第06讲 二次函数的应用（3考点8题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（北师大版）

第06讲 二次函数的应用 课程标准 学习目标 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(z-h)’+k的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题． 1. 能运用二次函数解决最大面积（高度）问题． 2. 能建立二次函数模型解决最大利润问题． 3. 能从实际问题中抽象出二次函数，并能运用二次函数的性质解决问题． 知识点一：二次函数实际建模问题 一般过程： 据题意，结合函数图象求出函数解析式； 确定自变量的取值范围； 根据图象，结合所求解析式解决问题. 【即学即练】 1．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，那么水面宽度为（  ） A． B． C． D． 2．如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（    ） A． B． C． D． 3．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面150米处的水平宽度（即的长）为 米． 4．如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为米，宽为米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系． (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明． 5．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高m、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 6．如图为一个拱桥横截面的示意图，跨度为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米，请你根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行探究，下面是探究过程，请补充完整： 下面是探究过程，请补充完整： (1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表： d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.8 在d和h这两个变量中，______是自变量，______是这个变量的函数； (2)在平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； (3)结合表格数据和函数图象，解决问题； ①桥墩露出水面的高度为______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为2米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为______米．（精确到0.1米） 7．如图，龙丽公路某隧道横截面为抛物线，其最大高度为9米，底部宽度为18米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系． (1)直接写出点及抛物线顶点的坐标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”，使、点在抛物线上，、点在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 知识点二：几何最值问题 一般过程：根据几何图形的性质，探求图形中的关系式； 根据几何图形的关系式确定二次函数解析式； 利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题 【即学即练】 8．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留米宽的门（门不用木栏），若建成后所用木栏总长为米，则长方形的最大面积为（    ） A．平方米 B．108平方米 C．平方米 D．平方米 9．如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃，墙的最大长度为．设花圃的宽为，面积为． (1)求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？ 10．如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过米，另外三边由米长的栅栏围成，设矩形中，垂直于墙的边米，面积为y平方米． (1)若矩形的面积为平方米，求x的值； (2)当矩形的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积． 11．植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长． (1)按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②求矩形的面积的最大值． (2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由． 12．课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大． 初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索： (1)方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)． 若，设厘米，该水槽的横截面面积为厘米，请你写出关于的函数关系式(不必写出的取值范围)，并求出当取何值时，的值最大，最大值又是多少？ 方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)． 若，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的的最大值比较大小． (2)假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？ 知识点三：营销问题 一般过程： 分析问题中的数量关系，列出函数关系式； 研究自变量的取值范围； 确定所得的函数； 检验自变量的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值； 解决提出的实际问题. 【即学即练】 13．某商场以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为60元时，月销量达到40件，现决定降价促销，提高利润，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加2件． (1)求出月销售量y（件）与售价x（元）之间的关系式． (2)当售价定为何值时，该商品月销售利润最大，求最大利润． 14．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)设每件童装降价元时，每天可销售___________件，每件盈利___________元；（用的代数式表示） (2)为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元； (3)定价为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 15．某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围． (2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价的值． 16．2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 (1)求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ (3)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 17．中国元素遍布巴黎奥运会的每一个角落．某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自奥运会开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x（，且x为整数）天与该天销售量y（单位，件）之间满足的函数关系如下表所示．为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（单位：元）与第x（，且x为整数）天之间成一次函数关系且满足．已知该纪念品的成本价为20元/件． 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y/件 220 240 260 280 300 320 340 … (1)求y关于x的函数解析式； (2)求这20天中，第几天的销售利润最大，并求出最大利润； (3)商店决定从第10天开始，每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天的销售量y之间仍然满足原来的函数关系，问第几天的销售利润取得最大值？ 18．某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元． (1)分别求出与，与之间的函数解析式； (2)该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价； (3)若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 19．某商场销售一款篮球，每个篮球进价50元，经市场部调查发现：当篮球的销售单价为60元时，该款篮球的日均销售量为200个，当销售单价在60元到95元之间浮动时（含60元与95元），每个篮球的售价每增加4元，日均销售量减少20个，设该款篮球的销售单价为x元，请回答下列问题： (1)写出该款篮球的日均销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式：___________． (2)求当x为多少时，销售该款篮球的日均利润w（元）存在最大值，并求出最大值． (3)若该款篮球的日均销量不低于100个，销售利润至少为2405元，则该款篮球的销售单价应定在什么范围内？ 20．某服装公司的某种运动服进价为每件60元，每月的销量y（件）与售价x（元）存在一次函数关系，部分数据信息如表： 售价x（元/件） 100 110 120 130 月销量y（件） 200 180 160 140 (1)月销量是 ．（请用含x的式子表示） (2)设销售该运动服的月利润为W元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ (3)该公司决定每销售一件运动服，就捐赠元利润给希望工程，物价部门规定该运动服售价不得超过120元． 若月销售最大利润是8800元，求a的值． 题型01喷水问题 例：综合与实践 如图1，这是某广场中的喷水池，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，令人心旷神怡!边上各个方向向外喷出的水线可以看做一圈形状相同的抛物线，从这些抛物线中抽象出一条分析研究，若水线达到最大高度 （点P距地面的距离）时，水线的跨度． 请你结合所学知识解决下列问题： (1)在图2中建立以为单位长度，点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A与垂直的直线为y轴，构建平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． (2)若喷水池中心C到A的距离约为，则该喷水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流都落在水池内? (3)在（2）的条件下，身高为的清洁工王师傅在水池中清理漂浮物，为了不被淋湿，王师傅站立时必须在离水池中心点C多少米范围内?（结果保留1位小数，参考数据：，，，，，） 22．周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求此抛物线的解析式； (2)若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 23．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷水装置的高度？ 素材1 如图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其中高为米．                                          素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，从点P向四周喷射抛物线形水柱且满足以下条件： ①不能碰到图2中的水柱； ②落水点G，M的间距为； ③水柱的最高点与点P的高度差为； ④从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱．                  问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式． 任务2 探究落水点位置 在建立的坐标系中，求落水点G的坐标． 任务3 拟定喷水装置的高度 求出喷水装置的高度． 24．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． (1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否到达点处，并说明理由； (3)若消防员从点前进米到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，直接写出的值， ．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 25．2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如上：根据上述数据，直接写出的值为______，直接写出满足的函数关系式：______； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则______（填，，）； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 26．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边缘的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地面的高度为米．如图2，可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，喷水口点H是下边缘抛物线 的最高点，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带底部边缘的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程． (2)当时，灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请你通过计算说明理由 (3)为保证灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出d的取值范围． 27．如图，某跳水运动员进行米跳台跳水，水面边缘点，运动员（可视为一点）在空中运动的路线为经过原点O的抛物线，运动员在空中最高处点． (1)求运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式； (2)求入水点B的坐标； (3)若运动员在距水面高度米前完成规定的动作，并调整好入水姿势为动作成功，否则为失误．若运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点的水平距离为米，该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由． 28．数学小组在学习了二次函数后，进一步查阅其相关资料进行学习： 材料一：给出如下定义：与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个交点时，称直线与抛物线相交；直线与抛物线有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切，这个交点称作切点；直线与抛物线没有交点时，称直线与抛物线相离． 材料二：判断：抛物线与直线的位置关系联立得．根据一元二次方程根的判别式 ①当时，抛物线与直线有两个交点，则直线与抛物线相交（如图1）． ②当时，抛物线与直线有且只有一个交点，则直线与抛物线相切．直线叫做抛物线的切线，交点叫做抛物线的切点（如图2）． ③当，抛物线与直线没有交点，则直线与抛物线相离（如图3） 【探究性质】（1）判断：直线与抛物线的位置关系是：________（选填“相交”或“相切”或“相离”）； 【运用性质】（2）若直线与抛物线相离，求的取值范围； 【问题解决】某小区修建完成人工喷泉，人工喷泉中心有一竖直的喷水柱，喷水口为，数学兴趣小组观察发现，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一条水流落地点为，兴趣小组将喷泉柱底端标为原点，喷泉柱所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的井面直角坐标系．从水流喷出到落下的过程中，水流喷出的竖直高度与水流落地点与喷水柱底端的距离满足二次函数关系，其表达式为． （3）小区现要进行喷泉亮化工作，拟安装射灯，要求射灯发出的光线与地面的夹角为；并且射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流，请问射灯安装在什么位置，符合安装要求． 题型02 投球问题 例：某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 30．如图，乒乓球桌桌面是长，宽的矩形，E，F分别是和的中点，在E，F处设置高的拦网．一次运动员在端发球，在P点击打乒乓球后经过桌面O点反弹后的运行路径近似二次项系数的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点O在到桌面底边的距离为，到桌面侧边的距离为处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于），此时球在越过拦网时正好比拦网上端高，则乒乓球落在对面的落点Q到拦网的距离为 ；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从O点反弹后飞向对方桌面，落点Q在距离为的Q点处，此时的长度为 m． 31．如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方2m的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足二次函数关系式，当与点的水平距离为时，达到最高点，已知球网与点的水平距离为9m，高度为，球场的边界距点的水平距离为．    (1)求y与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． 32．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． (1)求出a，b的值； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 33．小明同学经常运用数学知识对网球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网高度，球网与y轴的水平距离，，击球点在y轴上．若选择吊球，网球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：． (1)本次吊球能否过网？并说明理由； (2)若吊球路线的形状、最大高度均保持不变，他应该向正前方移动多少米吊球，才能让网球经过点C正上方． 34．数学兴趣小组运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，对击球线路进行探索．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上，且．若选择点P扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择点P吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，且球在运行过程中达到最大的高度是． (1)求a，b的值； (2)①兴趣小组探索发现，选择扣球与吊球两种方式都能使球越过球网，若，则h的取值范围是__________； ②要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 35．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度（米）变化规律如下表： x 0 3 6 9 … y 0 9 m 9 … (1)①直接写出a，b的值：______，______； ②小球在斜坡上的落点是A，求点A的坐标． (2)小球飞行高度（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为_____米； ②求v的值． 36．如图是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机，是其弹射出口，能将羽毛球以固定的方向和速度大小弹出羽毛球在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状如图所示设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为（米）与地面的高度为（米），与的部分对应数据如表所示． （米） （米） (1)求关于的函数表达式，并求出羽毛球的落地点到发球机点的水平距离． (2)为了训练学员的后场应对能力，需要改变球的落地点，可以通过调整弹射出口的高度来实现此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加米，则发球机的弹射口高度应调整为多少米？ 题型03 其它实际应用问题 例：露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式； 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？ 38． 安全驾驶：合理车距的保持艺术 背景 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离，整个停车过程中车辆可看作匀速直线运动． 素材 司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为秒，此反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离，满足（其中为汽车制动加速度，在城市道路约为）整个停车距离为． 问题解决 任务一 认识研究对象 汽车的停车距离___（用含的代数式表示） 任务二 探索研究方法 若汽车行驶速度为，则求汽车的停车距离为多少米 任务三 尝试解决问题 某司机开车上班途中发现正前方米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 39．综合与实践：探究对比两种水杯装水情况 【情境】小旭要了解不同型号两种水杯（1号杯，2号杯）的容积与高度之间的关系，经测量它们的关系如图所示，设1号杯的水面高度，2号杯的水面高度（其中近似关于V的二次函数）． 【项目解决】 (1)目标1：确定2号杯水的高度． 求关于V的函数关系式． (2)目标2：比较水杯的装水高度． 在相同体积下，当两个杯中水在时，求2号杯水面与1号杯水面的最大高度差． 40．某桥梁因交通事故导致拥堵．根据车流量监控统计，7：00时该桥梁上车辆共计200辆，累计驶入车辆数y（单位：辆）与累计驶出车辆数w（单位：辆）随统计时间t（单位：）变化的结果如表所示： 统计时间 1 2 3 4 … 累计驶入车辆数y/辆 200 380 540 680 … 累计驶出车辆数w/辆 30 60 90 120 … 在当前时段，我们可以把累计驶入车辆数y与t之间看作二次函数关系，把累计驶出车辆数w与t之间看作一次函数关系． (1)求y关于t的函数解析式，写出自变量的取值范围； (2)当桥梁上车辆累计到达760辆时，将触发拥堵黄色预警．按照当前车流量计算，第几分钟将触发拥堵黄色预警？ (3)当桥梁上车辆累计到达1000辆时，将触发拥堵红色预警．从统计开始5分钟时（即时交通事故解除，驶出桥梁的车辆每增加30辆．试计算拥堵红色预警是否会被触发？ 41． 如何调整蔬菜大棚的结构？ 素材1 我国的大棚（如图种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中支架，．                  素材2 已知大棚共有支架400根，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．                  问题解决 任务1 确定大棚形状 （1）在图2中以为原点，为正方向建立平面直角坐标系，则点坐标 　　，　　，点坐标 　　，　　，并求抛物线的函数表达式． 任务2 尝试改造方案 （2）当米，求的长度． 任务3 拟定最优方案 （3）只考虑经费情况下，求出的最大值． 42．合肥老城西大门有一处城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（四边形为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立直角坐标系． (1)求出上半部分抛物线的函数表达式； (2)有一辆宽3.2米，高4.6米的货车需要通过该城门进入城区（城门处为单向行驶道），请通过计算判断该货车能否安全通行． (3)由于城门年久失修，需要搭建一个矩形巩固门（矩形），该巩固门关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中为三根承重钢支架，点D在抛物线上，B、C在地面上，已知钢支架每米200元，问搭建这样一个矩形巩固门，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？ 43．【项目式学习】 项目主题：高铁建设与运营中的数学挑战 项目背景：随着中国经济的快速发展，高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区．假设某城市计划建设一条新的高铁线路，以缩短与邻近城市的旅行时间．数学小组的同学在查阅相关资料的情况下，开展了相关探究． 素材一：为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中，列车速度随时间变化的关系为：，其中是最终速度，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 素材二：列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离，已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同，均为千米，时间也相同，均为秒． 素材三：匀加速（即加速度不变）或匀减速过程中，在单向行驶时，路程与运动时间的关系为：，其中：是路程，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 任务—：理解与计算 （1）如果高铁列车的最高速度千米/小时，加速度米/秒，则从静止加速到最高速度所需的时间__________秒． （2）在（1）的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路程__________千米． 任务二：应用与推理 （3）在（1）的条件下，假设高铁线路全程千米中，除去两端的加减速路程，列车以最高速度行驶的距离为，请直接写出列车全程行驶的时间的表达式．（单位：小时） 任务三：设计与分析 （4）假设距某站台千米有一辆高铁正以千米/小时的速度驶来，由于某人从站台跳入轨道捡手机，列车需紧急停车，若减速度米/秒，列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现实，说说你的想法． 44．【新情境】如图1是一个高脚杯的剖面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即，之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． ． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移，并倒满饮料，如图2，过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面高度（即液面到点所在水平线的距离）低于，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围． 题型04线段、周长问题 例：如图，在直角坐标系中，抛物线交轴于，交轴于，． (1)求、的值和抛物线对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)该抛物线有一点，使得，求点的坐标． 46．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为 ． 47．已知二次函数的图象如下，在第三象限内的抛物线上有一动点P，过点P作轴，垂足为N，连接交于点Q，则的最大值是 ． 48．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．其中，．    (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标； (3)如图2，为抛物线上任意一点，过做直线与抛物线有唯一交点（不与轴平行）交抛物线对称轴于点，为对称轴上一点，若始终满足，求点的坐标．    49．如图，抛物线与x轴交于两点，交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一点，过点P作直线轴于点D，交直线于点E． ①当时，求点E的坐标； ②当取得最大值时，求点P的坐标． 50．如图，抛物线与直线交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是y轴右侧的抛物线上一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点F．若点P的横坐标为m，设线段的长度为y，求y与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型05 二次函数与三角形的综合问题 例：如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 52．如图①，已知抛物线：经过点，，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的关系式： (2)若动点P在直线下方的抛物线上，连接，当面积最大时，求出P点坐标； (3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； (4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 53．已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)如图，点P是抛物线上位于直线上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线于点D，当取最大值时，求点P的坐标； (3)点P是抛物线上位于直线上方的动点，是以为腰的等腰三角形，直接写出P点坐标． 54．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并直接写出此时点P的坐标； (3)Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 55．如图，抛物线与直线相交于点和点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)如图1，直线上方的抛物线上有一点，过点作垂直于所在直线，垂足为，在轴正半轴和y轴正半轴上分别有两个动点和，连接，，，．当线段的长度最大时，求四边形周长的最小值； (3)如图2，抛物线与y轴交于点C，直线交x轴于点E，点，连接，将所在的直线绕着点D顺时针旋转，所得直线交直线于点H，将直线沿着x轴正方向平移得到直线，其中点为直线与直线的交点，为直线与轴的交点，当点平移到点E时平移结束，连接．当是等腰三角形时，试求出点的坐标． 56．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，抛物线的对称轴为 ；当时，抛物线的对称轴为 ； 当a为任意负实数时，抛物线的对称轴为 ． (2)求证：无论a取什么值，抛物线恒过两个定点，并求出这两个定点的坐标． (3)当时，如图2，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．Q是抛物线上的一个动点，且在第二象限内，过点Q作直线轴，交于点M，P是y轴上一点，当时，求出点M的坐标． 题型06 二次函数与特殊四边形的综合问题 例：如图1，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图2，若P是线段上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交于点N，设点P的横坐标为t，的面积为S．求S关于t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； (3)若P是x轴上一个动点，过P作直线交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以B，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 58．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 59．已知直线与x轴交于A  ，与y轴交于点B，抛物线与x轴交于A ，C两点，与y轴交于点B (1)求这个抛物线的解析式 (2)若P是直线上方抛物线上一点，存在点P使得，求点P的坐标 (3)在对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由 (4)点M在x轴上，在坐标平面内是否存在点N，使以A  ，B  ，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 60．已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连结． (1)求点A、B的坐标； (2)如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值； (3)如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结，过P作，与抛物线另一个交点为Q，M，N为上两点，且轴，轴． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②是否存在点P使得与相互平分，若存在，求的长，若不存在，说明理由． 61．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴，垂足为点M，交直线于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 62．【定义】若连接抛物线与坐标轴的三个交点形成线段，若其中一段线段与坐标轴夹角为45度，则图象称为美感抛物线．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)请判断抛物线是否为美感抛物线； (2)如图，抛物线上存在一动点横坐标是，过点作直线轴于点，与直线交于点．当，，形成的线段中，某两段线段长度相等时，求线段的长； (3)若点、点、点分别为在坐标平面内、在抛物线对称轴上、在抛物线上（不与顶点重合）的动点，是否可以形成邻边之比为的矩形，请直接写出点的横坐标． 63．综合与探究 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 64．如图1，抛物线与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴相交于点．已知点B坐标为，点C坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴交于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，使得以为边，点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出满足条件的点N坐标． 题型07 动点（图）问题 例：综合与实践 如图1，是以为斜边的等腰直角三角形，四边形是矩形，点，，，在同一条直线上，，将沿射线向左平移，得到，点，，的对应点分别为点，，．平移的速度为1个单位长度/秒． 设平移的时间为秒，与矩形重叠部分的面积为． 特例感知 当时，的值恰好变为0． （1）的长为______________． 规律探究 （2）①求出与之间的函数解析式，并直接写出的取值范围； ②在如图2所示的平面直角坐标系中，画出①中所求得函数（含自变量取值范围）的图象． 数学思考 （3）请直接写出满足的所有的值． 66．如图，在等腰直角中，，，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿方向向点匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，连接，设运动时间为秒，的面积为（当点与点或点重合时，规定），则与之间的函数关系的图象为（　　） A． B． C． D． 67．如图，在中，对角线，相交于点，，，．若过点且与边，分别相交于点，，设，，则关于的函数图象大致为（    ） A．B．C． D． 68．如图，在正方形中，O为对角线的中点，．动点P从点A出发，沿折线运动，在和上的速度分别为每秒个单位长度和每秒1个单位长度．当点P出发后，过点P作于点Q，将线段绕点P顺时针旋转得到，连接．设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积为S． (1)当点P在线段上运动时，用含t的代数式表示的长； (2)当点O在的内部时，求t的取值范围； (3)求S与t之间的函数关系式． 69．如图（1）中，，，，的平分线交于，过点作与垂直的直线．动点从点出发沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，运动时间为秒，同时动点从点出发沿折线以相同的速度运动，当点到达点时、同时停止运动． (1)求、的长； (2)设的面积为，求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围． 70．如图，边长为6的正方形中，E，F，G，H分别是，，，边上的动点，且，点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动（到达点时停止），设运动时间为t（单位：秒）． (1)①当运动停止时，t的值为______； ②设A，H之间的距离为y，则y与t满足______关系（选填“正比例函数”，“一次函数”，“二次函数”） (2)设四边形的面积为S， ①直接写出S的表达式______（用含有t的代数式表示），并写出t的取值范围______； ②S是否可以为20？若可以，请求出此时t的值，若不能，请通过计算说明理由． 71．图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． (1)______，______，补全函数图象； (2)求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； (3)连接，交于点，求平分时的值． 72．如图1，四边形是边长为4的正方形，两对角线交点为O，有两个动点E、F同时从点A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿边从A向点B运动，点F以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，的面积为，的面积为． (1)请直接写出、关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围． (2)在图2给定的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，求出和面积相等时的t的值． 73．如图1，是等边三角形，动点D以每秒1个单位长度的速度从点A出发，在三角形边上沿A→B→C→A匀速运动，回到出发点A时停止运动，过点D作，垂足为E，设点D的运动时间为t（s），的面积为S．图2是点D从点A运动到点B时的S关于t的函数图象，点M的坐标为． (1)①等边三角形的边长为 ，点N的坐标为 ； ②求图2中函数图象所对应的解析式． (2)图3是动点D走完全程，S与t的函数图象，请你根据图象，回答下列问题： ①表示的实际意义是 ； ②连接，求S与t的函数图象和线段围成的图形的面积． 74．如图，在中，，，，点P在上，．点E以每秒2个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点A匀速运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点B匀速运动，点E到达点A时，点F随之停止．在点E、F运动过程中，以为边作正方形，使它与在线段的同侧．设E、F运动的时间为t秒，正方形与重叠部分的面积为S． (1)当时，正方形的边长是 ；当时，正方形的边长是 ； (2)当点H在线段上时，求t的值； (3)求S与t的函数关系式． 题型08 二次函数与相似三角形的综合问题 例：如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． (1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标； (2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标． 76．如图，在矩形中，，，沿直线折叠矩形的一边，使点落在边上的点处．分别以，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，抛物线经过，，三点． (1)求的长及抛物线的解析式； (2)一动点从点出发，沿以每秒2个单位长的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长的速度向点运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似？ 77．已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求顶点D的坐标； (2)点P是第一象限对称轴右侧抛物线上一点，点P的横坐标为t，以点P为圆心的⊙P交抛物线的对称轴于点M、N（点M在点N的上方）． ①若与x轴相切，且，求点P的坐标； ②过点P作y轴垂线，交抛物线于另一点E，连接，连接并延长交于点T，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，若于点T，且，求点Q的坐标． 78．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 79．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； (3)如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 80．如图所示，在的顶点、在轴上，点在轴上正半轴上，且，，． (1)求过A，B，C三点的抛物线解析式． (2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； (3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点、，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 81．如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交点，连接，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)已知点是抛物线上的一点，连接，若，求点的坐标． (3)如图2，若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标． 82．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接、，A、C两点的坐标分别为．且当和时二次函数的函数值y相等．点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接，将沿MN翻折得到． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P恰好落在边上，求t的值及点P的坐标； (3)在点M、N运动过程中，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 试卷第2页，共181页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 二次函数的应用 课程标准 学习目标 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(z-h)’+k的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题． 1. 能运用二次函数解决最大面积（高度）问题． 2. 能建立二次函数模型解决最大利润问题． 3. 能从实际问题中抽象出二次函数，并能运用二次函数的性质解决问题． 知识点一：二次函数实际建模问题 一般过程： 据题意，结合函数图象求出函数解析式； 确定自变量的取值范围； 根据图象，结合所求解析式解决问题. 【即学即练】 1．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，若水面下降，那么水面宽度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，学会把实际问题转化为二次函数，利用二次函数的性质解决问题． 根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：如图，以中点O为原点建立平面直角坐标系， 根据题意可得：， ∴， ∴， ∵， ∴C坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当时，对应的抛物线上两点之间的距离， 把代入抛物线解析式得出：， 解得：， ∴水面宽度为． 故选：B． 2．如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面150米处的水平宽度（即的长）为 米． 【答案】40 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，数形结合．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出的值，即可得到的值． 【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系， ，， 设内侧抛物线的解析式为， 将代入， 得：， 解得： ， 内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， （米）， 故答案为：． 4．如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为米，宽为米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系． (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明． 【答案】(1)； (2)不能，理由见解析； 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）根据所建坐标系知顶点和与轴交点的坐标，可设解析式为顶点式形式求解，x的取值范围是； （2）根据对称性当车宽米时，或，求此时对应的纵坐标的值，与车高米进行比较得出结论． 【详解】（1）解：∵，． ∴设这条抛物线的函数解析式为， ∵抛物线过， ∴，解得， ∴这条抛物线的函数解析式为， 即. （2）当时，， 故不能行驶宽2.5米、高米的消防车辆． 5．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴是抛物线的对称轴，最高点E到地面的距离为． (1)求出抛物线的解析式； (2)在距离地面高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道为单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高m、宽，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论． 【答案】(1) (2)m (3)这辆货车能通过该隧道，理由见解析 【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． （1）根据题意可以设出抛物线的顶点式，根据题中信息可知点，代入即可求得抛物线的解析式； （2）把代入解析式，即可得解； （3）根据题意可以求得当时的得值，然后与比较，即可解答本题； 【详解】（1）解：根据题意，得点，，， 设抛物线的解析式为：， 将点代入， 得到， 解得：； ∴抛物线的解析式为：． （2）在中，令， 得到， 解得：， ， 故在距离地面高处，隧道的宽度是； （3）这辆货车能通过该隧道，理由如下： ， 将代入， 得到：， ， 故这辆货车能通过该隧道． 6．如图为一个拱桥横截面的示意图，跨度为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米，请你根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行探究，下面是探究过程，请补充完整： 下面是探究过程，请补充完整： (1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表： d/米 0 0.6 1 1.8 2.4 3 3.6 4 h/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.60 0.8 在d和h这两个变量中，______是自变量，______是这个变量的函数； (2)在平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； (3)结合表格数据和函数图象，解决问题； ①桥墩露出水面的高度为______米； ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为2米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为______米．（精确到0.1米） 【答案】(1)， (2)见解析 (3)0.88；0.7 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式． （1）根据函数的定义即可解答； （2）描点，连线，画出图象即可； （3）①观察图象即可得出结论； ②求出抛物线的解析式，令解方程求得的值即可得答案． 【详解】（1）解：根据函数的定义，我们可以确定，在和这两个变量中，是自变量，是这个变量的函数； 故答案为：，； （2）解：描点，连线，画出图象如图： （3）解：①观察图象结合表知，桥墩露出水面的高度为0.88米； 故答案为：0.88； ②设根据图象，设二次函数的解析式为， 把，代入得：， 解得：， 二次函数的解析式为， 令得：， 解得（舍去）或， 则处距桥墩的距离至少为0.7米， 故答案为：0.7． 7．如图，龙丽公路某隧道横截面为抛物线，其最大高度为9米，底部宽度为18米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系． (1)直接写出点及抛物线顶点的坐标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”，使、点在抛物线上，、点在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 【答案】(1)点的坐标为，抛物线顶点的坐标为； (2)； (3)22.5米． 【分析】此题考查了二次函数的实际应用． （1）根据最大高度为9米，底部宽度为18米，即可得到答案； （2）设出顶点式把点O的坐标代入即可求出答案； （3）设，则，得到，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解∵最大高度为9米，底部宽度为18米． ∴点的坐标为，抛物线顶点的坐标为； （2）设抛物线解析式为：， ∵抛物线经过点， ∴，即， ∴抛物线解析式为：，即； （3）设，则， 则“支撑架”总长为 ， ∵此二次函数的图象开口向下， ∴当米时，有最大值为22.5米． 知识点二：几何最值问题 一般过程：根据几何图形的性质，探求图形中的关系式； 根据几何图形的关系式确定二次函数解析式； 利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题 【即学即练】 8．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留米宽的门（门不用木栏），若建成后所用木栏总长为米，则长方形的最大面积为（    ） A．平方米 B．108平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用；设苗圃的一边长为米，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：设苗圃的一边长为米，面积为， 根据题意得， ∵墙最大可用长度为米 ∴，即 当时，随的增大而减小， ∴当时，最大为平方米 故选：D． 9．如图，在一面靠墙的空地上用长为的篱笆围成中间隔有2道篱笆的矩形花圃，墙的最大长度为．设花圃的宽为，面积为． (1)求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当x取何值时，所围成的花圃面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）利用矩形的面积公式，列出函数关系式即可； （2）利用二次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设花圃的宽为，则， 根据题意得： ∵， ∴． （2）， ，， 当时，． 答：当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是 10．如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过米，另外三边由米长的栅栏围成，设矩形中，垂直于墙的边米，面积为y平方米． (1)若矩形的面积为平方米，求x的值； (2)当矩形的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积． 【答案】(1) (2)当矩形的面积最大时，利用的墙长是米，求此时的最大面积为平方米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识．熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． （1）由题意知，且，可求，依题意得，，令，则，计算求出满足要求的解即可； （2）由题意知，，由，对称轴为直线，可知当时，矩形的面积最大，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，且， ∴， 依题意得，， 令，则，整理得，， 解得，（舍去）或， ∴x的值为； （2）解：由题意知，， ∵，对称轴为直线， ∴当时，矩形的面积最大，可利用的墙长是（米），此时的最大面积为（平方米）， ∴当矩形的面积最大时，利用的墙长是米，求此时的最大面积为平方米． 11．植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长． (1)按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②求矩形的面积的最大值． (2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由． 【答案】(1)①；②矩形的面积最大为 (2)乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，面积最大是，见解析 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键； （1）①根据题意可直接进行求解；②由①根据二次函数的性质可进行求解； （2）分别计算甲、乙两种方案的面积，进而问题可求解． 【详解】（1）解：①∵的长为， 的长为， ； ②∵甲中的长不超过墙长， ， 由可知： ， 时，随的增大而增大， 当时，矩形的面积最大，最大为； （2）解：乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，理由如下： 乙方案中，设的长为，矩形的面积为， 则， 方案乙中的长大于墙长， ， ， ， ， 当时，矩形的面积最大，最大为， ， 乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是． 12．课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大． 初三(1)班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索： (1)方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽(如图1)． 若，设厘米，该水槽的横截面面积为厘米，请你写出关于的函数关系式(不必写出的取值范围)，并求出当取何值时，的值最大，最大值又是多少？ 方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽(如图2)． 若，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的的最大值比较大小． (2)假如你是该兴趣小组中的成员，通过两个方案的研究，你能得出什么结论？ 【答案】(1)①；时，的值最大，最大值为；②最大值为， (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）①已知正方形的周长，可求出其边长，即的长，即可表示出的长，然后根据直角三角形的面积公式即可得出的函数关系式，根据函数的性质即可求出的最大值． ②本题已知了正方形的边长，可设为那么也为可用正方形的边长求得．过、作的垂线，通过构建的直角三角形，用表示出和的长，即可求出上底的长，然后根据梯形的面积公式即可求得的函数关系式，根据函数的性质即可求得函数的最大值； （）由（）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大． 【详解】（1）解：方案①， 当时，取得最大值，最大值为； ②如图所示，过点作于，于，则， 设，梯形的面积为，则， 又∵， ∴，，， ； 当， ∵， ； （2）由（1）的结果大致可推断出折的边数越多，面积越大，因此折的边数无限多即折的图形为半圆时面积最大． 知识点三：营销问题 一般过程： 分析问题中的数量关系，列出函数关系式； 研究自变量的取值范围； 确定所得的函数； 检验自变量的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值； 解决提出的实际问题. 【即学即练】 13．某商场以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为60元时，月销量达到40件，现决定降价促销，提高利润，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加2件． (1)求出月销售量y（件）与售价x（元）之间的关系式． (2)当售价定为何值时，该商品月销售利润最大，求最大利润． 【答案】(1) (2)当售价定为55元时，利润最大，最大利润为1250元 【分析】（1）设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后二次函数的性质求出函数最大值． 本题考查二次函数的应用，关键是根据利润单件利润销售量列出函数解析式． 【详解】（1）解：∵该商品每降1元，销售量增加2件 ∴设与之间的函数关系式为， ∵当商品售价为60元时，月销量达到40件， ∴， ∴， ∴月销售量y（件）与售价x（元）之间的关系式为； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∵某商场以每件30元的进价购进一批商品， ∴， ∴设该商品月销售利润为， ∵ ∴开口向下， 在时，有最大值， 把代入 当售价定为55元时，利润最大，最大利润为1250元． 14．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件． (1)设每件童装降价元时，每天可销售___________件，每件盈利___________元；（用的代数式表示） (2)为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元； (3)定价为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)， (2)每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元 (3)当定价为105元时，每天的利润最大，最大利润是1250元 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）根据“如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”即可得出降价后每天销售件数；根据每件盈利=每件售价每件成本，即可解得； （2）根据总利润单件利润数量，列出方程求解即可； （3）设每天的利润为w元，根据总利润单件利润数量，列出w关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：如果每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元， 故答案为：，； （2）解：根据题意可得：， 整理得， 解得：， ∵为了扩大销售量，尽快减少库存， ∴， 答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元． （3）解：设每天的利润为w元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w最大，最大值为1250， ∴此时， ∴当定价为105元时，每天的利润最大，最大利润是1250元． 15．某款网红产品很受消费者喜爱，每个产品的进价为40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天的销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元． (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围． (2)将产品的销售单价定为多少元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，求销售单价的值． 【答案】(1) (2)将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元． (3)为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元 【分析】本题主要了考查二次函数应用，一元二次方程的应用的等知识点， （1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润； （3）根据题意得剩余利润为，利用函数性质求出时的x的取值范围即可； 解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 【详解】（1）根据题意，得， 与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得． ，又对称轴直线，且， 当时，有最大值，最大值为2640， 将产品的销售单价定为52元时，商家每天销售产品获得的利润（元）最大，最大利润是2640元； （3）依题意可得剩余利润为元． 捐款后每天剩余利润等于2200元， ，即， 解得或（舍去）， 为了保证捐款后每天剩余利润等于2200元，销售单价为50元． 16．2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”．销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示． 销售单价x（元） 30 40 45 销售数量y（件） 100 80 70 (1)求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？ (3)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元 (3)销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用． （1）设该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可； （2）根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案； （3）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出关于的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式为， 将点、代入一次函数关系式得： ， 解得：， 函数关系式为； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，． 单价不低于成本价，且不高于50元销售， 不符合题意，舍去． 答：销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元； （3）解：由题意得： ， ，故当时，随的增大而增大，而， 当时，有最大值，此时，， 答：销售单价定为50元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1200元． 17．中国元素遍布巴黎奥运会的每一个角落．某特许商品专卖店销售中国制造的纪念品，深受大家喜爱．自奥运会开赛以来，其销量不断增加，该商品销售第x（，且x为整数）天与该天销售量y（单位，件）之间满足的函数关系如下表所示．为回馈顾客，该商家将此纪念品的价格不断下调，其销售单价z（单位：元）与第x（，且x为整数）天之间成一次函数关系且满足．已知该纪念品的成本价为20元/件． 第x天 1 2 3 4 5 6 7 … 销售量y/件 220 240 260 280 300 320 340 … (1)求y关于x的函数解析式； (2)求这20天中，第几天的销售利润最大，并求出最大利润； (3)商店决定从第10天开始，每件商品的单价在原来价格变化的基础上再降价a元销售，销售第x天与该天的销售量y之间仍然满足原来的函数关系，问第几天的销售利润取得最大值？ 【答案】(1)； (2)第5天利润最大，最大值为18000元； (3)第5天的销售利润取得最大值． 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用，解题关键是根据题意列出二次函数和一次函数解析式，利用函数的性质求解． （1）根据表格信息，得出两个变量为一次函数，利用待定系数法求解即可； （2）列出关于利润的二次函数，利用二次函数的性质求最值即可； （3）分两种情况讨论，当时，同（2）当时，取得最大值，最大利润为：元；当时，列出二次函数，根据二次函数的性质得出第10天利润最大；两者相比较即可求解． 【详解】（1）解：由表格信息可得：每增加1天，销量增加20件，可得y是x的一次函数， 设，把代入可得： ，解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：设总利润为w元，则 ； ∵， ∴当时，w取得最大值， 所以，第5天利润最大，最大利润为：（元）； （3）解：设第x天的销售利润为元， 当时，同（2）当时，取得最大值，最大利润为：元； 当时， ， ∴， ∵，所以抛物线开口向下，又， ∴， ∴当时，随x的增大而减小， 当时有最大值，最大值为， 而， 综上：第5天的销售利润取得最大值． 18．某村为了提高广大农户的生活水平，经过市场调查，决定推广种植某特色水果． 该水果每千克成本为20元，每千克售价需超过成本，但不高于50元，某农户日销售量（千克）与售价（元/千克）之间存在一次函数关系，部分图象如图所示，设该水果的日销售利润为元． (1)分别求出与，与之间的函数解析式； (2)该农户决定从每天的销售利润中拿出100元设立“救助基金”，以帮助其他邻居共同致富，若捐款后该农户的剩余利润是900 元，求此时水果的售价； (3)若该水果的日销量不低于90千克，当售价单价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元． 【答案】(1)； (2)该食品的售价为30元/千克 (3)售价为35元时，每天获利最大为1350元 【分析】（1）设与的函数关系式为：，代入，，可求得和；根据利润（售价进价）销量，可表示出； （2）根据利润（售价进价）销量，列出一元二次方程，然后解方程即可求得答案，注意售价的范围是否满足要求； （3）根据该水果的日销量不低于90千克，可求得，由可知，该图象开口向下，对称轴为直线，从而判断出时，有最大值，将代入，可求得答案． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为：， 把，代入得， 解得， 与的函数关系式为： 即 （2）解：由题意得，， 整理得， 解得， 答：此时水果的售价为30元/千克； （3）解：， 解得， ， ，对称轴为直线， ∴该图象开口向下， 在时，随的增大而增大， 时，取最大值，此时（元）， 答：售价为35元时，每天获利最大为1350元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与利润问题，二次函数的最值问题，一元二次方程与利润问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 19．某商场销售一款篮球，每个篮球进价50元，经市场部调查发现：当篮球的销售单价为60元时，该款篮球的日均销售量为200个，当销售单价在60元到95元之间浮动时（含60元与95元），每个篮球的售价每增加4元，日均销售量减少20个，设该款篮球的销售单价为x元，请回答下列问题： (1)写出该款篮球的日均销售量y（个）与x（元）之间的函数关系式：___________． (2)求当x为多少时，销售该款篮球的日均利润w（元）存在最大值，并求出最大值． (3)若该款篮球的日均销量不低于100个，销售利润至少为2405元，则该款篮球的销售单价应定在什么范围内？ 【答案】(1) (2)当x＝75时，w存在最大值，最大值为3125元 (3)不低于63元，不高于80元 【分析】（1）根据“日均销售量＝原销售量﹣售价增加减少的销售量”列关系式即可； （2）根据“日均利润＝每个利润×日均销售量”列函数解析式，即可解答问题； （3）根据“日均销量不低于100个，销售利润至少为2405元”列不等式组，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，得， 故答案为：； （2）解：由题意，得 ， ， ∴抛物线开口向下， ∴对称轴在范围内， 当时取得最大值，为（元）， 答：时，w存在最大值，最大值为3125元； （3）解：根据题意，得， 解得， 答：该款篮球的销售单价应不低于63元，不高于80元． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，解题的关键是利用待定系数法求出一次函数与二次函数的解析式． 20．某服装公司的某种运动服进价为每件60元，每月的销量y（件）与售价x（元）存在一次函数关系，部分数据信息如表： 售价x（元/件） 100 110 120 130 月销量y（件） 200 180 160 140 (1)月销量是 ．（请用含x的式子表示） (2)设销售该运动服的月利润为W元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？ (3)该公司决定每销售一件运动服，就捐赠元利润给希望工程，物价部门规定该运动服售价不得超过120元． 若月销售最大利润是8800元，求a的值． 【答案】(1)； (2)售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的性质在实际生活中的应用，解题关键理解题意，确定变量，建立函数模型． （1）设月销量y与x的关系式为，运用待定系数法求解即可； （2）根据月利润每件的利润月销量列出函数关系式，根据二次函数的性质求出最大利润； （3）根据题意得到函数关系式，可得对称轴，再根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：设月销量y与x的关系式为， 由题意得，， 解得，， ∴； （2）解：由题意得， ， ∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元； （3）解：根据题意得，， ∴对称轴， 当时， 此时时，w的最大值8800， ∴， 解得：． 当时， 当时，w的最大值8800， ∴此时，不符合题意，舍去． 综上：． 题型01喷水问题 例：综合与实践 如图1，这是某广场中的喷水池，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高高跃起，一会儿盘旋而下，令人心旷神怡!边上各个方向向外喷出的水线可以看做一圈形状相同的抛物线，从这些抛物线中抽象出一条分析研究，若水线达到最大高度 （点P距地面的距离）时，水线的跨度． 请你结合所学知识解决下列问题： (1)在图2中建立以为单位长度，点A为坐标原点，所在直线为x轴，过点A与垂直的直线为y轴，构建平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式． (2)若喷水池中心C到A的距离约为，则该喷水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流都落在水池内? (3)在（2）的条件下，身高为的清洁工王师傅在水池中清理漂浮物，为了不被淋湿，王师傅站立时必须在离水池中心点C多少米范围内?（结果保留1位小数，参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)喷水池的半径至少为，才能使喷出的水流都落在水池内 (3)王师傅站立时必须在离水池中心点C约至的范围内 【分析】本题主要考查了抛物线的性质及其在实际问题中的应用，熟练抛物线的解析式、抛物线的对称性和与x轴的交点等性质是解题的关键； （1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出a值，即可得出解析式； （2）表示出水池的半径，在加上水平距离即可； （3）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的x值，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，构造平面直角坐标系如图所示． 由题意可知，，抛物线的顶点， 设抛物线的函数解析式为， 将点代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：由题可知C为喷水池中心，则为喷水池的半径时，喷出的水都落在水池内， ，， ∴． 答：喷水池的半径至少为，才能使喷出的水流都落在水池内． （3）解：当时，， 解得， ． 答：王师傅站立时必须在离水池中心点C约至的范围内． 22．周末小琴在文化广场观看喷水景观，他对喷出呈抛物线形状的水柱展开探究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度． (1)求此抛物线的解析式； (2)若喷水头喷出的水柱下方有一安全的长廊，小琴的同学小江站在水柱正下方，且距喷水头的水平距离为，身高的小琴在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小江的水平距离． 【答案】(1) (2)当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或 【分析】本题考查二次函数的实际问题，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）令，解方程求出自变量x的值，即可解题． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为，将代入得： ， 解得， ， 答：抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 他与小江的水平距离为或， 答：当他的头顶恰好接触到水柱时，与小江的水平距离是或． 23．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计喷水装置的高度？ 素材1 如图1为某公园的圆形喷水池，图2是其示意图，O为水池中心，喷头A、B之间的距离为20米，喷射水柱呈抛物线形，水柱距水池中心处达到最高，高度为．水池中心处有一个圆柱形蓄水池，其中高为米．                                          素材2 如图3，拟在圆柱形蓄水池中心处建一喷水装置，从点P向四周喷射抛物线形水柱且满足以下条件： ①不能碰到图2中的水柱； ②落水点G，M的间距为； ③水柱的最高点与点P的高度差为； ④从点P向四周喷射与图2中形状相同的抛物线形水柱．                  问题解决 任务1 确定水柱形状 在图2中以点O为坐标原点，水平方向为x轴建立直角坐标系，并求左边这条抛物线的函数表达式． 任务2 探究落水点位置 在建立的坐标系中，求落水点G的坐标． 任务3 拟定喷水装置的高度 求出喷水装置的高度． 【答案】（1）坐标系见解析，；（2）G的坐标为；（3） 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象上点的坐标特征． （1）建立如图所示坐标系，得出顶点R的坐标为，点，设抛物线的表达式为：，将点R和点B代入，求出h和k的值，即可得出右侧抛物线的表达式为；再根据对称性，即可得出左侧抛物线的表达式为． （2）建立如图所示坐标系，设y轴交于点L，求出当时，（不合题意，舍去）．则，进而得出，即可得出G的坐标为． （3）先得出则中间抛物线的表达式为：，根据水柱的最高点与点P的高度差为，和顶点纵坐标的表达水，求出，则抛物线的表达式为，再将点H的坐标代入抛物线表达式求出c的值即可解答． 【详解】解：（1）建立如图所示坐标系， 由题意得，右侧抛物线的顶点R的坐标为，点， 设抛物线的表达式为：， 则， 将点B的坐标代入上式得：， 解得：， 则右侧抛物线的表达式为：； 由图象的对称性得，左侧抛物线的表达式为：． （2）建立如图所示坐标系，设y轴交于点L， 由（1）知，右侧抛物线的表达式为：， 当时，即， 解得：（不合题意，舍去）． ∴． 又， ∴． ∴G的坐标为：． （3）由（1）知，右侧抛物线的表达式为：， 则中间抛物线的表达式为：， ∵水柱的最高点与点P的高度差为， 即：该抛物线的最高点， 解得：， ∴抛物线的表达式为：， 由（2）知，点， 将点H的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 即． 24．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． (1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否到达点处，并说明理由； (3)若消防员从点前进米到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，直接写出的值， ．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 【答案】(1)； (2)能达点处，理由见解析； (3)． 【分析】（）根据函数项点坐标且过，可设抛物线解析式为，再用待定系数法解答即可求解； （）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，求出的值即可判断求解； （）利用平移求出消防员到点处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点，即可求解； 本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得消防员第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为，将点代入得， ， 解得， ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； （2）解：能达点处，理由如下： 由题意知，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移个单位得到 ， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式， 令，可得， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线经过， ∴水流能到达点处； （3）解：由题意得，消防员从点前进到点(水流从点射出)处，可以看成把第一次抛物线向左平移个单位得到， ∴消防员到点处时水流所在抛物线的解析式为， ∵水流未达到最高点且恰好到达点处， ∴过点，且对称轴， ∴， 将点代入得，， 解得或（不合，舍去）， ∴， 故答案为：． 25．2024年巴黎奥运会8月6日单人10米决赛中，全红婵以425.60分的总分夺得第一获得金牌，陈芋汐位列第二获得银牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． 水平距离 3 4 4.5 竖直高度 10 11.25 10 6.25 (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如上：根据上述数据，直接写出的值为______，直接写出满足的函数关系式：______； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系：，记她训练的入水点的水平距离为；比赛当天入水点的水平距离为，则______（填，，）； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.4秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【答案】(1)，； (2) (3)她当天的比赛能成功完成此动作． 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）利用待定系数法求出解析式，即可； （2）分别求出两个解析式当时，的值，进行比较即可； （3）先求出的值，再求出时的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格可知，图象过点，，， ， ， ， 解得：， ； 故答案为：，； （2）解：， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去）； 米； ， 当时：， 解得：或（不合题意，舍去）； ， ， 故答案为：； （3）解：， ， ， ， 当时，， ， 即她在水面上能够完成此动作， 她当天的比赛能成功完成此动作． 26．如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边缘的方向行驶，为绿化带浇水，喷水口离地面的高度为米．如图2，可以把灌溉车喷出水的上下边缘抽象为平面直角坐标系中的两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，喷水口点H是下边缘抛物线 的最高点，上边缘抛物线的最高点A离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带底部边缘的距离为d米． (1)求上边缘喷出水的最大射程． (2)当时，灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带吗？请你通过计算说明理由 (3)为保证灌溉车在行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出d的取值范围． 【答案】(1)8米 (2)不能，见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识是解题的关键． （1）求得顶点，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题； （2）当时，根据题意得，，再算出当时，的值即可判定． （3）根据，求出点的坐标，利用题意可得的最大值为最小值，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意得点A横坐标为2，纵坐标为， 所以上边缘抛物线的顶点为， 设：， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得(舍去)， ∴喷出水的最大射程为米； （2）当时，根据题意得，， ∴当时，， ∵， ∴当时，灌溉车在行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． （3）∵， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得(舍去)， ∴的最大值为， 当时，， 解得(舍去)， 当下边缘抛物线经过点时，的最小值为2， 综上所述，的取值范围是． 27．如图，某跳水运动员进行米跳台跳水，水面边缘点，运动员（可视为一点）在空中运动的路线为经过原点O的抛物线，运动员在空中最高处点． (1)求运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式； (2)求入水点B的坐标； (3)若运动员在距水面高度米前完成规定的动作，并调整好入水姿势为动作成功，否则为失误．若运动员在空中调整好入水姿势后，恰好距点的水平距离为米，该运动员此次跳水是否失误？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) (3)运动员此次跳水失误 【分析】本题主要考查二次函数应用，读懂题意、熟练掌握二次函数的图象与性质是解决问题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）令，解方程求出x值，即可得到点B的坐标； （3）依据题意，当距点水平距离为时，对应的横坐标为，将代入解析式求出后即可判断得解． 【详解】（1）由题意, ∵抛物线的顶点, ∴可设抛物线的解析式为, 把代入解析式得, , ∴抛物线的解析式为； （2）令，则， 解得：，（舍）， ∴入水点B的坐标； （3）解：由题意，当距点水平距离为时，对应的横坐标为， 将代入解析式， ， ， ∴该运动员此次跳水失误了． 28．数学小组在学习了二次函数后，进一步查阅其相关资料进行学习： 材料一：给出如下定义：与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个交点时，称直线与抛物线相交；直线与抛物线有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切，这个交点称作切点；直线与抛物线没有交点时，称直线与抛物线相离． 材料二：判断：抛物线与直线的位置关系联立得．根据一元二次方程根的判别式 ①当时，抛物线与直线有两个交点，则直线与抛物线相交（如图1）． ②当时，抛物线与直线有且只有一个交点，则直线与抛物线相切．直线叫做抛物线的切线，交点叫做抛物线的切点（如图2）． ③当，抛物线与直线没有交点，则直线与抛物线相离（如图3） 【探究性质】（1）判断：直线与抛物线的位置关系是：________（选填“相交”或“相切”或“相离”）； 【运用性质】（2）若直线与抛物线相离，求的取值范围； 【问题解决】某小区修建完成人工喷泉，人工喷泉中心有一竖直的喷水柱，喷水口为，数学兴趣小组观察发现，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一条水流落地点为，兴趣小组将喷泉柱底端标为原点，喷泉柱所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的井面直角坐标系．从水流喷出到落下的过程中，水流喷出的竖直高度与水流落地点与喷水柱底端的距离满足二次函数关系，其表达式为． （3）小区现要进行喷泉亮化工作，拟安装射灯，要求射灯发出的光线与地面的夹角为；并且射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流，请问射灯安装在什么位置，符合安装要求． 【答案】（1）相交；（2）；（3）射灯安装距离喷泉柱底端4米处． 【分析】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的应用，根的判别式，待定系数法求函数的解析式，正确地理解题意是解题的关键． （1）把与联立方程组得到，根据，于是得到结论； （2）把与联立方程组得到，根据直线与抛物线相离，得到，于是得到结论； （3）设射灯发出的光线与轴交于，得到，设，则，设直线的解析式为，得到直线的解析式为，联立得到，利用，求得，得到米． 【详解】解：（1）把与联立方程组， 得， ， 直线与抛物线的位置关系是相交， 故答案为：相交； （2）把与联立方程组， 得， 直线与抛物线相离， ， 解得， 故答案为：； （3）设射灯发出的光线与轴交于， ，， ∴为等腰直角三角形， ， 设，则， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 联立得，， 射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流， 直线与抛物线相切， ， 解得， 米， 答：射灯安装距离喷泉柱底端4米处． 题型02 投球问题 例：某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系． (1)求出抛物线的解析式； (2)若队员与篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面，问此球能否准确投中？ 【答案】(1)； (2)此球一定能投中． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式； （2）令，求出的值，与比较即可作出判断． 【详解】（1）解：根据题意，球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为： ，， 设二次函数解析式为， 将点代入可得：， 解得：， 抛物线解析式为：； （2）解：将点坐标代入抛物线解析式得： ， 左边右边， 即点在抛物线上， 此球一定能投中． 30．如图，乒乓球桌桌面是长，宽的矩形，E，F分别是和的中点，在E，F处设置高的拦网．一次运动员在端发球，在P点击打乒乓球后经过桌面O点反弹后的运行路径近似二次项系数的抛物线的一部分．已知本次发球反弹点O在到桌面底边的距离为，到桌面侧边的距离为处．若乒乓球沿着正前方飞行（垂直于），此时球在越过拦网时正好比拦网上端高，则乒乓球落在对面的落点Q到拦网的距离为 ；若乒乓球运行轨迹不变，飞行方向从O点反弹后飞向对方桌面，落点Q在距离为的Q点处，此时的长度为 m． 【答案】 1.35 【分析】本题主要考查了二次函数的应用——投球问题．熟练掌握适当建立坐标系，待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 以点O为原点，x轴平行于，y轴平行于，建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为：，设I为拦网正上方抛物线上的点，求出，代入解析式求得 ，得到抛物线表达式为：，解方程，得，即得点Q到拦网的距离；若落点Q在距离为处，设x轴交于点J，根据， ，由勾股定理即得． 【详解】①如图，以点O为原点，x轴平行于，y轴平行于，建立平面直角坐标系， 则抛物线的表达式为：， 设I为拦网正上方抛物线上的点， 由题意知，，O点到的距离为， 则，， ∴， ∴， 解得：， ∴抛物线表达式为：， 当时，， 解得（舍去），， ∴点Q到拦网的距离为：； ②若落点Q在距离为处， 设x轴交于点J， 则， ∵， ∴， ∴在中，． 故答案为：1.35，． 31．如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方2m的处发出，把球看成点，其运行的高度与运行的水平距离满足二次函数关系式，当与点的水平距离为时，达到最高点，已知球网与点的水平距离为9m，高度为，球场的边界距点的水平距离为．    (1)求y与的关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． 【答案】(1) (2)球能越过球网；球会出界；理由见解析 【分析】本题是二次函数的应用，考查了求函数解析式，图象与x轴的交点坐标，求函数值等知识；把实际问题抽象为数学模型、求出函数解析式是解题的关键． （1）由题意知，函数图象经过点及点，利用待定系数法即可求解； （2）求出当时的函数值，与球网高度比较即可判断球能否越过球网；求出时的自变量值，根据正自变量的值即可判断球是否出界． 【详解】（1）解：由题意知，，抛物线最高点坐标为， 由抛物线知，； 把A点坐标代入中，得， 解得：， ∴； （2）解：球能越过球网；球会出界； 理由如下： 当时，， 而， ∴球能越过球网； 令， 解得：（舍去）； ∵， ∴， ∴球会出界． 32．16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． (1)求出a，b的值； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭第一级运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入即可求解； （2）将变为，即可确定顶点坐标，即最高点，由比火箭运行的最高点低，得出，进而对应的x的值，然后进行比较再计算即可． 【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． （2）由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． ∴不合题意舍去； ∴当火箭第二级高度时，在第二次则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 33．小明同学经常运用数学知识对网球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网高度，球网与y轴的水平距离，，击球点在y轴上．若选择吊球，网球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系：． (1)本次吊球能否过网？并说明理由； (2)若吊球路线的形状、最大高度均保持不变，他应该向正前方移动多少米吊球，才能让网球经过点C正上方． 【答案】(1)本次吊球能过网 (2)他应该向正前方移动1米吊球 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、函数平移、二次函数性质，解题的关键是熟悉二次函数的平移． （1）根据二次函数解析式和过点解得，令，解得对应函数的垂直距离，再与比较大小即可求解； （2）向正前方移动米吊球，二次函数关系变为，将点代入，即可求得向正前方移动距离． 【详解】（1）解：将点代入二次函数关系， 则，解得：， 则二次函数关系为， 当时，， ∵球网的高度为， ∴本次吊球能过网； （2）解：设向正前方移动米吊球，则二次函数关系为：， 根据题意过点，则， 解得（舍去）， 故他应该向正前方移动1米吊球． 34．数学兴趣小组运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，对击球线路进行探索．如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上，且．若选择点P扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择点P吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，且球在运行过程中达到最大的高度是． (1)求a，b的值； (2)①兴趣小组探索发现，选择扣球与吊球两种方式都能使球越过球网，若，则h的取值范围是__________； ②要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式． 【答案】(1)， (2)①；②吊球击球方式 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，实际问题与二次函数：投球问题．一次函数的应用，待定系数法求解析式，解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，代入，求出，然后得出，再把代入，求出，即可作答． （2）①先得出，再把分别代入，，得出,，再结合兴趣小组探索发现，选择扣球与吊球两种方式都能使球越过球网，且，即可作答． ②先得出，然后令，则，解得，令，则，解得，最后比较它们到点C的距离，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 依题意，把代入, 得， ∴； ∴， ∵羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系，且球在运行过程中达到最大的高度是． ∴， 把代入， 得， ∴． ∴， （2）解：①∵球网与y轴的水平距离，， ∴， ∵，， ∴把分别代入，， 则,， ∵兴趣小组探索发现，选择扣球与吊球两种方式都能使球越过球网，且， ∴h的取值范围是； ②∵球网与y轴的水平距离，， ∴， ∵， ∴令，则， 解得， 则， ∵， ∴令，则， 解得（故舍去）， ∵， ∴， 则， ∵ ∴吊球击球方式使球的落地点到C点的距离更近． 35．如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度（米）变化规律如下表： x 0 3 6 9 … y 0 9 m 9 … (1)①直接写出a，b的值：______，______； ②小球在斜坡上的落点是A，求点A的坐标． (2)小球飞行高度（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为_____米； ②求v的值． 【答案】(1)①，；② (2)①12，② 【分析】本题主要考查二次函数的应用，从图象和表格中获取数据是解题的关键． （1）①由抛物线经过，可建立关于，的二元一次方程组，求出，的值即可； ②联立两函数解析式求解，可求出交点的坐标； （2）①根据第一问可知最大高度为12米； ②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得值． 【详解】（1）解：（1）①根据小球飞行的水平距离（米与小球飞行的高度（米的变化规律表可知， 由抛物线经过店， ， 解得：， 二次函数解析式为， 故答案为：，． ②联立得：， 解得：或， 点的坐标是． （2）①由（1）可得： ∴小球飞行最大高度为12米， 故答案为：12． ②， 则， 解得（负值舍去）． 36．如图是一款固定在地面处的高度可调的羽毛球发球机，是其弹射出口，能将羽毛球以固定的方向和速度大小弹出羽毛球在不计空气阻力的情况下，球的运动路径呈抛物线状如图所示设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为（米）与地面的高度为（米），与的部分对应数据如表所示． （米） （米） (1)求关于的函数表达式，并求出羽毛球的落地点到发球机点的水平距离． (2)为了训练学员的后场应对能力，需要改变球的落地点，可以通过调整弹射出口的高度来实现此过程中抛物线的形状和对称轴位置都不变，要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加米，则发球机的弹射口高度应调整为多少米？ 【答案】(1)，米 (2)米 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键． （1）由表格信息可知，抛物线的顶点为，可设抛物线的解析式为：，将点代入可求出关于的函数表达式，令抛物线解析式的，即可求出羽毛球的落地点到发球机点的水平距离； （2）根据题意可设抛物线的解析式为：，根据题意可知该抛物线过点，进而求出抛物线解析式，将代入解析式计算，即可求解． 【详解】（1）解：由表格信息可知，抛物线的顶点为， 可设抛物线的解析式为：， 其图像过点， ， 解得：， 关于的函数表达式为：， 当时，， 解得：，（舍去）， 故羽毛球的落地点到发球机点的水平距离为米； （2）抛物线的形状和对称轴位置都不变， 可设抛物线的解析式为：， 要使发射出的羽毛球落地点到点的水平距离增加米， 当时，， ， 解得：， ， 当时，， 发球机的弹射口高度应调整为米． 题型03 其它实际应用问题 例：露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用． 【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度．请在图2中建立合适的平面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式； 【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3为一张椅子摆入该款帐篷后的简易视图，椅子高度，宽度，若在帐篷内沿AB方向摆放一排此款椅子，最多可摆放多少张椅子？ 【答案】[建立模型]；[运用模型]张 【分析】本题考查了二次函数的应用． [建立模型]以的中点为平面直角坐标系的原点，此时，且经过，代入抛物线函数关系式，即可作答． [运用模型]在[建立模型]的基础上，令，解出的值，根据宽度建立不等式，即可作答． 【详解】解：[建立模型] 以的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ∵款帐篷搭建时张开的宽度，顶部高度 ∴ 设抛物线函数关系式为 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 即； [运用模型]∵，且椅子高度，宽度 ∴ 解得 则的距离为2； ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张． 38． 安全驾驶：合理车距的保持艺术 背景 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离，整个停车过程中车辆可看作匀速直线运动． 素材 司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为秒，此反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离，满足（其中为汽车制动加速度，在城市道路约为）整个停车距离为． 问题解决 任务一 认识研究对象 汽车的停车距离___（用含的代数式表示） 任务二 探索研究方法 若汽车行驶速度为，则求汽车的停车距离为多少米 任务三 尝试解决问题 某司机开车上班途中发现正前方米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 【答案】任务一：；任务二：；任务三：车速不超过时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 【分析】任务一：根据列式表示即可； 任务二：把代入任务一所得函数解析式计算即可求解； 任务三：把代入任务一所得函数解析式计算即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：任务一：由题意得，， 故答案为：； 任务二：当时，； 任务三：把代入得，， 解得（不合，舍去），， 答：车速不超过时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 39．综合与实践：探究对比两种水杯装水情况 【情境】小旭要了解不同型号两种水杯（1号杯，2号杯）的容积与高度之间的关系，经测量它们的关系如图所示，设1号杯的水面高度，2号杯的水面高度（其中近似关于V的二次函数）． 【项目解决】 (1)目标1：确定2号杯水的高度． 求关于V的函数关系式． (2)目标2：比较水杯的装水高度． 在相同体积下，当两个杯中水在时，求2号杯水面与1号杯水面的最大高度差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用； （1）根据待定系数法求关于V的函数关系式． （2）求出，再计算的值，求出在范围内最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可得关于V的函数关系式过，，， ∴设，代入，，得， 解得，， ∴； （2）解：设，代入得， 解得， ∴， ∴， ∴在范围内，当时，的值最大，其最大值为0.2． ∴2号杯水面与1号杯水面的最大高度差为． 40．某桥梁因交通事故导致拥堵．根据车流量监控统计，7：00时该桥梁上车辆共计200辆，累计驶入车辆数y（单位：辆）与累计驶出车辆数w（单位：辆）随统计时间t（单位：）变化的结果如表所示： 统计时间 1 2 3 4 … 累计驶入车辆数y/辆 200 380 540 680 … 累计驶出车辆数w/辆 30 60 90 120 … 在当前时段，我们可以把累计驶入车辆数y与t之间看作二次函数关系，把累计驶出车辆数w与t之间看作一次函数关系． (1)求y关于t的函数解析式，写出自变量的取值范围； (2)当桥梁上车辆累计到达760辆时，将触发拥堵黄色预警．按照当前车流量计算，第几分钟将触发拥堵黄色预警？ (3)当桥梁上车辆累计到达1000辆时，将触发拥堵红色预警．从统计开始5分钟时（即时交通事故解除，驶出桥梁的车辆每增加30辆．试计算拥堵红色预警是否会被触发？ 【答案】(1) (2)从第4分钟将触发拥堵黄色预警 (3)不会触发拥堵红色预警 【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用 （1）设出关于的函数解析式，然后用待定系数法求解析式即可； （2）利用待定系数法求出关于的函数解析式，根据桥梁上累计车流量数累计驶入车辆数累计驶出车辆数，列出方程，解方程即可； （3）当，根据桥梁上累计车流量数累计驶入车辆数累计驶出车辆数列出函数解析式，由函数性质求最大值，再与比较即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把，，代入解析式得： ， 解得， 关于的函数解析式为； （2）设关于的函数解析式为， 把，代入解析式得：， 解得， 关于的函数解析式为； 当时， 即， 解得 从第分钟将触发拥堵黄色预警； （3）设桥梁上车辆累计辆， 当时，， ， ， 当时，有最大值，最大值为， ， 不会触发拥堵红色预警． 41． 如何调整蔬菜大棚的结构？ 素材1 我国的大棚（如图种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体上，另一端固定在墙体上，其横截面有2根支架，，相关数据如图2所示，其中支架，．                  素材2 已知大棚共有支架400根，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后与上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．                  问题解决 任务1 确定大棚形状 （1）在图2中以为原点，为正方向建立平面直角坐标系，则点坐标 　　，　　，点坐标 　　，　　，并求抛物线的函数表达式． 任务2 尝试改造方案 （2）当米，求的长度． 任务3 拟定最优方案 （3）只考虑经费情况下，求出的最大值． 【答案】（1）4，3.4，6，3.4，；（2）米；（3）1.6米 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，利用二次函数的性质求对称轴，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得到函数的对称轴为5，再利用待定系数法得到函数的解析式； （2）根据已知条件得到函数的解析式，再利用函数解析式得到、的坐标即可得到结论； （3）根据已知条件表示出、的坐标得到的不等式，进而得到的最大值． 【详解】解：（1）：如图，以为原点，建立如图所示的坐标系， 由题意，可知则点坐标，点坐标， 故答案为：4，3.4，6，3.4； ， 设抛物线解析式为， ，， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 将代入解析式， 得， 解得， 抛物线的函数表达式为：； （2）如图，建立与（1）相同的坐标系， ， 为， 改造后对称轴不变， 设改造后抛物线解析式为：， 将代入解析式， 得， 解得， ， 当时，，， 为，为， （米）， 答：的长度为米； （3）如（2）题图，设改造后抛物线解析式为， 当时，， 当时，， 的坐标为，的坐标为， ， 由题意可列不等式，， 解得， ， 要使最大，需最小， 当时，的值最大，为1.6米． 答：的值最大值为1.6米． 42．合肥老城西大门有一处城门横断面分为两部分，上半部分为抛物线形状，下半部分为正方形（四边形为正方形），已知城门宽度为4米，最高处离地面6米，如图1所示，现以O点为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立直角坐标系． (1)求出上半部分抛物线的函数表达式； (2)有一辆宽3.2米，高4.6米的货车需要通过该城门进入城区（城门处为单向行驶道），请通过计算判断该货车能否安全通行． (3)由于城门年久失修，需要搭建一个矩形巩固门（矩形），该巩固门关于抛物线对称轴对称，如图2所示，其中为三根承重钢支架，点D在抛物线上，B、C在地面上，已知钢支架每米200元，问搭建这样一个矩形巩固门，仅钢支架一项，最多需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)能安全通行 (3)2600元 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式． （1）利用待定系数法计算即可得解； （2）求出当时，，即可得解； （3）设点的横坐标为，的长度为，则，由二次函数的对称性得出，即，，表示出，再由二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）解：由（1）可得，抛物线的对称轴为直线， ∵一辆宽3.2米，高4.6米的货车需要通过该城门进入城区， ∴当时，， 该货车能安全通行； （3）解：， 设点的横坐标为，的长度为，则， 对称轴为直线，则，即，， ， 当，最大，， （元）， 答：最多需要花费2600元． 43．【项目式学习】 项目主题：高铁建设与运营中的数学挑战 项目背景：随着中国经济的快速发展，高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区．假设某城市计划建设一条新的高铁线路，以缩短与邻近城市的旅行时间．数学小组的同学在查阅相关资料的情况下，开展了相关探究． 素材一：为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中，列车速度随时间变化的关系为：，其中是最终速度，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 素材二：列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离，已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同，均为千米，时间也相同，均为秒． 素材三：匀加速（即加速度不变）或匀减速过程中，在单向行驶时，路程与运动时间的关系为：，其中：是路程，是初始速度，是加速度（或减速度），是时间． 任务—：理解与计算 （1）如果高铁列车的最高速度千米/小时，加速度米/秒，则从静止加速到最高速度所需的时间__________秒． （2）在（1）的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路程__________千米． 任务二：应用与推理 （3）在（1）的条件下，假设高铁线路全程千米中，除去两端的加减速路程，列车以最高速度行驶的距离为，请直接写出列车全程行驶的时间的表达式．（单位：小时） 任务三：设计与分析 （4）假设距某站台千米有一辆高铁正以千米/小时的速度驶来，由于某人从站台跳入轨道捡手机，列车需紧急停车，若减速度米/秒，列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现实，说说你的想法． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）列车不能安全停车，理由见解析． 【分析】本题考查二次函数的应用， （1）根据素材一得，将数据代入计算即可； （2）根据素材三和素材二，将数据代入求出，即可得到； （3）根据“速度＝路程÷时间”建立函数关系式即可； （4）求出安全停车的路程，再与千米比较即可； 正解理解题意，确定各数量的关系是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，千米/小时米/秒，米/秒， ∴（秒）， ∴从静止加速到最高速度所需的时间秒， 故答案为：； （2）由（1）知：，，， ∴（米）， ∵米千米 ∴列车从静止加速到最高速度所需的最小路程千米， 故答案为：； （3）∵加速和减速时间都是秒且加减速路程都是千米， ∴加速和减速的总时间为秒小时， ∴匀速行驶的时间为小时，匀速行驶的路程为千米，速度为千米/小时， ∴， ∴， ∴列车全程行驶的时间的表达式为； （4）∵，千米/小时米/秒， 米/秒， ∴（秒）， ∴（米）（千米）， ∵千米千米 ∴列车不能安全停车． 44．【新情境】如图1是一个高脚杯的剖面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，杯子的高度（即，之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． ． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移，并倒满饮料，如图2，过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面高度（即液面到点所在水平线的距离）低于，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数解决实际应用题，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质等知识，读懂题意，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）根据题意，得到，再由待定系数法确定函数解析式即可得到答案； （2）先由二次函数图象的平移得到平移后，点，当液面高度为时，液面到轴的距离为，设液面与高脚杯的交点分别为，如图所示，列式得到，利用待定系数法确定直线和直线的解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：，杯子的高度（即之间的距离）为， 设抛物线的解析式为， ，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为， 平移后的解析式为，平移后，点的坐标为， 当液面高度为时，液面到轴的距离为， 设液面与高脚杯的交点分别为，如图所示： 当时，即，解得， 点， 设直线的解析式为， 由题意可得，解得，即直线的解析式为； 设直线的解析式为， 由题意可得，解得，即直线的解析式为； 剩余饮料的液面的高度低于时，的取值范围是． 题型04线段、周长问题 例：如图，在直角坐标系中，抛物线交轴于，交轴于，． (1)求、的值和抛物线对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)该抛物线有一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)存在， (3) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出的值，对称轴公式求出对称轴即可； （2）连接，与对称轴的交点即为点，进行求解即可； （3）根据，得到点的纵坐标为，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴，解得：， ∴， ∴对称轴为直线：； （2）解：存在； ∵， ∴当时，， ∴， 连接， ∵点关于对称轴对称， ∴， ∴当三点共线时，的周长最小， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴； （3）∵，， ∴ ∴， ∴， 当时，点与点关于对称轴对称， ∴， 当时，，此方程无解， ∴． 46．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、轴对称的性质、一次函数；其中熟练运用轴对称的性质转化线段是解题的关键．根据抛物线的对称性可知：，所以当点在线段上时，的值最小，的周长也最小，以此为依据求解即可； 【详解】解：令，则， 解得，， ，， 抛物线的对称轴为： 点的横坐标为： 当 时， ； 设直线解析式为， 则， 解得， 由抛物线的对称性可知： ∴当点在线段上时，有最小值，则的周长最小， 将 代入得： 故此时点的坐标是 故答案为：． 47．已知二次函数的图象如下，在第三象限内的抛物线上有一动点P，过点P作轴，垂足为N，连接交于点Q，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，求一次函数解析式，过点Q作轴于点H，求出点C的坐标为，点B的坐标为，求出直线的解析式为：，设点P的坐标为，则点Q的坐标为：，求出，证明为等腰直角三角形，得出，求出，然后求出最大值即可． 【详解】解：过点Q作轴于点H，如图所示： 把代入得：， ∴点C的坐标为， 把代入得：， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为：， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：． 48．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．其中，．    (1)直接写出该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，在第三象限内抛物线上找点，使，求点的坐标； (3)如图2，为抛物线上任意一点，过做直线与抛物线有唯一交点（不与轴平行）交抛物线对称轴于点，为对称轴上一点，若始终满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，全等三角形的判定和性质，交点问题等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）利用待定系数法代入求解即可确定函数解析式； （2）根据函数解析式确定，，在坐标系中取点，连接并延长交抛物线与点E，过点M作轴于点H，根据全等三角形的判定和性质得出，，设直线的函数解析式为，然后确定一次函数解析式，联立求解即可； （3）设，直线l解析式为，联立两个函数得出，确定直线l解析式为，得出，设，根据，建立方程求解即可确定点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点为， ∴设抛物线的解析式为：， 将点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）， 当时， 解得：， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 根据题意，在坐标系中取点，连接并延长交抛物线与点E，过点M作轴于点H，如图所示：    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为，将点代入得： ，解得， ∴直线的函数解析式为， 联立两个函数为：， 解得：或， ∴； （3）解：设，直线l解析式为， 联立得， ∵直线l与抛物线只有一个交点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线l解析式为， 在中， 当时，， ∴， 设， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 49．如图，抛物线与x轴交于两点，交y轴于点B． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一点，过点P作直线轴于点D，交直线于点E． ①当时，求点E的坐标； ②当取得最大值时，求点P的坐标． 【答案】(1)二次函数解析式为：； (2)①点E的坐标为；②点P的坐标为． 【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数，二次函数解析式，解一元二次方程，二次函数图象的性质求最值的方法，掌握二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，二次函数与线段的数量关系是解题的关键． （1）把A，C的坐标代入，运用待定系数法即可求解； （2）①根据二次函数图象的性质可得，运用待定系数法求出直线的解析式，设，则，由此可得，关于p的代数式，根据列式求解即可；②根据，运用二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：把A，C的坐标代入得：， 解得，， ∴二次函数解析式为：； （2）解：①由（1）可得二次函数解析式为， ∴令时，， ， 设直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵点P是第一象限内抛物线上点， ∴设， ∵轴交直线于点E， ， ， 当时，， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 当时，， ， ∴当时，点E的坐标为； ②已知， ， ∴当时，有最大值，且最大值为， 此时， ∴点P的坐标为． 50．如图，抛物线与直线交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)点P是y轴右侧的抛物线上一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点F．若点P的横坐标为m，设线段的长度为y，求y与m之间的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围； (3)在（2）的条件下，是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①P在上面，；②P在下面， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）分P在上面和P在下面两种情况讨论可得y与m之间的函数关系式； （3）本问符合条件的点P有2个，如答图2所示，注意不要漏解．在求点P坐标的时候，需要充分挖掘已知条件，构造直角三角形或相似三角形，解方程求出点P的坐标． 【详解】（1）解：在直线解析式中，令，得， ． ∵点在抛物线上， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①当在上面， 点的坐标为，点的坐标为， 线段的长度为； ②当在下面， 点的坐标为，点的坐标为， 线段的长度为；        （3）解：存在． 理由：如图所示，过点作于点，    则， ， ， 在中，由勾股定理得：． 过点作于点，则． ∵， ∴， 则， ， 在冲，由勾股定理得：． ∵， ∴，整理得：， 解得：（舍去）或， ∴； 同理求得，另一点为． ∴符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、解方程（方程组）、三角函数、勾股定理等重要知识点．第（2）问采用分类讨论思想求解；第（3）问中，符合条件的点P有两个，注意不要漏解． 题型05 二次函数与三角形的综合问题 例：如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当的面积是3时，求点P的坐标； (3)如图2，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把，点代入二次函数中列方程组可解答； （2）过点作与轴交于点；可求得的解析式为 ，得，再由列方程求出m即可解答 （3）作辅助线构建全等三角形，过点作轴，交轴于，交对称轴于点，证明，得，列方程可解答． 【详解】（1）解：把，点代入二次函数中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）设的解析式为：，过点作与轴交于点， 把和代入得：， ， 的解析式为：， ∵， ∴，， ∴ ∵, ∴，即 解得：， 当，，即， 当，，即， 综上所述： （3）如图2，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 由题意得：， ， 抛物线对称轴是直线， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， （如图3），； 如图4，过点作轴，交轴于，交对称轴于点， 同理可得：， ， ， 解得：，， 综上，的值是或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，二次函数上点的坐标的特征，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，列方程可解决问题． 52．如图①，已知抛物线：经过点，，过点A作轴交抛物线于点C，的平分线交线段于点E，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的关系式： (2)若动点P在直线下方的抛物线上，连接，当面积最大时，求出P点坐标； (3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在内（包括的边界），求h的取值范围； (4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) (4)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）将，的坐标代入解析式，利用待定系数法解答即可； （2）过点作轴，交于点，设，利用的代数式表示出线段，再利用得到关于的二次函数解析式，利用二次函数的性质即可求得值，则结论可求； （3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与的交点坐标、与的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围； （4）由可知点的横坐标为2，设，抛物线的对称轴交轴于点，则，分四种情况：①当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的下方时，②当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的上方时，③当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的下方时，④当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的上方时，利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形分别进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵已知抛物线经过点，， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）∵，， ∴，． 过点作轴，交于点，如图，    设， ∵平分，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时， 的面积最大，此时， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点为， ∴抛物线L向上平移h个单位长度，新的抛物线的顶点坐标为：． 设直线交于点M，交于点N，则，如图2， ∵平分， ∴直线为一三象限的角平分线， ∴直线的解析式为：， ∴， ∵点F在内（包括的边界）， ∴， ∴； （4）存在，点的坐标为或或或，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵是抛物线的对称轴上的一点， ∴点的横坐标为2． 设，抛物线的对称轴交轴于点，则． ①当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的下方时，如图，    过点作轴于点，延长交抛物线的对称轴于点，则，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，则，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ②当点在对称轴左侧的抛物线上且在轴的上方时，如图，    过点作轴于点，延长交抛物线的对称轴于点，则，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 同上可得， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ③当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的下方时，如图，    过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为等腰直角三角形，则，， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； ④当点在对称轴右侧的抛物线上且在轴的上方时，如图，    过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，则， ∴四边形为矩形， ∴，， 同上可得， ∴， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，， ∴点的坐标为； 综上，存在，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数求最值，二次函数图象的平移，等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 53．已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)如图，点P是抛物线上位于直线上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线于点D，当取最大值时，求点P的坐标； (3)点P是抛物线上位于直线上方的动点，是以为腰的等腰三角形，直接写出P点坐标． 【答案】(1)， (2) (3)P点坐标为或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式，解一元二次方程， （1）将点，坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； （2）先求出，进而得出，进而判断出，即可得出当的长度最大时，取最大值，设出点坐标，表示出点坐标，建立，即可得出结论； （3）根据，，表示出，，再根据或列方程求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得，， 抛物线的解析式为． ， 抛物线的解析式为，顶点坐标为． （2）解：令得，， ， ． ， ， ， ． 平行于轴，平行于轴， ，， ， ， ， ， 当的长度最大时，取最大值． 设直线的函数关系式为， 把，代入，得， 解得，， 直线解析式为， 设，则， ． ， 当时，最大，此时取最大值，， ； （3）解：∵是以为腰的等腰三角形， ∴或， 由（2）可得，，，， ∴，， 当时，， ∴，即 整理得， ∵ ∴，此时； 当时，， ∵， ∴ ∴，此时； 综上所述，是以为腰的等腰三角形时，P点坐标为或． 54．如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)P是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并直接写出此时点P的坐标； (3)Q为抛物线对称轴上一点，是否存在点Q，使为以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，， (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】本题为二次函数综合题，涉及到待定系数法求函数表达式、二次函数最值、直角三角形的性质等． （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）设点，得到，，，分当为斜边时，当为斜边时，两种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：将，代入，得， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 当时，， ， 设直线的表达式为将，代入，得， ， 解得， ， 设，， ， ， 当时，， 当时，， ； （3）解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 故设点， 由点的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：； 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点Q的坐标为或． 55．如图，抛物线与直线相交于点和点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)如图1，直线上方的抛物线上有一点，过点作垂直于所在直线，垂足为，在轴正半轴和y轴正半轴上分别有两个动点和，连接，，，．当线段的长度最大时，求四边形周长的最小值； (3)如图2，抛物线与y轴交于点C，直线交x轴于点E，点，连接，将所在的直线绕着点D顺时针旋转，所得直线交直线于点H，将直线沿着x轴正方向平移得到直线，其中点为直线与直线的交点，为直线与轴的交点，当点平移到点E时平移结束，连接．当是等腰三角形时，试求出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或或． 【分析】（1）把点和点代入抛物线与直线的解析式即可解决问题． （2）如图1中，设直线与轴交于点，与轴交于点，则，，连接、、．当最大时，的面积最大，设构建二次函数，确定点坐标，作点关于轴的对称点，关于轴的对称点，连接，与轴交于点，与轴交于点，此时四边形的周长最小． （3）分三种情形讨论①当时，作轴于，解直角三角形即可；②当时，如图3中，作于．因为，，把放大得到图4，在上取一点，使得，则，，设，则，，，列出方程即可解决问题；③当时，如图5中，作轴于．设，则，，根据，可得，求出即可解决问题； 【详解】（1）解：抛物线与直线相交于点和点． ，， 解得，， 抛物线解析式为，直线解析式为． （2）解：如图1中，设直线与轴交于点，与轴交于点，则，，连接、、． 当最大时，的面积最大，设 ， ， 时，的面积最大值为18，此时， 作点关于轴的对称点，关于轴的对称点，连接，与轴交于点，与轴交于点，此时四边形的周长最小． 理由：四边形周长， 是定长，两点之间线段最短， 此时四边形周长最小． ，， ， ， 四边形周长的最小值为． （3）解：如图2中， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ①当时，作轴于． ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 坐标为． ②当时，如图3中，作于． ，，把放大得到图4， 在上取一点，使得，则，， 设，则，，， ， ， 坐标为． ③当时，如图5中，作轴于． 设，则，， ， ， ， ， 坐标为，． 综上所述，当是等腰三角形时，的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数综合题、最小值问题、等腰三角形的性质和判定、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会利用对称解决最小值问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会分类讨论，注意15度角或7.5度的转化方法，属于中考压轴题． 56．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，抛物线的对称轴为 ；当时，抛物线的对称轴为 ； 当a为任意负实数时，抛物线的对称轴为 ． (2)求证：无论a取什么值，抛物线恒过两个定点，并求出这两个定点的坐标． (3)当时，如图2，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．Q是抛物线上的一个动点，且在第二象限内，过点Q作直线轴，交于点M，P是y轴上一点，当时，求出点M的坐标． 【答案】(1)直线；直线；直线 (2)抛物线恒过两个定点，定点坐标为，； (3)点M的坐标为． 【分析】（1）根据对称轴公式，代入数据求解即可； （2）二次函数整理得，当时，取值与无关，解方程即可证明； （3）设，则，由，结合平行线的性质推出，得到，利用两点之间的距离公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解：当时，抛物线为，对称轴为直线； 当时，抛物线，对称轴为直线； 当a为任意负实数时，抛物线的对称轴为直线； 故答案为：直线；直线；直线； （2）证明：， 当时，取值与无关，， 解得，， ∴抛物线恒过两个定点，定点坐标为，； （3）解：当时，抛物线的解析式为， 令，则， 令，则， 解得或， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 整理得， 解得（舍去），， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题考查的是二次函数的综合问题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，全等三角形的性质，理解题意是解本题的关键． 题型06 二次函数与特殊四边形的综合问题 例：如图1，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图2，若P是线段上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交于点N，设点P的横坐标为t，的面积为S．求S关于t的函数关系式；当t取何值时，S有最大值，求出S的最大值； (3)若P是x轴上一个动点，过P作直线交抛物线于点Q，随着P点的运动，在x轴上是否存在这样的点P，使以B，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，该抛物线的顶点坐标为 (2)，当时，有最大值，最大值为 (3)存在，点P的坐标为或或 【分析】（）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式转化为顶点式可得到顶点的坐标； （）求出直线的函数解析式，用含的式子表示出点的坐标，得出，再根据求出关于的函数关系式，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （）求出点坐标，得到的长，再分、点在点的左侧，和当点点的右侧，三种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得，， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：设直线的函数解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∵点的横坐标为， ∴轴， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：存在，理由如下： 把代入得，， 解得，， ∴， ∴， 如图，当时，四边形为平行四边形， ∴， 把代入得，， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在点的左侧，时，四边形是平行四边形， 过点作轴于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， 解得，（不符合，舍去）， ∴点的横坐标为， ∴； 如图，当点在点的右侧，时，四边形是平行四边形， 过点作轴于，则， 同理可得； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，求二次函数图象的顶点坐标，二次函数与几何图形，二次函数的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，正确画出图形并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 58．如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 59．已知直线与x轴交于A  ，与y轴交于点B，抛物线与x轴交于A ，C两点，与y轴交于点B (1)求这个抛物线的解析式 (2)若P是直线上方抛物线上一点，存在点P使得，求点P的坐标 (3)在对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小，若存在，请直接写出Q点坐标，若不存在，请说明理由 (4)点M在x轴上，在坐标平面内是否存在点N，使以A  ，B  ，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)存在， (4)存在，或或 【分析】（1）先求出点，点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，再求出，过点P作x轴的垂线，交直线于点H，设，则，求出，由，结合，建立方程求解即可； （3）作点O关于抛物线对称的对称点E，则，则，由为定值，当三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长最小，利用待定系数法求出直线的解析式，令，代入计算即可得到结果； （4）分为对角线和边两种情况，利用菱形的性质，求解即可． 【详解】（1）解：直线与x轴交于A  ，与y轴交于点B， 令，，令，， ， 将代入抛物线，则， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：存在， 抛物线与x轴交于A ，C两点， 令，则， 解得：， 根据题意得， ， ， 如图，过点P作x轴的垂线，交直线于点H， 设，则， ， ， ， ，即， 解得：或， 点P的坐标为或； （3）解：存在， 作点O关于抛物线对称的对称点E，连接， 抛物线的对称轴为， ，， 为定值， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长最小， 设直线的解析式，则， 解得：， 直线的解析式， 令，则， ； （4）解：存在， 如图，当以为对角线时， 四边形为菱形， ， 点在x轴上， 点M在点A的左侧， 设， ， ， ， ， ，即， 解得：， ； 如图，当以为边时， 当点M在点A左侧时， 四边形为菱形，， ，， ； 如图，当点在点A右侧时， 同理得：； 综上，点N的坐标为或或 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，轴对称的性质，菱形的性质等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用二次函数的图象及性质．解题关键是找特殊点，充分利用对称轴，顶点坐标等知识． 60．已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C，且点A在点C的右侧，与y轴交于点B，连结． (1)求点A、B的坐标； (2)如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值； (3)如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结，过P作，与抛物线另一个交点为Q，M，N为上两点，且轴，轴． ①当为直角三角形时，求点P的坐标； ②是否存在点P使得与相互平分，若存在，求的长，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)①或②存在， 【分析】（1）分别令，求解即可； （2）根据平移可得，，坐标，再根据二次函数的对称性求解即可； （3）①先求出直线的表达式，设点，则，分两种情况讨论，当时，，再列方程求解，同理再求当即可； ②连接，过Q作交的延长线与T，则，设点的横坐标为，点的横坐标均为，根据平行四边形的性质和判定可求出，再证明，解方程求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 令，解得：或， ； （2）解：由题意可知，抛物线对称轴为直线， 则点的坐标为：，点，点， ，解得：， 的横坐标为：， 当时，， ； （3）解：①设直线的表达式为， 把、代入得，， 解得：， 直线的表达式为， 设点，则， ， 点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点， ， ， ， ， 轴， ， 当时， ， ， ， 解得：或（舍）， ； 当时， ， ， ， 过B作于H，则， ， ， ， 或（舍）， ， 综上，点的坐标为：或； ②存在，理由如下： 连接，过Q作交的延长线与T，则， 与相互平分， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是的中点， 设点的横坐标为，点的横坐标均为， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（舍）， ， 在中，． 【点睛】本题为二次函数综合题，涉及二次函数的对称性，求一次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等知识，综合运用以上知识解题是解题的关键； 61．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴，垂足为点M，交直线于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或； (3)存在，或或或 【分析】本题属于二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、矩形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴是直线，再把点、代入求得a、b的值即可解答； （2）先求出，再运用待定系数法求得直线的解析式为；设点D坐标为，则点，进而得到，，，再分、、三种情况分别求解即可； （3）设，再求得，然后分以为对角线和边两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A， ∴，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式． （2）解：∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得：， ∴直线的解析式为； 设点D坐标为，则点， ∵， ∴，，， ①当时，， ∴，解得（不合题意，舍去）， ∴点N的坐标为； ②当时，， ∴，解得：，（不合题意，舍去）， ∴点N的坐标为； ③当时，， ∴，解得：， ∴点N的坐标为． 综上，存在，点N的坐标为或或． （3）解：设， ∵， ∴， ①以为对角线时，， ∴，解得：，或， ∴或， ∵， ∴，或 ∴，或， ∴点F的坐标为或； ②以为边时，或， ∴或， 解得：或， ∴或， ∵， ∴或， ∴或， ∴点F的坐标为或， 综上所述：存在，点F的坐标为或或或． 62．【定义】若连接抛物线与坐标轴的三个交点形成线段，若其中一段线段与坐标轴夹角为45度，则图象称为美感抛物线．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)请判断抛物线是否为美感抛物线； (2)如图，抛物线上存在一动点横坐标是，过点作直线轴于点，与直线交于点．当，，形成的线段中，某两段线段长度相等时，求线段的长； (3)若点、点、点分别为在坐标平面内、在抛物线对称轴上、在抛物线上（不与顶点重合）的动点，是否可以形成邻边之比为的矩形，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1)抛物线是美感抛物线 (2)或2 (3)或或． 【分析】（1）根据抛物线，分别求出，，，再结合，，则，结合美感抛物线的定义进行作答； （2）当点在之间时，存在点是的中点，由中点坐标公式即可求解；当点在之间时，同理可解； （3）当点在对称轴的左侧时，得到是矩形邻边之比为，即或，即可求解；当点在对称轴右侧时，同理可解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点． ∴令，则 解得 则结合图象，得，， 令，则； ∴点， ∴， ∵ ∴ ∴抛物线是美感抛物线； （2）解： 设直线的表达式为， 由点、的坐标得， 解得 ∴直线的表达式为：， 由题意得，点，点，则点， 则， 当点在之间时，存在点是的中点， 则， 解得：（舍去）或， 则； 当点在之间时， 同理可得：， 解得：（舍去）或1， 则， 综上，或2； （3）解：设点，点， 当四边形是矩形时，则为直角， 当点在对称轴的左侧时，如下左侧图， 过点作轴的垂线交轴于点，交过点和轴的平行线于点， 为直角， 则， ， ， ∵ 四边形是矩形邻边之比为， 即或， 即和的相似比为或， 即， 由题意得：，，，， 即或， 解得：（舍去）或； 当点在对称轴右侧时， 同理可得：或， 解得：或， 综上，或或． ∴点的横坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，新定义，主要考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，三角形相似的性质等知识点，分类求解是本题解题的关键． 63．综合与探究 如图1，抛物线的图象是一条抛物线，图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线下方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)存在点或或或 【分析】（1）把和代入求解即可． （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大即可解答． （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当为矩形一边时，且点D在x轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，把B，C点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ； （3）由题意可得：， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图3.1：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴于点F， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点； 如图3.2：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于点F， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 如图3.3：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或， 使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形． 【点睛】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的性质解决问题是解本题的关键． 64．如图1，抛物线与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴相交于点．已知点B坐标为，点C坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴交于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，使得以为边，点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出满足条件的点N坐标． 【答案】(1) (2)当时，周长的最大值为， (3)N点坐标为或或或 【分析】（1）根据三角形的面积求出，则可知，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由题意可得，则，设，则，可得周长，当时，周长的最大值为，此时； （3）先求出平移后的函数解析式为，设，，根据菱形的对角线分两种情况讨论，根据菱形的对角线互相平分，邻边相等建立方程组，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：将，，代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，∴， ∴周长， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， ∴周长， ∴当时，周长的最大值为， 此时； （3）解：∵， ∴平移后的函数解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设，， 令，则， 解得或， ∴， 当为菱形的对角线时，， ∴， 解得或， ∴或； 当为菱形的对角线时，， ， 解得或， ∴或； 综上所述：N点坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题．考查了用待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数，平移的性质，菱形的存在性问题，第（2）问借助转化思想将要求的长转化为求的长进而转化成与P点横坐标有关的二次函数，借助二次函数求最值的方法求线段的最大值．第（3）问，菱形的存在性问题一般转化为等腰三角形的存在性问题，通过分类讨论思想，精准计算，解决问题是解题的关键． 题型07 动点（图）问题 例：综合与实践 如图1，是以为斜边的等腰直角三角形，四边形是矩形，点，，，在同一条直线上，，将沿射线向左平移，得到，点，，的对应点分别为点，，．平移的速度为1个单位长度/秒． 设平移的时间为秒，与矩形重叠部分的面积为． 特例感知 当时，的值恰好变为0． （1）的长为______________． 规律探究 （2）①求出与之间的函数解析式，并直接写出的取值范围； ②在如图2所示的平面直角坐标系中，画出①中所求得函数（含自变量取值范围）的图象． 数学思考 （3）请直接写出满足的所有的值． 【答案】（1）4；（2）①；②见解析；（3）的值为或． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）根据题意得到，进一步计算即可求解； （2）①分四种情况讨论，画出图形，利用三角形或梯形面积公式列式即可求解； ②画出函数图象即可； （3）分和两种情况讨论，根据，分别列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：（1）∵当时，的值恰好变为0， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4； （2）①当时，； 当时，如图，设交于点， 由题意得， ∴； 当时，如图， ； 当时，如图，设交于点， 由题意得，， ∴； 综上，； ②画出二次函数图象如图， （3）∵， 当时，， 整理得， 解得或（舍去）； 当时，， 整理得， 解得或（舍去）； 综上，的值为或． 66．如图，在等腰直角中，，，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿方向向点匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，连接，设运动时间为秒，的面积为（当点与点或点重合时，规定），则与之间的函数关系的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是动点问题的函数图像，根据题意可得：，，，再由，可得出，运用二次函数的图像和性质即可判断答案．解题的关键是以动点问题为背景，研究三角形面积的变化，利用直角三角形面积等于两直角边乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵在等腰直角中，，，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿方向向点匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，运动时间为秒（当点与点或点重合时，规定）， ∴，，， ∴， ∴， ∴与之间的函数关系的图像为抛物线， ∵， ∴当时，． 故选：D． 67．如图，在中，对角线，相交于点，，，．若过点且与边，分别相交于点，，设，，则关于的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点向作垂线，交于点，根据含有角的直角三角形性质以及勾股定理可得、的长，再结合平行四边形的性质可得的长，进而求出、的长，设，则，然后利用勾股定理可求出与的关系式，最后根据自变量的取值范围求出函数值的范围，即可做出判断． 【详解】解：如图过点向作垂线，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 当时，, 当时，．且图像是二次函数的一部分, 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、含有角的直角三角形的性质以及二次函数图象等知识，解题关键是求解函数解析式和函数值的范围． 68．如图，在正方形中，O为对角线的中点，．动点P从点A出发，沿折线运动，在和上的速度分别为每秒个单位长度和每秒1个单位长度．当点P出发后，过点P作于点Q，将线段绕点P顺时针旋转得到，连接．设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积为S． (1)当点P在线段上运动时，用含t的代数式表示的长； (2)当点O在的内部时，求t的取值范围； (3)求S与t之间的函数关系式． 【答案】(1)当时；当时， (2)当点O在的内部时，t的取值范围是，且 (3)当时，；当时， 【分析】（1）首先求出，然后根据题意分和两种情况分别表示即可； （2）首先由（1）可得，当时，点P和点O重合，然后求出当时，点O在线段上，然后当线段经过点O时，利用勾股定理和正方形的性质得到，然后求出此时，进而求解即可； （3）根据题意分两种情况：和时，然后分别根据正方形的性质，等腰直角三角形的性质和三角形面积公式表示即可． 【详解】（1）解：∵O为对角线的中点， ∴ ∵动点P从点A出发，沿折线运动，在和上的速度分别为每秒个单位长度 ∴当点P在线段上运动时，即时时，； 当点P在线段上运动时，即时时，； （2）解：当点P在线段上运动时， 由（1）可得，当时，点P和点O重合， 当时， ∴此时点P和点C重合，点Q和点B重合，点M和点D重合， ∴此时点O在线段上， 如图所示，当点P在线段上运动时，当线段经过点O时， ∵四边形是正方形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 综上所述，当当点O在的内部时，t的取值范围是，且； （3）解：如图所示，当点P在线段上运动时，即时， ∵四边形是正方形 ∴ ∵，将线段绕点P顺时针旋转得到， ∴， ∴四边形是正方形 ∴ ∴正方形的面积 ∴与重叠部分图形的面积为； 如图所示，当点P在线段上运动时，即时， ∵， 同理可得，，，是等腰直角三角形，四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴正方形的面积 ∴的面积 ∴与重叠部分图形的面积为． 【点睛】此题考查了二次函数和几何动点问题，旋转的性质，正方形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是正确分情况讨论． 69．如图（1）中，，，，的平分线交于，过点作与垂直的直线．动点从点出发沿折线以每秒个单位长度的速度向终点运动，运动时间为秒，同时动点从点出发沿折线以相同的速度运动，当点到达点时、同时停止运动． (1)求、的长； (2)设的面积为，求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围． 【答案】(1)， (2)与的函数关系式是： 【分析】（1）求出，根据直角三角形性质求出，由角平分线的性质可得，进而得到，，在中，根据勾股定理得出关于的方程，求出即可； （2）有两种情况：①当在上，在上时，，过作，交的延长线于，求出，再根据三角形的面积公式求解即可；②当在上，Q在上时，，过作于，过作于，求出和的值，最后根据 即可求解． 【详解】（1）解：中，，， ， ， 平分， ， ，， 在中，，即， 解得：, ， ，； （2）①当在上，在上时，， 则，， 过作，交的延长线于， ， ， ，， ，即； ②当在上，Q在上时，， 过作于，过作于， ，， ，，，， ， ， 即， 综合上述：与的函数关系式是：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，图形的动点问题与二次函数，勾股定理，含的直角三角形性质等知识点的运用，运用分类讨论思想是解题的关键． 70．如图，边长为6的正方形中，E，F，G，H分别是，，，边上的动点，且，点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动（到达点时停止），设运动时间为t（单位：秒）． (1)①当运动停止时，t的值为______； ②设A，H之间的距离为y，则y与t满足______关系（选填“正比例函数”，“一次函数”，“二次函数”） (2)设四边形的面积为S， ①直接写出S的表达式______（用含有t的代数式表示），并写出t的取值范围______； ②S是否可以为20？若可以，请求出此时t的值，若不能，请通过计算说明理由． 【答案】(1)①；②一次函数 (2)①，；②S可以为20，此时或 【分析】本题考查正方形的判定与性质，二次函数与几何应用，勾股定理； （1）①当运动停止时，，代入计算即可； ②根据，可得，即满足一次函数关系； （2）①先证明四边形是正方形，再根据计算即可； ②令，解方程后判断即可． 【详解】（1）∵边长为6的正方形， ∴，， ∵点E从点A出发沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动， ∴， ∴， ①当运动停止时，秒， 故答案为：； ②∵， ∴y与t满足一次函数关系， 故答案为：一次函数； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是正方形， ∴， 整理得， ∵，， ∴， ∴， ∴S的表达式，t的取值范围， 故答案为：，； ②令得， 整理得， 解得或， ∵， ∴S可以为20，此时或． 71．图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． (1)______，______，补全函数图象； (2)求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； (3)连接，交于点，求平分时的值． 【答案】(1)；；补全函数图象见解析 (2) (3) 平分 时 的值为 【分析】（1）根据当时，从点正好运动到点，即可求出运动速度，根据当时，，求出的长，然后用，即可算出的长，根据时，，补全图象即可； （2）分或两种情况下，使的面积为的值不小于的的取值范围，即可求出结果； （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据已知条件写出、、、的坐标，根据点为的中点，写出点的坐标，求出用表示的的函数关系式，把点的坐标代入，解关于的方程即可得出的值． 【详解】（1）解：图是点在上运动时，与的函数图象， 当时，从点正好运动到点， ， 点运动的速度， 当时，， 即， ， ， ； 当时，， 当时，从运动到点，停止， ，补全图象如图所示： 故答案为：；；补全图象见解析． （2）当时，，， ，即， 整理得， 解得：， ， ； 当时，， ，即， 解得：， ； 综上分析可知，当时，的面积为的值不小于． （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示： 则点坐标为，点坐标为，点的坐标为，点坐标为， 平分， 点为的中点， 点的坐标为：， 设直线的解析式为，把、两点的坐标代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 点在上， ， 解得：，（舍去）， 即平分时的值是． 【点睛】本题主要考查了动点问题，一次函数关系式，二次函数关系式，解不等式，以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，用函数的思想解决问题（3），是解题的关键． 72．如图1，四边形是边长为4的正方形，两对角线交点为O，有两个动点E、F同时从点A出发，点E以每秒1个单位长度的速度沿边从A向点B运动，点F以每秒2个单位长度的速度沿折线方向运动，当其中一点到达终点时另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒，的面积为，的面积为． (1)请直接写出、关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围． (2)在图2给定的平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，并写出函数的一条性质． (3)结合函数图象，求出和面积相等时的t的值． 【答案】(1)关于t的函数表达式为，关于t的函数表达式为 (2)图象见解析，函数的一条性质为：时，y随t的增大而减小，或时，y随t的增大而增大 (3)或3 【分析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形的面积，动点问题，函数图象，解决本题的关键是结合图象得到函数的性质． （1）分两种情况讨论：当点F在上时，当点F在上时，分别求出三角形的面积； （2）结合（1）画出函数图象，进而可以写出该函数的性质； （3）结合函数图象，即可写出和面积相等时的t的值． 【详解】（1）解：根据题意可知：当点F在上时，， ∴， ∵四边形是边长为4的正方形，O是正方形的中心， ∴的面积为， ∵， ∴， ∴的面积为， 当点F在上时，， ∴的面积为， ∵， ∴； 综上所述：关于t的函数表达式为，关于t的函数表达式为； （2）解：如图，即为所求函数的图象， 函数的一条性质为：时，y随t的增大而减小，或时，y随t的增大而增大； （3）解：当时，令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， 由函数图象可知：当和面积相等时，或3． 73．如图1，是等边三角形，动点D以每秒1个单位长度的速度从点A出发，在三角形边上沿A→B→C→A匀速运动，回到出发点A时停止运动，过点D作，垂足为E，设点D的运动时间为t（s），的面积为S．图2是点D从点A运动到点B时的S关于t的函数图象，点M的坐标为． (1)①等边三角形的边长为 ，点N的坐标为 ； ②求图2中函数图象所对应的解析式． (2)图3是动点D走完全程，S与t的函数图象，请你根据图象，回答下列问题： ①表示的实际意义是 ； ②连接，求S与t的函数图象和线段围成的图形的面积． 【答案】(1)①4，；②（） (2)①点D在上运动，的面积为0；② 【分析】本题考查了考查了二次函数的应用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式； （1）①由点M坐标可得此时点D在点B处，即可求解；②由直角三角形的性质可求的长，即可求解； （2）①由图象可直接求解；②先求出点D在上时的解析式，可得点D在上和点D在上的图象开口相反，大小相同，由面积的和差关系可求解． 灵活运用二次函数和这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵点M的坐标为， ， ， 当点D在点A时， ， ∴点， 故答案为：4，； ②如图1，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，（）； （2）解：①由图象可得：表示的实际意义是点D在上运动，的面积为0， 故答案为：点D在上运动，的面积为0； ②当点D在上时， ， 同理可求：， ， ， （）， ∴点P坐标为，点， ∴S与t的函数图象和线段围成的图形的面积：． 74．如图，在中，，，，点P在上，．点E以每秒2个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点A匀速运动，点F同时以每秒1个单位长度的速度，从点P出发沿线段向点B匀速运动，点E到达点A时，点F随之停止．在点E、F运动过程中，以为边作正方形，使它与在线段的同侧．设E、F运动的时间为t秒，正方形与重叠部分的面积为S． (1)当时，正方形的边长是 ；当时，正方形的边长是 ； (2)当点H在线段上时，求t的值； (3)求S与t的函数关系式． 【答案】(1)3；9 (2) (3) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，正方形的性质，动点问题的函数关系式．恰当分类并正确表示动点运动的线段的长是解题的关键． （1）根据，分别求出当时，时，，的值，再求出的值即可； （2）根据等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，证明，得出，解关于t的方程即可； （3）当点H在线段上时，可求出，可分两种情况讨论：当时，，只需用t的代数式表示出即可解决问题；当时，，只需用t的代数式分别表示出即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，， ， ∴， 即此时正方形的边长是3； 当时，， ， ∴， 即此时正方形的边长是9； （2）解：当点H在线段上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：． （3）解：当时，如图1所示：     ， ∴此时； 当时，如图2所示： ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 综上所述：S与t的函数关系式为： ． 题型08 二次函数与相似三角形的综合问题 例：如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D． (1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标； (2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）当时，则，即，即可求解；当时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：， ∵ ∴顶点； （2）解：由（1）知，， 又∵抛物线M的对称轴交x轴于点D， ∴点， ∵、，，， ∴、、、 ，， 又∵与相似， ∴点O与点C对应， 当时， 则，即， 解得：， 即点； 当时， 则，即， 解得：， 则点； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，相似三角形的判定性质等知识，分类求解是解题的关键． 76．如图，在矩形中，，，沿直线折叠矩形的一边，使点落在边上的点处．分别以，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，抛物线经过，，三点． (1)求的长及抛物线的解析式； (2)一动点从点出发，沿以每秒2个单位长的速度向点运动，同时动点从点出发，沿以每秒1个单位长的速度向点运动，当点运动到点时，两点同时停止运动．设运动时间为秒，当为何值时，以、、为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)3， (2)或 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质及二次函数的综合应用，解题时注意：折叠的性质叠种对称变换，属于对称，折叠前后图形的形和小不变，位变化，对边和对应角相等．解题时注意分类思想的运用． （1）根据折叠图形的轴对称性，、全等，首先在中求出的长，进而可得到的长；在中，、，利用勾股定理可求出的长．进一步能确定点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式． （2）由于，首先能确定的是，若以、、为顶点的三角形与相似，那么或，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的的值； 【详解】（1）解：四边形为矩形， ，，． 由题意，． ，，． 由勾股定理易得． ， 设，则， 由勾股定理，得， 解得，， ． 抛物线过点，， ， 解得 抛物线的解析式为：； （2）解：，， ， 由（1）可得，，． 而，， ． 当，， ， 即， 解得：． 当，， ， 即， 解得：． 当或时，以、、为顶点的三角形与相似． 77．已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求顶点D的坐标； (2)点P是第一象限对称轴右侧抛物线上一点，点P的横坐标为t，以点P为圆心的⊙P交抛物线的对称轴于点M、N（点M在点N的上方）． ①若与x轴相切，且，求点P的坐标； ②过点P作y轴垂线，交抛物线于另一点E，连接，连接并延长交于点T，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，若于点T，且，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据待定系数法求解析式，再化为顶点式，即可求解； （2）①设切点为H，连接，过P作于L，则，分别求出，，，再利用勾股定理列方程求解即可； ②证明，分别求出，，，根据相似三角形的性质可求出，则，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得：， 抛物线的解析式为， 顶点D的坐标， （2）①设切点为H，连接，过P作于L，则，   点P的横坐标为t， ， 与x轴相切， ， ， ， 对称轴为直线， ， 在中，， ， 设，且， 原方程可化为， 解得或（舍）， ， 解得：或（舍）， 当时，， ， ②解：如图：   ， ， ， ， ， ， ， ， 当的时，， ， 设直线的解析式为， 把B，C代入得， 解得， 直线的解析式为， ，轴， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ． 【点睛】本题考查了二次函数与相似三角形的综合，涉及待定系数法求解析式，对称性，勾股定理，垂径定理，直线与圆相切，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是综合运用以上知识． 78．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果点是二次函数图像对称轴上的一点，连接、，求的面积； (3)如果点P是该二次函数图像上位于第二象限内的一点，且，求点P的横坐标． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数与面积问题，相似三角形的判定与性质； （1）把，代入计算即可； （2）先求出点D坐标，再求出抛物线的对称轴与直线交点E坐标，即可根据求解； （3）过点P作轴，垂足为H，证明，得到，设点，得到， ，列方程计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵点是二次函数图像对称轴上的一点， 又∵二次函数图像的对称轴为直线， ∴，点D坐标为， 设直线的表达式为， ∵直线经过，，得， 解得， ∴直线的表达式为， 设抛物线的对称轴与直线交于点E， ∴点E坐标为， ∴， ∴； （3）解：过点P作轴，垂足为H， 设点， ∴，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去），， 即点P的横坐标是． 79．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B． (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，连接，当时，求D点的坐标； (3)如图2，若F是线段的上一个动点，过点F作直线垂直于x轴交直线和抛物线分别于点G、E，连接．设点F的横坐标为m，是否存在以C，G，E为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）连接，过点作轴的对称点，角度推导得到，设直线表达式为：，代入得：，解得：，则，设直线表达式为：，求得直线表达式为： ，联立直线表达式和抛物线表达式，得：求解即可； （3）根据题意需要分两种情况，当时，当时，一种是发现，另一种过点作轴于点，得到为等腰直角三角形，则，建立方程，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将，点的坐标，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：连接，过点作轴的对称点， 对于，当，则， 解得：或， ∴， 则， 由对称得：， 当，， ∴，而由知， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴， 设直线表达式为：，代入得：， 解得：， ∴, ∴设直线表达式为：， 代入得：， 解得：， ∴直线表达式为： ， 联立直线表达式和抛物线表达式，得：， 解得：或（舍）， ∴； （3）解：存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，过点作轴于点， 由上知， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则, 则，， ∴， 解得：或； 当时，则 令， 解得：或（舍） 即， 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，平行线的判定，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论． 80．如图所示，在的顶点、在轴上，点在轴上正半轴上，且，，． (1)求过A，B，C三点的抛物线解析式． (2)设抛物线的对称轴与边交于点，若是对称轴上的点，且满足以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； (3)在对称轴和抛物线上是否分别存在点、，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点、点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)，或，或，． 【分析】（1）设抛物线的解析式为．将点的坐标代入函数解析式求得系数的值即可； （2）分类讨论和，结合相似三角形的性质求得相关线段的长度，从而求得点的坐标； （3）存在．假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形．分类讨论：平行四边形是平行四边形、平行四边形是平行四边形、四边形为平行四边形．由平行线的性质和坐标与图形的性质求得符合条件的点、点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点， 因此可设抛物线的解析式为 将代入得，即 抛物线的解析式为； （2）解：， 对称轴为直线， 如图2，当时，，则， 当时，， ， ∴， ， ， ∴， 因此点的坐标为或； （3）解：存在． 假设直线上存在点，抛物线上存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形． 如图3，当平行四边形是平行四边形时， 此时，的横坐标为， ∴， ∴，， 当平行四边形是平行四边形时，同理，， 如图4，当四边形为平行四边形时，与互相平分，此时可设，则， 点在抛物线上， 此时，， 综上所述，，或，或，． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识．在（1）中求得是解题的关键，在（2）、（3）中都需要用到数形结合和分类讨论的数学思想． 81．如图，抛物线与轴交于点、两点，与轴交点，连接，顶点为． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)已知点是抛物线上的一点，连接，若，求点的坐标． (3)如图2，若是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为：或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分点P在上方和下方两种情况讨论，点P在上方时，根据内错角相等，两直线平行，得到，即得到点P纵坐标与点C纵坐标相等，即可求解；点P在下方时，设直线与x轴交于点G，此时，，求出点G的坐标，再求出直线的解析式，联立二次函数即可求解； （3）过点作轴，交于点，设，直线的解析式为，然后求出直线的解析式为：，得到点坐标，进而可得，最后根据进行求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； ， 顶点； （2）解：如图，当点P在上方时， ， ， 令抛物线的解析式中，则， ， 点P纵坐标与点C纵坐标相等，即， ，即， 解得：或（舍去）， ； 如图，当点P在下方时，设直线与x轴交于点G， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ， 设直线的解析式， 则， 解得：， 直线的解析式为， 联立，即， 解得：或（舍去）， 则， ； 综上，点的坐标为：或； （3）解：过点作轴，交于点，如图所示： 设，直线的解析式为， 由（1）可知：，， ， 解得：， 直线的解析式为：， ， ， 轴， ， ， 当时，有值最大， 则， ． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、二次函数图象上点坐标的特征、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 82．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接、，A、C两点的坐标分别为．且当和时二次函数的函数值y相等．点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接，将沿MN翻折得到． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P恰好落在边上，求t的值及点P的坐标； (3)在点M、N运动过程中，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B、P、Q为顶点的三角形与相似？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 或或或 【分析】1）先判断出抛物线的对称，从而可得到点的坐标，设抛物线的解析式为，将可求得的值，从而可得到抛物线的解析式； （2）先求得、、的长, 然后可得到和 的度数，然后再证明 、均为等边三角形，过点作轴，垂足为，则 然后依据，列方程求解即可； （3）先证明然后分为 三种情况画出图形，然后再利用特殊锐角三角函数值可求得点的坐标. 【详解】（1）解：∵当和时二次函数的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为， 又∴， ∴， 设抛物线的解析式为，将代入得： 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ， ， ， 又 为等边三角形， 由翻折的性质可知为等边三角形， ， 如图所示：过点作轴，垂足为， ， ， ， ， 解得：， ， （3）由翻折的性质可知， 又∵， ∴平分 ， ， 如图所示： 当时， ， ， ， ， ， ， ； 如图所示：当 ，， ， ， ， ， ， 如图所示：当时， ，， ， ， ， ， 当时, 设， 可得， ， 解得， ， 如图，延长交对称轴于，当时 可得， 综上所述，当 或或或时，二次函数图象的对称轴上存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、翻折的性质、相似三角形的判定，分类讨论是解题的关键． 试卷第2页，共181页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$