专题03 相似三角形的判定与性质重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题03 相似三角形的判定与性质重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优） 题型一 选择或者补充条件使两个三角形相似 题型二 证明两三角形相似 题型三 尺规作图使两个三角形相似 题型四 格点图中找相似三角形 题型五 相似三角形判定定理的证明 题型六 重心的有关性质 题型七 相似三角形的判定与性质综合 题型八 利用相似三角形的性质求解 题型九 证明三角形的对应线段成比例 题型十 利用相似求坐标 题型十一 在网格中画已知三角形相似的三角形 题型十二 运用相似三角形的性质解决折叠问题 题型十三 运用相似三角形的性质解决三角板问题 题型十四 运用相似三角形的性质解决裁剪问题 题型十五 运用相似三角形的性质解决动点问题 题型十六 运用相似三角形的性质解决最值问题 题型十七 相似三角形的综合问题 题型十八 运用相似三角形的性质解决多结论问题 知识点1：相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 知识点2：相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等．如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 【经典例题一 选择或者补充条件使两个三角形相似】 【例1】（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在和中，，点E在边上，添加一个条件后，能判定与相似，这个条件是 ．(添加一个即可) 3．（2024·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【经典例题二 证明两三角形相似】 【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在和中，，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是（   ） A．，； B．，，，； C．，，，； D．，，，． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ． 3．（24-25九年级上·北京延庆·期中）如图，四边形的对角线交于点，点是上一点，且．求证：． 【经典例题三 尺规作图使两个三角形相似】 【例3】（23-24九年级·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 1（23-24九年级·河南·期末）如图，已知钝角中． (1)请用无刻度直尺和圆规在上定一点P，使得．（保留痕迹，不写作法） (2)请用数学语言简述作图的合理性． 2、（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在中，为边上任意一点，利用尺规作图法，在边上找一点，使得.（不写作法，保留作图痕迹） 3、（23-24九年级·陕西榆林·期末）如图，等腰的顶角，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得∽．（保留作图痕迹，不写作法） 【经典例题四 格点图中找相似三角形】 【例4】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在下列方格纸中，画出了一些顶点在格点上的三角形，其中与相似的是（   ） A． B． C． D． 1．（2023·贵州·模拟预测）如图，在的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则与的周长之比是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有 个． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上． (1)____________． (2)判断与是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由． (3)求． 【经典例题五 相似三角形判定定理的证明】 【例5】（23-24·山东济宁·一模）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH;②△AGE≌△ECF;③∠FCD＝45°;④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（        ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 1、（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分，，在图中与相似的三角形（不包括）的个数为（      ）个． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，点E是的边延长线上的一点，和交于点G，是的对角线，则图中相似三角形共有 对． 3．（23-24九年级上·福建三明·期中）如图1，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EBF=45°． （1）当BE=BF时，求证：AE=CF； （2）求证：△ABF∽△CEB； （3）如图2延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的关系，并说明理由． 【经典例题六 重心的有关性质】 【例6】（23-24九年级上·上海·阶段练习）在中，，，，点G是的重心，，垂足为点E，那么线段的长是（    ） A．2 B． C．2 D． 1．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在中，，，，点为斜边上的中点，点为的重心，那么（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图所示，点是的重心，点是边的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，如果四边形的面积为12，那么的面积为 ． 3．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【经典例题七 相似三角形的判定与性质综合】 【例7】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，点分别在边上，是的中点，连接并延长交于点D，则的值为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知在矩形中，M是边的中点，与垂直，交直线于点N，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是 ． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，已知，，于D， 点E，F分别从B，C两点同时出发，其中点E沿向终点C运动，速度为；点F沿向终点A运动速度为，一个点到达终点时另一个点也随之停止． 设它们运动的时间为． (1)是否存在这样的t值使的面积为18？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (2)t为何值时，和相似？ 【经典例题八 利用相似三角形的性质求解】 【例8】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，D、E分别是上的点，且，如果，那么（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在矩形中，，，P，Q分别是，上的点，且，与相似，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平行四边形中，E为边上的点，连接，F为线段上一点，且． (1)求证：． (2)若，求的长． 【经典例题九 证明三角形的对应线段成比例】 【例9】（2020·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，点分别在的延长线，的延长线上，连接分别交于点则下列式子错误的是（  ） A． B． C． D． 1．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知，、分别为边，边上的高，且，，已知的面积为，那么的面积为 ． 3．（2023·吉林四平·三模）在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 【经典例题十 利用相似求坐标】 【例10】（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 1．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（　　）    A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 3．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．    (1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在 (2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标． 【经典例题十一 在网格中画已知三角形相似的三角形】 【例11】（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 1．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·上海长宁·期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 ．    3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中将绕点C顺时针旋转，画出旋转得到的； (2)在图2中画出一个与相似的，且使得相似比不为1．（画出一个即可） (3)在图3中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点M，使得． 【经典例题十二 运用相似三角形的性质解决折叠问题】 【例12】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，，点分别在边上，把矩形沿折叠，点的对应点分别为，连接并延长交边于点，则值为（   ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·重庆·期末）如图，等边三角形的边长为5，D、E分别是边、上的点，将沿折叠，点A恰好落在边上的点F处，若，则的长是（　　） A．2 B．3 C． D． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为 ，的面积为 ． 3．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证． (1)尝试证明：用平行线分线段成比例的思路，利用图1证明 (2)应用拓展：如图2，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．，，求的长； 【经典例题十三 运用相似三角形的性质解决三角板问题】 【例13】（2024·浙江台州·模拟预测）将一副三角板如图所示摆放，为等腰，，，，记交于E．若上有一点F满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 1．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，一块等腰直角三角板，它的斜边，内部的各边与的各边分别平行，且它的斜边，则的面积与阴影部分的面积比为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南南阳·模拟预测）在等腰直角三角形中，，，直角三角板含角的顶点P在边上移动（点P不与点B、C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边交于点Q，当为等腰三角形时，的长为 ． 3．（24-25九年级上·山西太原·开学考试）如图，四边形为矩形，分别为边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边(或直角边所在直线)分别与矩形的边交于点． (1)如图1，当三角板的一条直角边交于点,另一条直角边交于点时，求证： ． (2)如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由． (3)在（2）的条件下，若，旋转过程中，当落在的三等分点时，求的长． 【经典例题十四 运用相似三角形的性质解决裁剪问题】 【例14】（23-24九年级下·山东烟台·期末）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（    ） A．第5条 B．第6条 C．第7条 D．第8条 1．（2015·山东济南·三模）某风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料（  ）    A．15匹 B．20匹 C．60匹 D．30匹 2．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）母亲节，小敏准备送礼物给妈妈，他用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示裁剪）．已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长 分米．    3．（2024·浙江湖州·一模）甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形． 要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为和； ②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 甲同学的方案 乙同学的方案 请根据以上信息，完成下列问题： (1)计算甲、乙两位同学方案中拼成的正方形的边长，并比较大小． (2)请设计一个方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大．（方案要求：在答题卷上的两个直角三角形中分别画出裁剪线，标出所有裁剪线的长，求出这个正方形的边长．） 【经典例题十五 运用相似三角形的性质解决动点问题】 【例15】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，点P从C点出发沿对角线以1cm/s的速度向点A作匀速运动，点Q从A点出发沿以的速度向点B作匀速运动，若假设运动时间为t，则当时，t的值为（　　） A．2s B．s C．s D．s 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，分别是上的点，，若与相似，则的长为（    ）    A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，．点在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，则的长为 ．    3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1) ___________，___________．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 【经典例题十六 运用相似三角形的性质解决最值问题】 【例16】（23-24九年级下·上海·单元测试）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点(与B、C不重合)，以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k＞1)，EF∥BC．两三角形重叠部分是四边形AGDH，当四边形AGDH的面积最大时，最大值是多少？(　　) A．12 B．11.52 C．13 D．8 1．（14-15八年级下·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，直角梯形的位置如图所示，，，．M、N分别在线段，线段上运动，当的面积达到最大时，存在一种使得周长最小的情况，则此时点M的坐标为 (    )．    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，，以为斜边在的右侧作，其中，．当长度最大时，的长度为 ． 3．（2024·陕西咸阳·二模）【问题探究】 （1）如图1，和是两个全等的三角形（点A、B、C的对应点分别是D、A、E），点E在的延长线上，交于点F，．求与的比值； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个人工观光湖，米，米，．现要把四边形观光湖扩建成五边形，根据设计要求要使，B、F之间的距离等于，．并沿修建一座观光桥，为容纳更多的游客，要使观光桥的长度最大．当观光桥的长度最大时，求的长． 【经典例题十七 相似三角形的综合问题】 【例17】（2024·山东聊城·模拟预测）如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 1．（2021·河北沧州·一模）如图，中，，是中线， 是上一点，作射线，交于点，若，则 （ ） A． B． C． D． 2．（2021·山西阳泉·一模）如图，菱形中，对角线与相交于点O．将线段绕点B顺时针方向旋转，使点A落在上的点H．点E为边的中点，连接，交于点P．若，则线段的长为 ． 3．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 【经典例题十八 运用相似三角形的性质解决多结论问题】 【例18】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作的平行线分别交、于D点、E点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·安徽六安·模拟预测）在四边形中，点 E是边上的一点 （不与点 A，B 重合），且，下列说法错误的是（     ） A． B．与不一定相似 C．当点E为中点时，两两相似 D．当两两相似时，点E一定为中点 2．（2023·四川巴中·模拟预测）如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点、点分别是边上的动点，，连接，下列说法错误的是（　　） A．是等边三角形 B．的最小值是1 C．当最小时 D．当时， 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，为等腰直角三角形，，，为直角边上任意一点，以线段为斜边做等腰，连接，下列说法错误的是（　　） A． B． C．四边形面积的最大值为 D． 1．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，下列条件中不能判定和相似的是（   ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）如图，已知E是正方形的边的中点，P是边上的一个动点，下列条件不能推出与相似的是（　　）    A．P是边的中点 B． C． D． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点分别在菱形的边、上，且，交于点G，延长交的延长线于点H，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·辽宁丹东·期中）已知菱形中，点G是对角线上一点，分别交边和的延长线于点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·北京顺义·期中）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，中，，，点D是边上的中点，图中与相似三角形是 ． 7．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，，是边中线，交于，如果，那么线段的长是 ． 9．（上海市普陀区2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷）如图，在矩形中，，在边上取一点，将沿直线翻折，使点恰好落在边上的处，的平分线与边交于点，如果，那么 ． 10．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在△ABC中，，，，为中点，、为边上的动点，，当与相似时，的长为 ． 11．（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 12．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）矩形中，E是的中点，连接，F是线段AE上一点，的延长线交于点G． (1)如图1，若，且．求证：点G是的中点； (2)如图2，若，当时，求的值（用含k的代数式表示）． 14．（24-25九年级上·全国·期中）如图，和都是等腰三角形，A、B、C三点在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接交于点M，连接交于点N，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 15．（上海市普陀区2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷）如图，已知在中，点D在边上，过点A作，交的延长线于点E，点F是延长线上一点，联结，如果． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相似三角形的判定与性质重难点题型专训（18大题型+15道拓展培优） 题型一 选择或者补充条件使两个三角形相似 题型二 证明两三角形相似 题型三 尺规作图使两个三角形相似 题型四 格点图中找相似三角形 题型五 相似三角形判定定理的证明 题型六 重心的有关性质 题型七 相似三角形的判定与性质综合 题型八 利用相似三角形的性质求解 题型九 证明三角形的对应线段成比例 题型十 利用相似求坐标 题型十一 在网格中画已知三角形相似的三角形 题型十二 运用相似三角形的性质解决折叠问题 题型十三 运用相似三角形的性质解决三角板问题 题型十四 运用相似三角形的性质解决裁剪问题 题型十五 运用相似三角形的性质解决动点问题 题型十六 运用相似三角形的性质解决最值问题 题型十七 相似三角形的综合问题 题型十八 运用相似三角形的性质解决多结论问题 知识点1：相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 知识点2：相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等．如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 【经典例题一 选择或者补充条件使两个三角形相似】 【例1】（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：C． 1．（24-25九年级上·上海嘉定·阶段练习）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在和中，，点E在边上，添加一个条件后，能判定与相似，这个条件是 ．(添加一个即可) 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查三角形相似的判定，根据三角形相似的判定方法可再添加一组角对应相等，或添加和的两边对应成比例，或添加． 【详解】解：在和中， ， 故只需要增加一组角对应相等即可， 可添加， 此时， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（2024·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【答案】②，见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 【经典例题二 证明两三角形相似】 【例2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由，结合，可以根据两组角对应相等的两个相似三角形得到，故A不符合题意； 由得到，结合，不可以得到，故B符合题意； 由，结合，可以根据两组角对应相等的两个相似三角形得到，故C不符合题意； 由，结合，可以根据两组边对应成比例且它们的夹角相等的两个相似三角形得到，故D不符合题意； 故选：B． 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在和中，，下列各组的条件不能判定这两个三角形相似的是（   ） A．，； B．，，，； C．，，，； D．，，，． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定定理：两角对应相等，两组边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据相似三角形的判定方法和勾股定理，对各个选项进行分析即可． 【详解】A．相似：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，不符合题意； B．有一组角相等两边对应成比例，但该组角不是这两边的夹角，故不相似，符合题意； C．相似：∵，，，， ∴． 又∵， ∴，不符合题意； D．相似：∵，，，，， ∴，， ∴． ∵， ∴，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键． 由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·北京延庆·期中）如图，四边形的对角线交于点，点是上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了三角形内角和定理，相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 首先根据三角形内角和定理得到，然后根据角的和差关系得到，即可证明出． 【详解】证明：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【经典例题三 尺规作图使两个三角形相似】 【例3】（23-24九年级·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，利用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，作角平分线．掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 作平分线，交于D即可． 【详解】解：如图所示，点D即为所作求． 由作图可知：是平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 1（23-24九年级·河南·期末）如图，已知钝角中． (1)请用无刻度直尺和圆规在上定一点P，使得．（保留痕迹，不写作法） (2)请用数学语言简述作图的合理性． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键． (1)作线段的垂直平分线，交于点P，连接，点P即为所求作． (2)利用两个角对应相等的两个三角形相似，说明即可． 【详解】（1）如图，作线段的垂直平分线，交于点P，连接， 则点P即为所求作． （2）根据作图，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故作法是合理的． 2、（23-24九年级·陕西西安·期末）如图，在中，为边上任意一点，利用尺规作图法，在边上找一点，使得.（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形，以点为圆心，任意长度为半径画弧，交于，交于，以点为圆心，以相同的半径画弧，再以为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于，则，结合可得． 【详解】解：如图，即为所作， ． 3、（23-24九年级·陕西榆林·期末）如图，等腰的顶角，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得∽．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】图见解析． 【分析】以点B为圆心、BA长为半径画弧，交BC于点D即可． 【详解】以点B为圆心、BA长为半径画弧，交BC于点D，连接AD，则点D即为所作，如图所示： 理由如下： 等腰的顶角， ， 由作图可知，， ， ， 在和中，， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 【经典例题四 格点图中找相似三角形】 【例4】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在下列方格纸中，画出了一些顶点在格点上的三角形，其中与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解． 【详解】解：由格点图可知：，则有： A、，所以该两个三角形不相似； B、，所以该两个三角形不相似； C、，所以该两个三角形不相似； D、，三边对应成比例，所以该两个三角形相似； 故选D． 1．（2023·贵州·模拟预测）如图，在的正方形网格中，和的顶点都在正方形的格点处，则与的周长之比是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，相似三角形的判定；根据勾股定理求得各边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似，即可求解． 【详解】解：设每个正方形网格的边长都为1， 则在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ，，， ∴， ∴， 与的周长之比为：， 故选：． 2．（24-25九年级上·上海闵行·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，的顶点都在格点上，点、、、、、、是边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与相似，符合题意的三角形共有 个． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理与网格．欲求有几个符合条件的三角形与相似，先利用勾股定理求出的三边的长度，然后再去求以，，为顶点构成的三角形的三边长，比较对应三边时否成比例，便可判定是不符合．按这种方法一一计算判定可得结论． 【详解】解：则，，． 连接， ，，． ， ． 同理可找到，，，和相似，共5个． 故答案为：5． 3．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上． (1)____________． (2)判断与是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由． (3)求． 【答案】(1)135 (2)，理由见解析 (3)2 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质． （1）先求出，即可解答； （2）先得出，再得出，即可求证； （3）分别求出与的面积，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：135． （2）证明：由（1）同理可得， ∵， ∴， 又∵ ∴； （3）解：∵， ∴． 【经典例题五 相似三角形判定定理的证明】 【例5】（23-24·山东济宁·一模）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH;②△AGE≌△ECF;③∠FCD＝45°;④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（        ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【答案】C 【分析】由∠BEG＝45°知∠BEA＞45°，结合∠AEF＝90°得∠HEC＜45°，据此知 HC＜EC，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG＝45°，推出∠GAE＝∠FEC，根据 SAS 推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE＝∠ECF＝135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH 不相似，即可判断④． 【详解】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC＝CD， ∵AG＝GE， ∴BG＝BE， ∴∠BEG＝45°， ∴∠BEA＞45°， ∵∠AEF＝90°， ∴∠HEC＜45°，   ∴HC＜EC， ∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即 DH＞BE，故①错误； ∵BG＝BE，∠B＝90°， ∴∠BGE＝∠BEG＝45°， ∴∠AGE＝135°， ∴∠GAE+∠AEG＝45°， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF＝90°， ∵∠BEG＝45°， ∴∠AEG+∠FEC＝45°， ∴∠GAE＝∠FEC， 在△GAE 和△CEF 中， ∵AG=CE， ∠GAE=∠CEF, AE=EF, ∴△GAE≌△CEF（SAS））, ∴②正确； ∴∠AGE＝∠ECF＝135°， ∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°， ∴③正确； ∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°， ∴∠FEC＜45°， ∴△GBE 和△ECH 不相似， ∴④错误； 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大． 1、（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分，，在图中与相似的三角形（不包括）的个数为（      ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可判断△AED∽△ABC，再由两角对应相等的两个三角形相似可判断△BCD∽△ABC. 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△AED∽△ABC， ∵AB=AC，∠A=36º，BD平分∠ABC， ∴∠DBC=36º=∠A，∠C=72º， ∴△BCD∽△ABC， ∴有两个与△ABC相似的三角形. 故选C. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定. 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，点E是的边延长线上的一点，和交于点G，是的对角线，则图中相似三角形共有 对． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定定理． 【详解】解：∵， ∴①． 又∵， ∴②，    ∴③． 由平行四边形的性质可得④， 共有4对相似三角形． 故答案为：4． 3．（23-24九年级上·福建三明·期中）如图1，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EBF=45°． （1）当BE=BF时，求证：AE=CF； （2）求证：△ABF∽△CEB； （3）如图2延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EB=EG，BE⊥EG．理由见解析． 【分析】（1）根据BE=BF，得出∠BEF=∠BFE，进而得出∠AEB=∠BFC，再根据正方形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠BCA，用AAS证明两个三角形全等； （2）根据正方形的性质和三角形的外角和，得出∠BEC=∠BFA，∠ACB=∠BAC，用AA证明两个三角形相似； （3）根据已知和正方形的性质，对顶角的性质得出△BEF∽△CGF，得出边的比例关系，根据边的比例关系转换和对顶角的性质得出△EFG∽△BFC，进而得出∠BGE=45°，得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=． ∵BE= BF， ∴∠BEF=∠BFE． ∴∠AEB=∠CFB． ∴△ABE  ≌△CBF． ∴AE=CF． （2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE =+∠ABE， ∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE， ∴∠BEC=∠ABF． ∵∠BAF=∠BCE=， ∴△ABF∽△CEB． （3）答：EB=EG，BE⊥EG   理由如下：如图. ∵∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC， ∴△BEF∽△CGF ∴.即. ∵∠EFG=∠BFC， ∴△EFG∽△BFC. ∴∠EGF=∠BCF=45°. ∴∠EBF =∠EGF=45°. ∴EB=EG，∠BEG=90° ∴EB=EG，BE⊥EG． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，根据三角形相似得出的比例关系的转换关系和题中的图中的条件，判定另一组三角形相似，灵活运用相关知识进行解答． 【经典例题六 重心的有关性质】 【例6】（23-24九年级上·上海·阶段练习）在中，，，，点G是的重心，，垂足为点E，那么线段的长是（    ） A．2 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，掌握三角形重心的性质是解决问题的关键；延长交于，根据勾股定理求出，再证明，结合重心的性质可得，即可求出． 【详解】解：如图，延长交于， ，，， ， 点G是的重心， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 1．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）如图，在中，，，，点为斜边上的中点，点为的重心，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接并延长交于，过点作交的延长线于，先求出，根据三角形重心的定义得，为的中线，则，证和全等得，则，再证为的中位线得，由此可得出，据此可得的长． 【详解】解：连接并延长交于，过点作交的延长线于，如图所示： 在中，，，， 由勾股定理得：， 点为的重心， ，为的中线， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ， 即， ，， ∴ 为的中位线， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的重心的定义，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，理解三角形的重心的定义，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理是解决问题的关键． 2．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）如图所示，点是的重心，点是边的中点，过点作交于点，过点作交的延长线于点，如果四边形的面积为12，那么的面积为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．连接，，根据为的重心，得到，证明，得到与的相似比为，设的高为，得到四边形底边的高为，根据平行四边形的面积求得，据此求解即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵点是的重心，点是边的中点， ∴点在线段上，， ∵， ∴， ∴与的相似比为， 设的高为， ∴的高为，即的高为， ∴四边形底边的高为， ∵四边形的面积为12， ∴， ∴的面积为， ∵点是边的中点， ∴的面积为36， 故答案为：36， 3．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，D是上的点，E是上一点，且．      (1)求证:； (2)若E是的重心，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定、重心的性质， （1）证明，可得，可证，可得，即可得证； （2）利用重心的性质可得，，由可得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是的重心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【经典例题七 相似三角形的判定与性质综合】 【例7】（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，在中，点分别在边上，是的中点，连接并延长交于点D，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，注意熟练运用三角形相似的判定与性质．过F作的平行线交与G，可得出，根据得出，即可得出的值． 【详解】解：过F作的平行线交与G， ∵，F是的中点， ∴，， ， 又∵， ∴， ， ∴ ， ， 故选：B． 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知在矩形中，M是边的中点，与垂直，交直线于点N，连接，则下列四个结论中：①；②；③；④．正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】通过证明，可得，可证；过作交于，可证四边形是平行四边形，可得，由直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得；由平行线性质可得，，可证；通过证明，可得，可求，即可得，则可求解． 【详解】解：在矩形中， ， ， ， 是边的中点， ， ， ，故①正确； 如图，过作交于，   ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，且， 是的垂直平分线， ，故②正确； 四边形是矩形， ，，， ，， ，故④正确； ， ， ， ，且，， ，且， ， ， ， ， ， ∴，故③错误． 故选：B． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，斜边上的中线，中垂线的性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 2．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形中，，，分别在，，上，，，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质求出和的长是解题的关键．由矩形的性质可求出，，证明，由相似三角形的性质得出，求出，同理可得出，由相似三角形的性质求出的长，则可求出答案． 【详解】解：， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， 同理可得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，在中，已知，，于D， 点E，F分别从B，C两点同时出发，其中点E沿向终点C运动，速度为；点F沿向终点A运动速度为，一个点到达终点时另一个点也随之停止． 设它们运动的时间为． (1)是否存在这样的t值使的面积为18？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (2)t为何值时，和相似？ 【答案】(1)或 (2)或2 【分析】（1）由勾股定理求出的长，证明，由相似三角形的性质得出，求出，根据三角形的面积可得出答案； （2）点在上，点在上时，①当时，，②当时，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作于， 由题意得，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得或， 或时，的面积为18； （2）解：如图1中， 点在上，点在上时， ①当时，， ， ， ②当时，即， ， 当点在上，点在上时，不存在和相似， 综上所述，或2时，和相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，由相似三角形的性质得出方程是解题的关键． 【经典例题八 利用相似三角形的性质求解】 【例8】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，，为上一点，且，在上取一点，若以、、为顶点的三角形与相似，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据题意分当与是对应边时和当与是对应边时两种情况分析即可，掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 当与是对应边时，， ∴， ∴， ∴； 当与是对应边时，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或， 故选：． 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，D、E分别是上的点，且，如果，那么（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， ， ， ， 设的高为h， ， 设为，则为，为， ， ∴ ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在矩形中，，，P，Q分别是，上的点，且，与相似，则的值为 ． 【答案】3或12或 【分析】本题主要考查了矩形的性质及相似三角形的性质，一元二次方程的解法，注意根据已知，分类讨论相似的条件，体现了分类讨论思想．根据题意与相似，分两种情况讨论，①当时，②当时，分别得到比例式，代入数值，即可解答出． 【详解】解：∵与相似， ①当时， ∴，即， ∵，，， ∴， 解得，或； ②当时， ∴， ∴， 解得：， 综上所述：或或． 故答案为：3或12或． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平行四边形中，E为边上的点，连接，F为线段上一点，且． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，再根据平行线的性质可得，再根结合已知条件即可证明结论； （2）先根据平行四边形的性质可得，再根据相似三角形的性质列出比例式，然后代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ，即，解得：． 【经典例题九 证明三角形的对应线段成比例】 【例9】（2020·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，点分别在的延长线，的延长线上，连接分别交于点则下列式子错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质逐项判断即可. 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴AB∥CD， AD∥BC，且AB=CD，AD=BC， A、在△EBF中，∵AG∥BF，∴，故此选项正确； B、∵AE∥DH，∴，故此选项正确； C、在△EBF中，∵HC∥EB，∴，故此选项错误； D、在△EBF中，∵HC∥EB，∴，又∵AD=BC，∴，故此选项正确. 故选C. 【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，关键是根据相似三角形的判定和性质来分析判断. 1．（2023·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，得出角相等，证明三角形相似即可求出对应线段比例相等. 【详解】解：A选项：， . ， . . A选项正确，不符合题意. B选项：， ， ，， 四边形为平行四边形. . . B选项正确，不符合题意. C选项：，， C选项不正确，符合题意. D选项：，， ，， ， ， . D选项正确，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于是否能熟练运用相似三角形的性质和判定. 2．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知，、分别为边，边上的高，且，，已知的面积为，那么的面积为 ． 【答案】 【分析】先根据相似三角形对应高的比等于相似比求出两相似三角形的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，AM、DN分别为BC边，EF边上的高，且AM=3，DN=9， ∴ , ∴ S△ABC：S△DEF=1:9=S△ABC：27,, 解得S△ABC=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质,属于简单题,熟悉相似三角形的性质是解题关键. 3．（2023·吉林四平·三模）在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①由可证，即可证，可进一步推出结论；②连接，作于点，作于点，过点作于点．可证，推出，设，则，则可分别求出，的长，即可求出结论； （2）过点作，且，连接，，构造平行四边形，证，推出，证明再证明为直角三角形，且可求出其三边的比，即可求出的值． 【详解】（1）解：①， ，． ， ，即． 又， ， ． 如图②，连接，作于点，作于点，过点作于点．    ， ， 又， ， ． 又， ， ， ， 设，则， ． （2） 如答图（2），过点作，且，连接，，    则四边形为平行四边形． ， ． ， ， ． 又， ， ，即． ， ． ， 设，， 则在中，． ， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够通过作出合适的辅助线构造相似三角形，并且能够灵活运用相似三角形的判定与性质． 【经典例题十 利用相似求坐标】 【例10】（23-24九年级上·广东广州·期末）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】直接利用A，B点坐标得出AB的长，再利用位似图形的性质得出CD的长． 【详解】解：∵A（6，6），B（8，2）， ∴AB＝＝2， ∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴线段CD的长为：×2＝． 故选：D． 【点睛】本题考查了位似图形，解题的关键是熟悉位似图形的性质． 1．（23-24八年级下·江苏苏州·期末）如图，已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），点P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的P点个数是（　　）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用相似三角形的对应边成比例，分①△PAO≌△PAB，②△PAO∽△BAP两种情况分别求解即可. 【详解】∵点P的纵坐标为， ∴点P在直线y＝上， ①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，则P(1，)； ②∵当△PAO∽△BAP时，PA：AB＝OA：PA， ∴PA2＝AB•OA， ∴＝b﹣1， ∴(b﹣8)2＝48， 解得 b＝8±4， ∴P(1，2+)或(1，2﹣)， 综上所述，符合条件的点P有3个， 故选D．    【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确地分类讨论是解题的关键. 2．（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【答案】或 【分析】由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴， 当与相似时，则可分： ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 3．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．    (1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在 (2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点即可； （2）求出直线，直线的解析式，构建方程组求解． 【详解】（1）如图，点即为所求；    （2）∽， ：：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， 直线的解析式为， 由，解得， 【点睛】本题考查作图相似变换，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数确定交点坐标． 【经典例题十一 在网格中画已知三角形相似的三角形】 【例11】（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【答案】B 【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项． 【详解】解：设每个正方格边长为1， 则， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 1．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】设网格的边长为1，则①三角形的三边之比是，分别求出五个三角形的三边的比，符合这个结果就是与①相似的． 【详解】解：①三角形的三边之比是， ②中，， ③中， ④中， ⑤中， ⑥中， 故与①相似的三角形的序号是③④⑤． 故选C． 【点睛】本题主要考查两三角形相似，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑． 2．（23-24九年级上·上海长宁·期中）在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知是的网格图形中的格点三角形，则该图中所有与相似的格点三角形中，最大的三角形面积是 ．    【答案】4 【分析】本题考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，相似三角形中，最大的三角形的长边等于，画出这个相似三角形即可解决问题． 【详解】图中所有与相似的格点三角形中，最大的如图所示：   ． 故答案为：4． 3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中将绕点C顺时针旋转，画出旋转得到的； (2)在图2中画出一个与相似的，且使得相似比不为1．（画出一个即可） (3)在图3中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点M，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图相似变换，旋转变换等知识， （1）根据要求画出旋转得到的即可，旋转后得到的的边和原三角形对应的边应成角； （2）根据直角边的比为2，构造相似三角形即可； （3）根据相似三角形的性质画出图形，作出点M即可． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求； （2）解：如图2中，即为所求； （3）解：如图3中，点M即为所求． 【经典例题十二 运用相似三角形的性质解决折叠问题】 【例12】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，，点分别在边上，把矩形沿折叠，点的对应点分别为，连接并延长交边于点，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用以上知识证明；过点F作于点H，设与交于点O，由翻折变换可知，由矩形的性质可知，进而可证四边形是矩形，得到，再根据同角的余角相等得出，可证，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点F作于点H，设与交于点O，如图所示，则， 把矩形沿折叠，点的对应点分别为， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 故选：． 1．（22-23九年级上·重庆·期末）如图，等边三角形的边长为5，D、E分别是边、上的点，将沿折叠，点A恰好落在边上的点F处，若，则的长是（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质、相似三角形的判定定理. 根据折叠得出，，，设，，，，证明，证，进而利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵沿折叠A落在边上的点F上， ∴， ∴，，， 设，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 即， 故选：C． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据勾股定理可得，过点A作于点H，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由折叠的性质可知：， ∴， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴，， 过点A作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 3．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证． (1)尝试证明：用平行线分线段成比例的思路，利用图1证明 (2)应用拓展：如图2，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．，，求的长； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，，从而证明，得，再利用等腰三角形的判定证，即可得证； （2）由折叠的性质得，，结合（1）可知，，从而由比例的性质得，利用勾股定理得，从而得即可得解． 【详解】（1）证明：过点C作，交的延长线于点E， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处， ∴，， 由（1）可知，， 又∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、相似三角形的判定及性质、勾股定理、比例的性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及勾股定理是解题的关键． 【经典例题十三 运用相似三角形的性质解决三角板问题】 【例13】（2024·浙江台州·模拟预测）将一副三角板如图所示摆放，为等腰，，，，记交于E．若上有一点F满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．将顺时针旋转，构造全等三角形，再根据勾股定理求出的长，既可以得到答案． 【详解】解：将顺时针旋转，至，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ． 故选D． 1．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，一块等腰直角三角板，它的斜边，内部的各边与的各边分别平行，且它的斜边，则的面积与阴影部分的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知把向两边延长，交于点，交于点，先证明，然后求出它们的面积比即可解答． 【详解】解：把向两边延长，交于点，交于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 的面积与阴影部分的面积比为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据题目已知条件并结合图形添加适当的辅助线． 2．（2024·河南南阳·模拟预测）在等腰直角三角形中，，，直角三角板含角的顶点P在边上移动（点P不与点B、C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边交于点Q，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等知识，先证明，得到，然后分当时，当时，两种情况分类讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示， 由题意得：， ∵，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴，即， 如图2所示，当时， ∴， ∴； 如图3所示，当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴综上所述，当为等腰三角形时，的长为2或． 故答案为：2或． 3．（24-25九年级上·山西太原·开学考试）如图，四边形为矩形，分别为边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边(或直角边所在直线)分别与矩形的边交于点． (1)如图1，当三角板的一条直角边交于点,另一条直角边交于点时，求证： ． (2)如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由． (3)在（2）的条件下，若，旋转过程中，当落在的三等分点时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题综合考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关结论即可． （1）由题意得：四边形为正方形，进而得；证得，即可； （2）证得，进而得，再证得，即可求解； （3）证可得，分类讨论点落在靠近点的三等分点和点落在靠近点的三等分点两种情况即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，分别为边上的中点， ∴四边形为矩形， ∵，分别为边上的中点， ∴ ∴四边形为正方形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ （2）证明：∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解：∵，， ∴， ∴， 若点落在靠近点的三等分点，则, ∴， ∴， ∴； 若点落在靠近点的三等分点，则, ∴， ∴， ∴； 综上所述：或 【经典例题十四 运用相似三角形的性质解决裁剪问题】 【例14】（23-24九年级下·山东烟台·期末）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（    ） A．第5条 B．第6条 C．第7条 D．第8条 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的的线段长，再根据矩形的宽求解即可． 【详解】解：如图，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边长为，即，过点A作于点G，交于点F， 由题意得，，， ∴设从顶点到这个正方形的的线段长为， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴则这张正方形纸条是第7条， 故选：C． 1．（2015·山东济南·三模）某风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料（  ）    A．15匹 B．20匹 C．60匹 D．30匹 【答案】D 【分析】由三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质易得：，，， ，则可得，从而可求得结果． 【详解】解：连接，    由E、F、G、H分别是的中点， ∴， ∴，相似比为，面积比为， 即； 同理， 故， 故， 又∵， ∴， 即所需两种布料的面积相等， 故需要乙布料30匹． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，相似三角形的性质与判定，得到关系式：是本题的关键． 2．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）母亲节，小敏准备送礼物给妈妈，他用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示裁剪）．已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长 分米．    【答案】 【分析】设分米，判断出和为等腰直角三角形，证明，得到，可求出，即可得到正方体礼品盒的棱长． 【详解】解：如图，在正方形中，分米，    设分米， 由此裁剪可得：和为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 解得：分米， ∴分米， ∴正方体礼品盒的棱长为分米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形． 3．（2024·浙江湖州·一模）甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形． 要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为和； ②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 甲同学的方案 乙同学的方案 请根据以上信息，完成下列问题： (1)计算甲、乙两位同学方案中拼成的正方形的边长，并比较大小． (2)请设计一个方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大．（方案要求：在答题卷上的两个直角三角形中分别画出裁剪线，标出所有裁剪线的长，求出这个正方形的边长．） 【答案】(1)甲同学方案中拼成的正方形边长为，乙同学方案中拼成的正方形边长为，甲同学方案中拼成的正方形边长较大． (2)方案见解析． 【分析】（1）由直角三角形的最短边可得甲同学方案拼成的正方形边长，根据勾股定理，得．证，，得， 设，则，求解得乙同学方案中拼成的正方形边长为，进而比较即可得解． （2）根据全等三角形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质设计即可得解． 【详解】（1）解：甲同学方案中拼成的正方形边长为． 对于同学，如图，由拼成条件可得， 记直角三角形为，根据勾股定理，得． ∵，，， ∴，， ∵，， ，， ， 设，则 ∴， 解得， 乙同学方案中拼成的正方形边长为． ， 甲同学方案中拼成的正方形边长较大． （2）解：其中一张直角三角形纸片的裁剪图如下 边长计算如下： 如图，过点作于点， ∴， ∴， 根据拼接要求，为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∵，， ∴， ∴即， 解得． ∴根据勾股定理，得 ，即满足要求的正方形边长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的判定以及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【经典例题十五 运用相似三角形的性质解决动点问题】 【例15】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，点P从C点出发沿对角线以1cm/s的速度向点A作匀速运动，点Q从A点出发沿以的速度向点B作匀速运动，若假设运动时间为t，则当时，t的值为（　　） A．2s B．s C．s D．s 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，矩形及三角形的综合，解题的关键是三角形的全等和相似的综合运用． 先根据勾股定理求出，过点P作于点M，证明，推出，分别表示和的长，根据，进而，求出t的值，进而作答即可． 【详解】解：∵矩形， ∴，， 在中， ， 过点P作于点M，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：B． 1．（23-24九年级上·安徽宿州·期中）如图，在矩形中，分别是上的点，，若与相似，则的长为（    ）    A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或 【答案】D 【分析】设，则，分和两种情况讨论，结合相似三角形的性质列式求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，， 设，则， 分两种情况讨论： ①若， 则有，即， 整理可得， 解得， ∴的长为3或12； ②若， 则有，即， 解得， ∴的长为． 综上所述，的长为3或12或． 故选：D． 2．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，．点在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，则的长为 ．    【答案】或 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法．根据题意，分两种情况：和，然后分别利用相似三角形的性质，对应线段成比例列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：当， ∴， 设， ， ， 解得；经检验符合题意； ∴， 当， ∴， 设， ， ， 解得；经检验符合题意， 综上所述，的长度为或， 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，的两条直角边，，，点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒．动点E到达点C时运动终止．连接、、．设运动的时间为t秒，解答下列问题： (1) ___________，___________．（用含t的代数式表示） (2)求当动点运动时间t为多少秒时，与相似； (3)在运动过程中，当时，求t的值． 【答案】(1)， (2)秒或秒 (3) 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质：两组角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了勾股定理以及分类讨论思想的运用． （1）设运动的时间为t秒，根据题意可得出、含t的代数式； （2）分类：当，即时，；当，即时，，然后分别根据三角形相似的性质得到比例线段求出的值； （3）先计算出，若，则易证得，然后根据三角形相似的性质得到比例线段求出． 【详解】（1）解：∵的两条直角边，，， ∴， ∵点D沿从A向B运动，速度是 /秒，同时，点E沿从B向C运动，速度为/秒， ∴， ， ∴，， 故答案为：， （2）解：当，即时，， ， ， ； 当，即时，， ， ， ； 所以当动点运动秒或秒时，与相似； （3）解： 如图，过点作于， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， （秒）． 【经典例题十六 运用相似三角形的性质解决最值问题】 【例16】（23-24九年级下·上海·单元测试）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点(与B、C不重合)，以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k＞1)，EF∥BC．两三角形重叠部分是四边形AGDH，当四边形AGDH的面积最大时，最大值是多少？(　　) A．12 B．11.52 C．13 D．8 【答案】A 【分析】先判断面积最大时点D的位置，由△BGD∽△BAC，找出AH=8-GA，得到S矩形AGDH=-AG2+8AG，确定极值，AG=3时，面积最大，于是得到结论． 【详解】∵AB2+AC2=100=BC2， ∴∠BAC=90°， ∵△DEF∽△ABC， ∴∠EDF=∠BAC=90°， 如图1延长ED交BC于M，延长FD交BC于N， ∵△DEF∽△ABC， ∴∠B=∠E， ∵EF∥BC， ∴∠E=∠EMC， ∴∠B=∠EMC， ∴AB∥DE， 同理：DF∥AC， ∴四边形AGDH为平行四边形， ∵∠EDF=90°， ∴四边形AGDH为矩形， ∵GA⊥AC， ∴四边形AGDH为正方形， 当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大， 如图2， 点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M， ∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH， ∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大， 只有点D在BC边上时，面积才有可能最大， 如图3， 点D在BC上， ∵△DEF∽△ABC， ∴∠F=∠C， ∵EF∥BC． ∴∠F=∠BDG， ∴∠BDG=∠C， ∴DG∥AC， ∴△BGD∽△BAC， ∴， ∴， ∴， ∴AH=8-GA， S矩形AGDH=AG×AH=AG×（8-AG）=-AG2+8AG， 当AG=-=3时，S矩形AGDH最大，S矩形AGDH最大=12． 故选A． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形，矩形，极值的确定，勾股定理的逆定理，解本题的关键是作出辅助线， 1．（14-15八年级下·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，直角梯形的位置如图所示，，，．M、N分别在线段，线段上运动，当的面积达到最大时，存在一种使得周长最小的情况，则此时点M的坐标为 (    )．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．过点M作，交于点P，过点N作，分别交于两点Q、G，则，因为取得最大值是时，的面积最大值，设O关于的对称点D，连接，交于M，此时，从而求得M的坐标． 【详解】解：如图，过点M作，交于点P，过点N作，分别交于两点Q、G， 则，    ∵， ∴当点N与点B重合，取得最大值时，的面积最大值， 设O关于的对称点D，连接，交于M，    此时的面积最大，周长最短， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴M的坐标． 故选：B． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，，以为斜边在的右侧作，其中，．当长度最大时，的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，构造出与相似的三角形得出取最大时的情况是本题解题的关键；以为斜边构造与相似的直角三角形，然后利用三角形三边关系得出最大时的情况，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作直角三角形，使，，，连接，    ∵，， ∴设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， 当在同一直线上时，即时，长度最大， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴, ∴， 故答案为：。 3．（2024·陕西咸阳·二模）【问题探究】 （1）如图1，和是两个全等的三角形（点A、B、C的对应点分别是D、A、E），点E在的延长线上，交于点F，．求与的比值； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个人工观光湖，米，米，．现要把四边形观光湖扩建成五边形，根据设计要求要使，B、F之间的距离等于，．并沿修建一座观光桥，为容纳更多的游客，要使观光桥的长度最大．当观光桥的长度最大时，求的长． 【答案】（1）；（2）米 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和添加适当的辅助线是解题的关键． （1）证明，进一步即可得到，结论得证； （2）连接，过点B作于点G．延长交于点M，证明四边形、是矩形，求出，进一步得到，延长到点，使得，过点作于点H，交的延长线于点，当点C、B、F共线时，即点F与点重合时的值最大，最大值为180，证明，则，得到．，则，证明四边形是矩形，则．，求出即可． 【详解】解：（1） ． ． ． ， ， （2）连接，过点B作于点G．延长交于点M， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ ∵B、F之间的距离等于， 延长到点，使得，过点作于点H，交的延长线于点 由图可得． 当点C、B、F共线时，即点F与点重合时，的值最大，最大值为180 ， ， ，即 ．， ∵ ∴四边形是矩形， ∴． ： ． ∴当观光桥的长度最大时，的长为米 【经典例题十七 相似三角形的综合问题】 【例17】（2024·山东聊城·模拟预测）如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形的变换—平移，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，先证明，根据相似三角形的性质可得，求出点的坐标，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： 则， ∵点，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点坐标为， 故选：A． 1．（2021·河北沧州·一模）如图，中，，是中线， 是上一点，作射线，交于点，若，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，交于点，则有，根据 ，，可得，，再根据是边上的中线，得到，；根据可得，则，化简即可得到结果． 【详解】解：如图，作，交于点， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ ∵是边上的中线， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 则． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟悉相关性质是解题的关键． 2．（2021·山西阳泉·一模）如图，菱形中，对角线与相交于点O．将线段绕点B顺时针方向旋转，使点A落在上的点H．点E为边的中点，连接，交于点P．若，则线段的长为 ． 【答案】5 【分析】过E点作BD的垂线，根据菱形的性质可知，，根据勾股定理可以得出，所以，OH=1，HF=3，因为E、F是BC和BO的中点，由中位线定理可以得出EF，OF的长，再根据相似三角形，列出比例：，从而求出OP的长度，最后由求得结果． 【详解】解：过E点作BD的垂线，与BD交于F点， ∵四边形ABCD是菱形， ∴ ∴ ∵， ∴,， ∴， ∴， ∴， ∵E是BC的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形，熟练掌握菱形的相关性质，勾股定理的适用范围，以及相似三角形的应用是解决本题的关键． 3．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，利用线段比等于相似比即可求证； （2）证明，利用线段比等于相似比即可求得； （3）作辅助线，根据已知条件，先求得EF的长，再根据勾股定理求得AB． 【详解】解：（1）如图，∵，，， ∴，且， ∴， ∴， ∴ （2）如图2，连接BD， ∵，， ∴ 在正方形ABCD中，， ∴，， ， ∴； （3）如图，过点作，交于点，连接 又 即 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线，构造三角形相似，是解题的关键． 【经典例题十八 运用相似三角形的性质解决多结论问题】 【例18】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作的平行线分别交、于D点、E点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查重心的性质，熟练掌握重心的性质是解题的关键；由题意易得是的中线，然后根据重心的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得：是的中线， ∴， ∵，且过重心F， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故D选项不正确； 故选D． 1．（2024·安徽六安·模拟预测）在四边形中，点 E是边上的一点 （不与点 A，B 重合），且，下列说法错误的是（     ） A． B．与不一定相似 C．当点E为中点时，两两相似 D．当两两相似时，点E一定为中点 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，逐一判断，即可解答，熟知相似三角形的判定条件和性质是解题的关键． 【详解】解：A、如图1， ， 而， ， ， ，故A正确； B、如图2， ， 且，此时与一定不相似，故B正确； C、， ， 当E为中点时，， ， ，此时，故C正确； D、构造如图3的矩形， 此时两两相似，但明显不是的中点，故D错误， 故选：D． 2．（2023·四川巴中·模拟预测）如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点、点分别是边上的动点，，连接，下列说法错误的是（　　） A．是等边三角形 B．的最小值是1 C．当最小时 D．当时， 【答案】B 【分析】由菱形的性质得出，从而得出是等边三角形，证明得出，，即可判断A；当时，的值最小，此时也最小，由勾股定理求出即可判断B；证明得出，证明得出，即可得出，从而判断C；证明得出，结合已知条件即可判断D． 【详解】解：四边形是边长为的菱形，， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， 为等边三角形，故A正确，不符合题意； ， 当最小时，也最小， 如图，当时，的值最小， ， ，， ， 的最小值为，故B错误，符合题意； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故C正确，不符合题意； 如图，，则， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识，证明是解此题的关键． 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，为等腰直角三角形，，，为直角边上任意一点，以线段为斜边做等腰，连接，下列说法错误的是（　　） A． B． C．四边形面积的最大值为 D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．由与都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，，且四个锐角为，利用等式的性质得到；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到与相似；利用相似三角形对应角相等及等式的性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到；根据的面积为定值，若四边形的面积最大，则的面积最大；由高一定，面积最大即为最长，故四边形面积最大时，、重合，求出此时面积，即为最大面积，即可对于选项做出判断． 【详解】∵，都为等腰直角三角形， ，，， ∴， 即， 故选项A正确，不符合题意； ， 由①知， ； 故B选项正确，不符合题意 ； ， 即， 故D选项正确，不符合题意； 的面积为定值， 若四边形的面积最大，则的面积最大； 中，边上的高为定值， 若的面积最大，则的长最大； 由可知：当最长时，也最长； 故四边形面积最大时，、重合，此时，, 四边形的面积为： 故选项C错误，符合题意； 故选：C 1．（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，下列条件中不能判定和相似的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐项排除即可，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴，此选项不符合题意； 、∵，， ∴，此选项不符合题意； 、由不能判定和，此选项符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴，此选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）如图，已知E是正方形的边的中点，P是边上的一个动点，下列条件不能推出与相似的是（　　）    A．P是边的中点 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，正方形的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 利用正方形的性质和相似三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：A．∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是正方形的边的中点， ∴ 当P是中点时， ∴， ∴， ∴不能推出与相似，故A符合题意； B．∵， ∴，故选项B不符合题意； C．∵，， ∴，故选项C不符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意； 故选：A． 3．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点分别在菱形的边、上，且，交于点G，延长交的延长线于点H，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形性质，相似三角形判定及性质等．根据题意设，则，，，证明，，继而得到本题答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴设，则，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．（24-25九年级上·辽宁丹东·期中）已知菱形中，点G是对角线上一点，分别交边和的延长线于点．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证得是解题的关键．根据菱形的性质可得，，再由平行线的性质可得，由三角形全等的判定得出，得出，，从而得到，可证得，根据相似比即可求解． 【详解】是菱形， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， , ， ， 解得， , 故选：D． 5．（24-25九年级上·北京顺义·期中）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， 则①②得， ， ， ∵，， ， 解得， 故选：B． 6．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，中，，，点D是边上的中点，图中与相似三角形是 ． 【答案】 【分析】此题 考查相似三角形的判定、直角三角形的性质、等边对等角等知识，，点D是边上的中点，则，，得到再证明，则，即可证明． 【详解】解：∵，点D是边上的中点， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴， 故答案为： 7．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）将一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定，是解题的关键． 由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在中，，，是边中线，交于，如果，那么线段的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．如图所示，过作角于点，由等腰三角形的性质得再证，得进而得同理证，得，从而即可得解。 【详解】解：如图所示，过作角于点， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴， ∴ ∵是边中线， ∴， ∴ 同理可得：， ∴ ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 9．（上海市普陀区2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷）如图，在矩形中，，在边上取一点，将沿直线翻折，使点恰好落在边上的处，的平分线与边交于点，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，过作于点，由四边形是矩形得，，则，根据角平分线的性质得，再证明，通过相似三角形的性质可得，最后由勾股定理和解一元二次方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠性质可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·全国·期中）如图，在△ABC中，，，，为中点，、为边上的动点，，当与相似时，的长为 ． 【答案】或 【分析】 根据三角形内角和定理可得：，根据平角的定义可知，可以得到，，若与相似，则需要或时，所以分两种情况求解． 【详解】解：如下图所示， 在中，， 根据平角的定义可知， ， ， 当时，， 则有， ， ，，， ， 点为的中点， ， ， ， 在中，，， ； 当时，， 则有， 点为的中点， ， ， ， ， ，，， ， 点为的中点， ， ， 解得：， ． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．相似三角形的判定定理：两个角对应相等的三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 11．（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】该题主要考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定方法． 先根据平行四边形的性质证出，再根据可得出，由此可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题主要考查菱形的性质以及相似三角形的判定和性质， （1）由菱形的性质可证明，即可证明，可得出结论； （2）由可得，设，则，，证明，得出方程求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ． ∵， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是菱形，， ∴， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 又∵，， ， ， ， 解得， 经检验，是分式方程的解， ． 13．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）矩形中，E是的中点，连接，F是线段AE上一点，的延长线交于点G． (1)如图1，若，且．求证：点G是的中点； (2)如图2，若，当时，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握，正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）证矩形是正方形，得，，再证，得，结合中点及正方形的性质即可得证； （2）延长交的延长线于点，由，得，证明，得即，从而，同理，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形，， 矩形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， 点是的中点； （2）解：延长交的延长线于点， ， ， 四边形是矩形，点是的中点， ，， ，， ， 即， ， ， 同理可证：， ， ， ． 14．（24-25九年级上·全国·期中）如图，和都是等腰三角形，A、B、C三点在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接交于点M，连接交于点N，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键； （1）根据等腰三角形的性质可得，，再结合已知可证，再根据相似三角形的判定证明即可． （2）先证，进而可得，由相似三角形的判定可得，，由相似三角形的性质和已知可证，进而可证，即可证明，最后由相似三角形的性质可证． （3）由可得，由可得，则，进而可求． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ． 15．（上海市普陀区2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷）如图，已知在中，点D在边上，过点A作，交的延长线于点E，点F是延长线上一点，联结，如果． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质． （1）由平行线分线段成比例可得，结合，可得，进而证得，得到，从而． （2）先求得，，根据，得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$