专题3-1 椭圆方程7类题型总结-【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（人教A版2019）

【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学（人教A版2019）常考题专练 专题3-1 椭圆方程及其简单简单几何性质7类题型 总览 题型解读 【题型1】椭圆的基本性质 【题型2】求椭圆方程 【题型3】焦点三角形面积公式 【题型4】定义法求轨迹 【题型5】设点运算求轨迹方程 【题型6】椭圆的光学性质 【题型7】弦长与面积相关计算 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】椭圆的基本性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 【解题必备】平面内动点到两定点的距离的和为常数，即， 当时，动点的轨迹是椭圆； 当时，动点的轨迹是一条线段； 当时，动点的轨迹不存在. 1． 已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2． 若方程表示椭圆，则m的取值范围是 .（易错） 3． 已知分别是椭圆的左､右焦点，为上一点，与的顶点不重合，分别为的中点，为坐标原点，且，则的焦距为 ． 4． （多选）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（    ） A．C的焦距为2 B．C的短轴长为 C．C的离心率为 D．的周长为8 5． （多选）对于曲线，下面四个说法正确的是（    ） A．曲线不可能是椭圆 B．“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件 C．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件 D．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件 【巩固练习1】（23-24高二上·广东广州·期末）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【巩固练习2】已知分别是椭圆的左、右焦点，为上的一点，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【巩固练习3】方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 . 【巩固练习4】“m＞0，n＞0”是“方程mx2+ny2＝1”表示椭圆的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习5】（多选）已知曲线，则（    ） A．的焦点在轴上 B．的短半轴长为 C．的右焦点坐标为 D．的离心率为 【题型2】求椭圆方程 （1）若椭圆的焦点位置确定，则用待定系数法求椭圆的标准方程： ①根据焦点位置设方程为或；②根据已知条件求出，③写出椭圆的标准方程 （2）若椭圆的焦点位置不确定，则可设椭圆的方程为，，避免因焦点位置不确定而对方程形式进行分类讨论.若求出的参数值有两组，则满足条件的椭圆的标准方程有两个. 6． （24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆：的离心率为，则（    ） A． B．或 C．8或2 D．8 7． 与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 . 8． 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为．过F1的直线L交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为　 　． 【巩固练习1】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上；(2)过点，离心率； 【巩固练习2】已知椭圆的离心率为，过点，求椭圆的标准方程. 【巩固练习3】已知椭圆离心率等于且椭圆C经过点，求椭圆的标准方程. 【题型3】焦点三角形面积公式 如图，P为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为b2·tan ． 9． 已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 10． 已知椭圆的两个焦点分别为，P是椭圆上的一点，且，则的面积是 . 【巩固练习1】已知椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，若，则三角形的面枳为 A． B． C． D． 【巩固练习2】已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【巩固练习3】（2024深圳宝安区期末）设，是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，延长交椭圆于点，且，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【题型4】定义法求轨迹 椭圆的定义：平面内动点到两定点的距离的和为常数，即 常见条件：通过两点距离公式，中垂线，三个圆之间的相切来表示距离之和为定值 11． 平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 12． 已知周长为16的△ABC中，点A（－3，0），B（3，0），则点C的轨迹方程是（　　） A．1 B．1 C．1（y≠0） D．1（y≠0） 13． 如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（    ）    A．圆 B．射线 C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆 14． （23-24高二上·山东聊城·期中）已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 15． 已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为 . 16． 一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为 ． 【巩固练习1】平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（广东深圳·高二校考期末）如图，已知动点P在上，点，线段的垂直平分线和相交于点M，求点M的轨迹方程. 【巩固练习3】已知圆，圆，动圆与圆和圆均相切，且一个内切、一个外切.求动圆圆心的轨迹的方程. 【巩固练习4】（23-24高二下·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】已知动圆与圆外切，同时与圆内切；则动圆圆心的轨迹方程为 . 【巩固练习6】（23-24高二上·重庆·期末）已知是圆上的动点，为定点，线段的垂直平分线交线段于点，点的轨迹为曲线，求曲线的方程. 【题型5】设点运算求轨迹方程 一、相关点法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程 二、斜率之积为定值：即椭圆的第三定义，可以通过设点表示斜率得出等式，进而得出椭圆方 三、到定距离与到定直线距离之比为定值：即椭圆的第二定义，可以通过设点表示距离进而得出椭圆方程 17． 已知交轴于两点，为上位于轴上方的动点，将上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线，求曲线的方程 18． 已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 19． （2023上·江苏南通·高二统考期末）已知点，，点满足直线，的斜率之积为，则的面积的最大值为 ． 20． 长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 21． 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 22． 已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知点在曲线上，为坐标原点，若点满足，记动点的轨迹为，求的方程 【巩固练习2】已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E，求E的方程 【巩固练习4】在平面直角坐标系中，已知动点C到定点的距离与它到直线的距离之比为，求动点C的轨迹方程 【题型6】椭圆的光学性质 圆锥曲线的光学性质出行在人教A版选择性必修一140页，这类题目属于材料类题目，根据题目材料给出的定义解决相关问题即可 【椭圆的光学性质1】从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上 椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置 ．例如在 处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于处，对处的物体加热.另外，电影放映机的反光镜也是这个原理. 【椭圆的光学性质2】若点为椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点，则点处的切线平分外角 23． （23-24高三上·福建厦门·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯所著的八册《圆锥曲线论（Conics）》中，首次提出了圆锥曲线的光学性质，其中之一的内容为：“若点为椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点，则点处的切线平分外角”.根据此信息回答下列问题：已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（    ） A． B． C． D． 24． 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程，，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 25． 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（    ） A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm 26． （高二上·江苏连云港·期中）班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（    ）    A． B． C． D． 27． 椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：，为其左、右焦点．M是C上的动点，点，若的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线，右焦点关于直线l的对称点，，则椭圆C的离心率为 ；S的取值范围为 ． 【巩固练习1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于点、，直线为在点处的切线，点关于的对称点为.由椭圆的光学性质知，、、三点共线.若，，则 . 【巩固练习2】班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点Q，则（注；若的角平分线交于点，则）（    ） A．1 B．2 C． D． 【巩固练习3】（高二上·福建龙岩·期末）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则的长轴长与的实轴长之比为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点,的椭圆与双曲线构成,现一光线从左焦点发出,依次经与反射,又回到了点,历时秒;若将装置中的去掉,此光线从点发出,经两次反射后又回到了点,历时秒;若,则与的离心率之比为 A． B． C． D． 【题型7】弦长与面积相关计算 弦长公式 一、设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 此时AB直线方程为： 则AB＝ 二、若AB直线方程为： 则AB＝ 28． 已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于两点，求弦的长． 29． 已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求C的标准方程； (2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 30． 在平面直角坐标系xOy中，已知点，点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)是否存在过点的直线l与曲线C交于不同的两点A、B﹐满足．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【巩固练习1】已知椭圆C：（）的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆C的方程； (2)经过椭圆C的右焦点作倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求线段MN的长． 【巩固练习2】设椭圆的左右焦点分别为，，点在C上，且轴． (1)求C的方程． (2)过左焦点作倾斜角为60°的直线l．直线l与C相交于A，B两点，求的周长和面积． 【巩固练习3】已知椭圆的离心率是椭圆的一个顶点为，直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段的中点的横坐标为求直线的斜率以及弦长 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学（人教A版2019）常考题专练 专题3-1 椭圆方程及其简单简单几何性质7类题型 总览 题型解读 【题型1】椭圆的基本性质 【题型2】求椭圆方程 【题型3】焦点三角形面积公式 【题型4】定义法求轨迹 【题型5】设点运算求轨迹方程 【题型6】椭圆的光学性质 【题型7】弦长与面积相关计算 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】椭圆的基本性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 (±，0) (0，±) 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴　对称中心：原点 离心率 e＝∈(0,1) 【解题必备】平面内动点到两定点的距离的和为常数，即， 当时，动点的轨迹是椭圆； 当时，动点的轨迹是一条线段； 当时，动点的轨迹不存在. 1． 已知椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的焦点位置可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，则，解得. 2． 若方程表示椭圆，则m的取值范围是 .（易错） 【答案】 【解析】由，且可得． 【详解】方程表示椭圆⇔，解得且. 所以m的取值范围是 3． 已知分别是椭圆的左､右焦点，为上一点，与的顶点不重合，分别为的中点，为坐标原点，且，则的焦距为 ． 【答案】 【详解】    4． （多选）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（    ） A．C的焦距为2 B．C的短轴长为 C．C的离心率为 D．的周长为8 【答案】ABD 【详解】由于，所以, 故， 因此，故， 所以椭圆， 对于A，焦距为，故A正确， 对于B，短轴长为，B正确， 对于C，离心率为，C错误， 对于D，的周长为，D正确， 故选：ABD 如图，因点 ,分别为 ,的中点,故，得， 则的焦距为． 5． （多选）对于曲线，下面四个说法正确的是（    ） A．曲线不可能是椭圆 B．“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件 C．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件 D．“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件 【答案】CD 【分析】根据曲线的形状求出参数的取值范围，可判断A选项；利用集合的包含关系可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，若曲线为椭圆，则，解得且，A错； 对于B选项，因为或， 所以，“”是“曲线是椭圆”的必要不充分条件，B错； 对于C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得， 又因为， 所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件，C对； 对于D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得， 所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件，D对. 故选：CD. 【巩固练习1】（23-24高二上·广东广州·期末）椭圆与椭圆的（    ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【分析】由椭圆方程即可求得，进而即可求解. 【详解】因为第一个椭圆的，则焦距为， 所以长轴长为10，短轴长为8,离心率为， 第二个椭圆的， 则焦距为， 所以长轴长为，短轴长为，离心率为， 所以A，B，C错误，D正确 【巩固练习2】已知分别是椭圆的左、右焦点，为上的一点，若，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【详解】因为，则， 由椭圆的定义可知：， 又因为，解得：. 故选：B. 【巩固练习3】方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【详解】，解得， 故实数k的取值范围是. 【巩固练习4】“m＞0，n＞0”是“方程mx2+ny2＝1”表示椭圆的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解】：m＞0，n＞0，m＝n时，方程mx2+ny2＝1”表示圆，不是充分条件， 方程mx2+ny2＝1”表示椭圆，则m＞0，n＞0，是必要条件，故选：B． 【巩固练习5】（多选）已知曲线，则（    ） A．的焦点在轴上 B．的短半轴长为 C．的右焦点坐标为 D．的离心率为 【答案】BCD 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为. 由题意可得椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点在轴上，故选项A错误. 由椭圆的标准方程为，得， 故其短半轴长为，右焦点坐标为，故选项B，C正确. 椭圆的离心率，故选项D正确． 【题型2】求椭圆方程 （1）若椭圆的焦点位置确定，则用待定系数法求椭圆的标准方程： ①根据焦点位置设方程为或；②根据已知条件求出，③写出椭圆的标准方程 （2）若椭圆的焦点位置不确定，则可设椭圆的方程为，，避免因焦点位置不确定而对方程形式进行分类讨论.若求出的参数值有两组，则满足条件的椭圆的标准方程有两个. 6． （24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知椭圆：的离心率为，则（    ） A． B．或 C．8或2 D．8 【答案】C 【分析】分焦点在轴和轴上两种情况，由离心率得到方程，求出或. 【详解】椭圆：的离心率为， 当椭圆焦点在轴上时，，解得， 当椭圆焦点在轴上时，，解得. 7． 与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有， 设它的标准方程为，于是得， 又点在所求椭圆上，即有， 联立两个方程得，解得，则， 所以所求椭圆的标准方程为. 8． 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为．过F1的直线L交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为　　． 【答案】见试题解答内容 【解】：设椭圆C的方程为：1，∵△ABF2的周长为16，∴4a＝16， ∴a＝4，又椭圆C的离心率e，∴c＝2，∴b2＝a2﹣c2＝16﹣4＝12． ∴椭圆C的方程为1．故答案为：1． 【巩固练习1】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上； (2)过点，离心率； 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上， 长轴长为4，短轴长为2，即，， 则有，， 故要求椭圆的标准方程为； （2）若椭圆的焦点在x轴上，设方程为. 则，所以，，， 即椭圆方程为. 若椭圆的焦点在y轴上，设方程为， 则，又，解得， 故椭圆方程为. 【巩固练习2】已知椭圆的离心率为，过点，求椭圆的标准方程 【答案】 【详解】因为椭圆的离心率为， 所以，， 又椭圆过点，所以，解得，所以椭圆的方程为 【巩固练习3】已知椭圆离心率等于且椭圆C经过点，求椭圆的标准方程 【答案】 【详解】由题意得，解得，所以椭圆的方程为. 【题型3】焦点三角形面积 如图，P为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为b2·tan ． 9． 已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， ，又，解得， . 10． 已知椭圆的两个焦点分别为，P是椭圆上的一点，且，则的面积是 . 【答案】 【分析】结合正弦定理面积公式、余弦定理及椭圆第一定义化简，可得，进而得解. 【详解】设，由正弦定理面积公式可得①， 对，由余弦定理可得：②， 由椭圆第一定义得：③， 联立②③得，代入①式得. 【巩固练习1】已知椭圆的焦点分别为，点在椭圆上，若，则三角形的面枳为 A． B． C． D． 【解答】解：椭圆的焦点分别为，点在椭圆上， 则：， 若，所以，． 利用余弦定理：， 所以，则： 【巩固练习2】已知椭圆的左､右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】D 【分析】在中，结合椭圆定义及勾股定理可得，进而求得的面积. 【详解】由椭圆定义可得， 又因为，所以由勾股定理可得， 即，解得， 则的面积为. 【巩固练习3】（2024深圳宝安区期末）设，是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，点在椭圆上，延长交椭圆于点，且，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用的面积可知进而求得．即可得△的是等边三角形，从而求得． 【简证】由题意可知的面积为，故 ，故，所以△的是等边三角形，即，故， 即有则，则，则，，则． 【详解】在中，设， 由余弦定理可得， 即 ， 则， 所以的面积 ，即 ， 所以，即， 由于 ，． 又．所以△的是等边三角形，即， 由椭圆的定义可得， 即有则，则，则， ，则． 【题型4】定义法求轨迹 椭圆的定义：平面内动点到两定点的距离的和为常数，即 常见条件：通过两点距离公式，中垂线，三个圆之间的相切来表示距离之和为定值 11． 平面内，动点的坐标满足方程，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 故根据椭圆的定义可知：此点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，， 故，故椭圆的标准方程为. 12． 已知周长为16的△ABC中，点A（－3，0），B（3，0），则点C的轨迹方程是（　　） A．1 B．1 C．1（y≠0） D．1（y≠0） 【答案】C 【详解】 解析：因为三角形周长为16，又CA＋CB＝10＞6＝AB，所以点C的轨迹在以A，B为焦点的椭圆＋＝1上．因为△ABC中点C与点A，B不共线，所以去掉y轴上的两点，得y≠0. 13． 如图，已知定圆A的半径为4，B是圆A内一个定点，且，P是圆上任意一点.线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，则点Q的轨迹是（    ）    A．圆 B．射线 C．长轴为4的椭圆 D．长轴为2的椭圆 【答案】C 【分析】连接，由线段垂直平分线的性质结合圆的性质可得，再由椭圆的定义可得其轨迹. 【详解】连接， 因为线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，所以， 因为，所以， 所以点的轨迹是以为焦点，4为长轴长，焦距为2的椭圆 14． （23-24高二上·山东聊城·期中）已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记点关于折痕的对称点为A，折痕相交于点，分析的值，结合椭圆定义可解. 【详解】由题知，，记点关于折痕的对称点为A，折痕相交于点， 则点A在圆周上，折痕为线段的垂直平分线，如图所示： 则有，可知， 所以点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆，其中长轴，焦距， 所以， 所以点的轨迹方程，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为. 15． 已知圆，圆，若动圆E与，都外切，则圆心E的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】由题可得，然后根据双曲线的定义即得. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 由于动圆E与圆，都外切， 设动圆E的半径为，则， 所以， 所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 设方程为，则， 所以E的轨迹方程为. 16． 一个动圆与圆外切，与圆内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】计算得到，故轨迹为椭圆，计算得到答案. 【详解】设动圆圆心为，半径为，根据题意知：，， 所以，所以圆心的轨迹为椭圆. 其中，，故， 因为焦点在轴上，故圆心轨迹方程为：. 【巩固练习1】平面内一点M到两定点，的距离之和为10，则M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义和标准方程即可求解. 【详解】平面内一点M到两定点，的距离之和为， 所以M的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆， 且，，则， 椭圆的焦点在y轴上， 所以椭圆的方程为． 【巩固练习2】（广东深圳·高二校考期末）如图，已知动点P在上，点，线段的垂直平分线和相交于点M，求点M的轨迹方程. 【答案】 【详解】，圆心，半径. 由 连接，由点Q在圆内，又由点M在线段的垂直平分线上. ，， 由椭圆的定义知，点M的轨迹是以，Q为焦点的椭圆，其中，. ，点M的轨迹方程为. 【巩固练习3】已知圆，圆，动圆与圆和圆均相切，且一个内切、一个外切.求动圆圆心的轨迹的方程. 【答案】 【详解】设点的坐标为，圆的半径为. 由已知条件，，得. ①当动圆与圆外切，与圆内切时，， 从而. ②当动圆与圆内切，与圆外切时，， 从而. 综上可知，圆心的轨迹是以为焦点，6为长轴长的椭圆. 联立与， 两式作差得，， 所以圆与圆交于点与， 所以动圆圆心的轨迹的方程为. 【巩固练习4】（23-24高二下·浙江·期中）在平面直角坐标系中，已知两点，，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合已知写出直线，的斜率，由列式求解动点的轨迹方程． 【详解】设，，， ，， 由，得． 即． 动点的轨迹方程为． 【巩固练习5】已知动圆与圆外切，同时与圆内切；则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】结合圆与圆的位置关系与椭圆定义即可得. 【详解】由，即，半径为， ，即，半径为， 有， 故圆与圆为内含关系， 设动圆半径为，由动圆与圆外切，故， 由动圆与圆内切，故， 又圆与圆为内含关系，故点在圆内部，故， 有， 故动圆圆心的轨迹为以、为焦点，为长轴长的椭圆， 则半长轴长为，半短轴长为， 故动圆圆心的轨迹方程为. 【巩固练习6】（23-24高二上·重庆·期末）已知是圆上的动点，为定点，线段的垂直平分线交线段于点，点的轨迹为曲线，求曲线的方程. 【答案】 【分析】由中垂线的性质及椭圆定义可得结果； 【详解】如图，易知圆E的半径为4，线段的垂直平分线交线段于点， 由中垂线的性质可知：，所以， 即动点Q到定点的距离和为定值4，且, 根据椭圆定义可知：，所以， 即曲线C的方程为：. 【题型5】设点运算求轨迹方程 一、相关点法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程 二、斜率之积为定值：即椭圆的第三定义，可以通过设点表示斜率得出等式，进而得出椭圆方 三、到定距离与到定直线距离之比为定值：即椭圆的第二定义，可以通过设点表示距离进而得出椭圆方程 17． 已知交轴于两点，为上位于轴上方的动点，将上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到曲线，求曲线的方程 【答案】 【详解】设所求曲线上任一点的坐标为，圆上的对应点的坐标为由题意可得，因为，所以即 18． 已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，，则， 由题意可知，即， 将点代入， 得，即 故选：D. 19． （2023上·江苏南通·高二统考期末）已知点，，点满足直线，的斜率之积为，则的面积的最大值为 ． 【答案】20 【分析】根据条件，运用斜率公式求出P点的轨迹方程，再根据轨迹确定 面积的最大值. 【详解】设，由题意可知，， 整理得； 得动点的轨迹为以，为长轴顶点的椭圆除去，两点， 显然当点位于上下顶点时面积取得最大值， 因为，，所以 20． 长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设、，， 则有，，即，， 由题意可得，即，即. 21． 动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解. 【详解】设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是集合. 由此得，将上式两边平方并化简，得， 即. 所以动点的轨迹方程为. 22． 已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，利用三角形的重心坐标公式可得，将其代入可得结果. 【详解】分别为椭圆的左、右焦点， 设，G点是三角形的重心 则，得， 又是椭圆E上一动点，，即，又G点是三角形的重心， 所以点G的轨迹方程为 【巩固练习1】已知点在曲线上，为坐标原点，若点满足，记动点的轨迹为，求的方程 【答案】 【详解】设，因为点在曲线上， 所以，因为，所以， 代入可得，即，即的方程为 【巩固练习2】已知曲线：，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则有，设， 则，由，则有， 即，故有，即. 【巩固练习3】已知P是圆C：上一动点，过P作x轴的垂线，垂足为Q，点M满足，记点M的轨迹为E，求E的方程 【答案】 【详解】（1）设，则， 因为，则， 因为P在圆C上，所以，故E的方程为 【巩固练习4】在平面直角坐标系中，已知动点C到定点的距离与它到直线的距离之比为，求动点C的轨迹方程 【答案】 【详解】设动点，由动点C到定点的距离与它到直线的距离之比为. 得，化简得，即点C的轨迹方程为 【题型6】椭圆的光学性质 圆锥曲线的光学性质出行在人教A版选择性必修一140页，这类题目属于材料类题目，根据题目材料给出的定义解决相关问题即可 【椭圆的光学性质1】从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上 椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置 ．例如在 处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于处，对处的物体加热.另外，电影放映机的反光镜也是这个原理. 【椭圆的光学性质2】若点为椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点，则点处的切线平分外角 23． （23-24高三上·福建厦门·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯所著的八册《圆锥曲线论（Conics）》中，首次提出了圆锥曲线的光学性质，其中之一的内容为：“若点为椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点，则点处的切线平分外角”.根据此信息回答下列问题：已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长、交于点，分析可知，则为的中点，且，利用中位线的性质结合椭圆的的定义可求得的值. 【详解】如下图所示：    延长、交于点，由题意可知， 又因为，则为的中点，且， 所以，， 又因为为的中点，则. 24． 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程，，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下： 则，，即， 可设，，， 由，则，即， ，在中，， 则. 25． 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．灯丝位于椭圆的一个焦点上，卡门位于另一个焦点上．由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点．已知此椭圆的离心率为，且，则灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为（    ） A．9cm B．10cm C．14cm D．18cm 【答案】A 【分析】设椭圆的方程为，进而根据题意得，故，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】解：设椭圆的方程为， 因为此椭圆的离心率为，且， 所以，所以， 所以根据题意，结合椭圆的定义得灯丝发出的光线经反射镜面反射后到达卡门时所经过的路程为cm. 26． （高二上·江苏连云港·期中）班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得，然后利用角平分线定理求得正确答案. 【详解】椭圆对应的， 所以， 依题意可知是的角平分线， 根据角平分线定理得. 27． 椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C：，为其左、右焦点．M是C上的动点，点，若的最大值为6.动直线l为此椭圆C的切线，右焦点关于直线l的对称点，，则椭圆C的离心率为 ；S的取值范围为 ． 【答案】 【解析】根据椭圆定义得：， 所以， 因为的最大值为6，，所以，即， 解得，所以离心率为； 右焦点关于直线l的对称点， 设切点为A，由椭圆的光学性质可得：三点共线， 所以， 即点的轨迹是以为圆心，半径为4的圆， 圆心到直线的距离为， 则圆上的点到直线3x＋4y－24＝0的距离最小值为，最大值为， 所以点到直线的距离为， 所以表示点到直线的距离的5倍， 则，即. 【巩固练习1】已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与交于点、，直线为在点处的切线，点关于的对称点为.由椭圆的光学性质知，、、三点共线.若，，则 . 【答案】 【解析】如下图所示： 因为点关于的对称点为，则， 因为，且， 所以，，所以，， 可得，则， 所以，，故. 【巩固练习2】班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点Q，则（注；若的角平分线交于点，则）（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆定义求出，结合平分，故. 【详解】由题设，则平分，故， 而，由椭圆定义可知， 则，所以. 【巩固练习3】（高二上·福建龙岩·期末）从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则的长轴长与的实轴长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得 和的周长，再根据光速相同，且 求解. 【详解】在图①中，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得， 两式相减得 ， 所以 的周长为 ， 在图②中，的周长为， 因为光速相同，且 ， 所以 ，即 ， 所以， 即的长轴长与的实轴长之比为 【巩固练习4】光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点,的椭圆与双曲线构成,现一光线从左焦点发出,依次经与反射,又回到了点,历时秒;若将装置中的去掉,此光线从点发出,经两次反射后又回到了点,历时秒;若,则与的离心率之比为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆和双曲线的定义,分别列出关系式再做差,得出椭圆双曲线“复合”光学装置中光线路程;然后计算单椭圆光学装置中光线路程,两者相比可得出椭圆长半轴和双曲线实半轴的关系,即可得两离心率的关系,即可求得答案. 【详解】如图,由双曲线定义得:①, 由椭圆定义得: ②, ②①得:; 椭圆双曲线“复合”光学装置中,光线从出发到回到左焦点走过的路程为: 对于单椭圆光学装置,光线经过次反射后回到左焦点, 路程为; 由于两次光速相同,路程比等于时间比, , . . 【题型7】弦长与面积相关计算 弦长公式 一、设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 此时AB直线方程为： 则AB＝ 二、若AB直线方程为： 则AB＝ 28． 已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于两点，求弦的长． 【答案】 【分析】根据题意可得直线的方程为.方法一：联立方程求出交点坐标，结合两点间距离公式求弦长；方法二：联立方程消去y，根据韦达定理结合弦长公式运算求解；方法三：联立方程消去x，根据韦达定理结合弦长公式运算求解. 【详解】由题意可知：， 因为直线过椭圆的右焦点，且斜率为， 则直线的方程为，且直线与椭圆必相交， 方法一：解方程组，解得或， 不妨令，， 所以； 方法二：设，， 联立方程，消去得， 则，． 所以； 方法三  设，， 联立方程，消去得， 则，， 所以． 29． 已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求C的标准方程； (2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到，，即可得到答案. （2）首先设，，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到，设直线l与x轴的交点为，再根据求解即可. 【详解】（1）由题意得，，， 又，则， 则， 所以C的标准方程为. （2）由题意设，，如图所示： 联立， 整理得， ， 则，， 故. 设直线l与x轴的交点为， 又，则， 故， 结合，解得. 30． 在平面直角坐标系xOy中，已知点，点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)是否存在过点的直线l与曲线C交于不同的两点A、B﹐满足．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由轨迹特征可知是椭圆，待定系数法求C的方程； （2）设出直线方程，与椭圆联立方程组，由结合韦达定理求解. 【详解】（1）因为， ， 所以C是以点为左右焦点的椭圆，于是，，故， 因此C的方程为. （2）直线l的斜率明显不为0，设， 代入椭圆C的方程化简得， 设，则 则 ， ， ，所以或 (舍)， 解得，所以直线l的方程为或 【巩固练习1】已知椭圆C：（）的离心率为，短轴长为． (1)求椭圆C的方程； (2)经过椭圆C的右焦点作倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于M，N两点，求线段MN的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，从而求出椭圆C的方程； （2）由及斜率求出直线l的方程，联立直线l方程与椭圆方程，结合韦达定理和弦长公式即可求得线段MN的长. 【详解】（1）由题意可得，， ，即， 因为，得， 所以，椭圆C的方程为； （2）椭圆C的右焦点，直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为1， 所以直线l的方程为， 由可得， 设交点，则， 【巩固练习2】设椭圆的左右焦点分别为，，点在C上，且轴． (1)求C的方程． (2)过左焦点作倾斜角为60°的直线l．直线l与C相交于A，B两点，求的周长和面积． 【答案】(1) (2)周长为，面积为 【分析】（1）由且求出，由椭圆的定义求出，即可得到椭圆的方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出的值，由弦长公式求出，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可求出的面积. 【详解】（1）由已知轴且，知，，   由椭圆的定义， 所以，，的方程为. （2）可知直线的斜率，的方程为. 设，联立方程组， 消去得， 可得，可得， 点到直线的距离， 所以的周长为，. 【巩固练习3】已知椭圆的离心率是椭圆的一个顶点为，直线与椭圆相交于两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段的中点的横坐标为求直线的斜率以及弦长 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）由题意可得，再由求解即可； （2）根据题意可得中点的纵坐标为，将两点坐标代入椭圆方程作差，结合中点坐标公式及斜率公式，即可求得的值；联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式求解即可. 【详解】（1）解：因为椭圆的一个顶点为，离心率是 所以，解得， 又因为， 所以椭圆的方程为； （2）解：由题意可得， 两式相减，得， 所以， 又因为线段的中点的横坐标为 所以， 且中点的纵坐标为， 所以， 所以， 所以 又因为， 所以， 所以， 又因为，所以； 所以直线， 由，可得， 所以， 所以. 模块二 椭圆相关的最值问题 20 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $$