3.3二项式定理与杨辉三角（同步课件）数学人教B版2019选择性必修第二册

3.3二项式定理与杨辉三角 主讲： 人教B版选择性必修第二册 第3章 排列、组合与二项式定理 学习目标 2、二项展开式的通项是什么？ 3、二项式系数指的是什么？共多少项？ 1、二项式定理的内容是什么？ 4、二项式系数有什么规律呢？ 2 利用本节我们要学习的二项式定理，可以快速地解答这个问题 小张在进行投篮练习，共投了10次，只考虑是否投中，那么不难知道，投篮结果可以分成11类：投中0次，投中1次，投中2次……投中10次，而投中0次只有 1 ( 记作) 种情况，投中1次有种情况，投中2次有种情况……投中10次有种情况，因此，小张投篮10次，结果共有 +++ …+ 种情况.那么上式的结果是多少呢? 情境与问题 + …+ 1.二项式定理 尝试与发现1 二项式定理研究的是 的展开式 … … 尝试与发现1 ① 项： ② 个数： 取 b 的个数: 0 1 2 3 问题：3个括号中取到b的个数有哪几种情况？展开后得到哪些类型的项？各类型的项分别有几个？ （请用组合的观点思考，用组合数作答） 尝试与发现1 ① 项： ② 个数： 尝试与发现1 ① 项： ② 个数： 尝试与发现1 展开式： 尝试与发现1 二项式定理 (a＋b)n＝an＋an－1b＋…＋an－kbk＋…＋bn(n∈N*)； 这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n 的 ， (1)其中 是展开式中的第k+1项(通常用Tk+1表示), an－kbk 称为第k+1项的二项式系数， (3)我们将          称为二项展开式的通项公式. an－kbk 注意：通项公式an－kbk中，要求n是正整数，k是满足0≤k≤n  的正整数，以后不再声明. 展开式 基础巩固题 例 1 写出 (2 -x)5 的展开式. 解  在二项式定理中令 可得 ++ =+ 例1的展开式中，可以看出常数项是32,x的系数是80,注意到展开式中第1项的二项式系数是=1,    第2项的二项式系数为=5,      注意：由此可知展开式中某一项的系数与二项式系数，一般情况下并不相等. 典例分析1 12 例 2 求的展开式中含 的项. 所以展开式中的第k+1项为 解 因为= 要使此项含,   必须有,    从而有     因此含的项为 ________ 典例分析2 13 典例分析3 例 3 求的展开式中常数项的值和对应的二项式系数. 所以展开式中的第k+1项为 解 因为= 要使此项含,   必须有,    从而有     因此常数项为 ________ 对应的二项式系数为=_____ 1.求的展开式中的系数. 含项的系数为83 变式训练 2.求的展开式中含x的项和含的项. 含的项为  含的项为  思考：第2题，你有更好的解法吗？ 2.二项式系数的性质 在二项式定理中，分别令 为以下特殊值，写出所得到的等式： (1); (2) 在二项式定理中，如果令,   则有+++ …+ 如果令,  则有 也就是说 -+- +…+ ++…+ 尝试与发现2 奇数项的二项式系数之和=偶数项的二项式系数之和 赋值法 由此可知，本节一开始的情境与问题中: + …+ 小张在进行投篮练习，共投了10次，只考虑是否投中，那么不难知道，投篮结果可以分成11类：投中0次，投中1次，投中2次……投中10次，而投中0次只有 1 ( 记作) 种情况，投中1次有。种情况，投中2次有种情况……投中10次 有种情况，因此，小张投篮10次，结果共有 +++ …+ 种情况.那么上式的结果是多少呢? 解决问题 已知++ 求:(1)++； (2)-+； (3)+; 255 体会赋值法的强大 变式训练 例 4  已知 的展开式中，所有的二项式系数之和为1024. 求展开式中含的项. 解 依题意可知=1024,因此n=10.从而可知展开式的通项为 要使此项含,   必须有   从而有,      因此含x6的项为T₈= . -120x⁶ 典例分析4 3.杨辉三角 《详解九章算法》中记载的表 杨 辉 ①每行两端都是1 =1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和= (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 + + + + + + + + + + + + + + + 尝试与发现3 展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数,其定义域是： 当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点． 尝试与发现4 （1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式得到． 图象的对称轴： 尝试与发现4 （2）增减性 由于： 所以相对于的增减情况由决定． 由： 可知，当 时，二项式系数是逐渐增大的， 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 尝试与发现4 4.二项式定理的应用 证明  因为,由二项式定理可知 , 例 5  求证：9998-1能被100整除. 注意 到上述右边的展开式中，前面98项都是100的倍数，最后一项为1, 由此可知能被100整除. 典例分析5 例 6 当n是正整数且时，求证：. 证明 由二项式定理可知 因为, 所以上式右边的项都是正数， , 从而可知. 例6的结论可以用在近似计算中. 典例分析6 1、二项式定理: 3 、区别二项式系数与项的系数. 4 、掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项. 课堂小结 2 、通项公式an－kbk 5、赋值法，证明了二项式系数的性质和推论 方法：特殊到一般，分类讨论，赋值法 你有哪些收获？ 一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)Ceq \o\al(r,n)an-rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项．(　　) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　) (4)通项Tr＋1＝Ceq \o\al(r,n)an-rbr中的a和b不能互换．(　　) $$