应练习3】 下面是一块被折断的长方形木板，怎样在这块木板上裁出一个面积最大的正方形木板？（画一画） 【考点十三】数平行四边形和梯形。 【方法点拨】 熟练掌握梯形和平行四边形的定义和特征，按照顺序依次数。 【典型例题】 图中a∥b，两条平行线之间有( )个梯形，( )个平行四边形。 【对应练习1】 下图中有( )个平行四边形和( )个梯形。 【对应练习2】 观察下图，数一数，填一填。    有( )个平行四边形，有( )个梯形。 【对应练习3】 下图中有( )个平行四边形，有( )个梯形。 【考点十四】平行四边形的周长及反求问题。 【方法点拨】 平行四边形=邻边之和的2倍。 【典型例题1】平行四边形的周长。 下图平行四边形的高是( )厘米，周长是( )厘米。 【对应练习1】 平行四边形相邻两条边的和是23厘米，那么这个平行四边形的周长是( )厘米。 【对应练习2】 平行四边形相邻的两条边分别是5厘米、4厘米，它的周长是( )。 【对应练习3】 有一块平行四边形的菜地，一条边的长度是8米，与它相邻的另一条边的长度是15米，这块菜地的周长是( )米。 【典型例题2】已知周长，反求边长。 如图，平行四边形的周长是厘米，边的长是厘米，那么边的长是( )厘米。 【对应练习1】 一个平行四边形的周长是36厘米，其中一条边的长度是12厘米，与它相邻的另一条边的长度是( )厘米。 【对应练习2】 一个平行四边形的周长是44cm，一条边长是14cm，邻边长是( )。 【对应练习3】 一个平行四边形的周长是80厘米，其中一条边是30厘米，那么它邻边的长度是( )。 【典型例题3】平行四边形周长与实际问题。 王阿姨有一块平行四边形的菜地，这块菜地的一边长12米，它的邻边比它短3米。这块菜地的周长是多少米？ 【对应练习1】 一块平行四边形的菜地，一条边长48米，比另一条边短2米。围这块菜地需要多少米的篱笆？ 【对应练习2】 一个平行四边形的一条边长是23厘米，它的邻边比它长6厘米。这个平行四边形的周长是多少厘米？ 【对应练习3】 一块平行四边形菜地，相邻两边分别是120米和80米，现在要在这块菜地的四周围上篱笆，篱笆至少需要多少米？ 【考点十五】平行四边形的拉伸问题。 【方法点拨】 把长方形拉成平行四边形，周长不变，面积变小。 【典型例题】 用四根吸管串成一个长方形，然后用两手捏住长方形的两个对角，向相反方向拉，( )不变，( )变了。 【对应练习1】 一个平行四边形的周长是32cm，其中一条边长是10cm。把它拉成一个长方形（如图）这个长方形的宽是( )cm，这个长方形的面积是( )cm2。 【对应练习2】 用细木条钉成一个长方形框，长12厘米，宽7厘米，如果把它拉成一个平行四边形，它的周长是( )厘米。 【对应练习3】 一个平行四边形的每条边的长度相等，周长是60dm，把它拉动变成一个正方形，正方形的面积是( )dm²。 【考点十六】梯形的周长及反求问题。 【方法点拨】 梯形的周长=上底+下底+两条腰。 【典型例题1】梯形的周长。 一个等腰梯形上底长12cm，下底长30cm，腰长15cm，这个梯形的周长为( )cm。 【对应练习1】 一个等腰梯形的上底是6厘米，下底是9厘米，一条腰是12厘米，这个梯形的周长是( )。 【对应练习2】 一个等腰梯形上、下底的和是36厘米，一条腰长13厘米，这个等腰梯形的周长是( )厘米。 【对应练习3】 一个等腰梯形的上底是6厘米，下底是8厘米，一条腰是7厘米，围成这个等腰梯形至少要( )厘米长的铁丝。 【典型例题2】已知梯形周长，反求上底、下底或高。 等腰梯形的周长是18cm，腰长3cm，这个梯形的上下底之和是( )cm。 【对应练习1】 明明用33厘米的铁丝做了一个等腰梯形，它的上底和下底分别是9厘米和12厘米，它的腰是( )厘米。 【对应练习2】 一个等腰梯形的周长100厘米，上底17厘米，下底33厘米，它的一条腰长( )厘米。 【对应练习3】 一个等腰梯形，它的周长是43厘米，上底和下底分别是5厘米和8厘米，它的一条腰长是( )厘米。 【典型例题3】围栏问题。 如图，某农场要在蔬菜种植区的三面围上栅栏（一面是墙）。已知每米栅栏需要45元，围这三面栅栏需要花多少钱？ 【对应练习1】 如图所示，李大爷沿墙用篱笆围了一个等腰梯形形状的花园，篱笆共长18米，则这个花园的一条腰的长是多少米？ 【对应练习2】 墨爷爷打算用篱笆靠墙围一个养鸡场，养鸡场的形状是一个等腰梯形。梯形的上底是6米，下底是15米，腰长是8米，请问：墨爷爷有几种围法，最少需要篱笆多少米？ 【对应练习3】 植物园有一个等腰梯形的菊花园（如图），其中一边靠墙，上底是15米，下底是20米，腰是13米。现在要围上篱笆，篱笆的费用是每米15元，一共要花多少钱？ 【考点十七】梯形的拼接问题。 【方法点拨】 梯形的周长=上底+下底+两条腰。 【典型例题1】 两个完全一样的梯形一定可以拼成一个( )形；两个完全一样的直角梯形可以拼成一个( )形或( )形，也可以拼成一个( )形。 【典型例题2】 用两个完全相同的等腰梯形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是100厘米，已知一个等腰梯形的周长是60厘米，等腰梯形一条腰的长是( )厘米。 【对应练习1】 等腰梯形上、下底分别长3厘米、5厘米，一条腰长6厘米。把两个这样的梯形拼成一个平行四边形，两条不相等的边分别长( )厘米和( )厘米。 【对应练习2】 如图，等腰梯形的腰长8厘米，两个完全一样的等腰梯形拼成平行四边形，周长是46厘米，梯形周长为( )。 【对应练习3】 把两个完全一样的直角梯形拼成一个长方形（如图），这个直角梯形的周长是( )。 【考点十八】梯形底边的变化问题。 【方法点拨】 熟练掌握梯形的定义及特征是解决问题的关键。 【典型例题】 一个等腰梯形的上底是11厘米，一条腰长为6厘米，如果将上底延长2厘米就成为一个平行四边形，那么这个等腰梯形的下底是( )，围成这个梯形至少要( )长的绳子。 【对应练习1】 一个直角梯形的下底是上底的3倍，如果将上底延长12厘米，就变成了一个长方形；这个梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米。 【对应练习2】 一个梯形，上底是4厘米，如果将上底延长3厘米，这个梯形就变成了正方形，这个梯形的下底是( )厘米，高是( )厘米。 【对应练习3】 一个梯形上底长度是下底的一半，如果将上底延长4厘米，这个梯形就变成了平行四边形，这个梯形的上底是( )厘米。 【对应练习4】 一个等腰梯形，下底是上底的3倍，把上底延长6厘米，恰好变成一个周长26厘米的平行四边形，原来梯形的一条腰长( )厘米。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年11月4日 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列 第五单元平行四边形和梯形【十八大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第五单元平行四边形和梯形 专题内容 本专题包括平行与垂直的认识及画法、平行四边形和梯形的认识及应用等内容。 总体评价 讲解建议 本专题细分考点较多，但内容较为基础，建议作为本章核心内容进行讲解。 考点数量 十八个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】平行与垂直 4 【考点二】数平行线与垂线 10 【考点三】平行与垂直作图其一：作平行线与垂线 13 【考点四】平行与垂直作图其二：垂线与最佳路线问题 16 【考点五】平行与垂直作图其三：画指定长、宽（边长）的长方形或正方形 20 【考点六】平行四边形和梯形的认识 22 【考点七】平行四边形的性质 26 【考点八】梯形的分类：等腰梯形和直角梯形 27 【考点九】作平行四边形和梯形的高 29 【考点十】画平行四边形和梯形 34 【考点十一】裁剪平行四边形和梯形 37 【考点十二】在平行线之间画最大的正方形 40 【考点十三】数平行四边形和梯形 42 【考点十四】平行四边形的周长及反求问题 44 【考点十五】平行四边形的拉伸问题 47 【考点十六】梯形的周长及反求问题 48 【考点十七】梯形的拼接问题 52 【考点十八】梯形底边的变化问题 53 【第三篇】典型例题篇 【考点一】平行与垂直。 【方法点拨】 1.同一平面内两条直线的位置关系：（ ）和（ ）两种。 2.平行及其特征。 在同一个平面内（ ）的两条直线叫做（ ）线，也可以说这两条直线互相（ ）；平行可以用符号“∥”表示，直线a与b互相平行，记作（ ），读作（ ）。 平行线的性质：两条平行线之间的距离处处（ ）。 3.垂直及其特征。 如果两条直线相交成（ ），就说这两条直线互相（ ），其中一条直线叫做另一条直线的（ ），这两条直线的交点叫做（ ）；垂直可以用用符号“⊥”表示，直线a与b互相垂直，记作（ ），读作（ ）。 【典型例题1】平行与垂直的表示及特征。 直线a和直线b互相平行，记作( )；直线m和直线n互相垂直，记作( )。 【答案】 a∥b/b∥a m⊥n/n⊥m 【分析】如图： 平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线； 如图： 垂直的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足； “⊥”是垂直符号，“∥”是平行符号；据此解答。 【详解】根据分析：直线a和直线b互相平行，记作a∥b；直线m和直线n互相垂直，记作m⊥n。 【对应练习1】 用符号表示下面a、b两条直线的关系。 a( )b                   a( )b 【答案】 ∥ ⊥ 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。据此解题即可。 【详解】根据分析可知， 【对应练习2】 在同一平面内，直线a垂直直线m，直线a垂直直线n，那么直线m和直线n( )。 【答案】互相平行 【分析】根据平行的性质：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；由此解答即可。 【详解】在同一平面内，直线a垂直直线m，直线a垂直直线n，那么直线m和直线n互相平行。 【对应练习3】 下图中( )垂直于( )，( )是AB的垂线，可以画( )条直线垂直于AB，经过点E能画( )条直线垂直于AB。 【答案】 CD AB CD 无数 1/一 【分析】如果两条直线相交形成的四个角是直角，则这两条直线互相垂直，观察图可以发现，AB与CD相交形成的四个角是直角，说明AB垂直于CD，或CD垂直于AB，那么CD是AB的垂线。根据垂直的性质可知，过直线AB上任意一点，都可以画1条直线与直线AB垂直，则可以画无数条直线与直线AB垂直。在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，所以经过点E能画一条直线垂直于AB。 【详解】由分析可知，图中CD垂直于AB，CD是AB的垂线，可以画无数条直线垂直于AB，经过点E能画1条直线垂直于AB。 【典型例题2】平行与垂直的认识。 下面各组直线，互相平行的有( )，互相垂直的有( )。    【答案】 ②④ ③⑥ 【分析】将两条直线无限延长，有交点的就不平行，没有交点的就是平行的，则互相平行的只有②④；两条直线相交构成直角的就是互相垂直的，则互相垂直的有③⑥。 【详解】根据平行和垂直的定义可知，互相平行的只有②④，互相垂直的有③⑥。 【点睛】本题主要考查的是垂直与平行的特征及性质的理解，即可判断是否平行或垂直，在判断过程中不要漏掉，按顺序判断。 【对应练习1】 下面图形中，互相平行的直线有( )，互相垂直的直线有( ) 。 【答案】 ④ ①⑤ 【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线；两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。既不互相平行也不互相垂直的两条直线就相交。据此解答即可。 【详解】上面图形中，互相平行的直线有④，互相垂直的直线有①⑤。 【点睛】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。 【对应练习2】 下面是四组直线，根据要求，在括号里填上合适的序号。 两条直线是互相平行的有( )；两条直线是互相垂直的有( )；两条直线是相交的有( )。 【答案】 （2）、（4） （3） （1）、（3） 【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；在同一平面内，两条直线无限延长后相交于一点，则这两条直线相交，依此填空。 【详解】根据分析可知，两条直线是互相平行的有（2）、（4）； 两条直线是互相垂直的有（3）； 两条直线是相交的有（1）、（3）。 【点睛】熟练掌握平行、垂直、相交的特点，是解答此题的关键。 【对应练习3】 如图各组直线、是否互相平行？平行的在括号里画“√”，不平行的画“×”。 ( )      ( )        ( )         ( ) 【答案】 √ × × √ 【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行，依此填空。 【详解】根据平行的特点，填空如下： 【点睛】熟练掌握平行的特点是解答此题的关键。 【典型例题3】平行与垂直的判断。 下图中，a与b互相( )，b与c互相( )，c与d互相( )。 【答案】 平行 垂直 平行 【分析】在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直。 【详解】上图中，a与b互相平行，b与c互相垂直，c与d互相平行。 【点睛】此题考查了垂直与平行的特征和性质，要熟练掌握。 【对应练习1】 如下图。直线和( )互相平行，直线c和( )互相垂直，o是( )。 【答案】 直线c 直线d 垂足 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就相互垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，据此解答。 【详解】如下图。直线和（直线c）互相平行，直线c和（直线d）互相垂直，o是（垂足）。 【点睛】本题考查垂直与平行的特征，熟练掌握并灵活运用。 【对应练习2】 观察图，在括号里填上“⊥”或“∥”。 a( )c       b( )c       a( )b 【答案】 ⊥ ⊥ ∥ 【分析】垂直的概念：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直； 平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；据此解答。 【详解】根据分析：a⊥c，b⊥c，a∥b。 【点睛】本题考查的是对平行和垂直的认识。 【对应练习3】 图1中，直线a与直线b的位置关系是( )，图2中，直线c是直线d的( )线；图3中，线段AB的长度叫做点A到直线e的( )。 【答案】 平行 垂 距离 【分析】根据平行线定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线； 根据垂线的定义：当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，据此解答即可。 【详解】图1中，直线a与直线b的位置关系是平行； 图2中，直线c是直线d的垂线； 图3中，线段AB的长度叫做点A到直线e的距离。 【点睛】此题考查了平行、垂直的定义，注意平时基础知识的积累。 【考点二】数平行线与垂线。 【方法点拨】 熟悉平行线和垂线的特征和性质，注意按顺序数数，不要遗漏。 【典型例题】 下图中互相平行的线段有( )组，互相垂直的线段有( )组。 【答案】 4 4 【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直；据此解答即可。 【详解】上图中互相平行的线段有4组，互相垂直的线段有4组。 【点睛】掌握平行和垂直的概念是解答本题的关键。 【对应练习1】 有4条直线（如图），其中，与直线c垂直的直线有( )条，与直线c相交的直线有( )条。 【答案】 2 3 【分析】在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。 【详解】与直线c垂直的直线有a、b，延长直线c和直线d，直线c和直线d会相交，与直线c相交的直线有a、b、d。 有4条直线（如图），其中，与直线c垂直的直线有（2）条，与直线c相交的直线有（3）条。 【点睛】熟记垂直的定义是解题关键。 【对应练习2】 如图里有( )条线段与AB垂直，有( )条线段与CD平行。如图中一共有( )个直角，( )个锐角，( )个钝角。 【答案】 2 1 4 10 2 【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线；如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直；长方形的四个角都是直角；小于90度的角是锐角；大于90度而小于180度的角是钝角；据此进行解答即可。 【详解】与AB垂直的线段有：AD、BC，共2条； 与CD平行的线段是AB，共1条； 直角有4个，长方形ABCD的四个直角； 锐角有10个，如图所示： 钝角有2个：∠AOB、∠DOC。 【点睛】本题考查了对平行线和垂线的定义的理解及运用，同时考查了角的分类，解答此题时要认真、仔细。 【对应练习3】 图中，有( )组互相平行的线段，有( )组互相垂直的线段。 【答案】 6 6 【分析】同一平面内不相交的两条直线互相平行；两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；将平行或垂直的定义运用于线段即可。 【详解】图形共6条边，横向3条中任意两条相互平行，共3组平行线段，纵向条中任意两条相互平行，共3组平行线段，所以总共6组平行线段； 图中共6个角，其中从图内看有5个直角，从图外看有1个直角，所以6个角的两条边相互垂直，共6组互相垂直的线段。 【点睛】本题主要考查平行和垂直，明确其特征是解答本题的关键。 【考点三】平行与垂直作图其一：作平行线与垂线。 【方法点拨】 1. 过一点作已知直线的垂线： 把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过A点时，沿这条直角边画的直线就是过点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号。 总结：边线重合、平移到点、画线标号。 2. 过直线外一点作已知直线的平行线的方法： 先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的A点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可。 总结：边线重合、平移到点、画线标号。 【典型例题】 过A点作直线L的垂线，过B点作直线L的平行线。 【答案】见详解 【分析】过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过A点时，沿这条直角边画的直线就是过A点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点B在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可，依此画图。 【详解】画图如下： 【对应练习1】 过点P作OA的平行线、OB的垂线。 【答案】见详解 【分析】过点P画已知直线OA的平行线：先把三角板的一条直角边与直线OA重合，并把直尺靠在三角板另一条直角边上，保持直尺固定不动，再移动三角板，使其直角边与点P重合，最后沿着三角板直角边过点P画直线，即为OA的平行线； 过点P画直线OA的垂线：先将直尺的一边与直线OB重合，把直角三角板的一条直角边靠在直尺上，再移动三角板，使三角板的另一条直角边与已知点P重合，最后沿着三角板另一条直角边向OB画直线，即为OB的垂线，并标直角符号。 【详解】如图所示： 【点睛】本题考查平行与垂直，解答本题的关键是掌握过直线外一点作直线的平行线或垂线的方法。 【对应练习2】 过O点分别作射线AB的平行线、AC的垂线。 【答案】见详解 【分析】过直线外一点作平行线：先把三角尺的一条直角边靠在已知直线上，再把直尺放在三角尺的另一条边上，平推三角尺，让它的边与给定的点对齐，沿三角尺画直线，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； 过直线上或直线外一点作作垂线的步骤：1、把三角尺的一条直角边与已知直线重合。2、沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上。3、沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，据此解答。 【详解】作图如下： 【对应练习3】 按要求画图。 （1）过点画直线的平行线。 （2）过点画直线的垂线，垂足为，并从点引一条射线，使的度数为。 【答案】见详解 【分析】（1）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，沿直角边画出另一条直线即可，依此画图。 （2）过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过A点时，沿这条直角边画的直线就是过A点作的直线的垂线，垂足为B点，依此画图并标上垂直符号即可。 用量角器的中心和B点重合，0°刻度线和BA重合，在量角器135°的刻度上点上点，并写上C，以B点为端点，过C点的画一条射线；依此画图即可。 【详解】（1）（2）画图如下： 【考点四】平行与垂直作图其二：垂线与最佳路线问题。 【方法点拨】 边线重合、平移到点、画线标号。 【典型例题】 李爷爷从A点到对面的河边取水，怎样走才最近呢？请在图中画出来。 【答案】见详解 【分析】从直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最段，所以只需从A点作小河左边所在直线的垂线，即可确定最近的路线。 【详解】最近的路线如图所示： 【对应练习1】 小狗和小猫是好朋友，它们打算在两家门口C和D之间修一条最近的路，请画出这条路。如果要从小狗家D点接一条水管，怎样接用材料最少，请画出来。 【答案】见详解 【分析】根据两点之间线段最短在C和D之间修一条最近的路； 根据直线外一点到直线的所有线段中垂线段最短画图，垂线段的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，从已知点向所画直线作垂线段即可。 【详解】如图： 【对应练习2】 直线m是一条公路，公路的一侧有甲、乙两个村子（如图）。现在要在公路边建一个公共汽车站，如果想让这两个村子的村民到公共汽车站的路程之和最短，那么公共汽车站应该建在什么地方？画一画。 【答案】见详解 【分析】两点之间线段最短，A、B两个村子在公路的同一侧，连接A、B两点是从A村去B村的最近距离，但是这样不经过公路m。可以把A村“搬到”公路m的对面。过点A向直线m画一条垂线，在垂线上找到一点，使点到直线m的距离与点A到直线m的距离相等，此时点就相当于点A的影子。连接B与直线m相交于点O，公共汽车站应建在点O处，此时这两个村子的人到公共汽车站的路程之和最短。 【详解】公共汽车站应该建在点O处，如下图所示： 【对应练习3】 小明家附近有一条河。（1）小明家到哪里取水近些？请在图中标出取水的最近路线。（2）现将沿着这条最近路线修一条水管。已知每米水管售价36元，如果图上1厘米表示实际的距离是150米，那么小明家要准备多少元？ 【答案】（1）见详解 （2）5400元 【分析】（1）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作点到直线的距离。因此，过小明家到河边做的垂线段就是取水的最近路线，图中可画两条垂线段，那么可通过直尺测量，从而找出最短路线再画图。 过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。 （2）先用直尺测量出图上垂线段的长度，然后用这个长度乘150，即可计算出实际距离，再用实际距离乘每米水管的售价即可。 【详解】（1）画图如下： 经过测量可知，BC＞AB，因此最短的路线画图如下： （2）经过测量可知，垂线段大约长1厘米； 1×150＝150（米） 150×36＝5400（元） 答：小明家要准备5400元。 【考点五】平行与垂直作图其三：画指定长、宽（边长）的长方形或正方形。 【方法点拨】 边线重合、平移到点、画线标号。 【典型例题】 画一个长为4厘米、宽为10毫米的长方形。 【答案】见详解 【分析】 10毫米＝1厘米，把毫米化成厘米，再根据长方形的特征，每个角都是直角，对边平行且相等，邻边垂直，用三角尺的两条直角边，分别画一条长4厘米的线段，一条宽1厘米的线段，然后再用两条长和宽同长度的线段连接成长方形。 【详解】 【对应练习1】 以给出的线段AB为一条边，画一个正方形。    【答案】见详解 【分析】用直尺先测量出线段AB的长度，过点A、点B分别作线段AB的垂线DA和CB，垂线的距离等于线段AB的长度，连接C、D两点即可得到一个正方形。 【详解】据分析作图如下：      【对应练习2】 有一块靠墙的长方形菜地，长60米，宽30米，只画出了一部分，请你把它补充完整。 【答案】见详解 【分析】长方形的特征：长方形两组对边平行且相等，两条对角线相等且互相平分，长方形是特殊的平行四边形；过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线；根据长方形的特征，以及垂线段的画法，补全长方形菜地的长与另一条宽；据此作图。 【详解】根据分析如图： 【点睛】掌握长方形的特征，以及垂线的作法是解答本题的关键。 【对应练习3】 在下面画出一个长3厘米、宽2厘米的长方形和一个边长为4厘米的正方形。 【答案】见详解 【分析】对边相等，有两条长，两条宽，四个角都是直角四边形的叫长方形；四条边都相等，四个角都是直角四边形的叫正方形；再根据每个小格的边长是1厘米，据此画出长方形和正方形即可，据此解答。 【详解】如图所示： 【点睛】本题考查画指定长度的长方形和正方形，熟练掌握并正确作图。 【考点六】平行四边形和梯形的认识。 【方法点拨】 1. 平行四边形的概念及组成。 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高；垂足所在的边叫做平行四边形的底。 2. 梯形的概念及组成。 只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形；在梯形中，互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰；从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。。 【典型例题1】平行四边形和梯形的概念与组成。 写出下面图形各部分的名称。 解析： 【对应练习】 写出下面图形各部分的名称。 【答案】见详解 【分析】在梯形中，互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰；从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底；据此可解此题。 【详解】根据分析： 【典型例题2】平行四边形和梯形的认识与判断。 分一分，填一填。把下面的图形分类。 平行四边形有( )，梯形有( )。 解析：②、④；①、③ 【对应练习】 将下面的图形按要求分类。（填序号。） 梯形有( )，平行四边形有( )。 【答案】 ③⑤ ①②④⑥ 【分析】梯形和平行四边形的特征，梯形只有一组对边互相平行，平行四边形有两组对边分别平行且相等，据此解答。 【详解】梯形有（③⑤），平行四边形有（①②④⑥）。 【典型例题3】四边形的分类。 把“长方形”“平行四边形”“梯形”填在合适的位置。 解析： 【对应练习】 按要求填空。 （1）在这些图形中，是四边形的有( )，是平行四边形的有( )，是梯形的有( )。（填序号） （2）选择合适的位置，把“正方形”“长方形”“梯形”填在下面的关系图中。 【答案】（1）①②③④⑤⑥；①③④⑤；②⑥ （2）见详解 【分析】根据四边形的定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相连组成的封闭图形，叫做四边形。只有一组对边平行的四边形叫梯形，平行四边形对边平行且相等，正方形和长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形，即可解题。 【详解】由分析可知： （1）在这些图形中，是四边形的有①②③④⑤⑥，是平行四边形的有①③④⑤，是梯形的有②⑥。 （2）如图： 【点睛】本题主要考查了四边形的特点、分类及识别，需熟练掌握。 【考点七】平行四边形的性质。 【方法点拨】 平行四边形具有不稳定的特性。 【典型例题】 伸缩门就是利用平行四边形( )的特点制作的。 【答案】容易变形 【分析】由平行四边形的特性可知，平行四边形具有不稳定性，所以容易变形，伸缩门运用了平行四边形易变形的特性。生活中人们利用这个特性制作很多实用工具，如：升降梯、折叠椅等；据此解答。 【详解】伸缩门就是利用平行四边形容易变形的特点制作的。 【点睛】本题主要考查学生对平行四边形不稳定性知识的掌握和灵活应用。 【对应练习1】 伸缩晾衣架运用了平行四边形( )的特点。 【答案】不稳定性 【分析】平行四边形具有不稳定性，容易变形；据此进行解答。 【详解】伸缩晾衣架运用了平行四边形不稳定性的特点。 【点睛】解答此题的关键是明确平行四边形的不稳定性，生活中还有很多利用平行四边形不稳定性的例子，比如伸缩门、升降机等。 【对应练习2】 下图是电动推拉门，这是利用了平行四边形的( )。 【答案】不稳定性 【分析】由平行四边形的特性可知，平行四边形具有不稳定性，所以容易变形，电动推拉门，就是利用了平行四边形的不稳定性。 【详解】根据分析可知，电动推拉门是利用了平行四边形的不稳定性。 【点睛】此题主要考查了平行四边形的特性是容易变形，即：平行四边形具有不稳定性。 【对应练习3】 折叠椅利用了平行四边形的( )性，在不使用时收起来可以节省空间。 【答案】不稳定 【分析】平行四边形容易变形，具有不稳定性，依此填空。 【详解】根据分析可知，折叠椅利用了平行四边形的不稳定性，在不使用时收起来可以节省空间。 【点睛】此题考查的是平行四边形的不稳定性及其应用，应熟练掌握。 【考点八】梯形的分类：等腰梯形和直角梯形。 【方法点拨】 1. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 2. 有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 【典型例题】 如图中，( )是直角梯形，( )是等腰梯形。（填序号） 【答案】 ② ① 【分析】直角梯形：有一个角为直角的梯形为直角梯形；等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；据此即可解答。 【详解】观察上图中可知，②是直角梯形，①是等腰梯形。 【对应练习1】 如图所示四边形ABCD，如果点A、点B、点D不动，点C向左滑动到点A停止，四边形ABCD的变化过程是：直角梯形→( )→( )→( )→( )。（可重复选） A．梯形   B．平行四边形   C．长方形   D．三角形 【答案】 A B A D 【分析】观察上图可知，如果点A、点B、点D不动，点C向左滑动到点A停止，首先线段CD与直线BD不再垂直，直角梯形变成了梯形，当点C再向左滑动，滑动到AB平行于CD位置时，四边形ABCD变成了平行四边形，点C继续滑动，AB与CD又不平行了，四边形ABCD又变成了梯形，当点C滑动到点A时，点C与点A重合，四边形ABCD变成了三角形，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，四边形ABCD，如果点A、点B、点D不动，点C向左滑动到点A停止，四边形ABCD的变化过程是：直角梯形→（  A  ）→（  B  ）→（  A  ）→（  D  ） 。（可重复选） 【对应练习2】 如图，在直角梯形ABCD中，与AB互相平行的线段有( )条，与AC互相垂直线段的有( )条；图中一共有( )个钝角，( )个直角。 解析：2；3；2；4 【对应练习3】 如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，用量角器量一量，你发现了什么？ 　　 ∠1＝( )，∠2＝( )，∠3＝( )，∠4＝( )。 我发现：等腰梯形同一条底上的两个角的大小( )。梯形四个内角和是( )。 解析：70°；70°；110°；110°；相等；360° 【考点九】作平行四边形和梯形的高。 【方法点拨】 1.从平行四边形一条边上的一点向（ ）引一条（ ），这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的（ ）。 2.通过底上的一个点向对边画（ ），这点和垂足之间的线段叫做梯形的（ ）。 【典型例题1】高认识与判断。 下面左图中，平行四边形AB边上的高是( )厘米；下面右图中，梯形的高是( )厘米。 【答案】 20 12.7 【分析】从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。也就是垂足所在的边叫做底。据此解答。 【详解】平行四边形AB边上的高是20厘米；梯形的高是12.7厘米。 【对应练习1】 图中平行四边形底边上的高是( )，梯形的高是( )。 【答案】 5cm/5厘米 3cm/3厘米 【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高；梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高。 【详解】平行四边形中右边为底边，底边上的高是5cm； 梯形的上底和下底平行，所以4cm是上底，7cm是下底，垂直于两个底的线是高即3cm。 图中平行四边形底边上的高是5cm，梯形的高是3cm。 【对应练习2】 找出下列各图中的底和高。 (1)图一以( )为底，( )是高；以( )为底，( )是高。 (2)图二以AB为底，( )是高。 【答案】(1) BC AF CD AE (2)BE/EB 【分析】（1）根据两种图形的特点，先分析图形的底和高，根据平行四边形高的定义：在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高； （2）同理，根据梯形的高的定义：在梯形中，从一底的任一点作另一底的垂线，这点与垂足间的距离叫做梯形的高，以此即可解答。 【详解】（1）由分析知，图一以BC为底，AF是高；以CD为底，AE是高。 （2）由分析知，图二以AB为底，BE是高。 【对应练习3】 找出下列各图中的底和高。 以BC为底，( )是高。 以AB为底，( )是高。 【答案】 AE DE 【分析】（1）以BC为底，从AD上任意一点作BC边的垂线段即为BC边上的高。 （2）以AB为底，从DC任意上一点作AB边的垂线段即为AB边上的高。 【详解】以BC为底，AE是高。 以AB为底，DE是高。 【点睛】本题主要考查学生对对平行边形和梯形高的定义的掌握。 【典型例题2】作高。 画出下面各图形的高，并用文字标出相应的底。    【答案】见详解 【分析】平行四边形的高：在平行四边形底边的对边上任意找一点，过这个点向底边作垂线，这个点到垂足之间的线段就是对应底边上的高，高用虚线表示，并画上垂直符号； 梯形的高：在梯形的上底上任意找一点，过这个点向下底作垂线，这个点到垂足之间的线段就是梯形的高，高用虚线表示，并画上垂直符号；依此画图。 【详解】画图如下：    【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握梯形和平行四边形的高及画法。 【对应练习1】 按要求画一画。 分别过点A画出下面平行四边形和梯形的高。 【答案】见详解 【分析】平行线之间的距离才为高，过点A分别向另外一条底画垂线，即过点A作线段BC边上的垂线，据此作图。 【详解】如图： 【点睛】此题考查高的画法和最短路线的画法，进一步考查学生的作图能力。 【对应练习2】 画出平行四边形和梯形底边上的高。    【答案】见详解 【分析】平行四边形的高：在平行四边形底边的对边上任意找一点，过这个点向底边作垂线，这个点到垂足之间的线段就是对应底边上的高，高用虚线表示，并画上垂直符号。 梯形的高：在梯形的上底上任意找一点，过这个点向下底作垂线，这个点到垂足之间的线段就是梯形的高，高用虚线表示，并画上垂直符号；依此画图。 【详解】画图如下：    【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握梯形和平行四边形的高及画法。 【对应练习3】 分别画出下面图形指定底边上的高。    【答案】见详解 【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四边形的高； 梯形两底间的距离叫做梯形的高，梯形也有无数条高，通常过上底的一个顶点作下底的垂线用三角板的直角可以画出梯形的一条高。 【详解】作图如下：    【点睛】本题考查了高的画法知识，注意作完垂线后，要画出垂足。 【考点十】画平行四边形和梯形。 【方法点拨】 1. 平行四边形： 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 梯形： 只有一组对边互相平行的四边形叫做梯形；两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 【典型例题】 在下面的点子图上分别画一个梯形和一个平行四边形，使这两个图形的高相等。    【答案】见详解 【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；因此可先用直尺画一条长7个小格的线段作为梯形的下底，再将这条下底向上平移4个小格，并向左右各缩短1个小格的长度，作为梯形的上底，最后将这两条线段左右两边的端点用线段分别连起来，即可得到一个梯形； 两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；因此可用直尺先画一条长5个小格线段作为平行四边形的底，然后将这条底向上平移4个小格，并向左移动一个小格，最后将这两条线段左右两边的端点用线段分别连起来，即可得到一个平行四边形；依此画图。 【详解】画图如下：    【点睛】此题考查的是画等高的梯形和平行四边形，应熟练掌握梯形和平行四边形的高及画法。 【对应练习1】 在下面的方格中根据给出的部分补全平行四边形；再在方格中画一个梯形，并画出它的高。    【答案】见详解 【分析】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；因此过一边的另一个端点，作另一边的平行线段，长度与另一边相等，然后把平行线段的另外两个端点连接起来即可得到一个平行四边形；依此画图。 只有一组对边平行的四边形叫做梯形；因此可先用直尺画一条长5个小格的线段作为梯形的下底，再将这条下底向上平移4个小格，并向左、右各缩短1个小格的长度，作为梯形的上底，最后将这两条线段左、右两边的端点用线段分别连起来，即可得到一个梯形； 在梯形的上底上任意找一点，过这个点向下底作垂线，这个点到垂足之间的线段就是梯形的高，高用虚线表示，并画上垂直符号；依此画图。 【详解】画图如下：    【点睛】解答此题的关键是应熟练掌握平行四边形和梯形的特点，以及梯形的高的画法。 【对应练习2】 在下面格子图中先画一个底是4cm，高是3cm的平行四边形，再画一个等腰梯形，并分别作出它们的高。（每个小正方形的边长为1cm） 【答案】见详解（答案不唯一） 【分析】两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，作平行四边形的高：从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高，高一般用虚线表示，并画上垂足符号；只有一组对边平行的四边形叫做梯形，从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，高一般用虚线表示，并画上垂足符号；据此结合给出的数据即可画图。 【详解】如图： （答案不唯一） 【点睛】本题考查的是平行四边形、梯形的定义。 【对应练习3】 请在下面的点子图中画一个平行四边形和一个梯形，并分别画出它们的一条高。 【答案】见详解 【分析】平行四边形对边平行且相等，梯形只有一组对边平行，据此画图；在平行四边形任意底和梯形的上底任取一个端点作垂直于相对应的底的垂直线段，称为作高。 【详解】如图： 【点睛】本题考查了平行四边形、梯形的特征及高的画法。 【考点十一】裁剪平行四边形和梯形。 【方法点拨】 熟练掌握平行四边形和梯形的定义和特征。 【典型例题】 我会画。 （1）在平行四边形里画一条线段，使它变成两个梯形。 （2）在梯形里画一条线段，使它变成一个平行四边形和一个三角形。 解析： （1）（2）见下图： 【对应练习1】 根据要求画图。 （1）在平行四边形和梯形里各画一条线段，把它们分别分割成两个三角形。 （2）在平行四边形和梯形里各画一条线段，把它们分别分割成两个梯形。 （3）在平行四边形和梯形里各画一条线段，把它们分别分割成一个三角形和一个梯形。 解析： （1） （2） （3） 【对应练习2】 按要求在下面的梯形中画一条线段，把梯形分成两个图形。 （1）两个三角形。 （2）两个梯形。 （3）一个长方形和一个三角形。 【答案】见详解 【分析】（1）原图形为直角梯形，属于四边形，画一条线段使之变成两个三角形，则是连接任意对角线即可； （2）梯形上下底平行且不相等，所以取上下底各一点，连接即可，但画的这条线段不能与腰平行； （3）将直角梯形分为一个长方形和一个三角形，则是过上底的钝角顶点画出下底的垂线段即可。 【详解】（1）两个三角形如图： 或 （2）两个梯形如图： （3）一个长方形和一个三角形如图： 【点睛】解答本题的关键是牢记直角梯形的特点。 【对应练习3】 在平行四边形上面画一条线段，使分成的两个图形都是直角梯形。 【答案】见详解 【分析】平行四边形的两组对边平行，直角梯形的一组对边平行，有2个直角。据此可知，过平行四边形的一条边上的一点（顶点除外），画出平行四边形的一条高，即可把平行四边形分成两个直角梯形。 【详解】 （画法不唯一） 【点睛】本题考查图形的分割，依据平行四边形和直角梯形的特征解答。 【考点十二】在平行线之间画最大的正方形。 【方法点拨】 在平行线之间画一个最大的正方形，需要量出平行线之间的距离是多少，以平行线间的距离为正方形的边长来画正方形。 【典型例题】 用画垂直线段的方法画出两条平行线间最大的正方形。 解析：按要求作图即可。 【对应练习1】 下面是一组平行线，在平行线之间画一个最大的正方形。 解析： 【对应练习2】 用画垂线的方法画出两条平行线间最大的正方形。 解析： 在两条平行线间画两条垂线段，可知这两条线段的长度相等，以这两条线段为正方形的一组对边，画出正方形，如下图所示： 【对应练习3】 下面是一块被折断的长方形木板，怎样在这块木板上裁出一个面积最大的正方形木板？（画一画） 解析：按要求作图即可。 【考点十三】数平行四边形和梯形。 【方法点拨】 熟练掌握梯形和平行四边形的定义和特征，按照顺序依次数。 【典型例题】 图中a∥b，两条平行线之间有( )个梯形，( )个平行四边形。 【答案】 4 1 【分析】只有一组对边平行的四边形是梯形，观察图中可知，单个的梯形有2个，2个梯形组成的梯形有1个，1个梯形和一个三角形组成的梯形有1个，据此加起来即可；两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；据此解答。 【详解】2＋1＋1 ＝3＋1 ＝4（个） 图中a∥b，两条平行线之间有4个梯形，1个平行四边形。 【点睛】此题解答的关键是：一定要认真观察，有条理、有顺序的进行数，做到不重复，不遗漏。 【对应练习1】 下图中有( )个平行四边形和( )个梯形。 【答案】 1 3 【分析】根据两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫做梯形，据此即可计数。 【详解】观察图形可知，平行四边形有1个，梯形有3个。 【点睛】此题主要考查了平行四边形和梯形的定义及特征。 【对应练习2】 观察下图，数一数，填一填。    有( )个平行四边形，有( )个梯形。 【答案】 3 2 【分析】根据平行四边形和梯形的定义，从单一的平行四边形和梯形到多部分组成的平行四边形和梯形数起，把个数相加即可，就可以判断出一共有几个平行四边形和几个梯形。 【详解】单一的平行四边形：1个，多部分组成的平行四边形：2个；单一的梯形：1个，多部分组成的梯形：1个。 所以有3个平行四边形，有2个梯形。 【点睛】本题主要考查的知识点是平行四边形和梯形的定义。平行四边形是指有两组对边分别平行的四边形，而梯形是指只有一组对边平行的四边形。在数的过程中为防止遗漏，要按从小到大的顺序数，也就是从单一的数到多部分组成的顺序。 【对应练习3】 下图中有( )个平行四边形，有( )个梯形。 【答案】 3 6 【分析】根据两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫做梯形，据此在图中数出即可。 【详解】观察图形可知，第一层中有1个平行四边形；第二层中有1个平行四边形；两层合起来有1个平行四边形； 平行四边形共有：1＋1＋1＝3（个） 第一层中有2个梯形；第二层中有2个梯形；两层合起来有2个梯形； 梯形共有：2＋2＋2＝6（个） 所以图中有3个平行四边形，有6个梯形。 【点睛】此题主要考查了平行四边形和梯形的认识与特征。 【考点十四】平行四边形的周长及反求问题。 【方法点拨】 平行四边形=邻边之和的2倍。 【典型例题1】平行四边形的周长。 下图平行四边形的高是( )厘米，周长是( )厘米。 解析： 图中平行四边形的高是6或9厘米； （12＋8）×2 ＝20×2 ＝40（厘米） 【对应练习1】 平行四边形相邻两条边的和是23厘米，那么这个平行四边形的周长是( )厘米。 解析： 23×2＝46（厘米） 【对应练习2】 平行四边形相邻的两条边分别是5厘米、4厘米，它的周长是( )。 解析： （5＋4）×2 ＝9×2 ＝18（厘米） 【对应练习3】 有一块平行四边形的菜地，一条边的长度是8米，与它相邻的另一条边的长度是15米，这块菜地的周长是( )米。 解析： （8＋15）×2 ＝23×2 ＝46（米） 【典型例题2】已知周长，反求边长。 如图，平行四边形的周长是厘米，边的长是厘米，那么边的长是( )厘米。 解析： ＝ （厘米） 【对应练习1】 一个平行四边形的周长是36厘米，其中一条边的长度是12厘米，与它相邻的另一条边的长度是( )厘米。 解析： 36÷2－12 ＝18－12 ＝6（厘米） 【对应练习2】 一个平行四边形的周长是44cm，一条边长是14cm，邻边长是( )。 解析： 44÷2-14 ＝22-14 ＝8（cm） 【对应练习3】 一个平行四边形的周长是80厘米，其中一条边是30厘米，那么它邻边的长度是( )。 解析： 80÷2-30 ＝40-30 ＝10（厘米） 那么它邻边的长度是10厘米。 【典型例题3】平行四边形周长与实际问题。 王阿姨有一块平行四边形的菜地，这块菜地的一边长12米，它的邻边比它短3米。这块菜地的周长是多少米？ 解析： 12－3＝9（米） （12＋9）×2 ＝21×2 ＝42（米） 答：这块菜地的周长是42米。 【对应练习1】 一块平行四边形的菜地，一条边长48米，比另一条边短2米。围这块菜地需要多少米的篱笆？ 解析： （48＋2＋48）×2 ＝（50＋48）×2 ＝98×2 ＝196（米） 答：围这块菜地需要196米的篱笆。 【对应练习2】 一个平行四边形的一条边长是23厘米，它的邻边比它长6厘米。这个平行四边形的周长是多少厘米？ 解析： （23＋6＋23）×2 ＝52×2 ＝104（厘米） 答：这个平行四边形的周长是104厘米。 【对应练习3】 一块平行四边形菜地，相邻两边分别是120米和80米，现在要在这块菜地的四周围上篱笆，篱笆至少需要多少米？ 解析： （120＋80）×2 ＝200×2 ＝400（米） 答：篱笆至少需要400米。 【考点十五】平行四边形的拉伸问题。 【方法点拨】 把长方形拉成平行四边形，周长不变，面积变小。 【典型例题】 用四根吸管串成一个长方形，然后用两手捏住长方形的两个对角，向相反方向拉，( )不变，( )变了。 解析：吸管长度；形状 【对应练习1】 一个平行四边形的周长是32cm，其中一条边长是10cm。把它拉成一个长方形（如图）这个长方形的宽是( )cm，这个长方形的面积是( )cm2。 解析： 32÷2－10 ＝16－10 ＝6（cm） 10×6＝60（cm2） 【对应练习2】 用细木条钉成一个长方形框，长12厘米，宽7厘米，如果把它拉成一个平行四边形，它的周长是( )厘米。 解析： （12+7）×2=38（厘米） 【对应练习3】 一个平行四边形的每条边的长度相等，周长是60dm，把它拉动变成一个正方形，正方形的面积是( )dm²。 解析： 60÷4＝15（dm） 15×15＝225（dm²） 【考点十六】梯形的周长及反求问题。 【方法点拨】 梯形的周长=上底+下底+两条腰。 【典型例题1】梯形的周长。 一个等腰梯形上底长12cm，下底长30cm，腰长15cm，这个梯形的周长为( )cm。 解析： 12＋30＋15×2 ＝12＋30＋30 ＝42＋30 ＝72（cm） 【对应练习1】 一个等腰梯形的上底是6厘米，下底是9厘米，一条腰是12厘米，这个梯形的周长是( )。 解析： 6＋9＋12×2 ＝6＋9＋24 ＝39（厘米） 【对应练习2】 一个等腰梯形上、下底的和是36厘米，一条腰长13厘米，这个等腰梯形的周长是( )厘米。 解析： 36＋13×2 ＝36＋26 ＝62（厘米） 【对应练习3】 一个等腰梯形的上底是6厘米，下底是8厘米，一条腰是7厘米，围成这个等腰梯形至少要( )厘米长的铁丝。 解析： 6＋8＋7×2 ＝6＋8＋14 ＝28（厘米） 【典型例题2】已知梯形周长，反求上底、下底或高。 等腰梯形的周长是18cm，腰长3cm，这个梯形的上下底之和是( )cm。 解析： 18-3×2 ＝18-6 ＝12（cm） 【对应练习1】 明明用33厘米的铁丝做了一个等腰梯形，它的上底和下底分别是9厘米和12厘米，它的腰是( )厘米。 解析： （33－9－12）÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） 【对应练习2】 一个等腰梯形的周长100厘米，上底17厘米，下底33厘米，它的一条腰长( )厘米。 解析： （100－17－33）÷2 ＝50÷2 ＝25（厘米） 【对应练习3】 一个等腰梯形，它的周长是43厘米，上底和下底分别是5厘米和8厘米，它的一条腰长是( )厘米。 解析： （43－5－8）÷2 ＝（38－8）÷2 ＝30÷2 ＝15（厘米） 【典型例题3】围栏问题。 如图，某农场要在蔬菜种植区的三面围上栅栏（一面是墙）。已知每米栅栏需要45元，围这三面栅栏需要花多少钱？ 解析： 45×（168＋124＋228） ＝45×（292＋228） ＝45×520 ＝23400（元） 答：围这三面栅栏需要花23400元。 【对应练习1】 如图所示，李大爷沿墙用篱笆围了一个等腰梯形形状的花园，篱笆共长18米，则这个花园的一条腰的长是多少米？ 解析： 18－4＝14（米） 14÷2＝7（米） 答：这个花园的一条腰的长是7米。 【对应练习2】 墨爷爷打算用篱笆靠墙围一个养鸡场，养鸡场的形状是一个等腰梯形。梯形的上底是6米，下底是15米，腰长是8米，请问：墨爷爷有几种围法，最少需要篱笆多少米？ 解析： 等腰梯形有四条边，所以每一条边都可以当做靠墙的一边，腰相等，共有三种围法，要想篱笆长度最小，我们需要选取最长的一条作为靠墙的一边，也就是等腰梯形的下底，所以最小需要篱笆：8＋8＋6＝22（米） 8＋8＋6＝22（米） 答：墨爷爷有3种围法，最少需要篱笆22米。 【对应练习3】 植物园有一个等腰梯形的菊花园（如图），其中一边靠墙，上底是15米，下底是20米，腰是13米。现在要围上篱笆，篱笆的费用是每米15元，一共要花多少钱？ 解析： （20＋13＋13）×15 ＝46×15 ＝690（元） 答：一共要花690元。 【考点十七】梯形的拼接问题。 【方法点拨】 梯形的周长=上底+下底+两条腰。 【典型例题1】 两个完全一样的梯形一定可以拼成一个( )形；两个完全一样的直角梯形可以拼成一个( )形或( )形，也可以拼成一个( )形。 解析：平行四边；长方；正方；平行四边 【典型例题2】 用两个完全相同的等腰梯形拼成一个平行四边形，这个平行四边形的周长是100厘米，已知一个等腰梯形的周长是60厘米，等腰梯形一条腰的长是( )厘米。 解析： 如图所示，等腰梯形中上底与下底的和等于平行四边形的一条边，平行四边形中相邻两条边的长度和是周长÷2，则用梯形的周长减去平行四边形中相邻两条边的长度和，即可求出梯形中一条腰的长度。 60－100÷2 ＝60－50 ＝10（厘米） 【对应练习1】 等腰梯形上、下底分别长3厘米、5厘米，一条腰长6厘米。把两个这样的梯形拼成一个平行四边形，两条不相等的边分别长( )厘米和( )厘米。 解析：6；8 【对应练习2】 如图，等腰梯形的腰长8厘米，两个完全一样的等腰梯形拼成平行四边形，周长是46厘米，梯形周长为( )。 解析： （46＋8×2）÷2 ＝62÷2 ＝31（厘米） 【对应练习3】 把两个完全一样的直角梯形拼成一个长方形（如图），这个直角梯形的周长是( )。 解析： 25＋10＋13＝48（cm） 【考点十八】梯形底边的变化问题。 【方法点拨】 熟练掌握梯形的定义及特征是解决问题的关键。 【典型例题】 一个等腰梯形的上底是11厘米，一条腰长为6厘米，如果将上底延长2厘米就成为一个平行四边形，那么这个等腰梯形的下底是( )，围成这个梯形至少要( )长的绳子。 【答案】 13厘米 36厘米 【分析】根据平行四边形的性质，平行四边形两组对边分别平行，两组对边分别相等；可知延长后梯形的上底和下底相等，即可求出梯形的下底是11＋2＝13厘米，等腰梯形两条腰长度相等，再根据梯形周长，把梯形的上底、下底和两条腰的长度相加，即可求出围成这个梯形至少要多长的绳子。 【详解】等腰梯形的下底： 11＋2＝13（厘米） 梯形的周长： 11＋13＋6＋6 ＝24＋6＋6 ＝30＋6 ＝36（厘米） 一个等腰梯形的上底是11厘米，一条腰长为6厘米，如果将上底延长2厘米就成为一个平行四边形，那么这个等腰梯形的下底是13厘米，围成这个梯形至少要36厘米长的绳子。 【对应练习1】 一个直角梯形的下底是上底的3倍，如果将上底延长12厘米，就变成了一个长方形；这个梯形的上底是( )厘米，下底是( )厘米。 【答案】 6 18 【分析】直角梯形下底是上底的3倍，如果将上底延长12厘米，就变成了一个长方形，据此可知12厘米相当于梯形上底的（3－1）倍，据此用12除以（3－1）即可求出上底的长度；用上底的长度乘3即可求出下底的长度。 【详解】12÷（3－1） ＝12÷2 ＝6（厘米） 6×3＝18（厘米） 这个梯形的上底是6厘米，下底是18厘米。 【对应练习2】 一个梯形，上底是4厘米，如果将上底延长3厘米，这个梯形就变成了正方形，这个梯形的下底是( )厘米，高是( )厘米。 【答案】 7 7 【分析】梯形中只有一组对边平行，正方形的两组对边平行，4条边相等。将梯形的上底延长3厘米，变为4＋3＝7厘米，这个梯形就变成正方形，则正方形的边长为7厘米。这个梯形的下底等于正方形的边长，高也等于正方形的边长。 【详解】4＋3＝7（厘米） 则这个梯形的下底是7厘米，高是7厘米。 【点睛】本题考查梯形和正方形的性质，可通过画图帮助更好理解题意。 【对应练习3】 一个梯形上底长度是下底的一半，如果将上底延长4厘米，这个梯形就变成了平行四边形，这个梯形的上底是( )厘米。 【答案】4 【分析】平行四边形的两组对边相等。将上底延长4厘米，这个梯形就变成了平行四边形，则梯形的下底比上底长4厘米。上底长度是下底的一半，则上底长4厘米。 【详解】由分析得： 这个梯形的上底是4厘米。 【对应练习4】 一个等腰梯形，下底是上底的3倍，把上底延长6厘米，恰好变成一个周长26厘米的平行四边形，原来梯形的一条腰长( )厘米。 【答案】4 【分析】根据题意可知，下底是上底的3倍，下底比上底多6厘米，6除以3与1的差等于上底的长度，上底长度乘3等于下底长度，平行四边形的周长减2个梯形下底的长度等于梯形两腰的长度和，再除以2即等于一条腰的长度，据此即可解答。 【详解】6÷（3－1） ＝6÷2 ＝3（厘米） （26－3×3×2）÷2 ＝（26－18）÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 原来梯形的一条腰长4厘米。 【点睛】分析清楚上、下底间的关系是解答本题的关键。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$