九年级数学第三次月考卷（深圳专用，北师大版九上全部+九下第一章）-学易金卷：2024-2025学年初中上学期第三次月考

2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版，例如第一章特殊四边形30%+第二章一元二次方程25%+第三章概率10%+第四单元相似图形25%+第五单元+第六单元反比例函数5%+九下第一章三角函数5%。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图，是一种结构简单的长方体空心结构件，具有较高的强度和刚性，其应用广泛．图中箭头所指方向为正面，则该结构件的主视图是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：该几何体的主视图为： 故选A． 2．用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， 故选：D. 3．如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是4，则四边形面积是（    ） A．6 B．9 C．16 D．18 【答案】B 【详解】解：∵四边形和四边形是位似图形， ∴， ∵， ∴， ∵四边形的面积是4， ∴四边形面积是9． 故选：B 4．下列命题为假命题的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】C 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意． B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意． C、有一个内角是直角的平行四边形可能是长方形，是假命题，应该是矩形，推不出正方形，本选项符合题意． D、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意． 故选：C． 5．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【详解】当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的的图象在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的的图象在第二、四象限，D选项的图象符合要求． 故选D． 6．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如下图， 根据题意，可知，，，， ∴， 由勾股定理可得． 故选：A． 7.如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（    ）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【详解】解：∵矩形中， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 在中，， 故选：C. 8.如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，，、交于点，若是的中点，则的长是（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ∽， ， ， ． 故选：B． 第二部分（非选择题 共76分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9.在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，这个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则的值大约为 ． 【答案】20 【详解】解：通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右， ∴（摸到红球）， 即：（摸到红球）， ∴； 故答案为：． 10．已知a，b，c，d是比例线段，其中则线段d的长度为 ． 【答案】32 【详解】∵，，，是比例线段，其中 ∴， ∴， 解得， 故答案为：32． 11．设，是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】2024 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，且， ∴， ∴ ． 故答案为：2024． 12．如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是 ．    【答案】 【详解】连接AB如图所示： 设小正方形的边长为1， ∴==10，，， ∴是直角三角形， ∴， 故答案为：. 13．如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 ． 【答案】 【详解】解：过点作于点，连接，如图所示： ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即在点的运动过程中，的大小不变且等于， 当时，最小， 设此时， ， ， ， ， ， 代入，解得， ， ， ， ， 故答案为： 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8分）解下列方程： (1) (2) 【详解】（1）解： 方程两边同时加上5，即（1分） 即，（2分） ∴，（3分） 解得：，（4分） （2）解： ∴，（2分） ∴，（3分） 解得：，．（4分） 15．（5分）计算：． 【详解】解：原式=3+1-3+2×（3分） =1+1（4分） （5分） 16．（8分）我校德育处发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，德育处在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． (1)这次被调查的同学共有 名；并把条形统计图补充完整； (2)德育处通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供40人用一餐．据此估算，我校名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？ (3)德育处准备在被调查的没有剩的甲、乙、丙、丁四名同学中选两名同学在周一的国旗下进行倡议“光盘行动”的主题演讲，请用树状图或列表法求选中甲、丙两位同学的概率． 【详解】（1）解：这次被调查的同学共有名， 故答案为：；（1分） ∴剩少量的学生人数为名， ∴条形统计图补充完整如下： （2分） （2）解：人，（3分） 答：我校名学生一餐浪费的食物可供人食用一餐； （3）解：画树状图如下： （6分） 由树状图可得，共有种等结果，其中选中甲、丙两位同学的种结果， ∴选中甲、丙两位同学的概率．（8分） 17．（8分）某商店对最新款台灯的销量进行统计，经统计7月份台灯的销售量为个，9月份台灯的销售量为个． (1)求该款台灯7月份到9月份销售量的月平均增长率； (2)若该台灯的进价为元/个，当售价为元/个时，月销售量为个，在此基础上售价每上涨1元，月销售量就会减少个，为了实现每月元的销售利润，而且尽可能让顾客得到实惠，则每个台灯的售价应定多少元？ 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 依题意得，，（1分） 解得，或（舍去），（2分） ∴月平均增长率为；（3分） （2）解：设每个台灯的售价应定价为元， 依题意得，，（4分） 整理得，，（5分） 解得，，，（6分） ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴，（7分） ∴每个台灯的售价应定元．（8分） 18．（9分）如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ∴，，，（1分） ∵， ∴，（2分） ． ∵， ， ， ， ，（3分） ， ；（4分） （2）解：四边形是菱形，， ∴，（5分） 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 又∵，， ，（6分） ， ， 解得，（7分） 经检验，是分式方程的解，（8分） ．（9分） 19.(11分）换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】解：（1）联立和得：， 解得：或5， 观察函数图象知，当时，的取值范围是， 故答案为：； （2）①设矩形的边长分别为：，， 由题意得：且， 而，， 则，， 故周长为28，面积为20， 故答案为：20，28；（3分） ②假设存在矩形，其边长为，， 同理可得：，，（5分） 则存在方程：， ，（6分） ∴方程无解， 故不存在矩形；（7分） （3）存在，理由： 联立两个函数表达式得：， 解得：或5，（8分） 即点、的坐标分别为：、；（9分） 设点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得：，即点；（10分） 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或或．（11分） 20．（12分）已知四边形中，E、F分别是边上的点，与交于点G． (1)如图①，若四边形是矩形，且，求证：； (2)如图②，若将（1）中的矩形改为一般的平行四边形，其余条件不变，求证：； (3)如图③，若，，，，请直接写出的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，(1分） ∴， ∵， ∴， ∴，(2分） ∴；(3分） （2）证明：在的延长线上取点，使，则， ∵平行四边形， ∴， ∴，(4分） ∵， ∴， ∴， ∴，(5分） ∴， ∴；(6分） （3）解：如图所示，连接、，交于点，作于，      ∵，，， ∴，(7分） 在和中， ， ∴，(8分） ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，(9分） ∴ ∴，即， ∴，(10分） ∴， ∴， ∵， ∴，解得，(11分） ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．(12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版，例如第一章特殊四边形30%+第二章一元二次方程25%+第三章概率10%+第四单元相似图形25%+第五单元+第六单元反比例函数5%+九下第一章三角函数5%。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图，是一种结构简单的长方体空心结构件，具有较高的强度和刚性，其应用广泛．图中箭头所指方向为正面，则该结构件的主视图是（    ） A．B．C． D． 2．用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是4，则四边形面积是（    ） A．6 B．9 C．16 D．18 4．下列命题为假命题的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 5．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致（    ） A．  B．  C．   D．   6．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 7.如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（    ）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 8.如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，，、交于点，若是的中点，则的长是（  ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9.在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，这个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则的值大约为 ． 10．已知a，b，c，d是比例线段，其中则线段d的长度为 ． 11．设，是一元二次方程的两个根，则 ． 12．如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是 ．    13．如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8分）解下列方程： (1) (2) 15．（5分）计算：． 16．（8分）我校德育处发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，德育处在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． (1)这次被调查的同学共有 名；并把条形统计图补充完整； (2)德育处通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供40人用一餐．据此估算，我校名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？ (3)德育处准备在被调查的没有剩的甲、乙、丙、丁四名同学中选两名同学在周一的国旗下进行倡议“光盘行动”的主题演讲，请用树状图或列表法求选中甲、丙两位同学的概率． 17．（8分）某商店对最新款台灯的销量进行统计，经统计7月份台灯的销售量为个，9月份台灯的销售量为个． (1)求该款台灯7月份到9月份销售量的月平均增长率； (2)若该台灯的进价为元/个，当售价为元/个时，月销售量为个，在此基础上售价每上涨1元，月销售量就会减少个，为了实现每月元的销售利润，而且尽可能让顾客得到实惠，则每个台灯的售价应定多少元？ 18．（9分）如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19.(11分）换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（12分）已知四边形中，E、F分别是边上的点，与交于点G． (1)如图①，若四边形是矩形，且，求证：； (2)如图②，若将（1）中的矩形改为一般的平行四边形，其余条件不变，求证：； (3)如图③，若，，，，请直接写出的值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试题 第 1 页（共 4 页） 试题 第 2 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ 姓 名 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ 班 级 ： _ __ _ __ _ _ __ _ _ _ _ _ 考 号 ： _ __ _ _ __ _ __ _ __ _ _ _ _ _ __ _ _ 2024-2025 学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版，例如第一章特殊四边形 30%+第二章一元二次方程 25%+第三章概率 10%+ 第四单元相似图形 25%+第五单元+第六单元反比例函数 5%+九下第一章三角函数 5%。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的） 1．如图，是一种结构简单的长方体空心结构件，具有较高的强度和刚性，其应用广泛．图中箭头所指方 向为正面，则该结构件的主视图是（ ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程 2 4 6x x  时，配方后正确的是（ ） A． 2( 2 2)x   B． 2( 2) 6x   C． 2( 2) 2x   D． 2( 2) 10x   3．如图，以点O为位似中心，作四边形 ABCD的位似图形 A BC D   ，已知 2 3 OA OA   ，若四边形 ABCD的面 积是 4，则四边形 A BCD   面积是（ ） A．6 B．9 C．16 D．18 4．下列命题为假命题的是（ ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 5．在同一直角坐标系中，函数 y kx k  与  0ky k x   的图象大致（ ） A． B． C． D． 6．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问 甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3．乙一 直向东走，甲先向南走 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多 少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为 x，根据题意，可列方程为（ ） A． 2 2 2(7 10) 10 (3 )x x   B． 2 2 2(10) (7 10) (3 )x x   C． 2 2 2(3 ) (7 10) (10)x x   D． 2 2 2(7 10) 10 (3 )x x   7.如图，在矩形 ABCD中，点 E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以 B为圆心，BF 长为半径的圆弧过 AD与CE的交点 G，连接BG ．若 4AB  ， 10CE  ，则 AG （ ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 8.如图，在矩形 ABCD中， 6AB  ， 9BC  ，点E、F 分别在边 AB、BC上， 2AE  ，BD、EF交于点G， 若G是EF的中点，则 BF 的长是（ ） A．5 B．6 C．6.4 D．7.2 第二部分（非选择题 共 76 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 9.在一个不透明的盒子中装有 a个除颜色外完全相同的球，这 a个球中只有 4 个红球，若每次将球充分搅匀 后，任意摸出 1 个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在 20%左右， 则 a的值大约为 ． 10．已知 a，b，c，d是比例线段，其中 6cm, 8cm, 24cm,a b c   则线段 d的长度为 cm． 11．设 1x ， 2x 是一元二次方程 2 2026 0x x   的两个根，则 2 1 1 23 2x x x   ． 试题 第 3 页（共 4 页） 试题 第 4 页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ 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分）如图，在菱形 ABCD中，点 G在边CD上，连线 AG并延长交BC的延长线于点 F，连结BD交 AF 于点 E，连结CE． (1)求证： 2EC EF EG  ； (2)若 6AB  ， 3 CE EG  ，求CF的长． 19.(11 分）换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例 如：已知两个函数  1 6 0y x x    ，  2 5 0y x x   当 x取何值时， 1 2y y ？根据“代数”的思想要解一元二 次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图 1，当 1 2y y 时， x的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形M ，如果存在另一个矩形 N ，它的周长和面积都是原矩形的 2 倍，那么我 们称N 是M 的“加倍矩形”，M 是N 的“双半矩形”．请你研究矩形N 是否存在“双半矩形”M ．我们利用数 形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数 7y x   和反比例函数 10 y x  的部分图象，其中 x和 y分别表示矩形N 的“双半矩形”M 的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形N 的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形M 的“双半矩形”Q？如果存在，请求出Q的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以O，C，D，E为顶点的平行四边形？若存在，请直 接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（12 分）已知四边形 ABCD中，E、F分别是 AB AD、 边上的点，DE与CF交于点 G． (1)如图①，若四边形 ABCD是矩形，且 AED BCF  ，求证： DE AD CF DC  ； (2)如图②，若将（1）中的矩形 ABCD改为一般的平行四边形，其余条件不变，求证： DE AD CF DC  ； (3)如图③，若 6BA BC  ， 8DA DC  ， 90BAD  ，DE CF ，请直接写出 DE CF 的值． 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版，例如第一章特殊四边形30%+第二章一元二次方程25%+第三章概率10%+第四单元相似图形25%+第五单元+第六单元反比例函数5%+九下第一章三角函数5%。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共24分） 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．如图，是一种结构简单的长方体空心结构件，具有较高的强度和刚性，其应用广泛．图中箭头所指方向为正面，则该结构件的主视图是（    ） A．B．C． D． 2．用配方法解方程时，配方后正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是4，则四边形面积是（    ） A．6 B．9 C．16 D．18 4．下列命题为假命题的是（    ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 5．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致（    ） A．  B．  C．   D．   6．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 7.如图，在矩形中，点E为延长线上一点，F为的中点，以B为圆心，长为半径的圆弧过与的交点G，连接．若，，则（    ）    A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 8.如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，，、交于点，若是的中点，则的长是（  ）    A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共76分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 9.在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的球，这个球中只有4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则的值大约为 ． 10．已知a，b，c，d是比例线段，其中则线段d的长度为 ． 11．设，是一元二次方程的两个根，则 ． 12．如图所示，是放置在正方形网格中的一个角，则的值是 ．    13．如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8分）解下列方程： (1) (2) 15．（5分）计算：． 16．（8分）我校德育处发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，德育处在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． (1)这次被调查的同学共有 名；并把条形统计图补充完整； (2)德育处通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供40人用一餐．据此估算，我校名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？ (3)德育处准备在被调查的没有剩的甲、乙、丙、丁四名同学中选两名同学在周一的国旗下进行倡议“光盘行动”的主题演讲，请用树状图或列表法求选中甲、丙两位同学的概率． 17．（8分）某商店对最新款台灯的销量进行统计，经统计7月份台灯的销售量为个，9月份台灯的销售量为个． (1)求该款台灯7月份到9月份销售量的月平均增长率； (2)若该台灯的进价为元/个，当售价为元/个时，月销售量为个，在此基础上售价每上涨1元，月销售量就会减少个，为了实现每月元的销售利润，而且尽可能让顾客得到实惠，则每个台灯的售价应定多少元？ 18．（9分）如图，在菱形中，点G在边上，连线并延长交的延长线于点F，连结交于点E，连结． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19.(11分）换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数，当取何值时，？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图1，当时，的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称是的“加倍矩形”，是的“双半矩形”．请你研究矩形是否存在“双半矩形”．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的部分图象，其中和分别表示矩形的“双半矩形”的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形的“双半矩形”？如果存在，请求出的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以，，，为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（12分）已知四边形中，E、F分别是边上的点，与交于点G． (1)如图①，若四边形是矩形，且，求证：； (2)如图②，若将（1）中的矩形改为一般的平行四边形，其余条件不变，求证：； (3)如图③，若，，，，请直接写出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版，例如第一章特殊四边形 30%+第二章一元二次方程 25%+第三章概率 10%+ 第四单元相似图形 25%+第五单元+第六单元反比例函数 5%+九下第一章三角函数 5%。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的） 1．如图，是一种结构简单的长方体空心结构件，具有较高的强度和刚性，其应用广泛．图中箭头所指方向 为正面，则该结构件的主视图是（ ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程 2 4 6x x  时，配方后正确的是（ ） A． 2( 2 2)x   B． 2( 2) 6x   C． 2( 2) 2x   D． 2( 2) 10x   3．如图，以点O为位似中心，作四边形 ABCD的位似图形 A B CD   ，已知 2 3 OA OA   ，若四边形 ABCD的面 积是 4，则四边形 A B CD   面积是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 A．6 B．9 C．16 D．18 4．下列命题为假命题的是（ ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 5．在同一直角坐标系中，函数 y kx k  与  0ky k x   的图象大致（ ） A． B． C． D． 6．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问 甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3．乙一直 向东走，甲先向南走 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？ 若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为 x，根据题意，可列方程为（ ） A． 2 2 2(7 10) 10 (3 )x x   B． 2 2 2(10) (7 10) (3 )x x   C． 2 2 2(3 ) (7 10) (10)x x   D． 2 2 2(7 10) 10 (3 )x x   7.如图，在矩形 ABCD中，点 E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以 B为圆心，BF 长为半径的圆弧过 AD 与CE的交点 G，连接BG．若 4AB  ， 10CE  ，则 AG （ ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 8.如图，在矩形 ABCD中， 6AB  ， 9BC  ，点E、F 分别在边 AB、BC上， 2AE  ，BD、EF交于点G， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 若G是EF的中点，则 BF 的长是（ ） A．5 B．6 C．6.4 D．7.2 第二部分（非选择题 共 76 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 9.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有 4 个红球，若每次将球充分搅匀 后，任意摸出 1 个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在 20%左右， 则a的值大约为 ． 10．已知 a，b，c，d是比例线段，其中 6cm, 8cm, 24cm,a b c   则线段 d的长度为 cm． 11．设 1x ， 2x 是一元二次方程 2 2026 0x x   的两个根，则 2 1 1 23 2x x x   ． 12．如图所示， AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则sin AOB 的值是 ． 13．如图，矩形 ABCD中，AD=6，DC=8，点 E为对角线 AC上一动点，BE⊥ BF， 4 3 BE BF  ，BG⊥ EF于点 G，连接 CG，当 CG最小时，CE的长为 ． 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 61 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8 分）解下列方程： (1) 2 2 4 0x x   (2)    3 4 5 4x x x   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 15．（5 分）计算： 0 1 9 ( ) | 3 | 2cos60 2     ． 16．（8 分）我校德育处发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让 同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，德育处在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐 饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． (1)这次被调查的同学共有 名；并把条形统计图补充完整； (2)德育处通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供 40 人用一餐．据此估算，我校 3500名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？ (3)德育处准备在被调查的没有剩的甲、乙、丙、丁四名同学中选两名同学在周一的国旗下进行倡议“光盘行 动”的主题演讲，请用树状图或列表法求选中甲、丙两位同学的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 17．（8 分）某商店对最新款台灯的销量进行统计，经统计 7 月份台灯的销售量为300个，9 月份台灯的销售 量为507个． (1)求该款台灯 7 月份到 9 月份销售量的月平均增长率； (2)若该台灯的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600 个，在此基础上售价每上涨 1 元，月 销售量就会减少10个，为了实现每月10000元的销售利润，而且尽可能让顾客得到实惠，则每个台灯的售价 应定多少元？ 18．（9 分）如图，在菱形 ABCD中，点 G在边CD上，连线 AG并延长交BC的延长线于点 F，连结BD交 AF 于点 E，连结CE． (1)求证： 2EC EF EG  ； (2)若 6AB  ， 3 CE EG  ，求CF的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 19.(11 分）换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例 如：已知两个函数  1 6 0y x x    ，  2 5 0y x x   当 x取何值时， 1 2y y ？根据“代数”的思想要解一元二 次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图 1，当 1 2y y 时， x的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形M ，如果存在另一个矩形N ，它的周长和面积都是原矩形的 2 倍，那么我们 称N 是M 的“加倍矩形”，M 是N 的“双半矩形”．请你研究矩形N 是否存在“双半矩形”M ．我们利用数形 结合思想来解决方程问题．如图 2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数 7y x   和反比例函数 10 y x  的 部分图象，其中 x和 y分别表示矩形N 的“双半矩形”M 的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： ①这个图象所研究的矩形N 的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形M 的“双半矩形”Q？如果存在，请求出Q的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以O，C，D，E为顶点的平行四边形？若存在，请直 接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 20．（12 分）已知四边形 ABCD中，E、F分别是 AB AD、 边上的点，DE与CF交于点 G． (1)如图①，若四边形 ABCD是矩形，且 AED BCF  ，求证： DE AD CF DC  ； (2)如图②，若将（1）中的矩形 ABCD改为一般的平行四边形，其余条件不变，求证： DE AD CF DC  ； (3)如图③，若 6BA BC  ， 8DA DC  ， 90BAD  ，DE CF ，请直接写出 DE CF 的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 2024-2025 学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：90 分钟 试卷满分：100 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大版，例如第一章特殊四边形 30%+第二章一元二次方程 25%+第三章概率 10%+ 第四单元相似图形 25%+第五单元+第六单元反比例函数 5%+九下第一章三角函数 5%。 5．难度系数：0.75。 第一部分（选择题 共 24 分） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的） 1．如图，是一种结构简单的长方体空心结构件，具有较高的强度和刚性，其应用广泛．图中箭头所指方向 为正面，则该结构件的主视图是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：该几何体的主视图为： 故选 A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 2．用配方法解方程 2 4 6x x  时，配方后正确的是（ ） A． 2( 2 2)x   B． 2( 2) 6x   C． 2( 2) 2x   D． 2( 2) 10x   【答案】D 【详解】解： 2 4 6x x  ， 2 4 4 6 4x x    ，  22 10x   ， 故选：D. 3．如图，以点O为位似中心，作四边形 ABCD的位似图形 A B CD   ，已知 2 3 OA OA   ，若四边形 ABCD的面 积是 4，则四边形 A B CD   面积是（ ） A．6 B．9 C．16 D．18 【答案】B 【详解】解：∵ 四边形 ABCD和四边形 A B CD   是位似图形， ∴ 2 ABCD A B C D S OA S OA         四边形 四边形 ， ∵ 2 3 OA OA   ， ∴ 2 2 4 3 9 ABCD A B C D S S           四边形 四边形 ， ∵ 四边形 ABCD的面积是 4， ∴ 四边形 A B CD   面积是 9． 故选：B 4．下列命题为假命题的是（ ） A．对角线相等的平行四边形是矩形 B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 C．有一个内角是直角的平行四边形是正方形 D．有一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】C 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意． B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意． C、有一个内角是直角的平行四边形可能是长方形，是假命题，应该是矩形，推不出正方形，本选项符合题 意． D、有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，本选项不符合题意． 故选：C． 5．在同一直角坐标系中，函数 y kx k  与  0ky k x   的图象大致（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当 0k  时，一次函数 y kx k  的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的 k y x  的图象在第一、 三象限，选项中没有符合条件的图象； 当 0k  时，一次函数 y kx k  的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的 k y x  的图象在第二、四象限， D 选项的图象符合要求． 故选 D． 6．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问 甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3．乙一直 向东走，甲先向南走 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？ 若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为 x，根据题意，可列方程为（ ） A． 2 2 2(7 10) 10 (3 )x x   B． 2 2 2(10) (7 10) (3 )x x   C． 2 2 2(3 ) (7 10) (10)x x   D． 2 2 2(7 10) 10 (3 )x x   【答案】A 【详解】解：如下图， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4 根据题意，可知 90A  ， 3AC x ， 10AB  ， 7AB BC x  ， ∴ 7 10BC x  ， 由勾股定理可得 2 2 2(7 10) 10 (3 )x x   ． 故选：A． 7.如图，在矩形 ABCD中，点 E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以 B为圆心，BF 长为半径的圆弧过 AD 与CE的交点 G，连接BG．若 4AB  ， 10CE  ，则 AG （ ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【详解】解：∵ 矩形 ABCD中， ∴ 90ABC BAC   ， ∵ F为CE的中点， 10CE  ， ∴ 1 5 2 BG BF CE   ， 在Rt ABG△ 中， 2 2 2 25 4 3AG BG AB     ， 故选：C. 8.如图，在矩形 ABCD中， 6AB  ， 9BC  ，点E、F 分别在边 AB、BC上， 2AE  ，BD、EF 交于点G， 若G是EF 的中点，则 BF 的长是（ ） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 5 A．5 B．6 C．6.4 D．7.2 【答案】B 【详解】解：四边形 ABCD是矩形， 6AB CD   ， 90EBF C    ， AB CD∥ ， ABD BDC  ， 2AE  ， 6 2 4BE AB AE      ， G 是EF 的中点， 1 2 EG BG EF   ， BEG ABD  ， BEG BDC  ， EBF△ ∽ DCB△ ， EB BF DC CB   ， 4 6 9 BF   ， 6BF  ． 故选：B． 第二部分（非选择题 共 76 分） 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 9.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有 4 个红球，若每次将球充分搅匀 后，任意摸出 1 个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在 20%左右， 则a的值大约为 ． 【答案】20 【详解】解：通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在 20%左右， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 ∴ P（摸到红球） 20% ， 即： P（摸到红球） 4 20% a   ， ∴ 20a  ； 故答案为：20． 10．已知 a，b，c，d是比例线段，其中 6cm, 8cm, 24cm,a b c   则线段 d的长度为 cm． 【答案】32 【详解】∵ a，b， c，d是比例线段，其中 6cm, 8cm, 24cm,a b c   ∴ a c b d  ， ∴ 6 24 8 d  ， 解得  32 cmd  ， 故答案为：32． 11．设 1x ， 2x 是一元二次方程 2 2026 0x x   的两个根，则 2 1 1 23 2x x x   ． 【答案】2024 【详解】解：∵ 1x ， 2x 是一元二次方程 2 2026 0x x   的两个根， ∴ 1 2 1x x   ，且 2 1 1 2026 0x x   ， ∴ 21 1 2026x x  ， ∴ 21 1 23 2x x x   21 1 1 22x x x x     2026 2 1    2026 2  2024 ． 故答案为：2024． 12．如图所示， AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则sin AOB 的值是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 7 【答案】 2 2 【详解】连接 AB 如图所示： 设小正方形的边长为 1， ∴ 2OA = 23 +1=10， 2 2BA =3 +1=10 ， 2 2 2OB =4 +2 =20 ， ∴ ABO 是直角三角形， ∴ BA 10 2 sin AOB= = OB 220   ， 故答案为： 2 2 . 13．如图，矩形 ABCD中，AD=6，DC=8，点 E为对角线 AC上一动点，BE⊥ BF， 4 3 BE BF  ，BG⊥ EF于点 G，连接 CG，当 CG最小时，CE的长为 ． 【答案】 32 5 【详解】解：过点 B作BP AC 于点 P，连接PG，如图所示：  4 3 BE AB BF BC   ， ABC EBF  ， Δ ΔABC EBF ∽ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 8 CAB FEB  ， 90APB EGB    ， Δ ΔABP EBG ∽ ，  1 5 sin 3 AB EB AC PB GB BAC BC      ， ABP EBG  ， ABE PBG  ， Δ ΔABE PBG ∽ ， BPG BAE  ， 即在点E的运动过程中， BPG 的大小不变且等于 BAC ， 当CG PG 时，CG最小， 设此时 AE x ，  5 3 AE AB PG PB   ， 3 5 PG x  ， CG PG ， PCG BPG BAC   ，  5 3 CP PG  ， 代入 3 5 PG x ，解得CP x ， 18 sin sin 5 CP BC CBP BC BAC       ， 18 5 x  ， 18 5 AE  ， 32 5 CE  ， 故答案为： 32 5 三、解答题（本大题共 7 小题，满分 61 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8 分）解下列方程： (1) 2 2 4 0x x   (2)    3 4 5 4x x x   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 9 【详解】（1）解： 2 2 4 0x x   方程两边同时加上 5，即 2 2 1 5x x   （1 分） 即  21 5x   ，（2 分） ∴ 1 5x    ，（3 分） 解得： 1 1 5x   ， 2 1 5x   （4 分） （2）解：    3 4 5 4x x x   ∴   4 3 5 0x x   ，（2 分） ∴ 4 0,3 5 0x x    ，（3 分） 解得： 1 4x  ， 2 5 3 x  ．（4 分） 15．（5 分）计算： 0 1 9 ( ) | 3 | 2cos60 2     ． 【详解】解：原式=3+1-3+2× （3 分） =1+1（4 分） 2 （5 分） 16．（8 分）我校德育处发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让 同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，德育处在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐 饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． (1)这次被调查的同学共有 名；并把条形统计图补充完整； (2)德育处通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供 40 人用一餐．据此估算，我校 3500名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐？ (3)德育处准备在被调查的没有剩的甲、乙、丙、丁四名同学中选两名同学在周一的国旗下进行倡议“光盘行 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 10 动”的主题演讲，请用树状图或列表法求选中甲、丙两位同学的概率． 【详解】（1）解：这次被调查的同学共有400 40% 1000  名， 故答案为：1000；（1 分） ∴ 剩少量的学生人数为1000 400 250 150 200    名， ∴ 条形统计图补充完整如下： （2 分） （2）解： 40 3500 140 1000   人，（3 分） 答：我校3500名学生一餐浪费的食物可供140人食用一餐； （3）解：画树状图如下： （6 分） 由树状图可得，共有12种等结果，其中选中甲、丙两位同学的2种结果， ∴ 选中甲、丙两位同学的概率 2 1 12 6   ．（8 分） 17．（8 分）某商店对最新款台灯的销量进行统计，经统计 7 月份台灯的销售量为300个，9 月份台灯的销售 量为507个． (1)求该款台灯 7 月份到 9 月份销售量的月平均增长率； (2)若该台灯的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600 个，在此基础上售价每上涨 1 元，月 销售量就会减少10个，为了实现每月10000元的销售利润，而且尽可能让顾客得到实惠，则每个台灯的售价 应定多少元？ 【详解】（1）解：设月平均增长率为 x， 依题意得，  2300 1 507x  ，（1 分） 解得， 0.3x  或 2.3x   （舍去），（2 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 11 ∴ 月平均增长率为30%；（3 分） （2）解：设每个台灯的售价应定价为a元， 依题意得，    30 600 10 40 10000a a      ，（4 分） 整理得，    50 80 0a a   ，（5 分） 解得， 1 50a  ， 2 80a  ，（6 分） ∵ 尽可能让顾客得到实惠， ∴ 50a  ，（7 分） ∴ 每个台灯的售价应定50元．（8 分） 18．（9 分）如图，在菱形 ABCD中，点 G在边CD上，连线 AG并延长交BC的延长线于点 F，连结BD交 AF 于点 E，连结CE． (1)求证： 2EC EF EG  ； (2)若 6AB  ， 3 CE EG  ，求CF的长． 【详解】（1）证明：四边形 ABCD是菱形， ∴ ADE CDE  ， AD CD ， AD BC∥ ，（1 分） ∵ DE DE ， ∴  SASADE CDE△ △≌ ，（2 分）  DAE DCE   ． ∵ AD BC∥ ， DAE F   ， DAE DCE F     ， FEC CEG   ，  FEC CEG ∽ ，（3 分）  EC EF EG EC  ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 12 2EC EF EG   ；（4 分） （2）解：四边形 ABCD是菱形， 6AB  ， ∴ 6AB AD CD BC    ，（5 分） 由（1）可知 FEC CEG ∽ ， ∴ EC EF CG EG EC CF   ， ∵ 3 CE EG  ， ∴ 3 EC EF CG EG EC CF    ， 设GC x ，则 3CF x ， 6DG DC CG x    ， 又∵ DAE F   ， DGA CGF  ，  ADG FCG ∽ ，（6 分）   AD DG FC CG ，  6 6 3 x x x   ， 解得 4x  ，（7 分） 经检验， 4x  是分式方程的解，（8 分） 3 12CF x   ．（9 分） 19.(11 分）换一个角度初看 华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例 如：已知两个函数  1 6 0y x x    ，  2 5 0y x x   当 x取何值时， 1 2y y ？根据“代数”的思想要解一元二 次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了． （1）如图 1，当 1 2y y 时， x的取值范围是_______． 换一个角度二看 我们定义：任意给定一个矩形M ，如果存在另一个矩形N ，它的周长和面积都是原矩形的 2 倍，那么我们 称N 是M 的“加倍矩形”，M 是N 的“双半矩形”．请你研究矩形N 是否存在“双半矩形”M ．我们利用数形 结合思想来解决方程问题．如图 2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数 7y x   和反比例函数 10 y x  的 部分图象，其中 x和 y 分别表示矩形N 的“双半矩形”M 的两边长． （2）请你结合之前的研究，回答下列问题： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 13 ①这个图象所研究的矩形N 的面积为_____，周长为_____． ②是否存在矩形M 的“双半矩形”Q？如果存在，请求出Q的边长；如果不存在，请说明理由． （3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以O，C，D，E为顶点的平行四边形？若存在，请直 接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】解：（1）联立  1 6 0y x x    和  2 5 0y x x   得： 5 6x x    ， 解得： 1x  或 5， 观察函数图象知，当 1 2y y 时， x的取值范围是1 5x  ， 故答案为：1 5x  ； （2）①设矩形N 的边长分别为：m，n， 由题意得：  1 2 x y m n   且 1 2 yx mn ， 而 7x y  ， 10xy  ， 则 14m n  ， 20mn  ， 故周长为 28，面积为 20， 故答案为：20，28；（3 分） ②假设存在矩形Q，其边长为 s， t， 同理可得：  1 7 2 2 s t x y    ， 1 10 2 2 st xy  ，（5 分） 则存在方程： 22 7 10 0x x   ， 49 80 0    ，（6 分） ∴ 方程无解， 故不存在矩形Q；（7 分） （3）存在，理由： 联立两个函数表达式得： 10 7x x    ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 14 解得： 2x  或 5，（8 分） 即点C、D的坐标分别为： 2,5 、  5, 2 ；（9 分） 设点𝐸(𝑥, 𝑦)， 当CO为对角线时， 由中点坐标公式得： 2 5 5 2 x y      ， 解得： 3 3 x y     ，即点  3,3E  ；（10 分） 当OD或OE为对角线时， 同理可得： 5 2 2 5 x y      或 5 2 5 2 x y      ， 解得： 3 3 x y     或 7 7 x y    ， 即点  3, 3E  或  7,7 ； 综上，  3,3E  或  3, 3 或  7,7 ．（11 分） 20．（12 分）已知四边形 ABCD中，E、F分别是 AB AD、 边上的点，DE与CF交于点 G． (1)如图①，若四边形 ABCD是矩形，且 AED BCF  ，求证： DE AD CF DC  ； (2)如图②，若将（1）中的矩形 ABCD改为一般的平行四边形，其余条件不变，求证： DE AD CF DC  ； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 15 (3)如图③，若 6BA BC  ， 8DA DC  ， 90BAD  ，DE CF ，请直接写出 DE CF 的值． 【详解】（1）证明：∵ 四边形 ABCD是矩形， ∴ 90A CDF    ， AD BC∥ ，(1 分） ∴ CFD BCF  ， ∵ AED BCF  ， ∴ CFD AED  ， ∴ AED DFC ∽ ，(2 分） ∴ DE AD CF DC  ；(3 分） （2）证明：在 AD的延长线上取点M ，使CM CF ，则 CMF CFM  ， ∵ 平行四边形 ABCD， ∴ ,AB CD AD BC  ， ∴ ,CDM A CFD BCF      ，(4 分） ∵ AED BCF  ， ∴ CFD AED  ， ∴ CMF AED  ， ∴ ADE DCM△ ∽△ ，(5 分） ∴ DE AD CM CD  ， ∴ DE AD CF CD  ；(6 分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 16 （3）解：如图所示，连接 AC、BD，交于点M ，作CN AD 于N ， ∵ 90BAD  ， 6AB  ， 8AD  ， ∴ 2 2 2 26 8 10BD AB AD     ，(7 分） 在 ABD△ 和 CBD△ 中， AB CB DA DC BD BD      ， ∴  SSSABD CBD ≌ ，(8 分） ∴ ABD CBD  ， ∵ AB CB ， ∴ BD AC ， AM CM ， ∴ 90AMD BAD    ， 又∵ ADB MDA   ， ∴ ABD MAD△ △∽ ，(9 分） ∴ AD BD DM AD  ∴ 2AD BD DM  ，即 28 10DM ， ∴ 32 5 DM  ，(10 分） ∴ 2 2 2 2 32 248 5 5 AM AD DM          ， ∴ 48 2 5 AC AM  ， ∵ 1 1 2 2ACD S AD CN AC DM   △ ， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 17 ∴ 48 32 8 5 5 CN   ，解得 192 25 CN  ，(11 分） ∵ DE CF ， ∴ 90EGF  ， ∴ 180AEG AFG    ， 又∵ 180AFG NFC   ， ∴ NFC AEG   ， ∵ CN AD ， ∴ CNF DAE  ， ∴ ADE NCF△ △∽ ， ∴ 8 25 192 24 25 DE AD CF CN    ．(12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年九年级上学期第三次月考卷 数学·答题卡 第Ⅰ卷（请用 2B 铅笔填涂） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必 须用 0.5 mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆 珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 9. _______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、解答题（共 61 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（5 分） 16．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（9 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（11 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考卷 参考答案 1、 选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B C D A C B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．20 10．32 11．2024 12． 13． 三、解答题（本大题共7小题，共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（8分） 【详解】（1）解： 方程两边同时加上5，即（1分） 即，（2分） ∴，（3分） 解得：，（4分） （2）解： ∴，（2分） ∴，（3分） 解得：，．（4分） 15．（5分） 【详解】解：原式=3+1-3+2×（3分） =1+1（4分） （5分） 16．（8分） 【详解】（1）解：这次被调查的同学共有名， 故答案为：；（1分） ∴剩少量的学生人数为名， ∴条形统计图补充完整如下： （2分） （2）解：人，（3分） 答：我校名学生一餐浪费的食物可供人食用一餐； （3）解：画树状图如下： （6分） 由树状图可得，共有种等结果，其中选中甲、丙两位同学的种结果， ∴选中甲、丙两位同学的概率．（8分） 17．（8分） 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 依题意得，，（1分） 解得，或（舍去），（2分） ∴月平均增长率为；（3分） （2）解：设每个台灯的售价应定价为元， 依题意得，，（4分） 整理得，，（5分） 解得，，，（6分） ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴，（7分） ∴每个台灯的售价应定元．（8分） 18．（9分） 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ∴，，，（1分） ∵， ∴，（2分） ． ∵， ， ， ， ，（3分） ， ；（4分） （2）解：四边形是菱形，， ∴，（5分） 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 又∵，， ，（6分） ， ， 解得，（7分） 经检验，是分式方程的解，（8分） ．（9分） 19.(11分） 【详解】解：（1）联立和得：， 解得：或5， 观察函数图象知，当时，的取值范围是， 故答案为：； （2）①设矩形的边长分别为：，， 由题意得：且， 而，， 则，， 故周长为28，面积为20， 故答案为：20，28；（3分） ②假设存在矩形，其边长为，， 同理可得：，，（5分） 则存在方程：， ，（6分） ∴方程无解， 故不存在矩形；（7分） （3）存在，理由： 联立两个函数表达式得：， 解得：或5，（8分） 即点、的坐标分别为：、；（9分） 设点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得： ， 解得：，即点；（10分） 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或； 综上，或或．（11分） 20．（12分） 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，(1分） ∴， ∵， ∴， ∴，(2分） ∴；(3分） （2）证明：在的延长线上取点，使，则， ∵平行四边形， ∴， ∴，(4分） ∵， ∴， ∴， ∴，(5分） ∴， ∴；(6分） （3）解：如图所示，连接、，交于点，作于，      ∵，，， ∴，(7分） 在和中， ， ∴，(8分） ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴，(9分） ∴ ∴，即， ∴，(10分） ∴， ∴， ∵， ∴，解得，(11分） ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．(12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期第三次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. _______________ 10. ________________ 11. ________________ 12. ________________ 13. ________________ 三、解答题（共61分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 14．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 15．（5分） 16．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$