第25章 概率初步-【锦上添花】2024-2025学年九年级数学全一册直击考点与单元双测（人教版2012 河南专版）

13　 　 　 　 第二十五章　 概率初步 题　 号 一 二 三 总　 分 得　 分 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分. 下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的) 1. 下列事件中,属于随机事件的是 (　 　 ) A. 一个三角形的内角和是 180° B. 负数大于正数 C. 打开电视机,它正在播放动画片 D. 明天太阳从西方升起 2. 在一个不透明盒子中,放了写有“息烽温泉”的卡片 1 张、写有“南山天沐温泉”的卡片 4 张,卡片 除文字不同外其余均相同. 五一假期,小艳采用抽签的方式决定去哪个温泉. 从中随机摸出一张卡 片是“息烽温泉”的概率为 (　 　 ) A. 1 2 　 　 B. 1 3 　 C. 1 4 　 　 D. 1 5 3. 在正面完全相同、反面印有下列四个图形的纸片中,任抽一张,则抽到的纸片上的图形恰好是中心 对称图形的概率为 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 1 4 　 　 　 B. 1 2 　 　 　 C. 3 4 　 　 D. 1 4. 任意掷一枚骰子,下列情况出现的可能性比较大的是 (　 　 ) A. 面朝上的点数大于 2　 B. 面朝上的点数是偶数 C. 面朝上的点数是 6　 D. 面朝上的点数小于 2 5. 在一个不透明的口袋中装有 6 个白球和 18 个红球,这些球除颜色不同外其余都相同. 现随机摸出 一个球是红球的概率为 (　 　 ) A. 1 4 　 B. 1 3 　 C. 1 2 　 D. 3 4 6. 下列说法中,不正确的是 (　 　 ) A. “a 是实数, a ≥0”是必然事件 B. 任意掷一枚质地均匀的硬币 100 次,正面朝上的次数一定是 50 次 C. 通过大量重复试验,可以用频率估计概率 D. 不可能事件发生的概率为 0 7. 如图,在 3×3 的方格中,已有 3 个小正方形被涂黑,若在其余空白小正方形中任选一个涂黑,则所 得图案是一个轴对称图形的概率是 (　 　 ) A. 1 2 　 B. 2 3 　 C. 1 3 　 D. 1 6 第 7 题图 　 　 　 　 　 第 8 题图 　 　 　 　 　 第 10 题图 8. 如图,电路上有三个开关和一个小灯泡,合上任意两个开关,小灯泡发光的概率为 (　 　 ) A. 1 3 　 　 B. 1 2 　 C. 2 3 　 D. 1 9. 黄山是我国四大名山之一. 在学习了“概率初步”这章后,同桌的小明和小波两同学做了一个游 戏:小明将分别标有“美”、“丽”、“黄”、“山”四个汉字的小球(除汉字外其余完全相同)装在一个 不透明的口袋中搅拌均匀,然后小波同学从口袋中随机摸出一球,不放回. 小明再搅拌均匀后,小 波又随机摸出一球,两次摸出的球上的汉字组成“黄山”的概率是 (　 　 ) A. 1 4 　 B. 1 6 　 C. 1 8 　 D. 5 16 10. 小卢在一次用频率估计概率的实验中,统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示,则符 合这一结果的实验可能是 (　 　 ) A. 掷一个正六面体的骰子,出现 2 点的概率 B. 在“剪刀石头布”的游戏中,小李随机出“石头”的概率 C. 从 1~ 10 这 10 个整数中随机抽取一个整数,它能被 5 整除的概率 D. 任意买一张电影票,座位号是偶数的概率 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 袋中有 1 个红球、3 个白球和 5 个绿球,每个球除颜色外都相同,从中任意摸出一个球,则摸到白 球的概率是　 　 　 　 . 12. 一个不透明袋子里装有 3 个白球和 n 个黑球,这些球除颜色外都相同. 从袋中随机摸出 2 个球, 若两个球中至少有一个球是白球是必然事件,则 n= 　 　 　 　 . 13. 在一个不透明的袋中装有 2 个红球和若干个白球(除颜色外其余均相同),摇匀后从中随机摸出一 个球,经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在 25%,则袋中白球的数量是　 　 　 　 个. 14. 如图,有两个转盘,转盘 A 被分成两等份,分别标有数字 1,2,转盘 B 被分成三等份,分别标有数 字 1,2,3,转动两个转盘各一次,指针指向的数字之和为 3 的概率是　 　 　 　 . 15. 已知 M(a,b)是平面直角坐标系 xOy 中的点,其中 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数,b 是从 1,2,3,4 四个数中任取的一个数. 定义“点 M(a,b)在直线 x+y=n 上”为事件 Qn(2≤n≤7,n 为整 数),则当 Qn 的概率最大时,n 的所有可能的值为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分) 16. (8 分)小明乘车从家到学校需要在公园站台转车,从家到该站台可乘 A,B,C 三路车(小明乘 A, B,C 三路车的可能性相同),到了该站台后可以转乘 D 路或 E 路车直接到学校(小明乘 D,E 两 路车的可能性相同) . (1)小明从家到学校乘坐 A 路车的概率是　 　 　 　 ; (2)用列表或画树状图的方法,求小明先乘坐 A 路车,再转乘 D 路车到学校的概率. 17. (9 分)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的 12 个小球,其中红球 4 个,黑球 8 个. (1)进行如下的实验操作:先从袋子中取出 m(m>1)个红球后,再从袋子中剩余的球中随机摸出 1 个球,此时将“第二次摸出的 1 个球是黑球”记为事件 A. ① 若事件 A 是必然事件,则 m 的值是　 　 　 　 ; ② 若事件 A 是随机事件,则 m 的值是　 　 　 　 ; (2)从袋子中取出 n 个红球,再从袋子中剩余的球中随机摸出 1 个球,若第二次摸到的 1 个球是 黑球的可能性大小是 4 5 ,求 n 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 14　 18. (9 分)用抽签的方法从水平相当的 3 名同学甲、乙、丙中选 1 名去参加校文化节,事先准备 3 张 相同的小纸条依次画上 A、B、C. 把 3 张纸条折叠后放入一个不透明的盒子中搅匀,然后让 3 名同 学去摸纸条,摸得画 A 的纸条的同学去参加校文化节. 小磊说:先抽的人中签的概率大,后抽的人中签的概率小. 你同意他的说法吗? 请说明理由. 19. (9 分)在一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球,分别标有数字 1,2,3,从袋子中随机摸 出一个小球,把小球上的数字记为 x,然后放回;再摸出一个小球,把小球上的数字记为 y. (1)请用列表或画树状图的方法表示出(x,y)所有可能出现的结果; (2)若把 x 作为一个两位数的十位数字,把 y 作为这个两位数的个位数字,求这个两位数大于 20 的概率. 20. (9 分)先在纸上写第一组数据:2,3,3. 如图,现有四张规格、质地完全相同的卡片,正面分别写有 数字 2,2,3,3,背面相同,将这四张卡片背面朝上洗匀,随机抽取若干张,把抽到卡片上的数字与 第一组数据合在一起,得到第二组数据. 将第二组数据与第一组数据进行比较. (1)若随机抽取一张,求中位数不变的概率; (2)若随机同时抽取两张,请用画树状图法或列表法,求众数不变的概率. 21. (10 分)在一个不透明的口袋里装有红、白两种颜色的球共 4 个,它们除颜色外其余都相同. 某学 习小组做摸球试验,将球搅匀后从中随机摸出一个球,记下颜色,再把它放回袋中,不断重复,下 表是活动进行中的一组统计数据: 摸球的次数 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 摸到白球的频率 0. 748 0. 751 0. 754 0. 747 0. 750 0. 749 (1)当摸球次数很大时,摸到白球的频率将会接近　 　 　 　 ;(精确到 0. 01) (2)试估算口袋中白球有　 　 　 　 个; (3)现有另一个不透明的口袋中装有一红一白两个球,它们除颜色外其余都相同. 一学生从两个 口袋中各摸出一个球,请利用画树状图或列表的方法计算这两个球颜色相同的概率. 22. (10 分)一个不透明的袋子中装有四个小球,上面分别标有数字-2,-1,0,1,它们除数字不同外, 其他完全相同. (1)随机从袋子中摸出一个小球,摸出的球上面标的数字为正数的概率是　 　 　 　 ; (2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球,记下数字作为平面直角坐标系内点 M 的横坐标;然后放 回搅匀. 接着小明从袋子中随机摸出一个小球,记下数字作为点 M 的纵坐标. 如图,已知四边 形的四个顶点的坐标分别为 A( - 2,0),B(0,- 2),C(1,0),D(0,1),求点 M 落在四边形 ABCD 内部(含边界)的概率. 23. (11 分)“五·一”假期,某公司组织部分员工分别到 A、B、C、D 四地旅游,公司按定额购买了前 往各地的车票. 如图是未制作完的车票种类和数量的条形统计图,根据统计图回答下列问题: (1)若去 D 地的车票占全部车票的 10%,请求出 D 地车票的数量,并补全统计图; (2)若公司采用随机抽取的方式分发车票,每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同 且充分洗匀),那么员工小胡抽到去 A 地的概率是多少? (3)若有一张车票,小王、小李都想要,决定采取抛掷一枚各面分别标有 1,2,3,4 的正四面体骰 子的方法来确定. 具体规则是:“每人各抛掷一次,若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着 地一面的数字小,车票给小王,否则给小李” . 试用“列表法或画树状图”的方法分析,这个规 则对双方是否公平? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41　 4,∴ ☉O 的半径是 4. 18. 解:(1)如图所示,弦 AB 和 BC 垂直平分线的交点是圆弧 所在圆的圆心 P 点的位置,P 点坐标(2,-1); (2)90; (3) 设该圆锥底面半径是 r, ∵ 弧 AC 的长 = 90π×2 5 180 = 5 π,∴ 2πr= 5 π,∴ r= 5 2 ,∴ 该圆锥底面半径是 5 2 . 19. 解:(1) ∵ ☉O 与 AB 相切于点 A,∴ ∠BAO = 90°,∵ ∠B = 30°,∴ ∠AOB= 90°-30° = 60°,∵ OD =OC,∴ ∠D = ∠OCD, 又∵ ∠AOB= ∠D+∠OCD,∴ ∠AOB = 2∠D,∴ 2∠D = 60°, ∴ ∠D= 30°; (2)在 Rt△AOB 中,∠B=30°,∴ OA= 1 2 OB,∴ OB= 2OA=OC+ BC=OA+2,∴ OA=2,∴ AD=OB=4,∴ AB= OB2-OA2 =2 3,连 接 AC,图略. ∵ AD 是☉O 的直径,∴ ∠ACD= 90°,在△ADC 和 △OBA 中, ∠ACD=∠OAB=90°, ∠D=∠B=30°, AD=OB, ì î í ïï ïï ∴ △ADC≌△OBA( AAS), ∴ CD=AB= 2 3 . 20. 解:(1)证明:∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形,∴ AB = AF, ∠FAM = ∠ABN = 120°, 在 △AFM 和 △BAN 中, AF=BA, ∠FAM= ∠ABN, AM=BN, ì î í ïï ïï ∴ △AFM≌△BAN(SAS); ( 2 ) ∵ △AFM ≌ △BAN, ∴ ∠AFM = ∠BAN, ∵ ∠APF = ∠AMF + ∠BAN = ∠AFM + ∠AMF = 180° - 120° = 60°, ∴ ∠FPN= 180°-60° = 120°. 21. 解:(1)证明:连接 OD,∵ AD 是∠BAC 的平分线,∴ ∠DAB = ∠DAO, ∵ OD = OA, ∴ ∠DAO = ∠ODA, ∴ ∠ODA = ∠DAF,∴ DO∥AB,∵ ∠B = 90°,∴ ∠ODB = 90°,∵ OD 是 ☉O 的半径,∴ BC 是☉O 的切线; (2)设 OF,AD 交于 G,∵ 点 F 是劣弧 AD 的中点,∴ DF ( = AF ( , ∴ AG = DG, ∵ ∠ODA = ∠DAF, ∠DGO = ∠AGF, ∴ △DGO≌ △AGF ( ASA), ∴ OD = AF, ∴ OF = AF = OA, ∴ △AOF 是等边三角形,∴ ∠AOF = ∠DOF = 60°,∴ ∠COD = 60°,∵ ∠CDO = 90°,∴ ∠C = 30°,∴ OD = 1 2 OC,∵ OD = OE,∴ OE= OD = CE = 4,∴ CD = OC2 -OD2 = 4 3 ,∴ 阴影 部分的面积 = △CDO 的面积-扇形 DOE 的面积 = 1 2 × 4 × 4 3 - 60π×42 360 = 8 3 - 8 3 π. 22. 解:( 1) 证明: ∵ AB = AC, ∴ ∠ABC = ∠C, ∵ BD 为直径, ∴ ∠BAD= 90°,∴ ∠ABD+∠ADB= 90°,∵ BE⊥AC,∴ ∠E = 90°,∴ ∠EAF+∠AFE= 90°,∵ 四边形 AFBD 是☉O 的内接 四边形, ∴ ∠AFB = ∠ADC, ∠AFE = ∠ADB, ∴ ∠EAF = ∠ABC = ∠C,∴ AF∥BD,∴ ∠FAB = ∠ABC = ∠C,在△ABF 和△CAD 中, ∠AFB= ∠ADC, ∠FAB= ∠C, AB=AC, ì î í ïï ïï ∴ △ABF≌△CAD(AAS); (2)四边形 AFBO 是菱形. 证明:∵ AC 与☉O 相切,∴ OA⊥ CE,∵ BE⊥CE,∴ OA∥BE,∵ AF∥OB,∴ 四边形 AFBO 是平 行四边形,∵ OA=OB,∴ 四边形 AFBO 是菱形. 23. 解:(1)①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;②圆 内接四边形对角互补; (2)如图 1,连接 PB,PC,DE,EF,取 PC 的中点 Q,连接 QE,QF,则 EQ=FQ = 1 2 PC = PQ = CQ,∴ 点 E,F,P,C 四点 共圆,∴ ∠FCP+∠FEP = 180°,又∵ ∠ACP+∠ABP = 180°, ∴ ∠FEP = ∠ABP, 同上可得点 B, D, P, E 四点共圆, ∴ ∠DBP = ∠DEP, ∵ ∠ABP + ∠DBP = 180°, ∴ ∠FEP + ∠DEP= 180°,∴ 点 D,E,F 在同一直线上; (3)证明:如图 2,连接 PA,PB,PC,∵ 点 P 是 BC ( 的中点, ∴ BP ( =PC ( ,∴ BP=PC,∠PAD = ∠PAC,又∵ PD⊥AD,PF⊥ AC,∴ PD=PF,∴ Rt△PBD≌Rt△PCF(HL),∴ BD=CF. 图 1 　 　 　 　 图 2 第二十五章　 概率初步 1. C　 2. D　 3. B　 4. A　 5. D　 6. B　 7. C　 8. C　 9. B　 10. C 11. 1 3 　 12. 1　 13. 6　 14. 1 3 15. 4 或 5　 【解析】画树状图如下: 共有 12 种等可能的结果,∵ 点 M(a,b)在直线 x+y = n 上, ∴ n 的值有 12 种等可能的结果,分别为:2,3,4,5,3,4,5, 6,4,5,6,7,∴ 当 Qn 的概率最大时,n 的值可能为 4 或 5. 故 答案为:4 或 5. 16. 解:(1) 1 3 ; (2)依题意,画树状图如下: 由图可知,共有 6 种等可能的结果,其中小明先乘坐 A 路 车,再转乘 D 路车到学校的结果有 1 种,∴ P(小明先乘坐 A 路车,再转乘 D 路车到学校)= 1 6 . 17. 解:(1)①4;②2 或 3; (2)依题意,得 8 12-n = 4 5 ,解得 n= 2,经检验,n= 2 是原方程 的解,且符合题意,∴ n 的值为 2. 18. 解:不同意他的说法. 理由如下:假设这 3 位同学抽签的顺 序依次为:甲第一、乙第二、丙第三. 画树状图如下: 则所有可能出现的结果有:ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA 共 6 种. 甲中签的结果有 2 种,P(甲中签)= 1 3 ; 乙中签的结果有 2 种,P(乙中签)= 1 3 ; 丙中签的结果有 2 种,P(丙中签)= 1 3 . 因此先抽的人与后抽的人中签的概率相同. 19. 解:(1)画树状图如下: 则所有可能出现的结果为( 1,1),( 1,2),( 1,3),( 2,1), (2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3); (2)把 x 作为一个两位数的十位数字,把 y 作为这个两位 数的个位数字,则共有 9 个不同的两位数,且大于 20 的数 有 6 个,P(这个两位数大于 20)= 6 9 = 2 3 . 20. 解:(1)第一组数据的中位数是 3. 若随机抽取一张,中位 数不变,则抽取卡片上的数字是 3,P(中位数不变) = 2 4 = 1 2 ; (2)第一组数据的众数是 3. 若随机同时抽取两张,众数不 变,则抽取卡片上的数字有 3. 列表如下: 2 2 3 3 2 (2,2) (2,3) (2,3) 2 (2,2) (2,3) (2,3) 3 (3,2) (3,2) (3,3) 3 (3,2) (3,2) (3,3) 由表可知,共有 12 种等可能的结果,有数字 3 的结果有 10 种,P(众数不变)= 10 12 = 5 6 . 21. 解:(1)0. 75; (2)3; (3)将第一个口袋中 3 个白球分别记为白1,白2,白3,画树 状图如下: 共有 8 种等可能的结果,其中两个球颜色相同的情况有 4 种. ∴ P(两个球颜色相同)= 4 8 = 1 2 . 22. 解:(1) 1 4 ; (2)列表如下: -2 -1 0 1 -2 ( -2,-2) ( -1,-2) (0,-2) (1,-2) -1 ( -2,-1) ( -1,-1) (0,-1) (1,-1) 0 ( -2,0) ( -1,0) (0,0) (1,0) 1 ( -2,1) ( -1,1) (0,1) (1,1) 由表知,共有 16 种等可能结果,其中点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内(含边界)的有:( -2,0)、( -1,-1)、 ( -1,0)、(0,-2)、(0,-1)、(0,0)、(0,1)、(1,0)这 8 个,所 以点 M 落在四边形 ABCD 所围成的部分内(含边界)的概 率为 8 16 = 1 2 . 23. 解:(1)设 D 地车票有 x 张,则 x= (x+20+40+30) ×10%,解 得 x= 10. 即 D 地车票有 10 张. 补全统计图如图所示; (2)小胡抽到去 A 地的概率为 20 20+40+30+10 = 1 5 ; (3)不公平. 列表如下: 　 　 小李掷得数字 小王掷得数字 　 　 1 2 3 4 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 由此可知,共有 16 种等可能结果. 其中小王掷得数字比小 李掷得数字小的有 6 种:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2, 4),(3,4) . ∴ 小王掷得数字比小李掷得数字小的概率为: 6 16 = 3 8 . 则小王掷得数字不小于小李掷得数字的概率为 1- 3 8 = 5 8 . ∴ 这个规则对双方不公平. 第一学期期末综合质量检测卷(一) 1. B　 2. D　 3. A　 4. B　 5. A　 6. B　 7. B　 8. C　 9. A 10. D　 【解析】连接 AQ,图略. 设 BP= x,CQ= y,则 AP2 = 42 +x2, PQ2 = (6-x) 2 +y2,AQ2 = (4-y) 2 +62,∵ △APQ 为直角三角 形,∴ AP2 +PQ2 =AQ2,即 42 +x2 +(6-x) 2 +y2 = (4-y) 2 +62,化 简,得 y= - 1 4 x2 + 3 2 x. 整理,得 y = - 1 4 ( x-3) 2 + 9 4 . 根据函 数关系式可看出 D 中的函数图象与之对应. 故选:D. 11. 11　 12. 1 6 　 13. 1 2 x(x-1)= 28　 14. 50 15. 5　 【解析】如图 1,连接 AQ,∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AD=DC,∠ADC= 90°,由旋转,得 DP =DQ,∠QDP = 90°, ∴ ∠ADC - ∠QDC = ∠QDP - ∠QDC, ∴ ∠ADQ = ∠CDP, ∴ △ADQ≌△CDP(SAS),∴ AQ = CP = 2,∴ 点 Q 的运动轨 迹是以点 A 为圆心,半径为 2 的圆,∴ 当点 Q 在 BA 的延长 线上时,BQ 的值最大,如图 2,∴ BQ 的最大值 = AB+AQ = 3 +2 = 5. 故答案为:5. 图 1 　 　 图 2 16. 解:(1)x2 +8x-1 = 0,x2 +8x= 1,x2 +8x+16 = 1+16,( x+4) 2 = 17,x+4 = ± 17 ,x1 = -4+ 17 ,x2 = -4- 17 ; (2)x(x-2) +x-2 = 0,(x-2) ( x+1) = 0,x-2 = 0 或 x+1 = 0, x1 = 2,x2 = -1. 17. 解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求; (2)① 如图所示,△A2B2C2 即为所求; ② ( -b,a) . 18. 解:过 O 点作半径 OD⊥AB 于 E,如图,∴ AE =BE = 1 2 AB = 1 2 ×8 = 4( m),在 Rt△AEO 中,OE = OA2 -AE2 = 52 -42 = 3(m),∴ ED=OD-OE= 5-3 = 2(m) . 答:筒车工作时,盛水桶在水面以下的最大深度为 2 m. 19. 解:(1)画树状图如下: 共有 9 种等可能的结果,它们是:(0,-1),(0,-2),(0,0), (1,-1),(1,-2),(1,0),(2,-1),(2,-2),(2,0); (2)在直线 y= -x+1 的图象上的点有:(1,0),(2,-1),所 以点 M(x,y)在函数 y= -x+1 的图象上的概率为 2 9 . 20. 解:(1)如图所示:过 B 作 BF⊥AB,交 CE 于 F,直线 BF 即 为所求直线; (2) 证 明: ∵ AB = AC, ∴ ∠ABC = ∠ACB, ∵ AB ∥CE, ∴ ∠ABC= ∠BCF,∴ ∠BCF= ∠ACB,∵ 点 D 在以 AB 为直 径的圆上,∴ ∠ADB = 90°,∴ ∠BDC = 90°,∵ BF 为☉O 的 切线,∴ ∠ABF = 90°,∵ AB∥CE,∴ ∠BFC+∠ABF = 180°, ∴ ∠BFC= 90°,∴ ∠BDC = ∠BFC,在△BCD 和△BCF 中, ∠BDC= ∠BFC, ∠DCB= ∠FCB, BC=BC, ì î í ïï ïï ∴ △BCD≌△BCF(AAS),∴ BD=BF. 21. 解:(1)设道路的宽为 x 米,由题意,得(50-2x) (30-2x)= 800,整理,得 x2 - 40x+ 175 = 0,解得 x1 = 35(不合题意,舍 去),x2 = 5.