精品解析：2025届浙江省杭州市高三一模数学试题

2024学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知: 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效! 3.考试结束，只需上交答题卡. 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将集合化简，再由交集的运算，即可得到结果. 【详解】因为，则，解得， 则，所以. 故选：A 2. 函数是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既非奇函数也非偶函数 D. 既是奇函数也是偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 又, 综上可得，， 即函数为偶函数. 故选：B 3. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】借助双曲线的渐近线方程可得，即可得，即可得离心率. 【详解】由题意可得，故， 则， 故. 故选：A. 4. 将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则"是偶函数"是""的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的奇偶性，分别验证命题的充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】由题意可得，由是偶函数可得， 且，当时，，当时，， 所以由是偶函数可得或，故充分性不满足； 当时，可得为偶函数，故必要性满足； 所以"是偶函数"是""的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知向量，若，则（ ） A. 1或 B. 或 C. 或2 D. 或1 【答案】D 【解析】 【分析】由向量点的坐标先求出.和的坐标，再由两垂直向量数量积为0建立等式，从而求得参数的值. 【详解】， ∵， ∴，即 ∴ ∴或. 故选：D. 6. 设，满足.若函数存在零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可． 【详解】函数的定义域为，且均为单调递增函数，故函数是增函数， 由于，故， 满足，说明中有1个是负数一定是，两个正数或3个负数， 由于存在零点，故． 故选：B． 7. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可利用二倍角公式以及和差角公式化简求解. 【详解】由可得 ， 故选：C 8. 对，不等式恒成立，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】令，通过举反例说明选项A、B错误；对于选项C、D，通过分析可得在 上恒成立，问题转化为函数有相同的零点，计算可得选项D正确. 【详解】由得， 对于选项A、B，若，可令，不等式可化为， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， ∴， 当时，， 要使恒成立，则需，即恒成立， ∴， 综上可得，不存在使得不等式恒成立，选项A、B错误. 对于选项C、D，若， ∵ ∴， ∴， 要使不等式恒成立，则需， ∵函数在为增函数， ∴函数有相同的零点， 由得，由得，， ∴，即， ∴， ∴，选项D正确. 故选D. 【点睛】思路点睛：本题考查不等式恒成立问题，具体思路如下： （1）不等式变形为. （2）对于选项A、B，若，对，与符号不确定，可取，通过分类讨论得到不存在使得不等式恒成立，即可说明选项A、B错误. （3）对于选项C、D，若，确定恒成立，转化为，则与同号，利用函数的单调性可知函数有相同的零点，利用零点相同可得. 二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误. 【详解】设正方体的棱长为， 对于A，如图（1）所示，连接，则， 故（或其补角）为异面直线所成的角， 在直角三角形，，，故， 故不成立，故A错误. 对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，， 由正方体可得平面，而平面， 故，而，故平面， 又平面，，而， 所以平面，而平面，故，故B正确. 对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得， 故，故C正确. 对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接， 则， 因为，故，故， 所以或其补角为异面直线所成的角， 因为正方体的棱长为2，故，， ，，故不是直角， 故不垂直，故D错误. 故选：BC. 10. 已知函数，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则在上单调递减 D. 若，则在上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，可得是的极小值点，即可判断AB；求导，再根据导函数的符号即可判断CD. 【详解】对于AB，， 因为，所以是的极小值点， 则，解得， 此时， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故A正确，B错误； 对于C，若，则， 当时，，所以在上单调递减，故C正确； 对于D，若，则， 当时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数的定义域为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】取特殊值0和1，建立等式，得出或的相应结论，再前面结论取特殊值得到BC选项的结论，借助前面的结论，先求出的值，令化简得到即可得出结论. 【详解】令，，则 令，则 则，， ∴或 令，则 若，则，矛盾， ∴，则，∴A选项错误； 令，则，∴B选项正确； 令，则，则，即，C选项正确； 由A、C选项中结论，令，则，则 令，则， 即，D选项错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：本题是已知抽象函数的关系式求相应结论，这类题目可以从特殊值入手，建立一定的等式，解得特殊值所对的函数值，在令部分变量为特殊值，从而得出相应结论. 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线的斜率是_________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，然后在导数中令可求出所求切线的斜率. 【详解】对函数求导得，当时，，因此，所求切线的斜率为，故答案为. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求切线的斜率，解题时要知系切线的斜率与导数之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 13. 已知复数的实部和虚部都不为0，满足①；②.则_____，_____.（写出满足条件的一组和） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，根据复数的乘除法运算，结合复数的模的计算公式，求出的关系即可. 【详解】设， 则， ， 由， 整理得，即， 所以， 可取， 所以. 故答案为：.（答案不唯一，只要满足即可） 14. 已知双曲线都经过点，离心率分别记为，设双曲线的渐近线分别为和.若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，当时，不妨设，分别将双曲线的方程用表示，再结合和离心率公式分类求出两双曲线的离心率即可得解. 【详解】当时，点在渐近线上，不合题意； 当时，不妨设， 则， 因为双曲线经过点， 所以， 所以， 因为，所以，则双曲线的焦点在轴上， 所以， 同理， 因为，所以，则双曲线的焦点在轴上， 所以， 所以，即， 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，. （1）判断的形状，并说明理由; （2）若点在边上，且.若，求的面积. 【答案】（1）三角形为直角三角形， （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化可得，即可由余弦定理求解，继而根据三角恒等变换可得，即可判断三角形的形状， （2）利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由可得， 故，进而， 由于,故， 又，故, 化简可得,故， 由于,故， 进而,故三角形为直角三角形， 【小问2详解】 由于，，且为直角三角形， 设，则, 故在三角形中，由余弦定理可得,即，解得， 故 16. 在直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为. （1）求的方程; （2）若点关于直线对称的点在上，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可得外接圆的半径以及圆心横坐标，结合抛物线的定义即可得到圆心到准线的距离为半径，即可得到； （2）根据题意，由点关于线对称可得点关于直线对称的点坐标，然后代入抛物线方程计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为的外接圆的面积为，则其半径为， 且外接圆的圆心一定在的垂直平分线上， 其中焦点，准线方程为， 所以圆心的横坐标为，则圆心到准线的距离为， 即，所以的方程为. 【小问2详解】 设点关于直线对称的点为， 则两点连线的中点坐标在直线上，即， 化简可得①， 由对称性又可知，和所在直线与垂直，则②， 联立①②可得，，解得，所以， 又因为在抛物线上，则，即， 即， 即，即， 所以， 其中时，，所以， 所以，即. 17. 一设随机变量所有可能的取值为，且.定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵. （1）若，求此时的信息熵; （2）最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义. （参考不等式:若，则） 【答案】（1） （2）证明：令，则， ∴ 当随机变量中每个变量发生的概率相同的时候，这时事物中每一个结果发生的可能性相同，情况分析是最复杂的，也是最合理的. 【解析】 【分析】（1）通过条件求出的值，代入信息熵的公式化简得到结果； （2）由参考不等式及题意得到不等式，取出最大对应的的值，即可证明，由题意可以分析得到取等号时的实际意义. 【小问1详解】 当时，，且， ∴， ∴ 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）若，求的单调区间; （2）若，求证:; （3）若使得，求证:. 【答案】（1）单调递减区间是，无增区间. （2） ∵， 当时，显然成立， 当时，，令， ∴， ∴在区间上单调递减，∴， ∴在区间上单调递减，∴， 综上所述，当时，. （3） ， ∴，令，则，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增， ∵，∴. 不妨设，则，， 先证：， 易知在处的切线方程为，该切线与直线的交点的横坐标为， 令，则， 当时，，此时， ∴当时，图像在下方. ∴， ∴， 再证，设，， 易知直线方程为，直线方程为， 则直线，与直线交点的横坐标为，， ∴， ∵，同理可证：， ∴，类似的可以证明， ∴，即， ∴ 【解析】 【分析】（1）利用导函数求得的最大值，再得到在上递减； （2）时函数值恒为负数，所以研究的最大值，借助导函数得到在区间上小于0，所以函数单减，从而得到函数值一定小于0，得证； （3）利用导函数求单调区间，由此得出的所在区间，构造直线使得与的交点见距离等于不等式两边的值，再由线段长短得出相应结论. 【小问1详解】 当时，，， 则 令，则， 令，∵， ∴， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴， ∴的单调递减区间是，无增区间. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：本题不等式证明可以分别证明两边成立，因为是与的交点，可以构造其他交点使得线段长度等于不等式两端的值，再证明点的位置，得到线段长度即可得证. 19. 已知正项有穷数列，设，记的元素个数为. （1）若数列，求集合，并写出的值; （2）若是递增数列或递减数列，求证:”的充要条件是“为等比数列”; （3）若，数列由这个数组成，且这个数在数列中每个至少出现一次，求的取值个数. 【答案】（1），； （2） 充分性：若是等比数列，设公比为． 不妨考虑数列是递增数列，所以． 则当时，． 所以，故，得证. 必要性：若． 因为是递增数列，所以， 所以且互不相等,又， 所以， 又， 所以，且互不相等． 所以，，，． 所以， 所以为等比数列； 若为单调递减数列，同理可证. （3） 【解析】 【分析】（1）利用集合的定义直接求解即可； （2）分充分性和必要性两个方面分别证明，利用题中给出的集合的定义分析即可； （3）通过分析可知，且，设数列 此时, ，然后对数列分别作变换进行分析求解，即可得到答案． 【小问1详解】 因为，，，， 故 所以，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为数列由这个数组成，任意两个不同的数作商（可相等）， 比值只可能为共个不同的值； 又因为这个数在数列中共出现次，所以数列中存在，所以． 综上，，且． 设数列 此时，． 现对数列分别作如下变换： 把前面的移动到和后面的之间，得到数列： 此时，． 再把前面的移动到和之间，得到数列： 此时，． 依次类推，把前面的移动到和之间，得到数列：， 此时，； 再构造， 此时，； 构造， 此时， ； 依次类推，构造数列：， 此时， 最后构造数列：， 此时； 综上，可以取到从到的所有个整数值，所以的取值个数为. 【点睛】方法点睛：对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测 数学试题卷 考生须知: 1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效! 3.考试结束，只需上交答题卡. 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既非奇函数也非偶函数 D. 既是奇函数也是偶函数 3. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率等于（ ） A. B. C. D. 或 4. 将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，则"是偶函数"是""的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量，若，则（ ） A. 1或 B. 或 C. 或2 D. 或1 6. 设，满足.若函数存在零点，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 对，不等式恒成立，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、选择题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则在上单调递减 D. 若，则在上单调递增 11. 已知函数的定义域为，若，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在点处的切线的斜率是_________. 13. 已知复数的实部和虚部都不为0，满足①；②.则_____，_____.（写出满足条件的一组和） 14. 已知双曲线都经过点，离心率分别记为，设双曲线的渐近线分别为和.若，则_____. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知在中，. （1）判断的形状，并说明理由; （2）若点在边上，且.若，求的面积. 16. 在直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为. （1）求的方程; （2）若点关于直线对称的点在上，求的值. 17. 一设随机变量所有可能的取值为，且.定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵. （1）若，求此时的信息熵; （2）最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义. （参考不等式:若，则） 18. 已知函数. （1）若，求的单调区间; （2）若，求证:; （3）若使得，求证:. 19. 已知正项有穷数列，设，记的元素个数为. （1）若数列，求集合，并写出的值; （2）若是递增数列或递减数列，求证:”的充要条件是“为等比数列”; （3）若，数列由这个数组成，且这个数在数列中每个至少出现一次，求的取值个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $