第28章 锐角三角函数-【锦上添花】2024-2025学年九年级数学全一册直击考点与单元双测（人教版2012 河南专版）

25　 　 　 　 第二十八章　 锐角三角函数 题　 号 一 二 三 总　 分 得　 分 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分. 下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的) 1. 3tan 30°+2sin 60°的值等于 (　 　 ) A. 2　 B. 2 2 　 C. 2 3 　 D. 4 3 2. 在 Rt△ABC 中,∠B= 90°,AB= 12,AC= 13,则 sin A 的值为 (　 　 ) A. 5 13 　 B. 12 13 　 C. 5 12 　 D. 12 5 3. 如图所示,格点三角形 ABC 放置在 5×4 的正方形网格中,则 sin∠ABC 的值为 (　 　 ) A. 1 2 　 B. 3 2 　 C. 5 5 　 D. 2 5 5 第 3 题图 　 　 　 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 4. 在锐角△ABC 中,(tan C- 3 ) 2 + 2 -2sin B = 0,则∠A= (　 　 ) A. 30°　 B. 45°　 C. 60°　 D. 75° 5. 如图,一架梯子斜靠在墙上,梯子 AB 的长为 10 米,梯子与地面形成的夹角为∠BAC= 41°,则墙的 高度 BC 为 (　 　 ) A. 10cos 41°米　 B. 10sin 41°米　 C. 10 cos 41° 米　 　 D. 10 sin 41° 米 6. 如图,在坡比为 i= 1􀏑2. 5 的山坡种树,要求株距(相邻两棵树之间的水平距离)为 5 m,那么相邻 两棵树间的坡面距离为 (　 　 ) A. 2. 5 m　 　 B. 5 m　 　 C. 6. 25 m　 D. 29 m 7. 周末,刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上,忽复乘舟梦日边. ”邀约好友一起去江边垂钓. 如 图,钓鱼竿 AC 的长为 4 m,露在水面上的鱼线 BC 的长为 2 2 m,刘老师想看看鱼钩上的情况,把 鱼竿 AC 逆时针转动 15°到 AC′的位置,此时露在水面上的鱼线 B′C′的长度是 (　 　 ) A. 3 m　 B. 2 2 m　 C. 2 3 m　 　 D. 3 3 m 8. 如图,小明先在凉亭 A 处测得湖心岛 C 在其北偏西 15°的方向上,又从 A 处向正东方向行驶 200 米到达凉亭 B 处,测得湖心岛 C 在其北偏西 60°的方向上,则凉亭 B 与湖心岛 C 之间的距离为 (　 　 ) A. 400 米　 B. (100 3 +100)米 C. (100 2 +100)米　 D. (100 3 -100)米 第 8 题图 　 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 　 第 10 题图 9. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表,其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为:弧田 面积= 1 2 (弦×矢+矢2 ),弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长 AB,“矢”等于半径长与圆心 O 到弦的距离之差. 在如图所示的弧田中,“弦”为 8,“矢”为 3,则 cos ∠OAB= (　 　 ) A. 3 5 　 　 　 B. 24 25 　 　 　 C. 4 5 　 　 　 D. 12 25 10. 如图,在△ABC 中,∠C= 90°,以点 B 为圆心,BC 长为半径作弧交 AB 于点 D,再分别以点 C、D 为 圆心,BC 长为半径作弧交于点 E,若 BC= 5,cos A= 12 13 ,则 CF 的长为 (　 　 ) A. 10 3 　 B. 3 C. 8 3 D. 7 3 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 已知 α 为锐角,且 sin α= 1 2 ,则 α= 　 　 　 　 度. 12. 如图,有一斜坡 AB,此斜坡的坡面长 AB= 50 m,斜坡的坡角是∠BAC,若 sin∠BAC= 2 5 ,则坡顶 B 离地面的高度 BC 为　 　 　 　 m. 第 12 题图 　 　 第 13 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 13. 如图,从航拍无人机 A 看一栋楼顶部 B 的仰角 α 为 30°,看这栋楼底部 C 的俯角 β 为 60°,无人机 与楼的水平距离为 60 m,则这栋楼的高度为　 　 　 　 m. 14. 如图,渔船在 A 处观测灯塔 C 位于北偏西 70°方向,轮船从 A 处以 15 海里 /小时的速度沿南偏西 50°方向匀速航行,2 小时后到达码头 B 处,此时,观测灯塔 C 位于北偏西 25°方向,则灯塔 C 与码 头 B 相距 海里. 15. 在平面直角坐标系中,用 12 个含有 30°角的直角三角形拼成如图所示的图形,若 A0A1 = 1,则图中 与△OA11A12 位似的三角形直角顶点的坐标是　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分) 16. (8 分)计算: (1)2sin260°-tan 45°+4cos 60°; (2)tan 60°·sin 30°+ 2 2sin 45° -2 cos 60°-1 . 17. (9 分)在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,a,b,c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边. (1)已知 c= 2 3 ,b= 6 ,求∠B; (2)已知 c= 12,sin A= 1 3 ,求 b. 18. (9 分)如图,在△ABC 中,BD⊥AC,垂足为 D,AB= 6,AC= 5 3 ,∠A= 30°. (1)求 BD 和 AD 的长; (2)求 sin C 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 26　 19. (9 分)为测量实验学校旗杆高度,数学兴趣小组进行了如下测验:某同学在与升旗台水平的地面 移动,当旗杆顶部、观测者视力所在直线与水平线成 60°时,停止移动. 经测量,此时眼睛与旗杆 的距离 BC 为 7. 20 米,升旗台台阶高 AO 为 0. 50 米,眼睛到地面的距离 CE 为 1. 58 米,请运用所 学知识,计算学校旗杆 AD 的高度. (结果精确到 0. 1 米, 3 ≈1. 732) 20. (9 分)如图是一座人行天桥的示意图,已知天桥的高度 CD = 6 米,坡面 BC 的倾斜角∠CBD = 45°,距 B 点 8 米处有一建筑物 NM,为了方便行人推自行车过天桥,市政府决定降低坡面 BC 的 坡度,把倾斜角由 45°减至 30°,即使得新坡面 AC 的倾斜角为∠CAD= 30°. (1)求新坡面 AC 的长度; (2)试求新坡面底部点 A 到建筑物 MN 的距离. 21. (10 分)木栏头灯塔是矗立在海南岛文昌市的一座航标灯塔(如图 1),被称为“亚洲第一灯塔”, 如图 2,虎威岛 A 位于木栏头灯塔 O 的南偏西 50°方向上. 一艘轮船在 B 处测得灯塔 O 位于它的 北偏西 45°方向上,轮船沿着正北方向航行 3 km 后,到达位于灯塔 O 正东方向上的 C 处,该船继 续向北航行至直线 AO 上的点 D 处. (1)填空:∠BOC= 　 　 　 　 度,∠D= 　 　 　 　 度; (2)求点 D 到灯塔 O 的距离; (3)若轮船的航行速度为 20 km / h,求轮船在 BD 段航行了多少 h? (参考数据:sin 50°≈0. 77, cos 50°≈0. 64,tan 50°≈1. 19, 3 ≈1. 73. 结果精确到小数点后一位) 图 1 　 　 　 　 　 图 2 22. (10 分)某临街商铺想做一款落地窗以展示商品,为防止商品久晒受损,需保证冬至日正午时分 太阳光不能照进落地窗. 如图,已有的遮阳棚 AB= 130 cm,遮阳棚前段下摆的自然垂直长度 BC= 30 cm,遮阳棚的固定高度 AD= 240 cm,sin∠BAD= 12 13 . (1)如图 1,求遮阳棚上的 B 点到墙面 AD 的距离; (2)如图 2,冬至日正午时,该商铺所在地区的太阳的高度角约是 53°(光线 EC 与地面的夹角), 请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行. (参考数据 sin 53°≈0. 8,cos 53°≈0. 6, tan 53°≈ 4 3 ) 　 　 　 　 　 　 图 1 　 　 　 　 　 图 2 23. (11 分)综合与实践:在学习《解直角三角形》时,小邕同学对一个角的倍角的三角函数值与这个 角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣,并进行研究. (1)【初步尝试】我们知道:tan 60° = 3 ,tan 30° = 3 3 ,发现 tan A　 　 　 　 2 tan 1 2 A( ) (填“ = ”或 “≠”); (2)【实践探究】在解决“如图 1,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 4,BC = 3,求 tan 1 2 A( ) 的值”这一 问题时,小邕想构造包含 1 2 A 的直角三角形,延长 CA 到点 D,使 DA =AB,连接 BD,所以可得 ∠D= 1 2 ∠BAC,问题即转化为求∠D 的正切值,请按小邕的思路求 tan 1 2 A( ) 的值; (3)【拓展延伸】如图 2,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC = 3,tan A = 1 3 ,请模仿小邕的思路或者用你 的新思路,试着求一求 tan(2A)的值. 图 1 　 　 　 　 　 图 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 44　 BD′于 N,由①可知,△EOM∽△OBD′,∴ ∠EOM = ∠OBD′, OM BD′ =EO OB = 1 2 OA OB = 3 2 OB OB = 3 2 ,∴ OM = 3 2 BD′,∵ ∠AOB = 90°,∴ ∠EOM + ∠BON = 180° - ∠AOB = 90°, ∴ ∠OBD′ + ∠BON= 90°,∴ ∠BNO= 180°-90° = 90°,∴ OM⊥BD′. 图 3 第二十八章　 锐角三角函数 1. C　 2. A　 3. D　 4. D　 5. B　 6. D　 7. C　 8. B　 9. B 10. A　 【解析】由题知,BF 平分∠ABC,过点 F 作 AB 的垂线, 垂足为 M,在 Rt△ABC 中,cos A= AC AB = 12 13 ,令 AC= 12x,AB = 13x,则(12x) 2 +52 = (13x) 2,解得 x = 1(舍负),∴ AC = 12, BC= 13. ∵ BF 平分∠ABC,∠C = 90°,FM⊥AB,∴ CF =MF, 则 S△ABC = S△ABF+S△BCF,即 1 2 ×5×12 = 1 2 ×5·CF+ 1 2 ×13· CF,所以 CF= 10 3 . 故选:A. 11. 30　 12. 20　 13. 80 3 　 14. 15 6 15. -16 3 9 , 16 9( ) 　 【解析】由题意,OA1 = 2A1A0 = 2,OA2 = OA1 ÷ cos 30°,OA3 = OA1 ÷ cos 230°,…,OA5 = OA1 ÷ cos 430° = 2 ÷ 3 2( ) 4 = 32 9 ,即 A5 - 16 3 9 , 16 9( ) . ∴ 与△OA11A12 位似的三角 形的 直 角 顶 点 A5 的 坐 标 为 - 16 3 9 , 16 9( ) . 故 答 案 为: -16 3 9 , 16 9( ) . 16. 解:(1)原式= 2× 3 2( ) 2 -1+4× 1 2 = 3 2 -1+2 = 5 2 ; (2)原式= 3 × 1 2 + 2 2× 2 2 -2 1 2 -1 = 3 2 +1-1 = 3 2 . 17. 解:(1)∵ sin B= b c = 6 2 3 = 2 2 ,∴ ∠B= 45°; (2)∵ c= 12,sin A= 1 3 = a c ,∴ a= 4,∴ b= c2 -a2 = 8 2 . 18. 解:(1)∵ BD⊥AC,∴ ∠ADB = 90°,在 Rt△ABD 中,AB = 6, ∠A= 30°,∴ BD=AB·sin A= 6×sin 30° = 3,AD = AB·cos A = 6× 3 2 = 3 3 ; (2)∵ AC= 5 3 ,AD= 3 3 ,∴ CD=AC-AD= 2 3 ,在Rt△CBD 中,∠CDB = 90°,BD = 3,CD = 2 3 , ∴ BC = BD2 +CD2 = 21 ,∴ sin C= BD BC = 3 21 = 21 7 . 19. 解:由题意,得∠BCD= 60°,CE = OB = 1. 58 米,CB⊥AD,在 Rt△BCD 中,BC= 7. 20 米,∴ BD=BC·tan 60° = 7. 2× 3 ≈ 12. 47(米),∵ AO = 0. 50 米,∴ AB = BO-OA = 1. 58 - 0. 5 = 1. 08(米),∴ AD=AB+BD≈1. 08+12. 47≈13. 6(米) . 答:学校旗杆高度约为 13. 6 米. 20. 解:(1)在 Rt△ACD 中,∠CAD= 30°,CD= 6 米,则 AC = 2CD = 2×6 = 12(米) . 答:新坡面 AC 的长度为 12 米; (2)在 Rt△BCD 中,∠CBD = 45°,CD = 6 米,∴ BD = CD = 6 米,∵ NB = 8 米, ∴ ND = NB + BD = 8 + 6 = 14 ( 米), 在 Rt△ACD 中,∠CAD = 30°,CD = 6 米,则 AD = CD tan∠CAD = 6 3 (米),∴ NA=ND-AD= (14-6 3 )米. 答:新坡面底部点 A 到建筑物 MN 的距离为(14-6 3 )米. 21. 解:(1)45,50; (2)由题意可知,BC = 3 km,在 Rt△BOC 中,∠CBO = 45°, ∴ OC=BC= 3 km,在 Rt△DOC 中,∠D = 50°,∴ OD = OC sin D = 3 sin 50° ≈3. 9(km). 答:点 D 到灯塔 O 的距离约为 3. 9 km; (3)在 Rt△DOC 中,CD = OC tan D = 3 tan 50° ≈2. 5( km),∴ BD =BC+ CD = 3 + 2. 5 = 5. 5 ( km), ∵ 轮船的航行速度为 20 km / h,∴ 轮船在 BD 段航行了 5. 5 20 ≈0. 3(h) . 答:轮船在 BD 段航行了约 0. 3 h. 22. 解:(1)过点 B 作 BK⊥AD 于点 K,图略,∵ AB = 130 cm, sin∠BAD= 12 13 ,∴ BK AB = BK 130 = 12 13 ,∴ BK = 120,即遮阳棚上的 B 点到墙面 AD 的距离为 120 cm; (2)过点 C 作 CH⊥DG 于点 H,设直线 CE 交 DG 于点 F,图 略,由 勾 股 定 理, 得 AK = AB2 -BK2 = 1302 -1202 = 50(cm),∴ DK=AD-AK = 240-50 = 190( cm),∴ BH = DK = 190 cm,又 ∵ BC = 30 cm, ∴ CH = 190 - 30 = 160 ( cm ), 又∵ ∠CFH= 53°,∴ tan∠CFH = CH FH = 4 3 ,∴ CH FH = 160 FH = 4 3 , ∴ FH = 120,由( 1) 知,BK = 120 cm,∴ DH = BK = 120 cm, ∴ FH=DH,∴ 该商铺的落地窗方案可行. 23. 解:(1)≠; (2)如题图 1,在 Rt △ABC 中, ∠C = 90°,AC = 4,BC = 3, ∴ AB = AC2 +BC2 = 5. ∴ AD = AB = 5, ∴ ∠D = ∠ABD, ∴ ∠BAC= 2∠D,CD = AD+AC = 9,∴ tan 1 2 A( ) = tan D = BC CD = 3 9 = 1 3 ; (3)如图 2,作 AB 的垂直平分线交 AC 于点 E,连接 BE. 则 AE=BE,∠A= ∠ABE,∴ ∠BEC = 2∠A,∵ Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC= 3,tan A = 1 3 ,∴ BC = 1,AB = AC2 +BC2 = 10 . 设 AE= x,则 EC= 3-x,在 Rt△EBC 中,x2 = (3-x) 2 +1,解得 x= 5 3 ,即 AE=BE = 5 3 ,EC = 4 3 . ∴ tan(2A) = tan∠BEC = BC EC = 3 4 . 第二十九章　 投影与视图 1. A　 2. D　 3. D　 4. C　 5. A　 6. B　 7. C　 8. C　 9. C　 10. C 11. 灯光　 12. 4　 13. S3 <S2 <S1 　 14. 6　 15. x 2 +3x+2 16. 解:(1)8; (2)作图如下: 17. 解:(1)由圆柱的三视图可知,圆柱的底面直径为 4,高为 6,圆柱的表面积:π× 4 2( ) 2 ×2+π×4×6 = 8π+24π = 32π,故 这个圆柱的表面积是 32π; (2)圆柱的体积:π× 4 2( ) 2 ×6 = π×4×6 = 24π,故这个圆柱 的体积是 24π. 18. 解:(1)中心投影; (2) ∵ AB⊥CP,PO⊥PC,∴ OP∥AB,∴ △ABC∽ △OPC, ∴ AB OP = BC PC ,即 2 OP = 3 3+4. 5 ,解得 OP = 5,∴ 路灯的高度为 5 m. 19. 解:(1)B; (2)所画的主视图、左视图如下: 20. 解:(1)如图,点 O 为灯泡所在的位置,线段 FH 为小亮在 灯光下形成的影子; (2)由已知可得, AB OD = CA CD ,∴ 1. 6 OD = 1. 4 1. 4+2. 1 ,∴ OD = 4,∴ 灯 泡的高为 4 m. 21. 解:(1)如图 2 所示; 图 2 (2)选择①. 这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积 为 2×6×2-2×2 = 24-4 = 20; 选择②. 这个鲁班锁从正面看得到的平面图形的面积为 2× 3m·m-m2 = 6m2 -m2 = 5m2,∴ 这个鲁班锁的表面积为 6× 5m2 = 30m2 . 22. 解:(1)5. 1,4. 2; (2)如图,设 AB 为丙树的高度,BC = 2. 4,CD = 3. 2,∵ 四边 形 AECF 是平行四边形,∴ AE = CF,由题意,得 BE BC = BE 2. 4 = 1 0. 8 ,解得 BE = 3, CF 3. 2 = 1. 6 2 ,解得 CF = 2. 56,∴ AE = CF = 2. 56 米. 故丙树的高度 AB=AE+BE=BE+CF= 5. 56 米. 23. 【画图操作】光源 S 的位置及第三根旗杆在该灯光下的影 长 MN 如图 1 所示; 图 1 【数学思考】D; 【解决问题】∵ CD∥EF∥AB,∴ △CDF∽△ABF,△ABG∽ △EFG,∴ CD AB =DF BF , EF AB =GF BG ,又∵ CD=EF,∴ DF BF =GF BG ,∵ DF = 3 m,FG = 4 m,∴ 3 BD+3 = 4 BD+7 ,∴ BD = 9 m,BF = 9 + 3 = 12(m),∴ 1. 6 AB = 3 12 ,解得 AB = 6. 4 m,∴ 灯杆 AB 的高度为 6. 4 m. 第二学期期末综合质量检测卷(一) 1. A　 2. D　 3. D　 4. B　 5. D　 6. C　 7. C　 8. C　 9. D 10. B　 【解析】甲:∵ △ABP 与△PCQ 相似,∠B = ∠C = 90°, ∴ 分△ABP∽△PCQ 与△ABP∽△QCP 两种情况求解. ① 当△ABP∽△PCQ 时,设 BP = x,则 PC = 15-x,∴ AB PC = BP CQ , 即 9 15-x = x 4 ,解得 x = 3 或 x = 12,②当△ABP∽△QCP 时, 设 BP= x,则 PC = 15-x,∴ AB QC = BP CP ,即 9 4 = x 15-x ,解得 x = 135 13 ,综上所述,当 CQ= 4,在 BC 上存在 3 个点 P,使△ABP 与△PCQ 相似,故甲错误;乙:∵ AP⊥PQ,∴ ∠APQ = 90°, ∴ ∠APB+∠CPQ= 90°,又∵ ∠APB+∠BAP = 90°,∴ ∠CPQ = ∠BAP,∴ △ABP∽△PCQ,∴ AB PC = BP CQ ,设 BP = x,则 PC = 15-x,即 9 15-x = x CQ ,∴ CQ = (15-x)x 9 = - 1 9 x- 15 2( ) 2 + 25 4 , ∵ -1<0,∴ 当 x = 15 2 时,CQ 最大,且 CQ = 25 4 ,故乙正确. 故 选:B. 11. 中心投影　 12. y1 >y2 　 13. (2,-2)　 14. 5 15. 7 4 或 25 8 　 【解析】∵ CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中线,AB = 10,∴ CD= 1 2 AB= AD =BD = 5,∵ BC = 6,∴ AC = AB2 -BC2 = 8, 当 △DEF ∽ △DBC 时, ∠DEF = ∠B, ∴ ∠EDF = ∠BDC,∠DFE= ∠DCB,∵ CD=BD,∴ DE =DF,∴ ∠DFE = ∠DEF,∴ ∠DFC= ∠DEA,∴ △DFC≌△DEA(AAS),∴ CF =AE,∵ ∠DCA = ∠A,∠DEF = ∠B = ∠DCB,∠A + ∠B = 90°,∴ ∠DCA + ∠DEF = 90°,∴ ∠CDE = 90°,∴ ∠CDE = ∠ACB= 90°,∵ ∠DCE = ∠A,∴ △DCE∽ △CAB,∴ CE AB = CD AC ,∴ CE 10 = 5 8 ,∴ CE = 25 4 ,∴ CF = AE = AC-CE = 8- 25 4 = 7 4 ; 当△DEF∽△CBD 时,∠DFE = ∠BDC,∵ ∠DFE = ∠FCD+ ∠FDC,∠BDC = ∠FCD+∠A,∴ ∠FDC = ∠A,∵ ∠DCF = ∠ACD,∴ △DFC∽△ADC,∴ DC AC = CF CD ,∴ 5 8 = CF 5 ,∴ CF = 25 8 ,综上所述:CF 的长为 7 4 或 25 8 . 故答案为: 7 4 或 25 8 . 16. 解:(1)原式= 2× 1 2 - 3 2 × 3 2 +1 = 1- 3 4 +1 = 5 4 ; (2)原式= 3 +9× 3 3 -8× 3 2 -2× 2 2 = 3 +3 3 -4 3 - 2 = - 2 . 17. 解:(1)该几何体的主视图、左视图和俯视图如下: (2)2. 18. 证明:( 1) ∵ ∠BCE = ∠ACD,∴ ∠BCE+ ∠ACE = ∠ACD+ ∠ACE,∴ ∠DCE = ∠ACB, 又 ∵ ∠A = ∠D, ∴ △ABC ∽ △DEC; (2)∵ △ABC∽△DEC,∴ S△ABC S△DEC = CB CE( ) 2 = 4 9 ,∴ BC CE = 2 3 ,又 ∵ BC= 6,∴ CE= 9. 19. 解:选择 CD= 1. 6 m,BD = 4 m,∠ACE = 67°. 过 C 作 CE⊥ AB 于 E,则四边形 BDCE 是矩形,∴ BE = CD = 1. 6 m,CE = BD= 4 m,在 Rt△ACE 中,∵ ∠ACE= 67°,∴ tan∠ACE= AE CE , ∴ AE 4 ≈2. 36,∴ AE≈9. 4 m,∴ AB = AE+BE = 9. 4 + 1. 6 = 11. 0(m) . 答:建筑物 AB 的高度约为 11. 0 m. 20. 解:(1)证明:∵ 四边形 ABCD,CEFG 都是正方形,∴ ∠HCD = 90°, ∠CEF = ∠DEF = 90°, ∴ ∠DEF = ∠HCD = 90°, ∴ ∠HDC+ ∠DHC = 90°,又 ∵ DH⊥ DF, ∴ ∠HDF = 90°, ∴ ∠HDC+ ∠EDF = 90°, ∴ ∠EDF = ∠DHC, ∴ △DEF ∽ △HCD; (2)∵ 点 H 为 BC 的中点,∴ HC = 1 2 a,∵ CD = a,CE = EF = b,∴ DE = a - b,由 ( 1) 可知△DEF∽ △HCD, ∴ DE HC = EF CD , ∴ a-b 1 2 a = b a ,∴ a= 3 2 b,即 a 与 b 满足的关系式为 a= 3 2 b. 21. 解:(1)∵ AB⊥y 轴于点 B,∴ ∠OBA = 90°,∵ OB = 2AB = 4, ∴ A(2,4),∵ 点 A 在反比例函数 y = k x ( x> 0) 的图象上, ∴ k= 4×2 = 8,∴ 反比例函数的解析式为 y= 8 x ; (2)如图,过 A 作 AF⊥x 轴于 F,∴ ∠AFD= 90°,∵ ∠ADO= 45°,∴ ∠FAD = 45°, ∴ AF = DF = OB = 4, ∵ OF = AB = 2, ∴ OD= 6,∴ D(6,0),设直线 AC 的解析式为 y = ax+b,∵ 点