第21章 一元二次方程-【锦上添花】2024-2025学年九年级数学全一册直击考点与单元双测（人教版2012 河南专版）

1　 　 　 　 第二十一章　 一元二次方程 题　 号 一 二 三 总　 分 得　 分 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分. 下列各小题均有四个选项,其中只有一个是正确的) 1. 下列方程属于一元二次方程的是 (　 　 ) A. x2 +y-2 = 0　 B. x+y= 5　 C. x2 = 0　 D. x+ 1 5 = 5 2. 若(m-1)x m +1 -2x= 3 是关于 x 的一元二次方程,则 m 的值为 (　 　 ) A. -1　 B. 1　 C. ±1　 D. 无法确定 3. 用配方法解一元二次方程 x2 -2x= 3,配方后得到的方程是 (　 　 ) A. (x-1) 2 = 4　 B. (x+1) 2 = 4　 　 C. (x+2) 2 = 1　 D. (x-2) 2 = 1 4. 已知 x= 1 是关于 x 的一元二次方程 x2 +kx-6 = 0 的一个根,则 k 的值为 (　 　 ) A. -5　 　 B. -7　 C. 5　 D. 7 5. 若一元二次方程 2x2 +3x-6 = 0 的两个根分别为 x1,x2,则 x1·x2 的值等于 (　 　 ) A. -6　 B. 6　 　 C. -3　 　 D. 3 6. 王老师购买了 2 304 张签名卡,在毕业典礼上,他向每位同学赠送了一张签名卡,每位同学间也互 赠了一张签名卡,签名卡恰好用完,设班级有 x 名学生,则下列方程成立的是 (　 　 ) A. x(x -1) 2 +x= 2 304　 　 B. x(x -1) 2 = 2 304 C. x(x-1)= 2 304　 D. x(x-1) +x= 2 304 7. 若△ABC 的两边长分别为 2 和 3,第三边的长是方程 a2 -9a+20 = 0 的根,则△ABC 的周长是 (　 　 ) A. 9　 　 B. 10　 　 C. 9 或 10　 　 D. 7 或 10 8. 已知一次函数 y= kx+b 的图象如图所示,则一元二次方程 x2 +bx+k= 0 的根的情况是 (　 　 ) A. 有两个相等的实数根　 　 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 　 D. 无法确定 9. 若关于 x 的一元二次方程 a(x+m) 2 +n= 0(a≠0)的两根分别为 x1 = -2,x2 = 1,则关于 x 的一元二 次方程 a(x+m-2 025) 2 +n= 0(a≠0)的两根分别为 (　 　 ) A. x1 = -2,x2 = 1 B. x1 = 2 023,x2 = 2 026 C. x1 = -2 023,x2 = 2 026 D. x1 = -2 027,x2 = -2 023 10. 如图,Rt△ACB 中,∠C= 90°,AC = 7,BC = 5,点 P 从点 B 出发向终点 C 以 1 个单位长度 / s 移动, 点 Q 从点 C 出发向终点 A 以 2 个单位长度 / s 移动,P、Q 两点同时出发,一点先到达终点时 P、Q 两点同时停止,当△PCQ 的面积等于 4 时,则运动多少秒 (　 　 ) A. 1　 　 B. 2　 C. 4　 D. 1 或 4 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 若一个关于 x 的一元二次方程的两根互为相反数,请你写出一个满足条件的方程:　 　 　 　 . 12. 如果关于 x 的一元二次方程(m-5)x2 +4x+m2 -25 = 0 有一个根是 0,那么 m 的值是　 　 　 　 . 13. 已知关于 x 的方程 x2 +(2m-1)x+m2 = 0 有两个实数根,此方程两根分别为 α,β,且 αβ+α+β = 9, 则 m 的值为　 　 　 　 . 14. 如图是一个长为 40 m,宽为 30 m 的矩形花园,现要在花园中修建等宽的两条纵向小道和一条横 向小道,剩余的地方种植花草. 要使种植花草的面积为 1 008 m2,设小道的宽度应为 x m,可列方 程为　 　 　 　 　 　 　 　 . 15. 若关于 x 的一元二次方程(x-2)(x-3)= m 有实数根 x1,x2,且 x1≠x2,有下列结论: ① m≥- 1 4 ; ② 若 x1 = 1,则 x2 = 4; ③ 关于 x 的方程(x-3)(x-4)= m 的根为 x1 -1,x2 -1; ④ 关于 x 的方程(x-x1)(x-x2) +m= 0 的根为 2,3. 其中正确的结论有　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分) 16. (10 分)解下列方程: (1)3(x-1) 2 -12 = 0; (2)2x2 -4x-7 = 0. 17. (9 分)下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程,请认真阅读并完成任务. 2x2 -3x-5 = 0 解:x2 - 3 2 x= 5 2 ……第一步 x2 - 3 2 x+ 3 4( ) 2 = 5 2 + 3 4( ) 2 ……第二步 x- 3 4( ) 2 = 49 16 ……第三步 x- 3 4 = ± 7 4 ……第四步 x1 = 5 2 ,x2 = -1……第五步 (1)任务一:① 杨老师板书过程中使用的解方程的方法是　 　 　 　 ; A. 直接开平方法　 B. 配方法 C. 公式法　 D. 因式分解法 ② 第二步变形的依据是　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)任务二:请你按要求解下列方程: ① x2 +2x-3 = 0;(公式法)　 　 ② 3(x-2) 2 = x2 -4. (因式分解法) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2　 18. (9 分)已知关于 x 的方程 x2 -2mx+2m-2 = 0. (1)若此方程的一个根为-3,则 m 的值为　 　 　 　 ; (2)求证:对于任何实数 m,此方程总有两个不相等的实数根. 19. (9 分)某旅游团旅游结束时,其中一位游客建议大家互相握手道别,细心的小明发现,每两位参 加旅游的人互握一次手,共握了 45 次手,问这个旅游团共有多少位游客? 20. (9 分)某校为响应我市全民阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书馆. 据统计,第一个月 进馆 128 人次,进馆人次逐月增加,到第三个月末累计进馆 608 人次,若进馆人次的月平均增长 率相同. (1)求进馆人次的月平均增长率; (2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力不超过 500 人次,在进馆人次的月平均增长率相同的 条件下,请判断校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次,并说明理由. 21. (9 分)致富新村要修建一个长方形的养猪场,猪场的一面靠墙(墙长 25 米),另外三边用长 40 米 的木栏围成. (1)设 AB 长为 x 米,则 BC 的长为　 　 　 　 米; (2)AB 长为多少时,养猪场的面积为 150 平方米? (3)养猪场的面积能否为 240 平方米? 若能,请求出 AB 的长度;若不能,请说明理由. 22. (10 分)如果关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0)有两个实数根,其中一个实数根是另一 个实数根的 2 倍,那么称这样的方程是“倍根方程” . 例如一元二次方程 x2 -6x+8 = 0 的两个根是 x1 = 2,x2 = 4,则方程 x2 -6x+8 = 0 是“倍根方程” . (1)通过计算,判断 x2 -3x+2 = 0 是否是“倍根方程”; (2)若关于 x 的方程(x-2)(x-m)= 0 是“倍根方程”,求代数式 m2 +2m+2 的值; (3)已知关于 x 的一元二次方程 x2 -(m-1) x+32 = 0(m 是常数)是“倍根方程”,请直接写出 m 的值. 23. (10 分)某运动品牌销售一款运动鞋,已知每双运动鞋的成本价为 60 元,当售价为 100 元时,平 均每天能售出 200 双;经过一段时间销售发现,平均每天售出的运动鞋数量 y(双)与降低价格 x(元)之间存在如图所示的函数关系. (1)求出 y 与 x 的函数关系式; (2)公司希望平均每天获得的利润达到 8 910 元,且优惠力度最大,则每双运动鞋的售价应该定 为多少? (3)为了保证每双运动鞋的利润不低于成本价的 50%,公司每天能否获得 9 000 元的利润? 若 能,求出定价;若不能,请说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 39　 参 考 答 案 　 九年级数学(上) RJ　 第二十一章　 一元二次方程 1. C　 2. A　 3. A　 4. C　 5. C　 6. D　 7. A　 8. B　 9. B 10. A　 【解析】设 t 秒后,△PCQ 的面积等于 4,由题意得 BP = t,CQ= 2t,则 CP= 5-t,∵ S△PCQ = 1 2 CQ·CP,∴ 4 = 1 2 ×2t×(5 -t),整理得 t2 - 5t+ 4 = 0,解得 t1 = 1, t2 = 4(不合题意,舍 去),即 1 秒后,△PCQ 的面积等于 4. 故选:A. 11. x2 -4 = 0(答案不唯一)　 12. -5　 13. -2 14. (40-2x)(30-x)= 1 008 15. ②④　 【解析】①(x-2)(x-3)= m 化为一般形式为 x2 -5x+ 6-m= 0,∵ 原方程有实数根 x1,x2,且 x1 ≠x2,∴ Δ = b 2 -4ac = (-5) 2 -4(6-m) >0,解得 m>- 1 4 ,故①错误;②∵ 关于 x 的一元二次方程(x-2) ( x-3)= m 有实数根 x1、x2,当 x1 = 1,则 m= 2,∴ 方程为 x2 -5x+4 = 0,解得 x1 = 1,x2 = 4,故② 正确;③∵ 关于 x 的一元二次方程(x-2)(x-3)= m 有实数 根 x1,x2,且 x1≠x2,而(x-3) ( x-4)= m 可化为:[( x-1) - 2][(x-1)-3] =m,∴ x-1 = x1,x-1 = x2,∴ x = x1 +1 或 x = x2 +1,故③错误;④∵ (x-2) ( x-3)= m 化为一般形式为 x2 - 5x+6-m= 0,∵ 原方程有实数根 x1、x2,且 x1 ≠x2,∴ x1 +x2 = 5,x1x2 = 6-m,∵ (x-x1)(x-x2)+m= x 2 -(x1 +x2)x+m+x1x2 = x2 -5x+m+6-m= x2 -5x+6,∴ x2 -5x+6 = 0,解得 x = 2 或 x = 3,故④正确. 故答案为:②④. 16. 解:(1)3(x-1) 2 -12 = 0,(x-1) 2 = 4,x-1 = ±2,所以 x1 = 3, x2 = -1; (2)2x2 -4x-7 = 0,x2 -2x= 7 2 ,x2 -2x+1 = 9 2 ,(x-1) 2 = 9 2 ,x- 1 = ± 3 2 2 ,所以 x1 = 1+ 3 2 2 ,x2 = 1- 3 2 2 . 17. 解:(1)B,等式的基本性质; (2)①x2 +2x-3 = 0,a = 1,b = 2,c = -3,Δ = 22 -4×1×( -3) = 16>0,x= -b± b2 -4ac 2a = -2±4 2×1 = -1±2,所以 x1 = 1,x2 = -3; ②3(x-2) 2 = x2 -4,3(x-2) 2 -(x+2) (x-2)= 0,(x-2) (3x- 6-x-2)= 0,(x-2)(x-4)= 0,x-2 = 0 或 x-4 = 0,所以 x1 = 2,x2 = 4. 18. 解:(1) - 7 8 ; (2)证明:∵ a= 1,b= -2m,c= 2m-2,∴ Δ = b2 -4ac= ( -2m) 2 -4(2m-2) = 4(m-1) 2 +4. ∴ 对于任何实数 m,总有 Δ>0, ∴ 方程总有两个不相等的实数根. 19. 解:设游客人数为 x 人,依题意,得 1 2 x(x-1)= 45,x2 -x-90 = 0,解得 x1 = -9(舍去),x2 = 10. 答:这次旅游的游客人数是 10 人. 20. 解:(1)设进馆人次的月平均增长率为 x,则由题意,得 128 +128(1+x) + 128 ( 1 +x) 2 = 608. 化简,得 4x2 + 12x- 7 = 0. ∴ (2x-1)(2x+7)= 0,∴ x= 0. 5 = 50%或 x= -3. 5(舍) . 答:进馆人次的月平均增长率为 50%; (2)校图书馆能接纳第四个月的进馆人次. 理由:∵ 进馆人 次的月平均增长率为 50%, ∴ 第四个月的进馆人次为: 128(1+50%) 3 = 128× 27 8 = 432<500. 答:校图书馆能接纳第四个月的进馆人次. 21. 解:(1)(40-2x); (2)由(1)可得养猪场的面积为 x(40-2x),又∵ 养猪场的 面积为 150 平方米,∴ x(40-2x)= 150,解得 x1 = 15,x2 = 5. ∵ 0<BC= 40-2x≤25,∴ 15 2 ≤x<20,∴ x = 15. 即 AB 长为 15 米时,养猪场的面积为 150 平方米; (3)养猪场的面积不能为 240 平方米. 理由如下:由(1)可 得养猪场的面积为 x(40-2x),又∵ 养猪场的面积为 240 平 方米,∴ x(40-2x)= 240,∴ x2 -20x+120 = 0,∵ Δ = ( -20) 2 - 4×1×120 = -80<0,∴ 原方程没有实数根. 即养猪场的面积 不能为 240 平方米. 22. 解:(1)x2 -3x+2 = 0,(x-2)(x-1)= 0,x-2 = 0 或 x-1 = 0,所 以 x1 = 2,x2 = 1,则方程 x 2 -3x+2 = 0 是“倍根方程”; (2)(x-2) (x-m) = 0,x-2 = 0 或 x-m = 0,解得 x1 = 2,x2 = m,∵ (x-2)(x-m)= 0 是“倍根方程”,∴ m = 4 或 m= 1,当 m= 4 时,m2 +2m+2 = 16+8+2 = 26;当 m= 1 时,m2 +2m+2 = 1 +2+2 = 5,综上所述,代数式 m2 +2m+2 的值为 26 或 5; (3)13 或-11. 23. 解:(1)设 y 与 x 的函数关系式为 y = kx+b (k≠0),由图可 知其函数图象经过点(0,200)和(10,300),将其代入 y = kx +b 得 300 = 10k+b, 200 = b,{ 解得 k= 10, b= 200,{ ∴ y 与 x 的函数关系式为 y= 10x+200; (2)由题意,得 (10x+200) (100-x-60) = 8 910,整理,得 x2 -20x+91 = 0,解得 x1 = 7,x2 = 13;当 x = 7 时,售价为 100- 7 = 93(元),当 x= 13 时,售价为 100-13 = 87(元),∵ 优惠 力度最大,∴ 取 x= 13; 答:当每双运动鞋的售价为 87 元时,企业每天获得的销售 利润达到 8 910 元,并且优惠力度最大; (3)公司每天能获得 9 000 元的利润. 理由如下:∵ 要保证 每双运动鞋的利润率不低于成本价的 50%,∴ 100-60-x≥ 60×50%,解得 x≤10;依题意,得 (100-60-x)(10x+200)= 9 000,整理得 x2 -20x+100 = 0,解得 x1 = x2 = 10;∴ 售价为 90 元时,公司每天能获得 9 000 元的利润,且每双运动鞋 的利润不低于成本价的 50%. 第二十二章　 二次函数 1. B　 2. C　 3. A　 4. A　 5. D　 6. B　 7. D　 8. D　 9. B 10. D　 【解析】①由函数图象可知,a<0,b<0,c>0,所以 abc>0, 故①正确;②因为抛物线的对称轴为直线 x = -1,所以- b 2a = -1,即 2a-b = 0,故②正确;③因为抛物线的对称轴为直 线 x= -1,且 x= 1 时,函数值小于零,所以 x= -3 时,函数值 小于零,即 9a-3b+c<0,故③正确;④因为抛物线的对称轴 为直线 x= -1,且开口向下,所以当 x =m 时,am2 +bm+c≤a -b+c,即 am2 -a+bm+b≤0,所以 a(m2 -1)+b(m+1)≤0,故 ④正确;⑤由函数图象可知,当 x = 1 时,函数值小于零,则 a+b+c<0,又因为 b= 2a,所以 3a+c<0,故⑤正确. 故选:D. 11. y= x2 -2(答案不唯一)　 12. 2　 13. -1　 14. 24 m 15. 8　 【解析】∵ y= x2 -2x+6 = ( x-1) 2 +5,∴ 将抛物线 y = x2 - 2x+6 向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位,所得平移 后的抛物线 y= (x-3) 2 +8,∴ 抛物线的顶点坐标为(3,8), ∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ BD = AC,而 AC⊥x 轴,∴ AC 的 长等于点 A 的纵坐标,当点 A 在抛物线的顶点时,点 A 到 x 轴的距离最小,最小值为 8,∴ 对角线 BD 的最小值为 8. 故 答案为:8. 16. 解:(1)y= -2x2 +4x+3 = -2(x-1) 2 +5,∵ -2<0,∴ 抛物线的 开口向下,对称轴为直线 x= 1,顶点坐标为(1,5); (2)∵ 抛物线的开口向下,∴ x>1 时,y 随 x 增大而减小,x< 1 时,y 随 x 增大而增大. 17. 解:(1)证明:Δ= b2 -4ac= a2 -8(a-3)= a2 -8a+24 = a2 -8a+ 16+8 = (a-4) 2 +8>0,∴ 不论 a 为何实数,这个抛物线与 x 轴总有两个交点; (2)把(3,0)代入抛物线得 9-3a+2(a-3)= 0,解得 a= 3. 18. 解:(1)将点 A(-1,0)、B(2,n)代入 y1 = -x+m,∴ 1+m= 0,-2 +m=n,∴ m= -1,n= -3,将点 A(-1,0)、B(2,-3)代入 y2 =ax 2 +bx-3 得, a-b-3= 0, 4a+2b-3= -3,{ ∴ a= 1, b= -2,{ ∴ y2 = x 2 -2x-3; (2)x≤-1 或 x≥2. 19. 解:(1)设抛物线解析式为 y = a(x+1) (x-5),把 C(0,-5) 代入得-5 = a×(0+1) ×(0-5),解得 a = 1,∴ 抛物线解析式 为 y= (x+1)(x-5),即 y= x2 -4x-5;∵ y= x2 -4x-5 = (x-2) 2 -9,∴ D(2,-9); (2)设直线 BC 的解析式为 y =mx+n,把 B(5,0),C(0,-5) 分别代入,得 5m+n= 0, n= -5,{ 解得 m= 1, n= -5,{ ∴ 直线 BC 的解析式 为 y= x-5,当 x = 2 时,y = x-5 = -3,∴ E(2,-3),∴ S△CDE = 1 2 ×( -3+9) ×2 = 6. 20. 解:(1)依题意,得(x-20)( -2x+80) = 150,解得 x1 = 25,x2 = 35,∴ 每本纪念册的销售单价为 25 元或 35 元; (2)由题意,得 w= (x-20) ( -2x+80)= -2x2 +120x-1 600 = -2(x-30) 2 +200,∵ a = -2<0,∴ 当 x = 30 时,w 有最大值, 最大值为 200,∴ 当该纪念册销售单价定为 30 元时,才能 使该纪念册所获利润最大,最大利润为 200 元. 21. 解:(1)2t cm,(12-2t)cm,4t cm; (2) ∵ BQ = 4t cm,BP = ( 12 - 2t) cm,∠B = 90°,∴ S△PBQ = 1 2 BP·BQ= 1 2 ×(12-2t) ·4t = ( -4t2 +24t) cm2,即 S△PBQ = -4t2 +24t,由题意,得-4t2 +24t= 32,整理,得 t2 -6t+8 = 0,解 得 t1 = 2,t2 = 4. 答:当运动时间是 2 s 或 4 s 时△PBQ 的面积为 32 cm2; (3)由(2)可知,S△PBQ = -4t 2 +24t= -4( t-3) 2 +36,∵ a= -4< 0,∴ 当 t= 3 时,△PBQ 的面积有最大值为 36. 答:当 t 为 3 s 时,△PBQ 的面积有最大值. 22. 解:(1)由题意可得,顶点 P 为(5,10),∴ 可设抛物线解析 式为 y= a(x-5) 2 +10. 又过点 B(10,1),∴ 1 = a×52 +10,∴ a = - 9 25 ,∴ 抛物线的解析式为 y= - 9 25 (x-5) 2 +10; (2)由题意可知平行线段 EF 与 BC 之间的距离为 8 米,AB = 1 米,∴ E,F 的纵坐标为 9. ∵ 抛物线为 y = - 9 25 ( x-5) 2 + 10,∴ 令 y= 9,可得 9 = - 9 25 ( x-5) 2 +10. ∴ x = 10 3 或 x= 20 3 . ∴ 点 E 与隧道左壁 OC 之间的距离为 10 3 米. 23. 解:(1)∵ 直线 l2 的解析式为 y = kx-5,∴ M(0,-5),把 M 点的坐标代入 y = a( x-1) ( x-5)得,5a = -5,解得 a = -1, ∴ 抛物线 l1 的解析式为 y= -(x-1) (x-5),即 y = -x 2 +6x- 5; (2)设直线 l2 与 x 轴的交点为 C,∵ y = -( x- 1) ( x- 5), ∴ 点 A(1,0)和点 B(5,0),∴ AB = 4,∵ 直线 l2 将线段 AB 分成 1􀏑3 两部分,∴ AC= 1 或 AC = 3,∴ C(2,0)或(4,0), 代入 y= kx-5,得 k= 5 2 或 5 4 ; (3)2 10 -6<k<1. 　 【解析】如图所示,当直线 y = kx-5 夹 在两条虚线之间时直线 l2 与图象 l3 有四个交点,把 B(5, 0)代入 y= kx-5 得 k = 1;∵ y = -x2 +6x-5 的顶点是(3,4), ∴ 将抛物线 l1 在 x 轴上方的部分沿 x 轴折叠到 x 轴下方 后,顶点变为(3,-4),∴ 折叠后的抛物线表达式为 y = (x- 3) 2 - 4 = x2 - 6x + 5,联 立 y = kx - 5 和 y = x2 - 6x + 5,得 y= kx-5, y= x2 -6x+5,{ ∴ x2 -6x+5 = kx-5,即 x2 -(6+k)x+10 = 0,∴ Δ = (6+k) 2 -40 = 0,∴ k = 2 10 -6 或 k = -2 10 -6,∵ k>0, ∴ k= 2 10 -6,∴ 2 10 -6<k<1. 第二十三章　 旋转 1. A　 2. D　 3. D　 4. C　 5. B　 6. B　 7. A　 8. D　 9. B 10. A　 【解析】①设 AF 交 BC 于 K,∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ ∠ABK= 90°,∴ ∠KAB+∠AKB = 90°,∵ 将Rt△ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90°,得到△CBG,∴ ∠KAB = ∠BCG, ∵ ∠AKB= ∠CKF,∴ ∠BCG+∠CKF = 90°,∴ ∠KFC = 90°, ∴ AF⊥CG,故①正确;②∵ 将Rt△ABE 绕点 B 按顺时针方 向旋转 90°,∴ ∠AEB= ∠CGB = 90°,BE =BG,∠EBG = 90°, ∴ 四边形 BEFG 是矩形,又∵ BE = BG,∴ 四边形 BEFG 是 正方形,故②正确;③如图,过点 D 作 DH⊥AE 于 H,∵ DA =DE,DH⊥AE,∴ AH = 1 2 AE,∴ ∠ADH+∠DAH = 90°,∵ 四 边形 ABCD 是正方形,∴ AD = AB,∠DAB = 90°,∴ ∠DAH+ ∠EAB = 90°, ∴ ∠ADH = ∠EAB,又 ∵ AD = BA, ∠AHD = ∠BEA= 90°,∴ △ADH≌△BAE(AAS),∴ AH = BE = 1 2 AE, ∵ 将Rt△ABE 绕点 B 按顺时针方向旋转 90°,∴ AE = CG, ∵ 四边形 BEFG 是正方形,∴ BE = GF,∴ GF = 1 2 CG,∴ CF =FG,故③正确. ∴ 正确的有:①②③. 故选:A. 11. (3,-5)　 12. 72　 13. 15°　 14. 12 15. 3　 【解析】 连接 CN,∵ ∠ACB = 90°,∠A = 30°,AB = 12, ∴ BC= 1 2 AB= 6,∵ 点 M 是 BC 的中点,∴ CM= 1 2 CB= 3,由 旋转可知∠ACB = ∠A1CB1 = 90°,AB = A1B1 = 12,∵ 点 N 是 A1B1 的中点,∴ CN= 1 2 A1B1 = 6,∵ MN≥CN-CM = 6-3 = 3. ∴ MN≥3,∴ 线段 MN 的最小值是 3. 故答案为:3. 16. 证明:∵ △ABO 与△CDO 关于 O 点中心对称,∴ BO = DO, AO= CO, ∵ AF = CE, ∴ AO -AF = CO -CE, ∴ FO = EO,在 △FOD 和△EOB 中, FO=EO, ∠FOD= ∠EOB, DO=BO, ì î í ï ï ïï ∴ △FOD≌△EOB (SAS),∴ FD=BE. 17. 解:(1)如图所示,△AED 即为所求; (2)由(1)知:△ADE≌△BDC,则 CD =DE,AE = BC,∴ AE- AC<2CD<AE+AC,即 BC-AC<2CD<BC+AC,∴ 2<2CD<10, 解得 1<CD<5. 18. 解:(1)如图所示,△A1B1C1 即为所求; (2)如图所示,△A2B2C2 即为所求; (3)( -b,a) . 19. 证明:(1)由旋转可知,∠EBD = 60°,BE = BD,∵ △ABC 是 等边三角形,∴ ∠ABC = ∠DCB = 60°,AB = BC,∵ ∠EBD = ∠ABC= 60°,∴ ∠EBD-∠ABD= ∠ABC-∠ABD,即∠EBA = ∠DBC,在△ABE 和△CBD 中, BE=BD, ∠EBA= ∠DBC, BA=BC, ì î í ïï ïï ∴ △ABE ≌△CBD(SAS); (2)由(1)知,△ABE≌△CBD,∴ ∠EAB = ∠DCB,∵ ∠ABC= ∠DCB= 60°,∴ ∠EAB= ∠ABC,∴ AE∥BC. 20. 解: ( 1) ∵ ∠ADE = 35°, ∠DAE = 50°, ∴ ∠AED = 180° - ∠ADE - ∠DAE = 95°, ∵ △ADE 绕点 A 顺时针旋转至 △ABF,∴ △ADE≌△ABF,∴ ∠AFB= ∠AED= 95°; (2)∵ △ADE 绕点 A 顺时针旋转至△ABF,点 E 的对应点 为点 F,∴ AE = AF,AD 旋转至 AB 的位置,旋转角为 90°, ∴ ∠EAF= 90°,∴ EF= 2AE= 2 ×2 = 2 2 . 21. 解:(1)P′B,P′B2; (2)关系式为:2PA2 +PB2 =PC2 . 证明:如图将△APC 绕 A 点 逆时针旋转 90°,得到△AP′B,连接 PP′,则△APP′为等腰 直角三角形, ∴ ∠APP′ = 45°, PP′ = 2 PA, PC = P′ B, ∵ ∠APB = 135°, ∴ ∠BPP′ = 90°, ∴ P′ P2 + BP2 = P′ B2, ∴ 2PA2 +PB2 =PC2 . 　 　 　 　 　 　 　 22. 解:(1)A,90; (2)证明:由旋转的性质,得 AE = AN,∠BAE = ∠DAN,∵ 四