第27章 相似-【锦上添花】2024-2025学年九年级数学全一册直击考点与单元双测（人教版2012 河南专版）

21　 　 　 　 第二十七章　 相似 题　 号 一 二 三 总　 分 得　 分 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分. 下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的) 1. 下列四组图形中,不是相似图形的是 (　 　 ) A B C D 2. 下列各组线段中,不能成比例线段的是 (　 　 ) A. 4,6,5,10　 B. 3,6,2,4　 　 　 C. 1, 2 , 10 , 5 　 　 D. 2, 5 , 15 ,2 3 3. 如图,△AED∽△ABC,∠A= 80°,∠B= 35°,则∠ADE 等于 (　 　 ) A. 80°　 B. 75° C. 65°　 D. 35° 第 3 题图 　 　 　 　 　 第 4 题图 　 　 　 　 　 第 5 题图 4. 如图,AD∥BE∥CF,直线 l1,l2 与这三条平行线分别交于点 A,B,C 和点 D,E,F. 已知 AB = 2,BC = 4,DE= 3,则 EF 的长为 (　 　 ) A. 4　 B. 5　 　 C. 6　 　 D. 8 5. 如图,小明利用标杆 EC 测量一棵大树 BD 的高度,如果标杆 EC 的高为 2 m,并测得 BC= 3 m,CA= 1 m,那么树 BD 的高度是 (　 　 ) A. 6 m B. 8 m C. 12 m D. 15 m 6. 如图,点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果 AC= 5 -1 2 AB,则称线段 AB 被点 C 黄金分割, 点 C 叫做线段 AB 的黄金“右割”点,根据图形不难发现,线段 AB 上另有一点 D 把线段 AB 分成两 条线段 AD 和 BD,若 BD= 5 -1 2 AB,则称点 D 是线段 AB 的黄金“左割”点. 若 AB= 2,则 CD= (　 　 ) A. 5 -1　 B. 5 -2　 C. 2 5 -4　 D. 5-2 5 7. 如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 O 的坐标为(0,0),顶点 B 的坐标为 B(6,4),若矩 形 OA′B′C′与矩形 OABC 关于原点 O 位似,且矩形 OA′B′C′的周长为矩形 OABC 周长的 1 2 ,则点 B′ 的坐标为 (　 　 ) A. (3,2)　 B. ( -3,-2)　 C. (3,2)或( -3,6)　 D. (3,2)或( -3,-2) 第 7 题图 　 　 　 　 第 8 题图 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 第 10 题图 8. 如图,△ABC 内接于☉O,点 D 在☉O 上,连接 CD 交 AB 于点 E,若 AC=BC= 2,CE= 1,则 CD 的长 为 (　 　 ) A. 8　 B. 6　 C. 5　 D. 4 9. 如图,在△ABC 中,AB=AC= 6,BC = 8,点 D 是 BC 边上的一个动点,点 E 在 AC 上,点 D 在运动过 程中始终保持∠1 = ∠B. 当 EA=ED 时,则 BD 的长为 (　 　 ) A. 2 B. 7 2 C. 3 D. 7 3 10. 如图,在矩形 ABCD 中,E 是 AD 边的中点,BE⊥AC,垂足为点 F,连接 DF,分析下列四个结论: ① △AEF∽△CAB;② CF= 2AF;③ DF=DC;④ S△ABC = 2S△ABF . 其中正确的结论有 (　 　 ) A. 4 个　 　 B. 3 个　 C. 2 个　 　 D. 1 个 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 如图:已知△ABC 中,D 是 AB 上一点,添加一个条件　 　 　 　 ,可使△ABC∽△ACD. 第 11 题图 　 　 　 　 　 　 第 12 题图 12. 如图,四边形 ABCD 和四边形 A′B′C′D′是以点 O 为位似中心的位似图形,若 OA􀏑OA′= 2􀏑3,则 四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′的面积比为　 　 　 　 . 13. 中国古代数学家刘徽在《九章算术注》 中,用“出入相补” 法证明了三角形面积公式. 如图,在 △ABC 中,点 D、E 分别是 AB、AC 的中点,作 AF⊥DE 于点 F,沿虚线分割再重新拼接(无重叠无 缝隙)成四边形 GBCH. 若 DE= 4,AF= 3,则四边形 DBCE 的面积为　 　 　 　 . 第 13 题图 　 　 　 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 　 　 　 第 15 题图 14. 如图,AB 和 CD 表示两根直立于地面的木桩,AC 和 BD 表示起固定作用的两根钢筋,AC 与 BD 的 交点为 M. 已知 AB= 4 m,CD= 10 m,则点 M 离地面的高度 MH= 　 　 　 　 . 15. 如图,有一正方形 ABCD,边长为 3 2 ,点 E 是边 CD 上的中点,对角线 BD 上有一动点 F,当顶点 为 A,B,F 的三角形与顶点为 D,E,F 的三角形相似时,BF 的值为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分) 16. (8 分)如图,在△ABC 与△ADE 中,AB AD =AC AE ,且∠EAC= ∠DAB. 求证:△ABC∽△ADE. 17. (9 分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点均在格点(网格线的交点)上,已知 A(1,0), B(2,4),C(4,1) . (1)以点 O 为位似中心,在第一象限画出△ABC 的位似△A′B′C′,使△A′B′C′与△ABC 的相似比 为 2􀏑1;(A,B,C 的对应点分别为 A′,B′,C′) (2)在(1)的条件下,写出点 B′,C′的坐标并求出△A′B′C′的面积. 18. (9 分)如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°. (1)在 AB 上求作点 D,使△CDB∽△ACB;(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下,若 BC= 5,AC= 12,求 BD 长. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 22　 19. (9 分)如图,2024 龙年春晚西安分会场,千人齐诵《将进酒》,让西安火遍天际. 作为西安人,你知 道大雁塔的高度吗? 小华拿着一部长为 16 cm 的手机站在广场上离大雁塔 121 m 的点 F 处(即 FB= 121 m),他把手 机竖直并将手臂向前伸(即 CD∥AB),手机上下两端恰好挡住他观察大雁塔的视线(即点 A、C、E 在一条直线上,点 B、D、E 在一条直线上),已知点 E 到手机 CD 的距离为 30 cm. 则大雁塔的高度 AB 为多少 m? (精确到 0. 1) 20. (9 分)如图,在△ABC 中,∠ABC 的平分线 BD 交 AC 边于点 D,已知∠ADB= 2∠ABD. (1)求证:AB2 =AD·AC; (2)若 DC= 2AD= 2,求∠A 的度数. 21. (10 分) 如图,在△ABC 中,点 D,E,F 分别在边 AB,AC,BC 上,连接 DE,DF,BE,DF 与 BE 交于 点 G. 已知四边形 DFCE 是平行四边形,且DE BC = 2 5 . (1)若 AC= 25,求线段 AE,GF 的长; (2)若四边形 GFCE 的面积为 48,求△ABC 的面积. 22. (10 分)综合与实践 主题:X 型晒衣架稳固性检测 步骤:如图 1 是晒衣架的实物图,图 2 是晒衣架侧面示意图,经测量得到立杆 AB =CD = 136 cm, OA=OC= 51 cm,OE=OF= 34 cm,现将晒衣架完全稳固张开,横扣链 EF 成一条线段,测得 EF = 32 cm. 证明与计算:(1)连接 AC,证明:AC∥EF; (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙(夹子高度忽略不计)总长度小于多少时,连衣裙才不会 拖在地面上? 图 1 　 　 　 　 图 2 23. (11 分)【问题呈现】 △CAB 和△CDE 都是直角三角形,∠ACB = ∠DCE = 90°,CB =mCA,CE =mCD,连接 AD,BE,探究 AD,BE 的位置关系. 【问题探究】 (1)如图 1,当 m= 1 时,直接写出 AD,BE 的位置关系:　 　 　 　 　 　 ; (2)如图 2,当 m≠1 时,(1)中的结论是否成立? 若成立,给出证明;若不成立,说明理由; 【拓展应用】 (3)当 m= 3 ,AB= 4 7 ,DE= 4 时,将△CDE 绕点 C 旋转,使 A,D,E 三点恰好在同一直线上,求 BE 的长. 图 1 　 　 　 　 　 图 2 　 　 　 　 　 备用图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 43　 ( -3,1)代入 y= k x ,得 k = -3×1 = -3,∴ 反比例函数的表达 式为 y= - 3 x ; (2) ∵ 一次函数 y = x+4 的图象与 y 轴交于点 C,∴ C(0, 4),OC= 4,∵ B( -1,3)、A( -3,1),∴ S△AOB = S△AOC -S△BOC = 1 2 ×4×3- 1 2 ×4×1 = 4; (3)作 B 点关于 x 轴的对称点 B′,连接 AB′交 x 轴于 P 点, 则 B′( -1,-3),∵ PA+PB=PB′+PA=AB′,∴ 此时 PA+PB 的 值最小,设直线 AB′的解析式为 y = mx+n,把点 B′( - 1, -3),A( -3,1)的坐标代入 y = mx+n,得 -m+n= -3, -3m+n= 1,{ 解得 m= -2, n= -5,{ ∴ 直线 AB′的解析式为 y = -2x-5,当 y = 0 时,x = - 5 2 ,∴ 点 P 的坐标为 - 5 2 ,0( ) . 23. 解:(1)把 D( -4,1)代入 y = k x ,得 1 = k -4 ,解得 k = -4,∴ k 的值为-4; (2)∵ D( -4,1),AD = 3,∴ A( -4,4),∵ C 为 AO 中点,∴ C ( -2,2),设直线 CD 对应的函数解析式为 y = tx+b,把 C ( -2,2),D( -4,1)代入,得 -2t+b= 2, -4t+b= 1,{ 解得 t= 1 2 , b= 3, ì î í ïï ï ∴ 直线 CD 对应的函数解析式为 y= 1 2 x+3; (3)设 E m, 1 2 m+3( ) ,则 F m,- 4m( ) ,∴ EF = 1 2 m+ 3 + 4 m , ∴ S△OEF = 1 2 EF· xE = 1 2 × 1 2 m+3+ 4 m( ) ×( -m)= - 1 4 (m+ 3) 2 + 1 4 ,∵ - 1 4 <0,∴ 当 m = -3 时,S△OEF 取最大值,最大值 为 1 4 ,∴ △OEF 面积的最大值是 1 4 . 第二十七章　 相似 1. D　 2. A　 3. C　 4. C　 5. B　 6. C　 7. D　 8. D　 9. B 10. B　 【解析】①如图,过 D 作 DM∥BE 交 AC 于 N,交 BC 于 M,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥BC,∠ABC = 90°,AD = BC,∴ ∠EAC= ∠ACB,∵ BE⊥AC 于点 F,∴ ∠ABC = ∠AFE = 90°,∴ △AEF∽△CAB,故①正确;②∵ AD∥BC,∴ △AEF ∽△CBF,∵ AE = 1 2 AD = 1 2 BC,∴ AE BC = AF FC = 1 2 ,∴ CF = 2AF,故②正确;③∵ DE∥BM,BE∥DM,∴ 四边形 BMDE 是 平行四边形,∴ BM=DE= 1 2 BC,∴ BM =CM,CN =NF,∵ BE ⊥AC 于点 F,DM∥BE,∴ DN⊥CF,∴ DN 垂直平分 CF, ∴ DF=DC,故③正确;④∵ CF = 2AF,∴ S△ABC = 3S△ABF,故④ 不正确;其中正确的结论有 3 个. 故选:B. 11. ∠ADC= ∠ACB(答案不唯一)　 12. 4􀏑9 13. 18　 14. 20 7 m 15. 3 或 4 　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠ABF = ∠FDE = 45°, 依 题 意, 得 BD = AB2 +AD2 = (3 2 ) 2 +(3 2 ) 2 = 6,设 BF= x,则有 DF= 6-x. ∵ E 为 DC 中点,DC = 3 2 ,∴ DE = 1 2 DC = 3 2 2 ,①当△ABF∽△FDE 时, BA DF = BF DE ,即 3 2 6-x = x 3 2 2 ,解得 x1 = x2 = 3;②当△ABF∽ △EDF 时, BF DF = BA DE ,即 x 6-x = 3 2 3 2 2 ,解得 x = 4. 综上所述,BF 的值为 3 或 4. 故答案为:3 或 4. 16. 证明:∵ ∠EAC= ∠DAB,∴ ∠EAC+∠BAE= ∠DAB+∠BAE, ∴ ∠BAC= ∠DAE,又∵ AB AD =AC AE ,∴ △ABC∽△ADE. 17. 解:(1)如图所示,△A′B′C′即为所求; (2)由图象可知:B′(4,8),C′(8,2),S△A′B′C′ = 6×8- 1 2 ×2×8 - 1 2 ×6×2- 1 2 ×6×4 = 22. 18. 解: ( 1) 根据作图过程可知 CD ⊥ AB, ∴ ∠BDC = 90°, ∵ ∠ACB = 90°, ∴ ∠BDC = ∠ACB,又 ∵ ∠CBD = ∠ABC, ∴ △CDB∽△ACB; (2) 在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,BC = 5,AC = 12,∴ AB = BC2 +AC2 = 52 +122 = 13,由 ( 1) 可知△CDB∽ △ACB, ∴ BC BA =BD BC ,即 5 13 =BD 5 ,∴ BD= 25 13 . 19. 解:如图,过点 E 作 EW⊥AB 于点 W,交 CD 于点 J. ∵ AB⊥ BF,EF⊥BF,EW⊥AB,∴ ∠EWB = ∠WBF = ∠BFE = 90°, ∴ 四边形 BFEW 是矩形,∴ EW=BF= 121 m,∵ CD∥AB,EW ⊥AB,∴ EW⊥CD,△ECD∽ △EAB,∴ CD AB = EJ EW ,∴ 0. 16 AB = 0. 3 121 ,∴ AB≈64. 5(m) . 答:大雁塔的高度 AB 约为 64. 5 m. 20. 解: ( 1 ) 证明: ∵ BD 平分 ∠ABC, ∴ ∠ABC = 2 ∠ABD, ∵ ∠ADB = 2 ∠ABD, ∴ ∠ADB = ∠ABC, ∵ ∠A = ∠A, ∴ △ADB∽△ABC,∴ AB AC =AD AB ,∴ AB2 =AD·AC; (2)∵ △ADB∽△ABC,∴ ∠ABD = ∠C,∵ ∠ABD = ∠DBC, ∴ ∠C= ∠DBC,∵ DC= 2AD= 2,∴ AD= 1,DB=DC= 2,∴ AC = AD+DC = 1+2 = 3,∵ AB2 = AD·AC = 1×3 = 3,AD2 = 12 = 1, DB2 = 22 = 4,∴ AB2 +AD2 =DB2 = 4,∴ △ABD 是直角三角形, 且∠A= 90°,∴ ∠A 的度数是 90°. 21. 解:(1) ∵ 四边形 DFCE 是平行四边形,∴ DE∥BC,DF∥ AC,DE=CF,∴ △ADE∽△ABC,∴ AE AC = DE BC = 2 5 ,∵ AC = 25, ∴ AE= 10,∴ CE = 25-10 = 15,∵ DE BC = CF BC = 2 5 ,∴ BF BC = 3 5 , ∵ DF∥AC,∴ △BFG∽△BCE,∴ GF CE =BF BC = 3 5 ,∴ GF= 9; (2) ∵ △BFG ∽ △BCE, BF BC = 3 5 , ∴ S△BFG S△BCE = 3 5( ) 2 = 9 25 , ∵ S△BFG+S四边形GFCE = S△BCE,∴ S四边形GFCE S△BCE = 25 -9 25 = 16 25 ,∵ 四边形 GFCE 的面积为 48,∴ S△BCE = 75,∵ AE AC = 2 5 ,AE+CE = AC, ∴ CE AC = 3 5 ,∴ S△BCE S△ABC = 3 5 ,∴ S△ABC = 125. 22. 解:(1)证明:连接 AC,立杆 AB,CD 相交于点 O,∴ ∠AOC= ∠EOF. 又∵ OA OE =OC OF = 51 34 = 3 2 ,∴ △AOC∽△EOF,∴ ∠A = ∠OEF,∴ AC∥EF; (2)如图,过点 A 作 AM⊥BD 于点 M,过点 O 作 ON⊥EF 于 点 N. ∵ OE=OF = 34 cm,∴ △OEF 是等腰三角形. ∵ ON⊥ EF,EF= 32 cm,∴ EN= 16 cm. 在 Rt△OEN 中,根据勾股定 理可得 ON = OE2 -EN2 = 342 -162 = 30(cm),∵ AB = CD = 136 cm,OA=OC= 51 cm,∴ OB=OD= 85 cm,∴ OE OB = OF OD = 34 85 = 2 5 ,又∵ ∠EOF = ∠BOD,∴ △EOF∽△BOD,∴ ∠OEF = ∠OBD,又∵ ∠ONE = ∠AMB = 90°,∴ △EON∽△BAM, ∴ OE AB =ON AM ,∴ 34 136 = 30 AM ,解得 AM= 120. 答:利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于 120 cm 时,连衣裙才不会拖在地面上. 23. 解:(1)AD⊥BE; (2)(1)中的结论成立. 理由如下:如图 2,延长 BE 交 AC 于 点 H, 交 AD 于 N, ∵ ∠ACB = ∠DCE = 90°, ∴ ∠ACD = ∠BCE,又∵ BC AC = CE CD = m, ∴ △ECB∽ △DCA, ∴ ∠DAC = ∠EBC,∵ ∠CAB+∠ABE+∠CBE = 90°,∴ ∠CAB+∠ABE+ ∠DAC= 90°,∴ ∠ANB= 90°,∴ AD⊥BE; (3)如图 3,当点 E 在线段 AD 上时,连接 BE,由( 2) 知 △ECB∽△DCA,∴ BE AD =BC AC =m= 3 ,∴ BE = 3 AD= 3 (4+ AE),∵ AD⊥BE,∴ AB2 = AE2 +BE2,∴ (4 7 ) 2 = AE2 +3(4+ AE) 2,∴ AE= 2 或 AE= -8(舍去),∴ BE= 6 3 ;如图 4,当点 D 在线段 AE 上时,连接 BE,同理△ECB∽△DCA,∴ BE AD = BC AC =m= 3 ,∴ BE = 3 AD = 3 (AE-4),∵ AD⊥BE,∴ AB2 =AE2 +BE2,∴ (4 7 ) 2 = AE2 +3(AE-4) 2,∴ AE = 8 或 AE = -2(舍去),∴ BE= 4 3 . 综上所述:BE= 6 3或 4 3 . 图 2 　 　 图 3 图 4 第二学期期中综合质量检测卷 1. D　 2. D　 3. C　 4. A　 5. B　 6. C　 7. B　 8. C　 9. D 10. B 　 【解析】 ∵ AB = 6,AC = 8,BC = 10,∴ AB2 +AC2 = BC2, ∴ △ABC 为直角三角形,∠BAC = 90°,由作法得 AF 平分 ∠BAC,∴ 点 F 到 AB、AC 的距离相等,∴ S△ABF􀏑S△ACF = AB 􀏑AC=BF􀏑CF,即 BF􀏑CF = 6􀏑8 = 3􀏑4,∵ AD = 3DC,AC = 8,∴ AD = 6 = AB,∵ AF 平分∠BAC,∴ ∠BAF = ∠DAF, ∵ AF=AF,∴ △BAF≌△DAF(SAS),∴ BF =DF,∴ DF􀏑CF = 3􀏑4 = 3 4 . 故选:B. 11. -2　 12. 8　 13. 2 　 14. 8π 15. 18　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,对角线 AC,BD 相交于 点 O,且 BE∥AC,CE∥BD,∴ BE∥OC,CE∥OB,∴ 四边形 OBEC 是平行四边形,又∵ OC = OB,∴ 四边形 OBEC 是菱 形,∴ CE=OB=OD = 1 2 BD,∵ CE∥OD,∴ △CFE∽△OFD, ∴ CF OF = CE OD = 1,∴ CF=OF= 1 2 OC,∵ ∠BCD= 90°,CD= AB = 8,BC= 6,∴ S△BCD = 1 2 CD·BC = 1 2 × 8 × 6 = 24,∴ S△COD = 1 2 S△BCD = 1 2 ×24 = 12,∴ S△DOF = 1 2 S△COD = 1 2 ×12 = 6,∵ OF∥ BE,∴ △DOF ∽ △DBE, ∴ S△DOF S△DBE = OD BD( ) 2 = 1 2( ) 2 = 1 4 , ∴ S△DBE = 4S△DOF = 4×6 = 24,∴ S四边形OBEF = S△DBE -S△DOF = 24- 6 = 18. 故答案为:18. 16. 证 明: ∵ ∠DEC + ∠AED = 180°, ∠B + ∠DEC = 180°, ∴ ∠AED= ∠B,又∵ ∠A= ∠A,∴ △ADE∽△ACB. 17. 解:(1)如图所示,△A1OB1 即为所求; (2) 3, 3 2( ) ; (3)△A1OB1 的面积为 1 2 ×3×3 = 9 2 . 18. 解:(1)设 v 与 t 的函数关系式为 v = k t ,将(4,60)代入 v = k t ,得 60 = k 4 ,解得 k= 240,∴ v 与 t 的函数表达式为 v= 240 t (2≤t≤4); (2)当 t= 8 3 h 时,v= 90 km/ h,当 t = 3 h 时,v= 80 km/ h,∴ 客 车平均速度 v 的范围为 80 km / h≤v≤90 km / h. 19. 解:(1)∵ 一次函数 y =mx+n 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 点 C,点 D,OC=OD= 3,∴ C( -3,0),D(0,3),把 C,D 坐标 代入 y= mx+n,得 -3m+n= 0, n= 3,{ 解得 m= 1, n= 3,{ ∴ 一次函数解 析式为 y= x+3,当 x= -1 时,y= 2,∴ A( -1,2),∵ 点 A 是一 次函数 y = x+3 的图象与反比例函数 y = k x (k≠0)的图象 的交点,∴ k= xy= -1×2 = -2,∴ 反比例函数的解析式为 y = - 2 x ; (2)∵ A( -1,2),∴ S△AOC = 1 2 OC×yA = 1 2 ×3×2 = 3. 20. 解:由题可知,AB⊥FN,MN⊥FN,CD⊥FN,∴ ∠N = ∠BAE = ∠DCF = 90°, ∵ ∠BEA = ∠MEN, ∴ △BEA ∽ △MEN, ∴ AB MN = EA EN ,即 1. 5 MN = 2 2+AN ①,同理△FDC∽FMN,∴ DC MN = FC FN ,即 1. 5 MN = 4 4+50+AN ②,联立①②解得,AN = 50,MN = 39. ∴ 古塔的高度为 39 米. 21. 解:( 1) 证明:∵ △ACP∽ △APB,∴ ∠APC = ∠B,∵ PC = PD,∴ ∠PCD = ∠PDC,∵ ∠PCD+ ∠ACP = 180°,∠PDC + ∠PDB= 180°,∴ ∠ACP= ∠PDB,∴ △ACP∽△PDB; (2)∵ ∠CPD= 70°,∴ ∠PCD = ∠PDC = 55°,∴ ∠A+∠APC = 55°,∴ ∠A+∠ABP= 55°,∴ ∠APB= 125°; (3) ∵ △ACP∽ △PDB, ∴ AC PD = PC BD , ∵ PC = PD, ∴ PC2 = AC·BD= 4 × 9 = 36, ∴ PC = PD = 6, ∴ PC +PD +CD = 17, ∴ △PCD 的周长为 17. 22. 解:(1) 2<x<4; (2)将 A(2,3)代入 y = m x ,得 m = xy = 2×3 = 6,∴ y = 6 x ;又 OD= 4,∴ C(4,1. 5),将 A(2,3)和 C(4,1. 5)分别代入 y = kx+b,得 2k+b= 3, 4k+b= 1. 5,{ 解得 k= - 3 4 , b= 9 2 , ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 AC 的解析式为 y= - 3 4 x+ 9 2 ; (3)当 x= n 时,点 E 的纵坐标为- 3 4 n+ 9 2 ,点 F 的纵坐标为 6 n ,依题意,得- 3 4 n+ 9 2 - 6 n = 1 4 ,解得 n= 8 3 或 n= 3. 23. 解:(1) 3 2 , 3 2 ; (2) ① 证明:∵ 点 E,M 分别是 OA,AC′的中点,∴ EM 是 △AOC′的中位线, ∴ EM∥OC′,EM = 1 2 OC′, ∴ ∠OEM + ∠AOC′ = 180°, ∵ ∠AOB = ∠C′ OD′ = 90°, ∴ ∠BOD′ + ∠AOC′= 180°,∴ ∠OEM = ∠BOD′,∵ ∠OAB = ∠OC′D′ = 30°,∴ EO EM = 1 2 OA 1 2 OC′ = OA OC′ = 3OB 3OD′ = OB OD′ , ∴ EO OB = EM OD′ , ∴ △EOM∽△OBD′; ② 结论:OM= 3 2 BD′,OM⊥BD′. 证明:如图 3,延长 MO 交