专题01 成比例线段重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题01 成比例线段重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 根据成比例线段求值 题型二 比例尺的应用 题型三 根据比例的性质判断式子的正误 题型四 根据比例的性质求参数值 题型五 根据比例的性质求代数式的值 题型六 根据比例的性质证明结论 题型七 利用比例的性质比较大小 题型八 比例性质的应用 题型九 黄金分割 题型十 黄金分割的应用 题型十一 成比例线段的综合应用 知识点1：成比例线段 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点2：比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 知识点3：黄金分割 若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 【经典例题一 根据成比例线段求值】 【例1】（2024·湖南永州·一模）已知线段成比例，且，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·河南商丘·期末）下列四条线段中，能与，，这三条线段组成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广西百色·期中）已知线段，，，且线段成比例，则 ． 3．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值． 【经典例题二 比例尺的应用】 【例2】（22-23九年级上·浙江金华·期中）在比例尺为的地图上，测得两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）在比例尺是某市旅游交通图上，高庄和郭村两景点距离长约，则实际长度为（  ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南南阳·期中）在比例尺为1：5000000的地图上，若测得甲、乙两地间的图上距离为5厘米，则甲、乙两地间的实际距离为 千米． 3．（23-24九年级上·全国·期中）小华的父亲计划修建一个矩形草坪，按的比例尺画出了草坪图（如图），他准备在草坪内栽种面积为平方米的小矩形草皮，在草坪四周每隔厘米种一株小杜鹃，你能帮助小华的父亲算算他需购买多少块小矩形草皮与多少株杜鹃吗？    【经典例题三 根据比例的性质判断式子的正误】 【例3】（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）若，则下列等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·河北唐山·期末）若，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 3．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知，判断下列比例式是否成立，并说明理由． (1)． (2)． 【经典例题四 根据比例的性质求参数值】 【例4】（22-23九年级上·安徽·阶段练习）已知：a、b、c满足（），则k的值为（　　） A．2 B．0或2 C． D．2或 1．（24-25九年级上·辽宁丹东·期中）已知，且，则a的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知，且，则 ． 3．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 【经典例题五 根据比例的性质求代数式的值】 【例5】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·内蒙古包头·期末）若，则的值为（    ） A． B．1 C．1.5 D．3 2．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）已知，求 ． 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知，求，的值． 【经典例题六 根据比例的性质证明结论】 【例6】（23-24九年级·山东淄博·期末）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证； (3)如果，求证． 1、（2024九年级·全国·专题练习）已知，且.求证：. 2、（23-24九年级·全国·单元测试）已知，且，求证：． 3、（23-24九年级·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下： 解；设，则有： ，，， 将以上三个等式相加，得. ，，都为正数， ，即，. . 仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数，，满足，求的值； （2）已知，，，互不相等，求证：. 【经典例题七 利用比例的性质比较大小】 【例7】（23-24九年级·河北保定·期末）若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 1、（23-24九年级·浙江杭州·期中）如果，，满足，则，，之间的关系是（　　） A． B． C． D． 2、（2024九年级·北京西城·专题练习）已知＝＝≠0，设x＝，y＝，z＝， 试判断x，y，z的大小关系． 3、（23-24九年级·广东珠海·期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数. （1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）； （2）若请判断和的大小关系，并证明； （3）令若分式的值为3，求t的值. 【经典例题八 比例性质的应用】 【例8】（23-24九年级·浙江·自主招生）设，，均为非负实数，并且，则（    ） A． B． C． D． 1．（22-23九年级上·重庆九龙坡·期末）已知代数式，，，下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，b为关于a的方程的一个解，则； ④若，则；其中正确的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知a、b、c均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 3．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题： (1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． (2)已知，那么成立吗？请说明理由． (3)如果，求的值． 【经典例题九 黄金分割】 【例9】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，线段，最接近线段的黄金分割点是（　） A．D B．E C．F D．D 或F 1．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为，则线段的长为（   ）．    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．主持人站在舞台的黄金分割点的位置会更自然得体，如图，舞台长米，，是线段的黄金分割点（即，），若主持人从舞台黄金分期点走到另一个黄金分割点，则的长为 米．（结果保留根号） 3．（24-25八年级上·上海普陀·期中）线段上的一点将分割成、两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点是线段的黄金分割点，求的长度． 【经典例题十 黄金分割的应用】 【例10】（2024·山东潍坊·三模）在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度为 ．（结果保留根号） 3．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）综合与实践．实践主题：黄金分割数． (1)材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数． 若设线段，的长为x，则可表示为， ∵，  ∴， …，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）． (2)实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）． 【经典例题十一 成比例线段的综合应用】 【例11】（2023·浙江温州·一模）如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 1．（2024·江苏南通·一模）如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知在中，点分别为边上的点，且相交于点，如果，那么的值为 ． 3．（2023·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 1．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知、是线段上的两个黄金分割点，其中，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）若，则下列等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）若（b、d、f均为正数），则下列式子不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为，则线段的长为（   ）．    A． B． C． D． 5．（2024·宁夏吴忠·一模）如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果，那么的值为 ． 7．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知，那么 ． 8．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知a、b、c均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）比例尺为的地图上，杭州到嘉兴的图上距离约是，则杭州到嘉兴的实际距离是 ． 10．（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 11．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知线段a、b、c，且．若线段a、b、c满足，求的值． 12．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知 是的三边长，且， 求： (1)的值． (2)若的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状． 13．（2024·福建厦门·模拟预测）活动一：某数学兴趣小组在研究“黄金比例与黄金矩形”，阅读课本时发现可以通过折叠得到黄金矩形．请根据每一步的操作完成以下填空．（假设原矩形纸片的宽为） ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则______； ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则_______； ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则_______； ④展平纸片，按照所得到的点D折出，则_______，我们将这个比值称为黄金比，将宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形，如图4矩形就是一个黄金矩形． 活动二：类似的，我们将底与腰的比等于黄金比的等腰三角形称为黄金三角形． 如图，已知线段a，请你根据以下步骤作出以为腰长的黄金三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 步骤一：作一条线段，使得的长度等于的腰长； 步骤二：作一条线段，使得的长度等于的底边长； 步骤三：作黄金三角形． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 15．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 成比例线段重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 根据成比例线段求值 题型二 比例尺的应用 题型三 根据比例的性质判断式子的正误 题型四 根据比例的性质求参数值 题型五 根据比例的性质求代数式的值 题型六 根据比例的性质证明结论 题型七 利用比例的性质比较大小 题型八 比例性质的应用 题型九 黄金分割 题型十 黄金分割的应用 题型十一 成比例线段的综合应用 知识点1：成比例线段 1．比例的项： 在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足． 2．成比例线段： 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点2：比例的性质 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 知识点3：黄金分割 若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 【经典例题一 根据成比例线段求值】 【例1】（2024·湖南永州·一模）已知线段成比例，且，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例线段，根据线段成比例，可得，由可得，把，代入比例式计算即可求解，掌握成比例线段的定义是解题的关键． 【详解】解：∵线段成比例， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 1．（23-24九年级上·河南商丘·期末）下列四条线段中，能与，，这三条线段组成比例线段的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了成比例的线段．熟练掌握若四条线段满足，则是成比例的线段是解题的关键． 根据成比例的线段的定义进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，故A不符合要求； ，故B不符合要求； ，故C不符合要求； ，故D符合要求； 故选：D． 2．（24-25九年级上·广西百色·期中）已知线段，，，且线段成比例，则 ． 【答案】 【分析】本题考查比例线段，根据成比例线段的概念，得，把，，代入求出的值，正确理解比例线段是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴ ∴， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值． 【答案】(1)6，4，12 (2)8 【分析】本题主要考查了比例线段，解一元一次方程， （1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值； （2）根据题意得，代入求得d即可． 【详解】（1）解：， 设，，， 又， ， 即， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ， ， ； （2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ， ， 即， 【经典例题二 比例尺的应用】 【例2】（22-23九年级上·浙江金华·期中）在比例尺为的地图上，测得两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设两地间的实际距离为，根据比例线段得，然后解方程即可． 【详解】解：设两地间的实际距离为， 根据题意得， 解得． 所以两地间的实际距离为， 故选：C． 【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 1．（23-24九年级上·安徽·阶段练习）在比例尺是某市旅游交通图上，高庄和郭村两景点距离长约，则实际长度为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图上距离：实际距离=比例尺，即可列式解题. 【详解】设实际长度为xcm， ， 得x=507000（cm）， ∴x=5.07（km）， 故此题选择A. 【点睛】此题考查线段成比例性质的实际运用，注意长度单位要统一. 2．（23-24九年级上·河南南阳·期中）在比例尺为1：5000000的地图上，若测得甲、乙两地间的图上距离为5厘米，则甲、乙两地间的实际距离为 千米． 【答案】250 【分析】要求两地的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺=实际距离”，代入数值计算即可． 【详解】解：（厘米） 厘米=千米 答：两地间的实际距离是km． 故答案为：． 【点睛】此类型的题目都可根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论． 3．（23-24九年级上·全国·期中）小华的父亲计划修建一个矩形草坪，按的比例尺画出了草坪图（如图），他准备在草坪内栽种面积为平方米的小矩形草皮，在草坪四周每隔厘米种一株小杜鹃，你能帮助小华的父亲算算他需购买多少块小矩形草皮与多少株杜鹃吗？    【答案】共需块小矩形草皮，株杜鹃． 【分析】根据比例尺求出草坪的长和宽，进而求出面积周长，继而利用除法运算即可求出小草皮的块数与杜鹃的株数. 【详解】由于比例尺为1：100，根据图纸可知草坪的长为：5×100=500cm=5m，宽为：3×100=300cm=3m , 所以草坪的面积为：5×3=15m2，共需要草皮15÷0.02=750（块）， 周长为：（5+3）×2=16m，需要杜鹃16÷0.5=32（株）， 答：共需要小矩形草皮750块，32株杜鹃. 【点睛】本题考查了比例尺的应用，根据比例尺求出草坪的长和宽是解决此题的关键. 【经典例题三 根据比例的性质判断式子的正误】 【例3】（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）若，则下列等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质，根据比例的基本性质判断即可，掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】解；A、根据比例的基本性质可以推出，故选项不符合题意； B、根据比例的基本性质可以推出，故选项不符合题意； C、根据比例的基本性质可以得到，故选项不符合题意； D、根据比例的基本性质可以得到，不能推出，故选项符合题意； 故选：D． 1．（23-24九年级上·河北唐山·期末）若，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例设x＝2k，y＝3k，然后对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：∵， ∴设x＝2k，y＝3k， A、，故本选项结论正确； B、，故本选项结论正确； C、，故本选项结论错误； D、，故本选项结论正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y求解是解题的关键． 2．（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 【答案】①②③ 【分析】先讨论顶角为和的等腰三角形中的黄金分割关系，再在题中的所给图形中分析出顶角为和的等腰三角形，逐个判断即可．本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形的相关性质及黄金分割的比例关系，并能准确的计算是本题的解题关键． 【详解】解：如图1，中，，，平分， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，， ， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图2，中，，，， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，，则， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图，连接、、、、， 五边形为正五边形，， ， ， ，故①正确； 易证：，， 和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ，故②正确； 由题得和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ， ， ，故③正确； 在中，，， 由图1得：， 即：，故④错误， 故答案为：①②③． 3．（23-24九年级上·浙江金华·阶段练习）已知，判断下列比例式是否成立，并说明理由． (1)． (2)． 【答案】(1)成立，见解析 (2)不成立，见解析 【分析】本题考查了比例的性质，等式的性质，熟练掌握比例的性质，等式的性质是解题的关键 （1）由，可得，根据，可证． （2）设，则．则，然后进行判断作答即可． 【详解】（1）解：比例式成立．理由如下： ∵， ∴， ∴，即． （2）解：比例式不成立．理由如下： 设，则． ∵， ∴， 又∵， ∴． 【经典例题四 根据比例的性质求参数值】 【例4】（22-23九年级上·安徽·阶段练习）已知：a、b、c满足（），则k的值为（　　） A．2 B．0或2 C． D．2或 【答案】D 【分析】分两种情况：①当时，，求出；②当时，根据比例的性质，可求出，再得出答案即可． 【详解】解：分两种情况：①当时，， 所以； ②当时， ， ∴ ， 所以k的值为2或， 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 1．（24-25九年级上·辽宁丹东·期中）已知，且，则a的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】设，则利用比例性质得到，，，再把它们分别代入得到关于的方程，然后解方程求出，从而得到a的值．本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质是解决问题的关键． 【详解】解：依题意，设， 则，，， ， ， 解得， ∴ 故选：A． 2．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知，且，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是设，求得出k的值．设（），则，，，根据，求出k的值，然后得出x，y，z的值，即可解答． 【详解】解：设（）， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴． 3．（22-23九年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）已知，，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）设，将x、y、z都用k表示，再将其代入即可解答； （2）根据比例得基本性质可得，，，联立相加后进行分类讨论即可． 【详解】解（1）设， 则，，， ． （2）∵， ∴，，， 联立得：， ∴ 当时，， 当时， ∴或． 【点睛】本题主要考查了比例得基本性质，解题的关键是熟练掌握比例的各个基本性质：内项之积等于外项之积，合比性质，分比性质以及等比性质． 【经典例题五 根据比例的性质求代数式的值】 【例5】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，代数式求值．熟练掌握：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变；是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 1．（22-23九年级上·内蒙古包头·期末）若，则的值为（    ） A． B．1 C．1.5 D．3 【答案】A 【分析】先用b、d、f分别表示出a、c、e，再代入要求的式子即可． 【详解】解： 由， ， ， 故选：A． 【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义． 2．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）已知，求 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了比例的性质和分式的约分． 根据可设其中，代入进行化简即可． 【详解】解：由可设其中， ∴， 故答案为： 3．（23-24九年级上·全国·课后作业）已知，求，的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质得到，代入求值即可． 【详解】.解：由已知得， ， ． 【经典例题六 根据比例的性质证明结论】 【例6】（23-24九年级·山东淄博·期末）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证； (3)如果，求证． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了分式的求值，比例的性质： （1）先根据已知条件得到，，再把代入中进行求解即可； （2）设，则，，再分别计算出和的值即可证明结论； （3）求出，进而可得。 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴； （2）证明：设，则，， ∴，， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴， ∴． 1、（2024九年级·全国·专题练习）已知，且.求证：. 【答案】见解析 【分析】根据已知设，分别用k表示a、b、c，相加得出k的值，代入方程组即可得出 【详解】设，从而，，， 于是（+）， 又因为，所以； . 【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k的值是解题的关键 2、（23-24九年级·全国·单元测试）已知，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】由得到，则利用等式的基本性质得到，，则，利用比例的基本性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了比例的基本性质，等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 3、（23-24九年级·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数，，满足，求的值”时，采用了引入参数法，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出，，之间的关系，从而解决问题.过程如下： 解；设，则有： ，，， 将以上三个等式相加，得. ，，都为正数， ，即，. . 仔细阅读上述材料，解决下面的问题： （1）若正数，，满足，求的值； （2）已知，，，互不相等，求证：. 【答案】（1）k=；（2）见解析． 【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题； （2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立． 【详解】解：（1）∵正数x、y、z满足， ∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y）， ∴x+y+z=3k（x+y+z）， ∵x、y、z均为正数， ∴k=； （2）证明：设=k， 则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a）， ∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a）， ∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0， ∴8a+9b+5c=0． 故答案为（1）k=；（2）见解析． 【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键． 【经典例题七 利用比例的性质比较大小】 【例7】（23-24九年级·河北保定·期末）若，设，，，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，设x=2a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可． 【详解】解：∵，设x=2a，y=7a，z=5a， ∴=， ==1， ==2． ∴A＜B＜C． 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键． 1、（23-24九年级·浙江杭州·期中）如果，，满足，则，，之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴，， ∴，∴．故选． 2、（2024九年级·北京西城·专题练习）已知＝＝≠0，设x＝，y＝，z＝， 试判断x，y，z的大小关系． 【答案】z>y>x 【详解】设 = = =k（k≠0）， ∴a=2k，b=7k，c=5k， ∴x=== ， y= = =1， z= ==2， ∴z>y>x. 3、（23-24九年级·广东珠海·期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数. （1）若，，则 ， （用“＞”，“＜”或“=”填空）； （2）若请判断和的大小关系，并证明； （3）令若分式的值为3，求t的值. 【答案】（1）=；=；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由，，得到a=2b，c=2d，代入化简即可得到结论； （2）设，则，得到a=bt，c=dt，代入化简即可得到结论； （3）由已知得到：a=ct，b=dt.代入分式，化简后解方程即可得出结论. 【详解】（1）∵，， ∴a=2b，c=2d， ∴，. 故答案为：=； （2）=.理由如下： 设，则， ∴a=bt，c=dt， ∴， ， ∴=； （3）∵， ∴a=ct，b=dt. ∵2=3， ∴. 解得：t=. 经检验：t=是原方程的解. 【点睛】本题考查了比例的性质以及解分式方程.设参法是解答本题的关键. 【经典例题八 比例性质的应用】 【例8】（23-24九年级·浙江·自主招生）设，，均为非负实数，并且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知等式变形，分别求得的值，进而即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴ ∴ ∴，， ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例的性质，分式求值，根据已知等式变形是解题的关键． 1．（22-23九年级上·重庆九龙坡·期末）已知代数式，，，下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若，b为关于a的方程的一个解，则； ④若，则；其中正确的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①，设，代入A、B、C，进行计算即可判断； ②根据得，分和两种情况求解即可； ③当时，代入A、B、C，可得，根据b是方程④的一个实根得，进行即可判断； ④根据a，b，c为正整数，且得，即可判断； 【详解】解：①，设， ∴， 即， 故①正确； ②∵， ∴， 若，即， 则， 若， 则， 即A的值为或， 故②不正确； ③当时，，，， ∴， ∵b是方程的一个实根， ∴， ∴， ∴， 故③不正确； ④∵a，b，c为正整数，且， ∴， ∴， 故④正确； 综上，①④正确，正确的个数是2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，分式的运算，比例的性质，解题的关键是掌握这些知识点，并正确计算． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知a、b、c均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 【答案】或8 【分析】本题考查了比例的性质以及分式的化简求值，分类讨论是解题的关键． 设，进而得出，再进行分类讨论进行化简求值即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴， ∴， 当时，则； 当时，则，即； 故答案为：或8． 3．（22-23九年级上·江苏南京·阶段练习）我们知道：选用同一长度单位量得两条线段，的长度分别是，，那么就说两条线段的比，如果把表示成比值，那么或．请完成以下问题： (1)四条线段，，，中，如果 ，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． (2)已知，那么成立吗？请说明理由． (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2)如果，那么成立，详见解析 (3)或 【分析】（1）根据成比例线段的定义即四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段，解答即可． （2）根据等式的性质，或设比值k的方法求解即可． （3）分和两种情况求解． 【详解】（1）根据题意，得四条线段，，，中，如果，那么这四条线段，，，叫做成比例线段． 故答案为：． （2）解法1： 如果，那么成立．理由： ， ， ∴， ． 解法2： 如果，那么成立．理由： ， ， 即， ． （3）①当时， ，，， 为其中任何一个比值，即； ②时， ． 所以或． 【点睛】本题考查了比例的性质，等比的性质，熟练掌握性质并灵活运用解题是解题的关键． 【经典例题九 黄金分割】 【例9】（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，线段，最接近线段的黄金分割点是（　） A．D B．E C．F D．D 或F 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割的定义，注意掌握把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．根据题意先计算出，然后把计算黄金分割后较长线段的长度，则可判断哪一点最接近线段的黄金分割点． 【详解】解：线段黄金分割后较长线段的长度为， ∵线段， ∴， ∴点F最接近线段的黄金分割点． 故选：C． 1．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为，则线段的长为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、二次根式、线段和与差的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和二次根式的性质，从而完成求解．根据、，通过勾股定理计算得；结合，计算得，从而得到的值，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，的长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．主持人站在舞台的黄金分割点的位置会更自然得体，如图，舞台长米，，是线段的黄金分割点（即，），若主持人从舞台黄金分期点走到另一个黄金分割点，则的长为 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点，点是线段的黄金分割点，米， ∴米， 米， ∴米． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·上海普陀·期中）线段上的一点将分割成、两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点是线段的黄金分割点，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查的是黄金分割点，读懂材料中黄金分割点的概念及公式是解决此题的关键． 设，根据点是线段的黄金分割点得出，解方程即可求解． 【详解】解∶设，则 ∵点是线段的黄金分割点， ∴，即， 化简，得， 解得，（舍去）， ∴的长度为． 【经典例题十 黄金分割的应用】 【例10】（2024·山东潍坊·三模）在世纪年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中为边的黄金分割点，即．已知为米，则线段的长为（     ）． A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割．设，则，根据求出的值，即可求解． 【详解】解析：∵， 设，则， ∵， ∴， 即， 解得：，（舍去）， ∴线段的长为米． 故选：B． 1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割比求线段长，熟记黄金分割比，根据题意，代值求解即可得到答案，熟记黄金分割比是解决问题的关键． 【详解】解：由黄金分割比，根据题意可得， ， ， 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的概念，根据黄金比值列式计算即可，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）综合与实践．实践主题：黄金分割数． (1)材料探索：如图1，我们知道，如果点P是线段上的一点，将线段分割成，两条线段，且满足，那么这种分割就叫做黄金分割．其中线段与的比值或线段与的比值叫做黄金分割数． 若设线段，的长为x，则可表示为， ∵，  ∴， …，根据此方法可计算出黄金分割数为_____________（结果保留根号）． (2)实践应用：二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，演奏家发现，二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处（“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短），奏出来的音调最和谐悦耳．如图2，一把二胡的琴弦长为，求“千斤”下面一截琴弦长（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义即可解决问题．熟知黄金分割的定义是解题的关键． （1）根据比例的性质得出关于x的一元二次方程，求解即可得出答案． （2）则令“千斤”下面一截琴弦长为，利用黄金分割数的定义，得出，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， 整理得： 解得：，（舍去）， 故黄金分割数为； （2）解：因为二胡的“千斤”钩在琴弦长的黄金分割点处，且“千斤”上面一截琴弦比下面一截琴弦短， 则令“千斤”下面一截琴弦长为， 所以， 解得， 所以“千斤”下面一截琴弦长为． 【经典例题十一 成比例线段的综合应用】 【例11】（2023·浙江温州·一模）如图，在正方形中，E为中点，连接，延长至点F，使得，以为边作正方形，《几何原本》中按此方法找到线段的黄金分割点H．现连结并延长，分别交于点P，Q，若的面积与的面积之差为，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，黄金分割，三角形的面积．连接，设，根据线段的中点定义可得，再根据正方形的性质可得，，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，然后利用线段的和差关系求出的长，再利用正方形的性质可得，，从而可得，进而可得是等腰直角三角形，最后利用等腰直角三角形的性质可得，再根据已知的面积−的面积=，可得的面积−的面积=，从而利用三角形的面积公式进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，         设， ∵E为中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵的面积−的面积， ∴(的面积+的面积）−(的面积+的面积）， ∴的面积−的面积， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故选：C． 1．（2024·江苏南通·一模）如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，延长与交于点，设正方形边长为，由，得到等边，由平行线截线段成比例得到，，的长度，在中，应用勾股定理，即可求解， 本题考查了，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，平行线截线段成比例，勾股定理，解题的关键是：连接辅助线，得到等边． 【详解】解：过点作，垂足为，延长与交于点，连接， 设正方形边长为， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴平行于， ∴，，，， 在中，，即：，解得：，（舍）， 故选：D． 2．（2024八年级·全国·竞赛）如图，已知在中，点分别为边上的点，且相交于点，如果，那么的值为 ． 【答案】2016 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，分式化简求值，解题的关键是设，，，得出，，，根据，得出，将化简为即可得出答案． 【详解】解：设，，， 则， 同理可得：，， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：2016． 3．（2023·宁夏银川·一模）如图①，点把线段分成两部分，若，那么称点为线段的黄金分割点． 类似的，可以定义“黄金分割线”：直线把一个面积为的图形分成面积为和的两部分，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线． (1)如图②，在中，若点是线段的黄金分割点，线段所在直线是的黄金分割线吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，如图③，过点作一条直线交边于点，过点作交的一边于点，连接，交于点，回答问题． ①______（填“＞”“＜”或“”）． ②是的黄金分割线吗？为什么？ 【答案】(1)线段所在直线是的黄金分割线；理由见解析 (2)①；②是的黄金分割线，理由见解析 【分析】本题考查了相似形的综合应用，解题关键在于读懂题意，了解黄金分割线的定义． （1）过点作于点，点是线段的黄金分割点，，根据定义即可求解． （2）①，可知，，即可求解； ②由题意可知，，再结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：线段所在直线是的黄金分割线， 理由如下：如图，过点作于点， 点是线段的黄金分割点，， ， ， 即， 线段所在直线是的黄金分割线； （2）解：①， ， ， 即， 故答案为：； ②是的黄金分割线， 理由：由题意可知， ， ， ， 同理，， 由（1）知，， 则有． 是的黄金分割线． 1．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知、是线段上的两个黄金分割点，其中，那么下列结论中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割：短线段与长线段的比等于长线段与整个线段的比，其比值为；据此逐项计算即可作出判断． 【详解】解：∵、是线段上的两个黄金分割点，其中，如图， ∴，， 故选项A正确，选项B错误； ∵， ∴， ∴， 故选项C正确； ∵， ∴， ∴； 故选项D正确； 故选：B． 2．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）若，则下列等式不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的基本性质，根据比例的基本性质判断即可，掌握比例的基本性质是解题的关键． 【详解】解；A、根据比例的基本性质可以推出，故选项不符合题意； B、根据比例的基本性质可以推出，故选项不符合题意； C、根据比例的基本性质可以得到，故选项不符合题意； D、根据比例的基本性质可以得到，不能推出，故选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·上海·阶段练习）若（b、d、f均为正数），则下列式子不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键．对于实数a，b，c，d，且b、d、f均为正数，如果，则．由，b、d、f均为正数，可得：，，，，，再结合比例的性质逐项分析即可． 【详解】解：∵，b、d、f均为正数， ∴，，，，， A． ，故不符合题意； B． ∵， ∴， 当时 ∴，故符合题意； C． ∵， ∴，， ∴，故不符合题意； D． ∵，b、d、f均为正数，， ∴，故不符合题意； 故选B． 4．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，设是已知线段，经过点作，使，连接，在上截取；在上截取．点就是线段的黄金分割点．已知线段的长为，则线段的长为（   ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、二次根式、线段和与差的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理和二次根式的性质，从而完成求解．根据、，通过勾股定理计算得；结合，计算得，从而得到的值，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，的长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2024·宁夏吴忠·一模）如图，在正五边形中，连接它们的对角线，其中点C是对角线与对角线的交点，已知点为的黄金分割点，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的相关性质，相似三角形的的判定和性质，熟练掌握黄金分割点的计算方法是解决本题的关键．根据点C为线段的黄金分割点，设,则，得到，解得，根据，即可得到答案． 【详解】解：∵五边形为正五边形 ∴，,， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵点C为线段的黄金分割点， 设, 则 ∴ 化简得，， ∴， ∵ ∴ 故选：B． 6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如果，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的知识，解题的关键是熟练掌握比例的性质，从而完成求解； 根据题意得到，代入化简即可求解； 【详解】解：， ， 故答案为：． 7．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，熟知比例的性质是解题的关键．根据比例的性质进行恒等变换即可求解． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 8．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）已知a、b、c均为非零的实数，且满足，则的值为 ． 【答案】或8 【分析】本题考查了比例的性质以及分式的化简求值，分类讨论是解题的关键． 设，进而得出，再进行分类讨论进行化简求值即可． 【详解】解：设， ∴，，， ∴， ∴， 当时，则； 当时，则，即； 故答案为：或8． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）比例尺为的地图上，杭州到嘉兴的图上距离约是，则杭州到嘉兴的实际距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查比例线段．设杭州到嘉兴的实际距离为，利用比例尺的定义得到，然后解出，最后把单位化为千米即可．解题的关键是掌握：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【详解】解：设杭州到嘉兴的实际距离为， 根据题意得， 解得：， ∵ ∴杭州到嘉兴的实际距离约为． 故答案为：． 10．（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以、、、、为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①，②，③，④． 请填写你认为正确的结论序号： ． 【答案】①②③ 【分析】先讨论顶角为和的等腰三角形中的黄金分割关系，再在题中的所给图形中分析出顶角为和的等腰三角形，逐个判断即可．本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形的相关性质及黄金分割的比例关系，并能准确的计算是本题的解题关键． 【详解】解：如图1，中，，，平分， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，， ， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图2，中，，，， ，， 和为相似的等腰三角形， 设，，则， 由相似得：， （负值舍去）， 点是线段的黄金分割点， 即：，， ， ； 如图，连接、、、、， 五边形为正五边形，， ， ， ，故①正确； 易证：，， 和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ，故②正确； 由题得和为相似的等腰三角形， 由图2得：， ， ， ，故③正确； 在中，，， 由图1得：， 即：，故④错误， 故答案为：①②③． 11．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知线段a、b、c，且．若线段a、b、c满足，求的值． 【答案】15 【分析】本题考查了比例的性质，设，则，求出k的值，进而得出a、b、c的值，即可解答． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知 是的三边长，且， 求： (1)的值． (2)若的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状． 【答案】(1) (2),是直角三角形 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各边长是解题关键． （1）直接设，，，进而代入求出答案； （2）直接设，，，利用周长建立等式求解，进而代入求出答案． 【详解】（1）解：， 设，，， ； （2）解：设，，， 的周长为24， 可得， 解得， ， ， 是直角三角形． 13．（2024·福建厦门·模拟预测）活动一：某数学兴趣小组在研究“黄金比例与黄金矩形”，阅读课本时发现可以通过折叠得到黄金矩形．请根据每一步的操作完成以下填空．（假设原矩形纸片的宽为） ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则______； ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则_______； ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则_______； ④展平纸片，按照所得到的点D折出，则_______，我们将这个比值称为黄金比，将宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形，如图4矩形就是一个黄金矩形． 活动二：类似的，我们将底与腰的比等于黄金比的等腰三角形称为黄金三角形． 如图，已知线段a，请你根据以下步骤作出以为腰长的黄金三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 步骤一：作一条线段，使得的长度等于的腰长； 步骤二：作一条线段，使得的长度等于的底边长； 步骤三：作黄金三角形． 【答案】（1）活动一：①2；②1；③；④； （2）见解析 【分析】活动一：利用折叠的性质和勾股定理解答即可； 活动二：利用作一条线段等于已知线段的方法，黄金分割的作法和公理解答即可． 【详解】解：活动一： ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则； ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则； ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处，则； ④展平纸片，按照所得到的点D折出，，则； 活动二： 步骤一：作一条线段，使得的长度为， 步骤二：1．过点H作于点H， 2．在上截取，连接， 3．在上截取， 4．以点G为圆心，以为半径画弧交于点M， 则点M为的黄金分割点，的长度等于，则的长度等于底边的长度，即，如图： 步骤三：作，作线段，分别以为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，如图， 则为黄金三角形． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，黄金分割的性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，基本作图，本题是操作性题 目，熟练掌握基本作图的知识和折叠的性质是解题的关键． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）阅读下面的一段文字： 设，则有，当时，． 从上面的推导过程可得，若，当时，．把它称为等比性质． 利用等比性质完成下题： (1)在和中，，且厘米，求的周长． (2)若且，求的值． 【答案】(1)15厘米 (2) 【分析】本题考查了比例的基本性质． （1）根据题意得到，由，代入计算即可求解； （2）根据题意得到，进而得到，结合，即可得出结果． 【详解】（1）解：，且， ， 的周长（厘米）． 故的周长为15厘米． （2）解：， ， ， ． 15．（23-24八年级下·贵州六盘水·期末）已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 【答案】(1)比例，比例 (2)①2，② 【分析】此题考查了比例的性质，仿照例题方法用同一个字母表示所有未知数是解题的关键： （1）根据比例的基本性质解答； （2）①根据比例的性质得到，代入计算即可； ②设，则，代入化简可得答案 【详解】（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，应用了比例的基本性质 （2）①∵， ∴， ∴ 故答案为2； ②设，则， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$