第26章 反比例函数-【锦上添花】2024-2025学年九年级数学全一册直击考点与单元双测（人教版2012 河南专版）

19　 　 　 　 第二十六章　 反比例函数 题　 号 一 二 三 总　 分 得　 分 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分. 下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的) 1. 下列函数中,是反比例函数的是 (　 　 ) A. y= x 4 　 B. y= 1 x2 　 C. y= 2 3x 　 D. y= -2x 2. 反比例函数 y= 2 x 的图象一定经过点 (　 　 ) A. (2,-2)　 B. (1,-2)　 C. (2,1)　 D. ( -2,1) 3. 反比例函数 y= 1 -k x 图象的每条曲线上 y 都随 x 增大而增大,则 k 的取值范围是 (　 　 ) A. k>1　 B. k>0 　 C. k<1 　 D. k<0 4. 如图,双曲线 y= k x 与直线 y=mx 相交于 A、B 两点,B 点坐标为( -2,-3),则 A 点坐 标为 (　 　 ) A. ( -2,-3)　 B. (2,3)　 C. ( -2,3)　 D. (2,-3) 5. 已知反比例函数 y= - 3 x ,下列描述不正确的是 (　 　 ) A. 图象位于第二、四象限 B. 若点 P(x1,y1),Q(x2,y2)是该函数图象上两点,且 x1 <x2,则 y1 <y2 C. 图象必经过点 6,- 1 2( ) D. 当 y>3 时,x 的取值范围是-1<x<0 6. 阿基米德说:“给我一个支点,我就能撬动整个地球”,这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知 识杠杆原理,即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”. 若某杠杆的阻力和阻力臂分别为 1 000 N 和 0. 6 m,则它的动力 F 和动力臂 l 之间的函数图象大致是 (　 　 ) A B C D 7. 如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABOC 是平行四边形,点 A 的坐标是(-2,a),点 B 的坐标是(-3, 0),顶点 A,C 分别在反比例函数 y= - 4 x (x<0)和 y= k x (x>0)的图象上,则 C 的坐标为 (　 　 ) A. 1 2 ,2( ) B. (1,1) C. (1,2) D. (2,1) 第 7 题图 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 第 10 题图 8. 若点 A(x1,-2),B(x2,-1),C(x3,1)都在反比例函数 y = - k2 +1 x 的图象上,则 x1,x2,x3 的大小关系 是 (　 　 ) A. x1 <x3 <x2 　 　 　 B. x1 <x2 <x3 　 　 C. x3 <x2 <x1 　 D. x3 <x1 <x2 9. 如图,在平面直角坐标系中,点 P 在反比例函数 y = k x (x>0)的图象上,点 A,B 在 x 轴上,且 PA⊥ PB,PA 交 y 轴于点 C,AO=BO=BP. 若△ABP 的面积是 4,则 k 的值是 (　 　 ) A. 1　 B. 2　 C. 3 　 D. 3 2 10. 如图是 4 个台阶的示意图,每个台阶的高和宽分别是 1 和 2,每个台阶凸出的角的顶点记作 Tm (m 为 1~ 4 的整数),函数 y= k x (x>0)的图象为曲线 L. 若曲线 L 使得 T1 ~ T4 这些点分布在它的 两侧,每侧各 2 个点,则 k 的取值范围是 (　 　 ) A. 8≤k≤12　 B. 8≤k<12　 C. 8<k≤12　 D. 8<k<12 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 在平面直角坐标系中,已知双曲线 y = 1 x 经过 P1(1,y1 )、P2(4,y2 )两点,则 y1 　 　 　 　 y2(填“>” “<”或“ =”) . 12. 已知反比例函数 y=m +2 x 的图象在第二、四象限,则 m 的取值范围是　 　 　 　 . 13. 若点 P(a,-2)在一次函数 y= 2x+4 的图象上,点 P 关于 y 轴的对称点在反比例函数 y= k x 的图象 上,则 k 的值为　 　 　 　 . 14. 饮水机接通电源会自动加热,加热时水温每分钟上升 10 ℃ ,温度到 100 ℃停止加热. 然后水温开 始下降,此时水温 y(℃ )与时间 x(min)成反比例函数关系,水温降至 30 ℃时,饮水机重复上述 程序开始加热,加热时水温 y(℃ ) 与时间 x( min) 的关系如图所示. 水温从 30 ℃ 开始加热至 100 ℃ ,然后下降至 30 ℃这一过程中,水温不低于 50 ℃的时间 min. 第 14 题图 　 　 　 　 　 　 第 15 题图 15. 如图,一次函数 y= 1 3 x-2 的图象分别交 x 轴、y 轴于点 A、B,P 为 AB 上一点且 PC 为△AOB 的中 位线,PC 的延长线交反比例函数 y= k x (k>0)的图象于点 Q,S△OQC = 5 2 ,则 PQ 的长是　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分) 16. (8 分)已知反比例函数 y= 1 -k x 的图象经过 A(2,-4) . (1)求 k 的值; (2)判断点 B( -1,5)是否在这个函数的图象上,并说明理由. 17. (9 分)已知 y= y1 +y2,y1 与 x 成正比例,y2 与 x 成反比例,且当 x= -1 时,y= -4;当 x= 3 时,y= 4. (1)求 y 关于 x 的函数解析式; (2)当 x= -2 时,求 y 的值. 18. (9 分)根据物理学知识,在压力不变的情况下,某物体承受的压强 p(Pa)是它的受力面积 S(m2 ) 的反比例函数,其函数图象如图所示. (1)p 关于 S 的函数关系式为　 　 　 　 ; (2)当 S= 0. 25 m2 时,物体所受的压强是　 　 　 　 Pa; (3)当 1 000<p<4 000 时,求受力面积 S 的变化范围. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 20　 19. (9 分)已知一次函数 y = kx+b( k≠0) 的图象与反比例函数 y = 4 x 的图象相交于点 A(1,m), B(n,-2) . (1)求一次函数的表达式,并在图中画出这个一次函数的图象; (2)根据函数图象,直接写出不等式 kx+b> 4 x 的解集. 20. (9 分)如图,正比例函数 y1 = 1 2 x 和反比例函数 y2 = k x (x>0)的图象交于点 A(m,2) . (1)求反比例函数的解析式; (2)将直线 OA 向上平移 3 个单位后,与 y 轴交于点 B,与 y2 = k x (x>0)的图象交于点 C,求 C 点的 坐标. 21. (10 分)大约在两千四五百年前,墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成像的实验,并在《墨 经》中有这样的精彩记录:“景到,在午有端,与景长,说在端” . 大意是:影像倒立,在光线交会处 有一小孔;关于影像的大小,在于小孔相对物、像的位置. 图 2 是图 1 中小孔成像实验的示意图, 在图 2 中,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时, 火焰的像高 y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,图象如图 3 所 示,且当 x= 6 时,y= 3. 图 1　 小孔成像 　 　 　 图 2 　 　 　 图 3 (1)求 y 关于 x 的函数表达式; (2)若小孔到蜡烛的距离 x 为 2 cm,求火焰的像高 y; (3)根据反比例函数的图象分析,若火焰的像高 y 不超过 9 cm 时,求小孔到蜡烛的距离 x 至少是 多少 cm? 22. (10 分)如图,一次函数 y= x+4 的图象与 y 轴交于点 C,与反比例函数 y = k x 的图象交于 B( -1, m),A(n,1)两点. (1)求 A、B 两点的坐标和反比例函数的表达式; (2)连接 OA、OB,求△OAB 的面积; (3)在 x 轴上找一点 P,使 PA+PB 的值最小,求满足条件的点 P 的坐标. 23. (11 分)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,△ABO 的边 AB 垂直于 x 轴,垂足为点 B, 反比例函数 y= k x (x<0)的图象经过 AO 的中点 C,交 AB 于点 D. 若点 D 的坐标为( -4,1) ,且 AD= 3. (1)求 k 的值; (2)求经过 C、D 两点的直线所对应的函数解析式; (3)设点 E 是线段 CD 上的动点(不与点 C、D 重合),过点 E 且平行 y 轴的直线 l 与反比例函数 的图象交于点 F,求△OEF 面积的最大值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 42　 答:道路的宽是 5 米; (2)设每个车位的月租金上涨 y 元时,停车场的月租金收 入为 10 120 元,由题意,得(200 +y) (50 - y 5 ) = 10 120,整 理,得 y2 -50y+600 = 0,解得 y1 = 20,y2 = 30,∵ 尽可能让利 于居民,∴ y= 20. 答:每个车位的月租金上涨 20 元时,停车场的月租金收入 为 10 120 元. 22. 解:(1)由题意,可设抛物线的解析式为 y= a(x+1) (x-5), 又过点(0,-5),∴ -5 = a×1×( -5),∴ a= 1. ∴ y= (x+1)(x- 5)= x2 -4x-5. ∴ 所求二次函数的表达式为 y= x2 -4x-5; (2)由(1)知 y= x2 -4x-5 = (x-2) 2 -9,∵ a = 1>0,∴ 抛物线 开口向上,对称轴是直线 x = 2,当 x = 2 时,y 取最小值为 -9,又-1≤x≤4,当 x= -1 时,y = 0;当 x = 4 时,y = -5,∴ 当 -1≤x≤4 时,-9≤y≤0. ∴ 此时函数最大值与最小值的差 为 0-( -9)= 9; (3) -2≤n≤0 或 2≤n≤4. 23. 解:(1) 证明:如题图 2 中,根据题意,得 AB = AC,AD = AE, ∠CAB=∠EAD= 90°,∵ ∠CAE+∠BAE = ∠BAD+∠BAE = 90°, ∴ ∠CAE = ∠BAD,在△ACE 和△ABD 中, AC=AB, ∠CAE=∠BAD, AE=AD, ì î í ïï ïï ∴ △ACE≌△ABD(SAS),∴ CE=BD; (2)证明:如题图 3 中,根据题意,得 AB=AC,AD=AE,∠CAB = ∠EAD = 90°, 在 △ACE 和 △ABD 中, AC=AB, ∠CAE=∠BAD, AE=AD, ì î í ïï ïï ∴ △ACE≌ △ABD ( SAS), ∴ ∠ACE = ∠ABD, ∵ ∠ACE + ∠AEC= 90°,且∠AEC = ∠FEB, ∴ ∠ABD + ∠FEB = 90°, ∴ ∠EFB= 90°,∴ CF⊥BD,∵ AB = AC = 2 +1,AD = AE = 1, ∠CAB= ∠EAD= 90°,∴ BC = 2 AB = 2 +2,CD = AC+AD = 2 +2,∴ BC = CD,∵ CF⊥BD,∴ CF 是线段 BD 的垂直平 分线; (3)△BCD 中,边 BC 的长是定值,则 BC 边上的高取最大 值时△BCD 的面积有最大值,∴ 当点 D 在线段 BC 的垂直 平分线上时,△BCD 的面积取得最大值,如图 4,∵ AB = AC = 2 +1,AD = AE = 1,∠CAB = ∠EAD = 90°,DG⊥BC 于 G, ∴ AG= 1 2 BC= 2 +2 2 ,∠GAB= 45°,∴ DG=AG+AD= 2 +2 2 +1 = 2 +4 2 ,∠DAB= 180°-45° = 135°,∴ △BCD 的面积的最大 值为 1 2 BC·DG = 1 2 ( 2 + 2) × 2 +4 2 = 3 2 +5 2 ,旋转角 α = 135°. 图 4 第一学期期末综合质量检测卷(二) 1. A　 2. B　 3. B　 4. D　 5. B　 6. A　 7. B　 8. D　 9. C 10. B　 【解析】①由题意,可得 a<0,- b 2a = 1,c = 3>0,即 a<0,b >0,c>0,∴ abc<0,故①正确;②∵ 该抛物线与 x 轴有两个 交点,∴ b2 -4ac>0,∴ 4ac<b2,故②正确;③∵ 该抛物线的对 称轴为直线 x= 1,与 x 轴的一个交点坐标为( -1,0),由抛 物线的对称性可得该抛物线与 x 轴的另一个交点坐标是 (3,0),∴ 方程 ax2 +bx+c= 0 的两个根是 x1 = -1,x2 = 3,故③ 正确;④∵ 该抛物线的对称轴为直线 x= 1,∴ - b 2a = 1,∴ b = -2a,∵ 该抛物线与 x 轴的一个交点坐标为(-1,0),∴ a-b +c= a-(-2a)+c= 3a+c= 0,∵ a<0,∴ 4a+c= a+(3a+c)= a+ 0 = a<0,即 4a+c<0,故④错误;⑤∵ 该抛物线的对称轴为直 线 x= 1,∴ 该二次函数的最大值为 a+b+c,∴ 对于任意实数 m,总有 am2 +bm+c≤a+b+c,∴ 对于任意实数 m,总有 am2 + bm≤a+b,故⑤正确. 故选:B. 11. 1　 12. 65　 13. x1 = -5,x2 = 3　 14. 2π+3 3 15. 10　 【解析】如图,在 FC 上截取 FG=FD,连接 AG,AF,由题 意,得 ∠ABF = ∠AEF = 90°, AB = AE, 在 Rt △ABF 和 Rt△AEF 中, AF=AF, AB=AE,{ ∴ Rt△ABF≌Rt△AEF(HL),∴ BF =EF,∴ CF-DF = BC+EF -DF = BC +DE +DF -DF = 2BC, ∵ △ABC 是等腰直角三角形,∴ AB =BC = 5,∴ CF-DF = 2× 5 = 10. 故答案为:10. 16. 解:(1)转化思想,完全平方公式; (2)三,x2 -1 = 3 2 x,x2 - 3 2 x = 1,x2 - 3 2 x+ 9 16 = 1+ 9 16 , x- 3 4( ) 2 = 25 16 ,x- 3 4 = ± 5 4 ,x1 = 2,x2 = - 1 2 . 17. 解: ( 1) 如图所示, △A1B1C1 即为所求,点 C1 的坐标为 (4,3); (2)如图所示,△A2B1C2 即为所求; (3 ) ∵ △A1B1C1 绕点 B1 按顺时针方向旋转 90° 得到 △A2B1C2, ∴ ∠A1B1A2 = 90°, ∵ B1A1 = 1 2 +32 = 10 , ∴ A1A2 ( 的长度= 90×π× 10 180 = 10 2 π,即点 A1 旋转到点 A2 的过程中经过路径的长度为 10 2 π. 18. 解:(1) 2 3 ; (2)列表如下: 　 　 乙 甲　 　 2 -5 7 -3 ( -3,2) ( -3,-5) ( -3,7) -1 ( -1,2) ( -1,-5) ( -1,7) 4 (4,2) (4,-5) (4,7) 共有 9 种等可能的结果,其中记录的两数字之和为正数的 结果有:( -3,7),( -1,2),( -1,7),(4,2),(4,7),共 5 种, ∴ 记录的两数字之和为正数的概率为 5 9 . 19. 解:(1)如图 1,圆心 O 即为所求; (2)如图 2,连接 AO 交 BC 于 D,连接 OB,∵ △ABC 是等腰 三角形,∴ DB = DC,AD⊥BC, ∵ AB = AC = 2 5 cm,BC = 8 cm,∴ BD= 4 cm,∴ AD = AB2 -BD2 = 2 cm,∵ OB = OA = R,在 Rt△OBD 中,OB2 =BD2 +OD2,即 R2 = 42 +(R-2) 2,∴ R = 5,即圆片的半径 R 为 5 cm. 图 1 　 　 　 　 图 2 20. 解:(1)当 a= 1 时,y= x2 +2x-m,∵ 当 a= 1 时,二次函数 y = ax2 +2ax-m 的图象与 x 轴有两个交点, ∴ Δ = 22 - 4 × 1 × ( -m) >0,解得 m>-1,即 m 的取值范围是 m>-1; (2)① ∵ y= ax2 +2ax-m = a( x+1) 2 -a-m,∴ 二次函数 y = ax2 +2ax-m 的图象的对称轴是直线 x= -1; ② 由图象可知:二次函数 y = ax2 +2ax-m 的图象与 x 轴交 于点(1,0),由①知,该函数的对称轴为直线 x= -1,∴ 该函 数与 x 轴的另一个交点为( -3,0),∴ 关于 x 的一元二次方 程 ax2 +2ax-m= 0 的解是 x1 = 1,x2 = -3. 21. 解:(1)3,1; (2)连接 CM,CN,作 NH⊥MC 交 MC 延长线于 H,∵ △ACB 是等腰直角三角形,N 是 AB 中点,∴ CN= 1 2 AB = 2,同理可 得 CM = 1 2 DE = 1,∵ △CDE 绕顶点 C 逆时针旋转 120°, ∴ ∠MCN= 120°,∴ ∠NCH = 180°-∠MCN = 60°,∴ ∠CNH = 30°,∴ CH= 1 2 CN= 1,∴ NH = 3 CH = 3 ,∵ MH =MC+CH = 2,∴ MN= MH2 +NH2 = 7 . 22. 解:(1)① 设石块运行的函数解析式为 y = a(x-20) 2 +10, 把(0,0)代入解析式得:400a+10 = 0,解得 a = - 1 40 ,∴ 抛物 线的解析式为:y= - 1 40 (x-20) 2 +10,即 y= - 1 40 x2 +x(0≤x≤ 40); ② 石块能飞越防御墙. 理由如下:把 x = 30 代入 y = - 1 40 x2 + x 得,y= - 1 40 ×900+30 = 7. 5,∵ 7. 5>6,∴ 石块能飞越防御 墙; (2)由题可知 B(28,6),抛物线 y = a(x-20) 2 +k,∴ 把(0, 0),( 28, 6) 代入得 0 = a(0-20) 2 +k, 6 = a(28-20) 2 +k,{ 解得 a = - 1 56 ; 把 C(30,6),(0,0)代入解析式得 0 = a(0-20) 2 +k, 6 = a(30-20) 2 +k,{ 解得 a = - 1 50 ,∴ a 的取值范围为- 1 50 ≤a≤- 1 56 . 23. 解:(1)3; (2)证明:如图 3,在 PB 上截取 PQ = AM,连接 CP,CQ,CA 和 CM. ∵ C 是 PMA ( 的中点,∴ CP ( = CA ( . ∴ CP = CA. ∵ CM ( = CM ( ,∴ ∠CPM = ∠MAC,∴ △CPQ≌△CAM( SAS),∴ CQ = CM,∵ BC⊥QM,∴ QB=MB,∴ PB=PQ+QB=BM+MA; (3)4+2 2 . 　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ AC =BC = AB,∠ABC = 60°, ∴ C 是 ACB ( 的 中 点, ∵ ∠ABD = 15°, ∴ ∠CBE= ∠ABC - ∠ABD = 45°,∵ CE⊥BD,∴ ∠ECB = ∠EBC= 45°,∴ CE=BE= 2,∴ BC= 2 2 ,根据阿基米德折线 原理,BE=DE+AD= 2,∴ △ABD 的周长 = AD+BD+AB = AD+ DE+EB+AB=BC+2BE= 4+2 2 . 图 3 　 九年级数学(下) RJ　 第二十六章　 反比例函数 1. C　 2. C　 3. A　 4. B　 5. B　 6. B　 7. C　 8. D　 9. B 10. D　 【解析】∵ 每个台阶的高和宽分别是 1 和 2,∴ T1(8, 1),T2(6,2),T3(4,3),T4(2,4),∴ 当函数 y = k x ( x>0)过 点 T1(8,1),T4(2,4)时,k = 8,当函数 y = k x (x>0)过点 T2 (6,2),T3(4,3)时,k = 12,∴ 若曲线 L 使得 T1 ~ T4 这些点 分布在它的两侧,每侧各 2 个点时,k 的取值范围是:8<k< 12. 故选:D. 11. >　 12. m<-2　 13. -6　 14. 12 15. 8 3 　 【解析】∵ 一次函数 y= 1 3 x-2 的图象分别交 x 轴、y 轴 于点 A、B,∴ A(6,0),B(0,-2),∵ PC 是△AOB 的中位线, ∴ 点 C 是线段 OA 的中点,即 C(3,0),PC = 1,∵ PC∥y 轴, ∴ QP⊥x 轴,∴ 点 Q 的横坐标为 3,设其纵坐标为 y,则 1 2 OC·y= 5 2 ,即 1 2 ×3y= 5 2 ,解得 y= 5 3 ,∴ Q 3, 5 3( ) ,∴ PQ = 5 3 +1 = 8 3 . 故答案为: 8 3 . 16. 解:(1)∵ 反比例函数 y = 1-k x 的图象经过 A(2,-4),∴ 1-k = 2×( -4),∴ k= 9; (2)∵ k= 9,∴ 反比例函数 y= 1-k x = - 8 x ,把 x= -1 代入反比 例函数解析式 y= - 8 x 得,y= 8≠5,所以点 B( -1,5)不在这 个函数的图象上. 17. 解:( 1) 设 y1 = mx, y2 = n x ,则 y = mx + n x ,根据题意,得 -m-n= -4, 3m+ n 3 = 4, ì î í ïï ï 解得 m= 1, n= 3,{ 所以 y 与 x 的函数解析式为 y = x + 3 x ; (2)把 x= -2 代入得,y= -2+ 3 -2 = - 7 2 . 18. 解:(1)p= 100 S (S>0); (2)400; (3)令 p= 1 000,S= 100 1 000 = 0. 1( m2 ),令 p = 4 000,S = 100 4 000 = 0. 025(m2),∴ 当 1 000<p<4 000 时,受力面积 S 的变化 范围为 0. 025<S<0. 1. 19. 解:(1) ∵ 反比例函数 y = 4 x 的图象过点 A( 1,m),B( n, -2),∴ m = -2n = 4,解得 m = 4,n = -2,∴ A(1,4),B( -2, -2),∵ 一次函数 y = kx+b( k≠0) 的图象过 A 点和 B 点, ∴ k+b= 4, -2k+b= -2,{ 解得 k= 2, b= 2,{ ∴ 一次函数的表达式为 y = 2x +2,描点作图如下: (2) -2<x<0 或 x>1. 20. 解:(1)∵ 正比例函数 y1 = 1 2 x 过点 A(m,2),∴ 1 2 m = 2,解 得 m= 4,∴ A(4,2),∵ 反比例函数 y2 = k x ( x>0)的图象过 点 A(4,2),∴ k 4 = 2,解得 k = 8,∴ 反比例函数的解析式为 y= 8 x ; (2)∵ 将直线 OA 向上平移 3 个单位,∴ 平移后的函数解析 式为 y= 1 2 x+3,∴ y= 1 2 x+3, y= 8 x , ì î í ï ï ï ï 解得 x1 = 2, y1 = 4, { 或 x2 = -8, y2 = -1, { (负 值舍去),∴ C(2,4) . 21. 解:(1)设 y= k x ,把 x= 6,y= 3 代入 y= k x 中得 3 = k 6 ,解得 k = 18,∴ y 关于 x 的函数表达式为 y= 18 x ; (2)把 x= 2 代入 y = 18 x 中,得 y = 18 x = 9,∴ 火焰的像高为 9 cm; (3)由(2),得把 y= 9 代入 y= 18 x 中,得 9 = 18 x ,解得 x= 2,由 y= 18 x 的图象可得:当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小,∴ 若火 焰的像高 y 不超过 9 cm 时,小孔到蜡烛的距离 x 至少是 2 cm. 22. 解:(1)把 B( -1,m)、A(n,1)两点的坐标代入 y= x+4,得 m = -1+ 4 = 3,n+ 4 = 1,n = - 3,∴ B( - 1,3)、A( - 3,1),把 A 43　 ( -3,1)代入 y= k x ,得 k = -3×1 = -3,∴ 反比例函数的表达 式为 y= - 3 x ; (2) ∵ 一次函数 y = x+4 的图象与 y 轴交于点 C,∴ C(0, 4),OC= 4,∵ B( -1,3)、A( -3,1),∴ S△AOB = S△AOC -S△BOC = 1 2 ×4×3- 1 2 ×4×1 = 4; (3)作 B 点关于 x 轴的对称点 B′,连接 AB′交 x 轴于 P 点, 则 B′( -1,-3),∵ PA+PB=PB′+PA=AB′,∴ 此时 PA+PB 的 值最小,设直线 AB′的解析式为 y = mx+n,把点 B′( - 1, -3),A( -3,1)的坐标代入 y = mx+n,得 -m+n= -3, -3m+n= 1,{ 解得 m= -2, n= -5,{ ∴ 直线 AB′的解析式为 y = -2x-5,当 y = 0 时,x = - 5 2 ,∴ 点 P 的坐标为 - 5 2 ,0( ) . 23. 解:(1)把 D( -4,1)代入 y = k x ,得 1 = k -4 ,解得 k = -4,∴ k 的值为-4; (2)∵ D( -4,1),AD = 3,∴ A( -4,4),∵ C 为 AO 中点,∴ C ( -2,2),设直线 CD 对应的函数解析式为 y = tx+b,把 C ( -2,2),D( -4,1)代入,得 -2t+b= 2, -4t+b= 1,{ 解得 t= 1 2 , b= 3, ì î í ïï ï ∴ 直线 CD 对应的函数解析式为 y= 1 2 x+3; (3)设 E m, 1 2 m+3( ) ,则 F m,- 4m( ) ,∴ EF = 1 2 m+ 3 + 4 m , ∴ S△OEF = 1 2 EF· xE = 1 2 × 1 2 m+3+ 4 m( ) ×( -m)= - 1 4 (m+ 3) 2 + 1 4 ,∵ - 1 4 <0,∴ 当 m = -3 时,S△OEF 取最大值,最大值 为 1 4 ,∴ △OEF 面积的最大值是 1 4 . 第二十七章　 相似 1. D　 2. A　 3. C　 4. C　 5. B　 6. C　 7. D　 8. D　 9. B 10. B　 【解析】①如图,过 D 作 DM∥BE 交 AC 于 N,交 BC 于 M,∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AD∥BC,∠ABC = 90°,AD = BC,∴ ∠EAC= ∠ACB,∵ BE⊥AC 于点 F,∴ ∠ABC = ∠AFE = 90°,∴ △AEF∽△CAB,故①正确;②∵ AD∥BC,∴ △AEF ∽△CBF,∵ AE = 1 2 AD = 1 2 BC,∴ AE BC = AF FC = 1 2 ,∴ CF = 2AF,故②正确;③∵ DE∥BM,BE∥DM,∴ 四边形 BMDE 是 平行四边形,∴ BM=DE= 1 2 BC,∴ BM =CM,CN =NF,∵ BE ⊥AC 于点 F,DM∥BE,∴ DN⊥CF,∴ DN 垂直平分 CF, ∴ DF=DC,故③正确;④∵ CF = 2AF,∴ S△ABC = 3S△ABF,故④ 不正确;其中正确的结论有 3 个. 故选:B. 11. ∠ADC= ∠ACB(答案不唯一)　 12. 4􀏑9 13. 18　 14. 20 7 m 15. 3 或 4 　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠ABF = ∠FDE = 45°, 依 题 意, 得 BD = AB2 +AD2 = (3 2 ) 2 +(3 2 ) 2 = 6,设 BF= x,则有 DF= 6-x. ∵ E 为 DC 中点,DC = 3 2 ,∴ DE = 1 2 DC = 3 2 2 ,①当△ABF∽△FDE 时, BA DF = BF DE ,即 3 2 6-x = x 3 2 2 ,解得 x1 = x2 = 3;②当△ABF∽ △EDF 时, BF DF = BA DE ,即 x 6-x = 3 2 3 2 2 ,解得 x = 4. 综上所述,BF 的值为 3 或 4. 故答案为:3 或 4. 16. 证明:∵ ∠EAC= ∠DAB,∴ ∠EAC+∠BAE= ∠DAB+∠BAE, ∴ ∠BAC= ∠DAE,又∵ AB AD =AC AE ,∴ △ABC∽△ADE. 17. 解:(1)如图所示,△A′B′C′即为所求; (2)由图象可知:B′(4,8),C′(8,2),S△A′B′C′ = 6×8- 1 2 ×2×8 - 1 2 ×6×2- 1 2 ×6×4 = 22. 18. 解: ( 1) 根据作图过程可知 CD ⊥ AB, ∴ ∠BDC = 90°, ∵ ∠ACB = 90°, ∴ ∠BDC = ∠ACB,又 ∵ ∠CBD = ∠ABC, ∴ △CDB∽△ACB; (2) 在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,BC = 5,AC = 12,∴ AB = BC2 +AC2 = 52 +122 = 13,由 ( 1) 可知△CDB∽ △ACB, ∴ BC BA =BD BC ,即 5 13 =BD 5 ,∴ BD= 25 13 . 19. 解:如图,过点 E 作 EW⊥AB 于点 W,交 CD 于点 J. ∵ AB⊥ BF,EF⊥BF,EW⊥AB,∴ ∠EWB = ∠WBF = ∠BFE = 90°, ∴ 四边形 BFEW 是矩形,∴ EW=BF= 121 m,∵ CD∥AB,EW ⊥AB,∴ EW⊥CD,△ECD∽ △EAB,∴ CD AB = EJ EW ,∴ 0. 16 AB = 0. 3 121 ,∴ AB≈64. 5(m) . 答:大雁塔的高度 AB 约为 64. 5 m. 20. 解: ( 1 ) 证明: ∵ BD 平分 ∠ABC, ∴ ∠ABC = 2 ∠ABD, ∵ ∠ADB = 2 ∠ABD, ∴ ∠ADB = ∠ABC, ∵ ∠A = ∠A, ∴ △ADB∽△ABC,∴ AB AC =AD AB ,∴ AB2 =AD·AC; (2)∵ △ADB∽△ABC,∴ ∠ABD = ∠C,∵ ∠ABD = ∠DBC, ∴ ∠C= ∠DBC,∵ DC= 2AD= 2,∴ AD= 1,DB=DC= 2,∴ AC = AD+DC = 1+2 = 3,∵ AB2 = AD·AC = 1×3 = 3,AD2 = 12 = 1, DB2 = 22 = 4,∴ AB2 +AD2 =DB2 = 4,∴ △ABD 是直角三角形, 且∠A= 90°,∴ ∠A 的度数是 90°. 21. 解:(1) ∵ 四边形 DFCE 是平行四边形,∴ DE∥BC,DF∥ AC,DE=CF,∴ △ADE∽△ABC,∴ AE AC = DE BC = 2 5 ,∵ AC = 25, ∴ AE= 10,∴ CE = 25-10 = 15,∵ DE BC = CF BC = 2 5 ,∴ BF BC = 3 5 , ∵ DF∥AC,∴ △BFG∽△BCE,∴ GF CE =BF BC = 3 5 ,∴ GF= 9; (2) ∵ △BFG ∽ △BCE, BF BC = 3 5 , ∴ S△BFG S△BCE = 3 5( ) 2 = 9 25 , ∵ S△BFG+S四边形GFCE = S△BCE,∴ S四边形GFCE S△BCE = 25 -9 25 = 16 25 ,∵ 四边形 GFCE 的面积为 48,∴ S△BCE = 75,∵ AE AC = 2 5 ,AE+CE = AC, ∴ CE AC = 3 5 ,∴ S△BCE S△ABC = 3 5 ,∴ S△ABC = 125. 22. 解:(1)证明:连接 AC,立杆 AB,CD 相交于点 O,∴ ∠AOC= ∠EOF. 又∵ OA OE =OC OF = 51 34 = 3 2 ,∴ △AOC∽△EOF,∴ ∠A = ∠OEF,∴ AC∥EF; (2)如图,过点 A 作 AM⊥BD 于点 M,过点 O 作 ON⊥EF 于 点 N. ∵ OE=OF = 34 cm,∴ △OEF 是等腰三角形. ∵ ON⊥ EF,EF= 32 cm,∴ EN= 16 cm. 在 Rt△OEN 中,根据勾股定 理可得 ON = OE2 -EN2 = 342 -162 = 30(cm),∵ AB = CD = 136 cm,OA=OC= 51 cm,∴ OB=OD= 85 cm,∴ OE OB = OF OD = 34 85 = 2 5 ,又∵ ∠EOF = ∠BOD,∴ △EOF∽△BOD,∴ ∠OEF = ∠OBD,又∵ ∠ONE = ∠AMB = 90°,∴ △EON∽△BAM, ∴ OE AB =ON AM ,∴ 34 136 = 30 AM ,解得 AM= 120. 答:利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙总长度小于 120 cm 时,连衣裙才不会拖在地面上. 23. 解:(1)AD⊥BE; (2)(1)中的结论成立. 理由如下:如图 2,延长 BE 交 AC 于 点 H, 交 AD 于 N, ∵ ∠ACB = ∠DCE = 90°, ∴ ∠ACD = ∠BCE,又∵ BC AC = CE CD = m, ∴ △ECB∽ △DCA, ∴ ∠DAC = ∠EBC,∵ ∠CAB+∠ABE+∠CBE = 90°,∴ ∠CAB+∠ABE+ ∠DAC= 90°,∴ ∠ANB= 90°,∴ AD⊥BE; (3)如图 3,当点 E 在线段 AD 上时,连接 BE,由( 2) 知 △ECB∽△DCA,∴ BE AD =BC AC =m= 3 ,∴ BE = 3 AD= 3 (4+ AE),∵ AD⊥BE,∴ AB2 = AE2 +BE2,∴ (4 7 ) 2 = AE2 +3(4+ AE) 2,∴ AE= 2 或 AE= -8(舍去),∴ BE= 6 3 ;如图 4,当点 D 在线段 AE 上时,连接 BE,同理△ECB∽△DCA,∴ BE AD = BC AC =m= 3 ,∴ BE = 3 AD = 3 (AE-4),∵ AD⊥BE,∴ AB2 =AE2 +BE2,∴ (4 7 ) 2 = AE2 +3(AE-4) 2,∴ AE = 8 或 AE = -2(舍去),∴ BE= 4 3 . 综上所述:BE= 6 3或 4 3 . 图 2 　 　 图 3 图 4 第二学期期中综合质量检测卷 1. D　 2. D　 3. C　 4. A　 5. B　 6. C　 7. B　 8. C　 9. D 10. B 　 【解析】 ∵ AB = 6,AC = 8,BC = 10,∴ AB2 +AC2 = BC2, ∴ △ABC 为直角三角形,∠BAC = 90°,由作法得 AF 平分 ∠BAC,∴ 点 F 到 AB、AC 的距离相等,∴ S△ABF􀏑S△ACF = AB 􀏑AC=BF􀏑CF,即 BF􀏑CF = 6􀏑8 = 3􀏑4,∵ AD = 3DC,AC = 8,∴ AD = 6 = AB,∵ AF 平分∠BAC,∴ ∠BAF = ∠DAF, ∵ AF=AF,∴ △BAF≌△DAF(SAS),∴ BF =DF,∴ DF􀏑CF = 3􀏑4 = 3 4 . 故选:B. 11. -2　 12. 8　 13. 2 　 14. 8π 15. 18　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,对角线 AC,BD 相交于 点 O,且 BE∥AC,CE∥BD,∴ BE∥OC,CE∥OB,∴ 四边形 OBEC 是平行四边形,又∵ OC = OB,∴ 四边形 OBEC 是菱 形,∴ CE=OB=OD = 1 2 BD,∵ CE∥OD,∴ △CFE∽△OFD, ∴ CF OF = CE OD = 1,∴ CF=OF= 1 2 OC,∵ ∠BCD= 90°,CD= AB = 8,BC= 6,∴ S△BCD = 1 2 CD·BC = 1 2 × 8 × 6 = 24,∴ S△COD = 1 2 S△BCD = 1 2 ×24 = 12,∴ S△DOF = 1 2 S△COD = 1 2 ×12 = 6,∵ OF∥ BE,∴ △DOF ∽ △DBE, ∴ S△DOF S△DBE = OD BD( ) 2 = 1 2( ) 2 = 1 4 , ∴ S△DBE = 4S△DOF = 4×6 = 24,∴ S四边形OBEF = S△DBE -S△DOF = 24- 6 = 18. 故答案为:18. 16. 证 明: ∵ ∠DEC + ∠AED = 180°, ∠B + ∠DEC = 180°, ∴ ∠AED= ∠B,又∵ ∠A= ∠A,∴ △ADE∽△ACB. 17. 解:(1)如图所示,△A1OB1 即为所求; (2) 3, 3 2( ) ; (3)△A1OB1 的面积为 1 2 ×3×3 = 9 2 . 18. 解:(1)设 v 与 t 的函数关系式为 v = k t ,将(4,60)代入 v = k t ,得 60 = k 4 ,解得 k= 240,∴ v 与 t 的函数表达式为 v= 240 t (2≤t≤4); (2)当 t= 8 3 h 时,v= 90 km/ h,当 t = 3 h 时,v= 80 km/ h,∴ 客 车平均速度 v 的范围为 80 km / h≤v≤90 km / h. 19. 解:(1)∵ 一次函数 y =mx+n 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 点 C,点 D,OC=OD= 3,∴ C( -3,0),D(0,3),把 C,D 坐标 代入 y= mx+n,得 -3m+n= 0, n= 3,{ 解得 m= 1, n= 3,{ ∴ 一次函数解 析式为 y= x+3,当 x= -1 时,y= 2,∴ A( -1,2),∵ 点 A 是一 次函数 y = x+3 的图象与反比例函数 y = k x (k≠0)的图象 的交点,∴ k= xy= -1×2 = -2,∴ 反比例函数的解析式为 y = - 2 x ; (2)∵ A( -1,2),∴ S△AOC = 1 2 OC×yA = 1 2 ×3×2 = 3. 20. 解:由题可知,AB⊥FN,MN⊥FN,CD⊥FN,∴ ∠N = ∠BAE = ∠DCF = 90°, ∵ ∠BEA = ∠MEN, ∴ △BEA ∽ △MEN, ∴ AB MN = EA EN ,即 1. 5 MN = 2 2+AN ①,同理△FDC∽FMN,∴ DC MN = FC FN ,即 1. 5 MN = 4 4+50+AN ②,联立①②解得,AN = 50,MN = 39. ∴ 古塔的高度为 39 米. 21. 解:( 1) 证明:∵ △ACP∽ △APB,∴ ∠APC = ∠B,∵ PC = PD,∴ ∠PCD = ∠PDC,∵ ∠PCD+ ∠ACP = 180°,∠PDC + ∠PDB= 180°,∴ ∠ACP= ∠PDB,∴ △ACP∽△PDB; (2)∵ ∠CPD= 70°,∴ ∠PCD = ∠PDC = 55°,∴ ∠A+∠APC = 55°,∴ ∠A+∠ABP= 55°,∴ ∠APB= 125°; (3) ∵ △ACP∽ △PDB, ∴ AC PD = PC BD , ∵ PC = PD, ∴ PC2 = AC·BD= 4 × 9 = 36, ∴ PC = PD = 6, ∴ PC +PD +CD = 17, ∴ △PCD 的周长为 17. 22. 解:(1) 2<x<4; (2)将 A(2,3)代入 y = m x ,得 m = xy = 2×3 = 6,∴ y = 6 x ;又 OD= 4,∴ C(4,1. 5),将 A(2,3)和 C(4,1. 5)分别代入 y = kx+b,得 2k+b= 3, 4k+b= 1. 5,{ 解得 k= - 3 4 , b= 9 2 , ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 AC 的解析式为 y= - 3 4 x+ 9 2 ; (3)当 x= n 时,点 E 的纵坐标为- 3 4 n+ 9 2 ,点 F 的纵坐标为 6 n ,依题意,得- 3 4 n+ 9 2 - 6 n = 1 4 ,解得 n= 8 3 或 n= 3. 23. 解:(1) 3 2 , 3 2 ; (2) ① 证明:∵ 点 E,M 分别是 OA,AC′的中点,∴ EM 是 △AOC′的中位线, ∴ EM∥OC′,EM = 1 2 OC′, ∴ ∠OEM + ∠AOC′ = 180°, ∵ ∠AOB = ∠C′ OD′ = 90°, ∴ ∠BOD′ + ∠AOC′= 180°,∴ ∠OEM = ∠BOD′,∵ ∠OAB = ∠OC′D′ = 30°,∴ EO EM = 1 2 OA 1 2 OC′ = OA OC′ = 3OB 3OD′ = OB OD′ , ∴ EO OB = EM OD′ , ∴ △EOM∽△OBD′; ② 结论:OM= 3 2 BD′,OM⊥BD′. 证明:如图 3,延长 MO 交