专题02 平行线分线段成比例重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题02 平行线分线段成比例重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相似图形的识别 题型二 相似多边形的基本概念 题型三 相似多边形的性质 题型四 平行线分线段中的A字型相似 题型五 平行线分线段中的8字型相似 题型六 平行线分线段中的X字型相似 题型七 平行线分线段中的#字型相似 题型八 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合应用 题型九 作平行线构造平行线分线段成比例 题型十 作垂线构造平行线分线段成比例 题型十一 平行线分线段成比例综合 题型十二 平行线分线段成比例多结论问题 知识点1：相似多边形 定义1：形状相同的图形叫做相似图形。 定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 知识点2：平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图：如果，则，，． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 【经典例题一 相似图形的识别】 【例1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 1．（17-18九年级上·山东青岛·课后作业）下列图形不是形状相同的图形是（ ） A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案 C．某人的侧身照片和正面像 D．一棵树与它倒影在水中的像 2．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，相似的正方形共有 个，相似的三角形共有 个． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，图形（a）~（f）中，哪些与图形（1）或（2）相似？ 【经典例题二 相似多边形的基本概念】 【例2】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．对应边成比例的两个多边形一定是相似多边形 1．（23-24九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（    ） A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b 2．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，是矩形内的任意一点，链接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，，给出如下结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则点在矩形的对角线上． 其中正确的结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，矩形草坪长、宽．沿草坪四周有宽的环行小路，小路内外边缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由． 【经典例题三 相似多边形的性质】 【例3】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于（   ） A． B． C．2 D． 1．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点A落在点H处，折痕为；使边落在边上，点B落在点G处（点H在点G的左侧），折痕为.若矩形与原矩形相似，且，则原矩形的面积为 . 3．（23-24九年级上·广西来宾·期中）向阳中学有一块正方形的空地，边长为，学校计划将空地分为五部分，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，中间小正方形的边长为． 小芳：如图，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为．    (1)求小明的方案中矩形①的面积． (2)求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ 【经典例题四 平行线分线段中的A字型相似】 【例4】（2024·山东潍坊·二模）如图，在中，点D在边上，过点D作，交点E．若，则的值是（   ）    A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，正方形的边长为4，为边中点，为边上一点，连接，，相交于点．若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边上，，，那么 ． 3．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，求和． 【经典例题五 平行线分线段中的8字型相似】 【例5】（23-24九年级·湖南岳阳·期末）如图，，则下列比例式错误的是（   ） A． B． C． D． 1、（2024春·上海静安·九年级校考期中）已知，求作x，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 2、（2024春·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3、（2024春·全国·九年级专题练习）如图，，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（   ） A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2 【经典例题六 平行线分线段中的X字型相似】 【例6】（2024·广西柳州·三模）如图，已知，，，则的长等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，，若，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，直线，直线和被，，所截，如果 则 的长是 ． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 【经典例题七 平行线分线段中的#字型相似】 【例7】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 都在横线上，若线段，则线段的长为 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F．如果，，，求的长． 【经典例题八 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合应用】 【例8】（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为12，则的长为（    ） A．2 B．2．5 C．3 D．4 1．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（    ） A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，点G是的重心，，交于点F，则 ，等于 ． 3．（2024·山西阳泉·一模）阅读下面材料，并完成相应的任务． 三角形中位线的折法 如图1，在中，，将向下对折，使点A与点C重合，得到折痕，则垂直平分，易得是的中位线， 如图2，借鉴直角三角形中位线的折法，可以折出锐角三角形的中位线． 第一步，将向左对折，使点C的对应点落在上，展开后，得到折痕； 第二步，将向下对折，使点A与点P重合，得到折痕，则是的中位线． 理由如下：设与交于点Q． 第一次折叠可得，第二次折叠可得，且． ∴． ∵．∴（依据）． ∵，∴，AE=CE． ∴是的中位线， 如图3，继续探究其他折法： 第一步，将向左对折，使点C的对应点落在上，展开后，得到折痕； 第二步，将向下对折，使点A的对应点落在上，点M的对应点落在折痕上，则是的中位线． 任务： (1)写出材料中的依据：_____． (2)请根据图3的折法，求证：是的中位线． 【经典例题九 作平行线构造平行线分线段成比例】 【例9】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，是边上中线，是上一点，且，连接并延长交于，则等于（   ） A． B． C． D． 1．（22-23七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图所示，，是线段的中点，和交于点，已知的面积是，求四边形的面积（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，D是的中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为 ． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，为边上的中线，为上的点，连接并延长，交于． (1)若是的中点，则______； (2)若，则______； (3)若，则______； (4)若，猜想______，并证明． 【经典例题十 作垂线构造平行线分线段成比例】 【例10】（2024·河北衡水·一模）如图，以的边为边作正方形，与，分别交于点F，G，若，，，则的长为（    ） A．12 B．24 C．25 D．26 1．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且相邻两直线间距离相等．若，，则，之间的距离为（    ）．    A．5 B． C． D． 2．（2024·安徽宣城·三模）如图，在中，，，，点为的中点，于点． （1）的长为 ； （2）的值为 ． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，当时，求的值． 【经典例题十一 平行线分线段成比例综合】 【例11】（23-24八年级上·上海崇明·期末）在中，，，，平分交于点D，垂直平分线段交于点E，交的延长线于点F，则之长为（　　） A．5 B．6 C． D．7 1．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点，．若大正方形与小正方形的面积之比为，，则大正方形的边长为 ． 3．（23-24八年级下·江苏南京·期末）定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)探究说理 如图1，已知中， 平分，求证：． 请根据提示完成证明． 证明：显然， 作于点E，于点F，… (2)问题解决 ①如图2，已知正方形的边长为1，E为边上的一点，，求的长． ②如图3，在矩形中， 平分，将沿直线折叠，使点A落在边上的点处，分别交于点G、H，若，则 ． 【经典例题十二 平行线分线段成比例多结论问题】 【例12】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，D．F．E分别在边BC．AB．AC上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，直线，直线分别交于点，直线分别交于点，直线与相交于点，则下列说法中， 错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）在△ABC中，D、F、E分别在边BC、AB、AC上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 1．（上海市普陀区2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷）如图，在中，点D、E和F分别在边、和上，，，如果，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知中，D、E分别是边、上的点，下列各式中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，是边上中线，是上一点，且，连接并延长交于，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在间加绑一条安全绳（线段）量得，则的长度为（    ） A．0.8m B．1m C．1.5m D．2m 5．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，求的长．小明的解题过程如下： 解：过点D作，交于H，则，，，，． 下列结论正确的是（   ） A．①应填 B．①应填 C．②应填3 D．②应填 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边上，，，那么 ． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，则 ． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，D是的中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为 ． 9．（2023·安徽宿州·一模）如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为 ． 10．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，菱形的边长为6，将一个直角的顶点置于菱形的对称中心处，此时这个直角的两边分别交边于M，N，若，且，则的长为 ． 11．（2024九年级上·河北·专题练习）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 12．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，．过点E作，垂足为G，连接． (1)求的度数； (2)若，求的值． 13．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图是由边长均为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D为的中点．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，在上找点，连结，使得； (2)在图②中，在上找点M，使得； (3)在图③中，在上找点F，连结，使得． 14．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，是的中线，点M在上，连接并延长交于点N．      【填空】 （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； … 【论证】请选择上述情况中的一种，画出符合条件的图形，并证明你的结论； 【猜想】若，则 （用含n的代数式表示，不用说明理由）． 15．（24-25九年级上·全国·期末）如图，由绕点A按逆时针方向旋转得到，且点B的对应点D恰好落在的延长线上，相交于点P． (1)求的度数； (2)F是延长线上的点，且． ①判断和的数量关系，并证明； ②求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平行线分线段成比例重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 相似图形的识别 题型二 相似多边形的基本概念 题型三 相似多边形的性质 题型四 平行线分线段中的A字型相似 题型五 平行线分线段中的8字型相似 题型六 平行线分线段中的X字型相似 题型七 平行线分线段中的#字型相似 题型八 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合应用 题型九 作平行线构造平行线分线段成比例 题型十 作垂线构造平行线分线段成比例 题型十一 平行线分线段成比例综合 题型十二 平行线分线段成比例多结论问题 知识点1：相似多边形 定义1：形状相同的图形叫做相似图形。 定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例。 知识点2：平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 如图：如果，则，，． 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例. 【经典例题一 相似图形的识别】 【例1】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两个图形的相似多边形的概念，掌握如果两个多边形对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 根据图形相似的概念进行判断即可． 【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似． 故选：A． 1．（17-18九年级上·山东青岛·课后作业）下列图形不是形状相同的图形是（ ） A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片 B．用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案 C．某人的侧身照片和正面像 D．一棵树与它倒影在水中的像 【答案】C 【分析】利用相似图形的定义分别分析得出符合题意的图形即可． 【详解】解：A、同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片，是形状相同的图形，不合题意； B、用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大图案，是形状相同的图形，不合题意； C、某人的侧身照片和正面像，不是形状相同的图形，符合题意； D、一棵树与它倒影在水中的像，是形状相同的图形，不合题意； 故选C． 【点睛】此题主要考查了相似图形的定义，正确把握定义是解题关键． 2．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，相似的正方形共有 个，相似的三角形共有 个． 【答案】 5 16 【分析】由正方形的四个角都是直角，各边相等，不难判断两个正方形的对应边是否成比例，对应角是否相等，从而确定相似正方形的个数，根据图形及正方形的性质易得所有三角形均为等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质判断对应边是否成比例，对应角是否相等，问题便可解答． 【详解】解：图中共有5个正方形，它们都相似，图中的三角形都是等腰直角三角形，一共有16个，它们都相似， 故答案为：5，16． 【点睛】本题考查了相似图形的判断，掌握相似图形的定义是解题的关键． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，图形（a）~（f）中，哪些与图形（1）或（2）相似？ 【答案】d与（1）相似，e与（2）相似 【分析】观察比较图形，根据相似图形的定义即可得出本题答案． 【详解】解：d与（1）相似，e与（2）相似 理由是：（1）图形是半圆，而在图形中，只有（d）是半圆，所以图形与图形相似； 图形（2）是由五个小正方形组成，而在图形中，只有（e）是由五个小正方形组成，所以图形与图形相似； 故答案是： d与（1）相似，e与（2）相似． 【点睛】本题主要考查了图形相似的知识点． 【经典例题二 相似多边形的基本概念】 【例2】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．对应边成比例的两个多边形一定是相似多边形 【答案】D 【分析】此题考查了多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及定义解答，熟练掌握相似多边形的定义和性质是解题的关键． 【详解】、 相似多边形的对应边成比例，此选项说法正确，不符合题意； 、 相似多边形的对应角相等，此选项说法正确，不符合题意； 、相似多边形的边数相同，此选项说法正确，不符合题意； 、 对应边成比例，且对应角相等的两个多边形是相似多边形，此选项说法错误，符合题意； 故选：． 1．（23-24九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（    ） A．a＝b B．a＝2b C．a＝2b D．a＝4b 【答案】B 【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的判定，对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为， 要使小长方形与原长方形相似，只要满足即可， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似多边形的判定，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键． 2．（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）如图，是矩形内的任意一点，链接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，，给出如下结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则点在矩形的对角线上． 其中正确的结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】②④ 【分析】根据三角形面积求法以及矩形性质得出，以及，，即可得出P点一定在上． 【详解】如图，作，作， ∵以AD为底边，以BC为底边， ∴此时两三角形的高的和为AB，即可得到， 同理可得， ∴，故②正确，则①错误， ③若，只能得出与高度之比，不一定等于，故此选项错误； ④若，， ∴与高度之比为：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴此时矩形与矩形相似， ∴， ∴P点在矩形的对角线上， 故答案为：②和④． 【点睛】此题考查了矩形的性质以及三角形面积求法，根据已知得出是解题关键． 3．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，矩形草坪长、宽．沿草坪四周有宽的环行小路，小路内外边缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由． 【答案】不相似．小路内外边缘形成的两个矩形的边长分别为30，20和28，18．因为，，即这两个矩形的边不成比例，所以它们不相似 【分析】根据已知条件，可求出小路内侧矩形的长和宽分别为28，8；再把两个矩形的边分两种情况进行比值运算，结果，，即可得出答案． 【详解】解：不相似．理由如下： 因为草坪四周有宽的环行小路， 所以小路内外边缘形成的两个矩形的边长分别为30，20和28，18； 因为，，即这两个矩形的边不成比例， 所以它们不相似． 【点睛】本题主要考查了相似图形的判定，即不仅要对应角相等，还要对应边成比例． 【经典例题三 相似多边形的性质】 【例3】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意知， ， ∵裁出的每面彩旗与矩形绸布相似， ， ， ， (舍去)或 故选：D． 1．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 设，，由矩形与矩形相似得，求出，解方程得，先求出，进而可求出． 【详解】解：由题意得，，，． 设，， 则，， ∵是正方形， ∴， ∴． ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选D． 2．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点A落在点H处，折痕为；使边落在边上，点B落在点G处（点H在点G的左侧），折痕为.若矩形与原矩形相似，且，则原矩形的面积为 . 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题、相似多边形的性质等知识点，掌握相似形的性质成为解题的关键． 先根据折叠的性质与矩形性质得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，可求得x，进而求得,最后求矩形的面积即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∵矩形中， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即，解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， ∴原矩形的面积为． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·广西来宾·期中）向阳中学有一块正方形的空地，边长为，学校计划将空地分为五部分，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，中间小正方形的边长为． 小芳：如图，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为．    (1)求小明的方案中矩形①的面积． (2)求小芳设计的方案中，每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设矩形①的长为，宽为．根据矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为，得到矩形②的长为，宽为，解方程即可得到结论； （2）根据小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为，得到正方形的边长为，设，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：设矩形①的长为，宽为． 矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为， 矩形②的长为，宽为， 由图可知，，， 解得，， 矩形①的面积为； （2）小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为， 正方形的边长为， 设，， ，， ， 整理可得， 解得， 负数舍去， ， 小直角三角形的周长是． 每个小三角形的实际周长为．    【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，二元一次方程组的应用，勾股定理，解一元二次方程，综合运用以上知识是解题的关键． 【经典例题四 平行线分线段中的A字型相似】 【例4】（2024·山东潍坊·二模）如图，在中，点D在边上，过点D作，交点E．若，则的值是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．由，可得，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 1．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，正方形的边长为4，为边中点，为边上一点，连接，，相交于点．若，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，正方形的性质，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．作交于，则，根据为边中点，得，再根据，得，根据勾股定理得，所以． 【详解】解：如图，作交于， 则， 为边中点， ， ， ， ， ． 故选：A． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边上，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 设上的高为，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：设上的高为， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，，，，求和． 【答案】， 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，得到正确的比例式是解题的关键． 由得到即可求解，由得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题五 平行线分线段中的8字型相似】 【例5】（23-24九年级·湖南岳阳·期末）如图，，则下列比例式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案． 【详解】解：∵DE//BC， ∴； ∴A错误； 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案． 1、（2024春·上海静安·九年级校考期中）已知，求作x，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例结合题意，依次对各选项进行判断即可． 【详解】∵， ∴或． A．作出的为，故不符合题意； B．该情况无法作图，故不符合题意； C．作出的为，故符合题意； D．作出的为，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，第四比例线段的作法．熟练掌握定理是解题的关键． 2、（2024春·陕西西安·九年级高新一中校考阶段练习）如图，在平行四边形中，的平分线BF分别与AC、AD交于点E、F，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质证得AD∥BC，AD=BC，再根据角平分线的定义和平行线的性质以及等角对等边证得AF=AB=3，BC=5，再根据平行线分线段成比例和比例性质求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠AFB=∠CBF， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠ABF=∠AFB， ∴AF=AB=3，又FD=2， ∴BC=AD=AF+FD=5， ∵AD∥BC， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、平行线分线段成比例定理、比例性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 3、（2024春·全国·九年级专题练习）如图，，AF：BF＝2：5，BC：CD＝4：1，则AE：EC的值为（   ） A．5：2 B．1：4 C．2：1 D．3：2 【答案】C 【分析】根据，可得，进而得出＝＝，＝，求出AG＝BD，CD＝BD，再求出即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴＝， ∵AF：BF＝2：5， ∴＝， 即AG＝BD， ∵BC：CD＝4：1，BC+CD＝BD， ∴CD＝BD， ∴＝＝， ∵， ， ∴＝＝， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【经典例题六 平行线分线段中的X字型相似】 【例6】（2024·广西柳州·三模）如图，已知，，，则的长等于（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得，将代入，即可求出的长． 本题主要考查了平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．弄清楚对应线段是解题的关键． 【详解】， ， ， ， ， 解得 故选：C． 1．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图，，若，，，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线所截线段对应成比例，根据得到对应线段成比例即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，，， ∵，，， ∴， 故选：D； 2．（2024·贵州贵阳·一模）如图，直线，直线和被，，所截，如果 则 的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴， 解得， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，直线分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且． (1)如果，，求的长． (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键． （1）利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． （2）利用平行线分线段成比例定理求得，代入数值可求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题七 平行线分线段中的#字型相似】 【例7】（23-24九年级上·河南许昌·期末）如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知，，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段的对应线段成比例是解题的关键； 由得，代入数值求解即可． 【详解】解：， ， ，，， ， 解得：， 故选：C 1．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、．若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，根据三条平行线截两条直线所对应线段成比例，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理的应用． 【详解】∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24九年级下·湖南湘潭·阶段练习）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 都在横线上，若线段，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D， 根据题意，设， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知，它们依次交直线，于点A，B，C和点D，E，F．如果，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理得到，把已知数据代入计算即可； 【详解】解：， ，即， ． 【经典例题八 平行线分线段成比例与重心、中位线的综合应用】 【例8】（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，是的重心，延长交于点，延长交于点，，分别是和的重心，长为12，则的长为（    ） A．2 B．2．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】连接、，并延长，分别交于一点，连接、，由题意易得，，，，进而可求解． 【详解】解：连接、，并延长，分别交于一点，连接、，如图所示： ∵是的重心，延长交于点，延长交于点， ∴，， ∴，， 又∵分别是和的重心， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形的重心及平行线所截线段成比例，熟练掌握三角形的重心及平行线所截线段成比例是解题的关键． 1．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）如图，DE、NM分别是ABC、ADE的中位线，NM的延长线交BC于点F，则：S四边形MFCE等于（    ） A．1：5 B．1：4 C．2：5 D．2：7 【答案】B 【分析】过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G，得到NM∥AG，根据三角形中位线定理得到DE∥BC，得到AG＝PG，求得NM＝AG＝PG，根据三角形和平行四边形的面积即可得到结论． 【详解】解：过N作NH⊥DE于H，过A作AP⊥BC于P交DE于G， ∴NM∥AG， ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴AG＝PG， ∵M是DE的中点， ∴DM＝ME＝DE， ∵NM∥AG，AN＝DN， ∴＝＝， ∴NM＝AG＝PG， ∵DM＝ME， ∴S△DMN：S四边形MFCE＝＝＝1：4． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理及平行线分线段成比例定理．本题关键是找准比例关系求解． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，点G是的重心，，交于点F，则 ，等于 ． 【答案】 2：1 3：1：2 【分析】根据重心的性质得到E是AC的中点，D是BC的中点，再根据平行线分线段成比例得到，再根据重心的性质得到AF=3FG，从而可得结论． 【详解】解：∵点G为△ABC的重心， ∴E是AC的中点，D是BC的中点， 又∵EF∥BC， ∴， ∴， ∴DG=2FG， ∵G为重心， ∴AG=2DG=4FG， ∴AF=3FG， ∴AF：FG：GD=3：1：2， 故答案为：2：1，3：1：2． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出BG：EG=2：1是解决问题的关键． 3．（2024·山西阳泉·一模）阅读下面材料，并完成相应的任务． 三角形中位线的折法 如图1，在中，，将向下对折，使点A与点C重合，得到折痕，则垂直平分，易得是的中位线， 如图2，借鉴直角三角形中位线的折法，可以折出锐角三角形的中位线． 第一步，将向左对折，使点C的对应点落在上，展开后，得到折痕； 第二步，将向下对折，使点A与点P重合，得到折痕，则是的中位线． 理由如下：设与交于点Q． 第一次折叠可得，第二次折叠可得，且． ∴． ∵．∴（依据）． ∵，∴，AE=CE． ∴是的中位线， 如图3，继续探究其他折法： 第一步，将向左对折，使点C的对应点落在上，展开后，得到折痕； 第二步，将向下对折，使点A的对应点落在上，点M的对应点落在折痕上，则是的中位线． 任务： (1)写出材料中的依据：_____． (2)请根据图3的折法，求证：是的中位线． 【答案】(1)平行线分线段成比例 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得答案； （2）由第一次对折可得：，，由第二次对折可得：，，，可得，是的垂直平分线，则，如图，连接交于，再结合平行线分线段成比例即可得到结论． 【详解】（1）解：∵． ∴（平行线分线段成比例） （2）由第一次对折可得：，， 由第二次对折可得：，，， ∴，是的垂直平分线， ∴， 如图，连接交于， ∵， ∴， ∴，， ∴是的中位线． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，三角形的中位线的含义，线段的垂直平分线的判定与性质，理解对折的含义是解本题的关键． 【经典例题九 作平行线构造平行线分线段成比例】 【例9】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，是边上中线，是上一点，且，连接并延长交于，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是求出、、之间的关系．先过点作交于，由平行线分线段成比例可得，再根据，得出，最后根据，即可得出答案． 【详解】解：过点作交于， 是边上中线， ， 即， 又， ， ， ； 故选：D 1．（22-23七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图所示，，是线段的中点，和交于点，已知的面积是，求四边形的面积（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，过点作，交于，先证得，再证明，由此得到，根据， 求出的面积，即可得到答案． 【详解】如图，过点作，交于，    ∵点是的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，三角形中线的性质，根据线段比的关系求出三角形的面积，题中由中点引出辅助线是解题的关键． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，D是的中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，如图，过点F作于点M，于点N，过点D作交于点T，证明，设，证明；设，则，求出，可得结论 【详解】解：过点F作于点M，于点N，过点D作交于点T，如图， ∵平分 ∴， ∴ ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴, 设，则， ∵, ∴, ∴ ∴的周长， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，为边上的中线，为上的点，连接并延长，交于． (1)若是的中点，则______； (2)若，则______； (3)若，则______； (4)若，猜想______，并证明． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线定理，解题的关键是： （1）取中点G，连接，根据三角形中位线定理得出，根据平行线分线段成比例得出，然后根据比例的性质求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）仿照（1）求解即可； （4）仿照（1）求解即可． 【详解】（1）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （2）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （3）解：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； （4）解： 理由：取中点G，连接，则， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∵ ∴， 又 ∴， 即， 故答案为：； 【经典例题十 作垂线构造平行线分线段成比例】 【例10】（2024·河北衡水·一模）如图，以的边为边作正方形，与，分别交于点F，G，若，，，则的长为（    ） A．12 B．24 C．25 D．26 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理；过作，由三角形中位线定理可求出的长，由正方形的性质及可判定，由全等三角形的性质得，，由勾股定理得 ，即可求解；掌握判定方法及性质，能根据题意作出辅助线，通过勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图，过作， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ∴()， ， ， ； 故选：D． 1．（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上，若直线且相邻两直线间距离相等．若，，则，之间的距离为（    ）．    A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，矩形的性质，勾股定理以及平行线的定义等知识，熟练掌握平行线分线段成比例以及平行线之间等距离是解答本题的关键． 过A点作于点N，交于点M，根据平行线分线段成比例以及平行线之间等距离可得，进而可得，再利用勾股定理可得，结合三角形的面积即可求解． 【详解】过A点作于点N，交于点M，如图，    ∵在矩形中，， ∴，， ∵直线且相邻两直线间距离相等，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·安徽宣城·三模）如图，在中，，，，点为的中点，于点． （1）的长为 ； （2）的值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质． （1）根据线段的中点定义可得，在中，利用勾股定理可得，然后利用面积法进行计算即可解答； （2）过点作，交的延长线于点，根据垂直定义可得，从而可得，再在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，然后根据证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后利用平行线分线段成比例定理进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）点为的中点，， ， ，， ， ， 的面积， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）过点作，交的延长线于点， ，， ， ∴， 在中，，， ， ， ， ，， ， ， ∵， ， 故答案为：． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知正方形，点是边上的一个动点（不与点、重合），点在上，满足，延长交于点． (1)求证：； (2)连接，当时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查的是正方形的性质、等腰三角形性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，牢记性质是解题关键， （1）根据正方形性质得出，再根据即可求出结论； （2）作于点，作于点，证明，进而证出，利用求出即可求出结论． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，， ，， ， ，， ， ， ， ． （2）解：如图1，作于点，则， ， ， ， ， ， ， 作于点，则， ， ， ， ， ， ， 的值是2． 【经典例题十一 平行线分线段成比例综合】 【例11】（23-24八年级上·上海崇明·期末）在中，，，，平分交于点D，垂直平分线段交于点E，交的延长线于点F，则之长为（　　） A．5 B．6 C． D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的性质和垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，掌握应用等积变换可求得边之比是解题的关键．根据三角形的等积变换，可得出，则结合已知可得，，根据平行线的性质及等量代换可得，代入解答出即可． 【详解】解：如图，延长交于G，连接， ，， 平分 到、的距离h相等， 设点A到距离为y 则，， ， 又， ，， 又， ， ， ， 垂直平分线段，得， 同理， 即， ； 故选：B． 1．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设交于点H，正方形边长为，由作图知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，证明，推出，推出，得到，即得． 【详解】连接，设交于点H，正方形边长为， 由作图知，，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键． 2．（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点，．若大正方形与小正方形的面积之比为，，则大正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】设小正方形在线段上的一个顶点为M，与相交于点P，由大正方形与小正方形的面积之比为5，可推出，设，，则，利用勾股定理和多项式的因式分解推出；延长交于点N，利用平行线分线段成比例定理可证N是的中点以及，设，则，证得，同理得，由此可推出；由，得，可求得与的长，最后由求出a的值即可． 【详解】解：设小正方形在线段上的一个顶点为M，与相交于点P， ∵大正方形与小正方形的面积之比为5， ∴， ∴， 设，，则， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长交于点N，    ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，因式分解等知识，灵活运用平行线分线段成比例定理和勾股定理求出线段之间的关系是解答本题的关键． 3．（23-24八年级下·江苏南京·期末）定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例． (1)探究说理 如图1，已知中， 平分，求证：． 请根据提示完成证明． 证明：显然， 作于点E，于点F，… (2)问题解决 ①如图2，已知正方形的边长为1，E为边上的一点，，求的长． ②如图3，在矩形中， 平分，将沿直线折叠，使点A落在边上的点处，分别交于点G、H，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】此题考查了角平分线的性质、平行线分线段成比例定理、正方形的性质、矩形的折叠等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）由底不等高相等的三角形可得，作于点E，于点F，由角平分线性质得到，由三角形面积公式可得，即可得到结论； （2）①连接，求出，证明平分，由（1）的结论可知，，代入数值即可得到答案；②推导出，四边形是矩形，则，，求出，得到，由勾股定理求出，由即可得到答案． 【详解】（1）证明：显然， 作于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①如图2，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 即平分， 由（1）的结论可知，， ∴， 解得 ②∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠可知，，垂直平分， ∴，，， ∴，四边形是矩形， ∴，， 解得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【经典例题十二 平行线分线段成比例多结论问题】 【例12】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质得到平行线，利用平行线分线段成比例定理计算判断即可． 【详解】∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A正确； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故C正确； ∵平行四边形， ∴， ∴, 故D正确； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故B错误； 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 1．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，D．F．E分别在边BC．AB．AC上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四边形AFDE是平行四边形，于是得到DF∥AC，DE∥AF，利用平行线分线段成比例定理，分别找出对应线段即可得到结论． 【详解】解：∵四边形AFDE是平行四边形， ∴DF∥AC， DE∥AB． ∴． 故A错误； ∵ DE∥AB， ∴． 故B正确； ∵DF∥AC， ∴，． ∴． 故C正确； ∵DF∥AC，DE∥AB， ∴，． ∴． 故D正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平分线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理并能准确找出成比例的对应线段是解题的关键． 2．（23-24九年级上·山西太原·期中）如图，直线，直线分别交于点，直线分别交于点，直线与相交于点，则下列说法中， 错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵直线， ∴，A选项正确，不符合题意； ，B选项正确，不符合题意； ，C选项不正确，符合题意； ，D选项正确，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，在写比例式时一定是对应线段成比例． 3．（23-24九年级上·全国·单元测试）在△ABC中，D、F、E分别在边BC、AB、AC上一点，连接BE交FD于点G，若四边形AFDE是平行四边形，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四边形AFDE是平行四边形，于是得到DF∥AC，DE∥AF，即可得到结论． 【详解】∵四边形AFDE是平行四边形， ∴DF∥AC，DE∥AF， ∴，，故A，B正确， ∵DF∥AC， ∴，， ∴，故C正确； ∵DF∥AC， ∴，故D错误； 故选D． 【点睛】本题考查了平分线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 1．（上海市普陀区2024-2025学年九年级上学期数学期中考试试卷）如图，在中，点D、E和F分别在边、和上，，，如果，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例结合平行四边形逐个判断即可． 【详解】解：∵，设，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， A、由可得，，故选项A错误，不符合题意； B、由可得，故选项B错误，不符合题意； C、由可得，故选项C正确，符合题意； D、由可得，，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知中，D、E分别是边、上的点，下列各式中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例判断作答即可． 【详解】解：由题意知，不能判断，故A不符合要求； 不能判断，故B不符合要求； 不能判断，故C不符合要求； 由可得，，故D符合要求； 故选：D． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，是边上中线，是上一点，且，连接并延长交于，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是求出、、之间的关系．先过点作交于，由平行线分线段成比例可得，再根据，得出，最后根据，即可得出答案． 【详解】解：过点作交于， 是边上中线， ， 即， 又， ， ， ； 故选：D 4．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在间加绑一条安全绳（线段）量得，则的长度为（    ） A．0.8m B．1m C．1.5m D．2m 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，两条直线截一组平行线，截得的对应线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故选C 5．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，求的长．小明的解题过程如下： 解：过点D作，交于H，则，，，，． 下列结论正确的是（   ） A．①应填 B．①应填 C．②应填3 D．②应填 【答案】D 【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 如图：过点D作，交于H，再根据平行线分线段成比例定理和线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点D作，交于H， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①应填，②应填． 故选：D． 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，点D、E分别在边上，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 设上的高为，由，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：设上的高为， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，直线，直线依次交、、于、、三点，直线依次交、、于、、三点，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，D是的中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，如图，过点F作于点M，于点N，过点D作交于点T，证明，设，证明；设，则，求出，可得结论 【详解】解：过点F作于点M，于点N，过点D作交于点T，如图， ∵平分 ∴， ∴ ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴, 设，则， ∵, ∴, ∴ ∴的周长， 故答案为：． 9．（2023·安徽宿州·一模）如图，在中，平分，过点A作交于点H，且H是的中点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形的中位线，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，作交于点K，由平行线分线段成比例定理可证，根据勾股定理求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：作交于点K， ∴，． ∵H是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，菱形的边长为6，将一个直角的顶点置于菱形的对称中心处，此时这个直角的两边分别交边于M，N，若，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】连接，则过点O，先证明是的中位线，再根据中位线性质求出的长，再在中，根据勾股定理即可求出结果． 本题考查了菱形的性质，平行线分线段成比例，中位线定理，勾股定理，本题的关键是辅助线的作法． 【详解】解：连接， ∵菱形，为对称中心， ∴过点O， ，， ， ∴， ∴， ∴是的中位线， ， 在中， ． 故答案为：． 11．（2024九年级上·河北·专题练习）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且． (1)如果，，，求的长； (2)如果，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理并找准对应线段是解题的关键． （1）由平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长； （2）由平行线分线段成比例定理得到，由得到，即，即可得到的长， 【详解】（1）解：∵，，，， ， 即， 解得：； （2）解：∵，， ， 即， 解得：． 12．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形中，点E在边上，点F在的延长线上，．过点E作，垂足为G，连接． (1)求的度数； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、正方形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过点G作，交于点N，延长交的延长线于点M，则四边形是矩形，证明，得出为等腰直角三角形从而得到，即可得解； （2）设，则，求出，，再由平行线分线段成比例定理即可得解． 【详解】（1）解：过点G作，交于点N，延长交的延长线于点M， ， 则， 四边形是矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 为等腰直角三角形， ， ； （2）解：设，则， ， ， ∵， ∴． 13．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图是由边长均为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点D为的中点．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中，在上找点，连结，使得； (2)在图②中，在上找点M，使得； (3)在图③中，在上找点F，连结，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了格点作图，平行四边形的判定与性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）取格点M、N，连接交于E，连接即可； （2）取格点E、F、G、H、K，作直线，，，交于M，即可求解； （3）取格点N、M、E，连接交于F，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 由图知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴E是中点， 又D为的中点， ∴； （2）解：如图，点M即为所求， 由图知：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理， ∴， 连接，， 同理四边形是平行四边形， ∴，互相平分， 又D为的中点， ∴经过点D， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，即为所求， 由图知：，，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又D为的中点， ∴． 14．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，是的中线，点M在上，连接并延长交于点N．      【填空】 （1）若，则 ； （2）若，则 ； （3）若，则 ； … 【论证】请选择上述情况中的一种，画出符合条件的图形，并证明你的结论； 【猜想】若，则 （用含n的代数式表示，不用说明理由）． 【答案】[填空]（1）；（2）1；（3）；[论证]见解析；[猜想] 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，三角形中位线定理，解题的关键是通过构造三角形的中位线为使用平行线分线段成比例作铺垫． [填空]（1）取中点G，连接，根据三角形中位线定理得出，根据平行线分线段成比例得出，然后根据比例的性质求解即可； （2）仿照（1）求解即可； （3）仿照（1）求解即可； [论证]见上述解析； [猜想] 仿照（1）求解即可． 【详解】[填空]：解：（1）取中点G，连接，则，    ∵为边上的中线， ∴点为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：； （2）取中点G，连接，则，    ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：1； （3）取中点G，连接，则，    ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； 故答案为：; [论证]：上述已证明； [猜想]解：取中点G，连接，则，    ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·全国·期末）如图，由绕点A按逆时针方向旋转得到，且点B的对应点D恰好落在的延长线上，相交于点P． (1)求的度数； (2)F是延长线上的点，且． ①判断和的数量关系，并证明； ②求证：． 【答案】(1) (2)①，证明见解析②证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质，得出，进而得出，求出结果； （2）①由旋转的性质得出，，进而得出，再根据已知条件得出，最后得出结论即可； ②过点作交于点，得出，由全等得出，，最后得出结果． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． （2）①． 证明：由旋转的性质可知，，， 在中，， ∵，， ∴， 即， ∴． ②过点作交于点， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质、三角形内角与外角的关系、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行线分线段成比例等基础知识，解题的关键是熟练运用这些性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$