第14讲 三角函数的图象与性质（秋季讲义）-2024-2025学年高一数学秋季讲义（人教A版2019必修第一册）

第14讲 三角函数的图象与性质 【人教A版2019】 模块一 正弦函数、余弦函数 1．正弦函数与余弦函数的图象 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),( π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形 状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. (2)余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2] 上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象. (3)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏” 的连续光滑曲线. 2．正弦函数与余弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. (2)正弦函数与余弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 3．正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 【题型1 正、余弦函数图象及应用】 【例1.1】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）当时，曲线与的交点个数为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像： (1)； (2)． 【变式1.2】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知函数. (1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数的大致图象，要求：列表，描点，连线； (2)若方程在有两个不同的实数根，求的取值范围. 【题型2 正、余弦函数的定义域、值域与最值】 【例2.1】（23-24高一上·安徽·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高一下·山东日照·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数的最小正周期为. (1)求的值，并求的单调递减区间； (2)求的对称轴； (3)求在上的值域. 【变式2.2】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知函数的最小正周期是． (1)求的对称轴方程． (2)求在上的最值及其对应的x的值． 【题型3 正、余弦函数的图象与性质】 【例3.1】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值． 【例3.2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； 【变式3.1】（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的严格减区间； (3)若时，的最小值为–2，求a的值. 【变式3.2】（23-24高一下·广东中山·阶段练习）已知的一段图象如下图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调减区间； (3)，求函数的值域． 【题型4 正、余弦函数的含参问题】 【例4.1】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4.2】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若在区间上单调，则的最大值为（    ） A．18 B．17 C．14 D．13 【变式4.1】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）设函数（）在区间上恰好有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2024·安徽·模拟预测）已知函数在上无零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 模块二 正切函数 1．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点 (-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图. 【题型5 正切函数的定义域、值域与最值】 【例5.1】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【例5.2】（23-24高一下·江西·阶段练习）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x的集合. 【变式5.2】（23-24高一下·上海·课后作业）求下列函数的值域： （1）； （2）． 【题型6 正切函数的图象与性质】 【例6.1】（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知函数，则下列命题正确的有（    ）个 ①                              ②在上单调递增 ③为的一个对称中心     ④最小正周期为 A．0 B．1 C．2 D．3 【例6.2】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．函数在上是增函数 C．函数的图像关于点对称 D．函数是偶函数 【变式6.1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)试比较与的大小． 【变式6.2】（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； (3)作出函数在一个周期内的简图. 【题型7 正切函数的含参问题】 【例7.1】（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例7.2】（23-24高一上·广东·期末）若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式7.1】（2024·安徽马鞍山·一模）已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7.2】（23-24高三上·河南南阳·期末）已知是曲线与直线相邻的三个交点，则（    ） A． B． C． D． 【题型8 三角函数的零点问题】 【例8.1】（24-25高二上·浙江·开学考试）设函数，若对于任意实数在区间上至少2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例8.2】（24-25高三上·浙江·阶段练习）函数在区间上的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．4 【变式8.1】（23-24高一下·陕西西安·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在区间上的所有零点之和. 【变式8.2】（23-24高一下·山东日照·期中）已知函数，其中为常数． (1)当，时，若，求的值； (2)设函数在上有两个零点， ①求t的取值范围； ②证明：． 【题型9 与三角函数相关的复合函数】 【例9.1】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时x的集合： (1)，； (2)，． 【例9.2】（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； (3)对于任意，不等式都成立，求实数的范围. 【变式9.1】（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 【变式9.2】（24-25高二上·山东日照·开学考试）设a为常数，函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围； (3)当时，设n为正整数，在区间上恰有2024个零点，求所有可能的正整数n的值． 一、单选题 1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）当时，曲线与的交点个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高三上·上海·开学考试）函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 3．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数的图象如下，则其解析式可能是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点中心对称 D．函数的单调递减区间为 6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 7．（24-25高一上·河北衡水·期中）设函数在上有且只有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知为偶函数，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若的最小正周期为，则 C．若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为 D．若，则的最小值为2 二、多选题 9．（2024高一上·全国·专题练习）函数与直线（为常数）公共点个数可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 E．4 10．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）已知函数，，下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．函数的最小正周期为 C．函数的值域为 D．函数的一条对称轴为 11．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．若的图象关于直线对称，则 C．若在上单调递增，则的取值范围是 D．若，则在上有且只有1个零点 三、填空题 12．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的单调增区间为 ． 13．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为 ． 14．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为 . 四、解答题 15．（23-24高一下·全国·课后作业）已知函数 请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； 0 x 16．（24-25高一上·全国·课堂例题）比较大小： (1)与； (2)与． 17．（24-25高一上·河北衡水·期中）设函数，若函数的图象关于直线对称，且 (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最值. 18．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知函数在区间上单调递减且， (1)求的解析式； (2)求使成立的的取值范围. 19．（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数的表达式为， (1)设，求函数，的单调增区间； (2)设实数，的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 三角函数的图象与性质 【人教A版2019】 模块一 正弦函数、余弦函数 1．正弦函数与余弦函数的图象 (1)正弦函数的图象 ①根据三角函数的定义，利用单位圆，我们可以得到函数y=,x∈[0,2π]的图象，如图所示. ②五点法 观察图，在函数y=,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0),(,1),( π,0),(,-1),(2π,0)在确定图象形 状时起关键作用.描出这五个点，函数y=,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图.这种作图的方法叫做“五点(画图)法”. (2)余弦函数的图象 ①图象变换法作余弦函数的图象 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函 数y=,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法作余弦函数的图象 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=在[0,2] 上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=在[0,2]上的简图，再通过左右平移(每次移动2个单位长度)即可得到余弦函数y=,x∈R的图象. (3)正弦曲线、余弦曲线 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.它们是具有相同形状的“波浪起伏” 的连续光滑曲线. 2．正弦函数与余弦函数的性质 (1)周期函数 ①定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x+T∈D， 且f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期. ②最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期. (2)正弦函数与余弦函数的性质 正弦函数与余弦函数的图象与性质如下表： 函数 y=sinx y=cosx 图象 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,1] 周期性 最小正周期：2π 最小正周期：2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 增区间 减区间 最值 图象对称性 对称中心： 对称轴方程： 对称中心： 对称轴方程： 3．正弦型函数及余弦型函数的性质 函数和的性质 函数 定义域 R R 值域 [-|A|,|A|] [-|A|,|A|] 单调性 当A>0,ω>0时，将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cos x相应的单调区间求解；当A<0或ω<0时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数， 当时为偶函数. 当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象 对称性 将ωx+φ视为整体，代入y=sinx或y=cosx相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 【题型1 正、余弦函数图象及应用】 【例1.1】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）当时，曲线与的交点个数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据五点法作图，分别作出两函数图像，即可得解. 【解答过程】 令，得，； 令，得，； 令，得，； 令，得，； 令，得，； 结合函数的周期性，作出两函数图像，如图所示， 可知两函数共个交点， 故选：C. 【例1.2】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】通过函数奇偶性的，再取图象上的特殊点进行排除即可. 【解答过程】由图象可知为奇函数，且， 对于A：，则，为偶函数；排除 对于C：则，排除； 对于D: 可得：，排除； 对于B: ，则， 且当时，，时，取到等号， 而，取到等号，所以符合. 故选:B. 【变式1.1】（23-24高一·上海·课堂例题）作出下列函数的大致图像： (1)； (2)． 【解题思路】（1）（2）根据五点作图法列表、描点、连线即可得到函数图象； 【解答过程】（1）解：因为，取值列表： 0 0 1 0 0 描点连线，可得函数图象如图示： （2）因为，取值列表： 0 0 3 0 0 描点连线，可得函数图象如图示： 【变式1.2】（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知函数. (1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数的大致图象，要求：列表，描点，连线； (2)若方程在有两个不同的实数根，求的取值范围. 【解题思路】（1）利用五点作图法即可得解； （2）将问题转化为与的图象有两个交点，结合图象即可得解. 【解答过程】（1）因为， 则列表如下： 所以的图象如图， （2）因为，所以， 又，结合（1）中图象，可知在上的图象如图， 因为方程在有两个不同的实数根， 所以与的图象有两个交点，故或. 【题型2 正、余弦函数的定义域、值域与最值】 【例2.1】（23-24高一上·安徽·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，可得，再结合正弦函数的图象求解即可. 【解答过程】由，得， 则. 故选：C. 【例2.2】（23-24高一下·山东日照·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得，结合解出即可得. 【解答过程】由题意可得，即， 又，故，即定义域为. 故选：C. 【变式2.1】（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数的最小正周期为. (1)求的值，并求的单调递减区间； (2)求的对称轴； (3)求在上的值域. 【解题思路】（1）根据余弦型函数周期公式及余弦型函数单调性求解即可. （2）利用余弦函数的对称性求出对称轴. （3）根据自变量范围，利用整体替换思想结合余弦函数性质求解. 【解答过程】（1）由函数的最小正周期为，得，所以； 即，由，解得， 所以的单调减区间为. （2）由，得， 所以图象的对称轴为. （3）由，得，则，于是， 所以函数在上的值域为. 【变式2.2】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知函数的最小正周期是． (1)求的对称轴方程． (2)求在上的最值及其对应的x的值． 【解题思路】（1）由最小正周期可得，以为整体，结合正弦函数对称轴运算求解； （2）以为整体，结合正弦函数的性质求解即得. 【解答过程】（1）因为函数的最小正周期是，且， 则，即， 令，解得， 所以的对称轴方程为. （2）由（1）可知：， 因为，则， 可得，则 当，即时，取到最小值； 当，即时，取到最大值1. 【题型3 正、余弦函数的图象与性质】 【例3.1】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值． 【解题思路】（1）利用余弦型函数的性质，解不等式可得出函数的单调递增区间； （2）由可求得的取值范围，结合余弦型函数的基本性质可求得的最大值、最小值. 【解答过程】（1）令，得， 所以函数的单调递增区间是； （2）令，则由可得， 所以当，即时，， 当时，即时，. 即当时，函数取最小值；时，函数取最大值. 【例3.2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； 【解题思路】（1）代入后配方，结合二次函数的性质和余弦函数的值域求解即可； （2）配方后再根据对称轴的情况分类讨论即可； 【解答过程】（1）当时，， 因为， 所以当时，函数有最小值，最小值为， （2）因为， 当，即时， 则当时，函数的最大值为， 解得（舍去），或； 当即时，则当时，函数有最大值，即，解得； 当时，即时，则当时，函数有最大值， 即，解得（舍去）. 综上，或5. 【变式3.1】（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的严格减区间； (3)若时，的最小值为–2，求a的值. 【解题思路】（1）直接利用周期公式求解； （2）对函数变形后，由可求出函数的减区间； （3）由求出的范围，再利用正弦函数的性质求出其最小值，从而可求出a的值. 【解答过程】（1）函数的最小正周期为. （2）. 由（）， 得（）， 所以的严格减区间为（）. （3）由，得， 所以， 所以， 所以， 所以的最小值为， 所以. 【变式3.2】（23-24高一下·广东中山·阶段练习）已知的一段图象如下图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调减区间； (3)，求函数的值域． 【解题思路】（1）由图象可知，求出，从而可求出的值，再将代入函数中可求出的值； （2）由可求出函数减区间； （3）由求出的范围，再结合正弦函数的性质可求出其值域. 【解答过程】（1）由图象可知，则， 所以，得， 所以， 因为的图象过点， 所以，得， 得， 因为，所以， 所以； （2）由，得 ， 所以， 所以的递减区间为； （3）由，得， 所以， 所以，即， 所以， 所以的值域为. 【题型4 正、余弦函数的含参问题】 【例4.1】（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知函数在区间内既有最大值，又有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由条件求出的范围，结合正弦函数的性质列不等式可求结论. 【解答过程】因为，， 所以， 由已知，， 所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 【例4.2】（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数，是函数的一个零点，且是其图象的一条对称轴.若在区间上单调，则的最大值为（    ） A．18 B．17 C．14 D．13 【解题思路】由已知可得，结合，得到（），再由是的一个单调区间，可得T，即，进一步得到，然后对逐一取值，分类求解得答案． 【解答过程】由题意，得，∴， 又，∴（）． ∵是的一个单调区间，∴T，即， ∵，∴，即． ①当，即时，，，∴，， ∵，∴，此时在上不单调， ∴不符合题意； ②当，即时，，，∴，， ∵，∴，此时在上不单调， ∴不符合题意； ③当，即时，，，∴，． ∵，∴，此时在上单调递增， ∴符合题意， 故选：D. 【变式4.1】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）设函数（）在区间上恰好有3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求出函数的对称轴方程，根据题意列出相应不等式，即可求得答案. 【解答过程】由函数（）， 令，即， 因为（）在区间上恰好有3条对称轴， 显然当时，为内最左侧的对称轴， 故，解得， 即的取值范围是， 故选：C. 【变式4.2】（2024·安徽·模拟预测）已知函数在上无零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出，结合正弦函数的零点可得存在整数，使得成立，故可求的取值范围. 【解答过程】函数在上无零点， 当时， ， 由题设可得存在整数，使得成立， 解得， 而，故且，故. 当时，；当时，． 结合可得的取值范围为． 故选：D． 模块二 正切函数 1．正切函数的性质与图象 (1)正切函数的图象及性质 定义域 周期性 由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是π. 奇偶性 由诱导公式可知，正切函数是奇函数. 图象 单调性 正切函数在每一个区间上都单调递增 值域 正切函数的值域是实数集R 对称中心 (2)三点两线法作正切曲线的简图 类比于正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点两线法作正切函数的简图.“三点”是指点 (-,-1),(0,0),(,1);“两线”是指直线x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,可以大致画出正切函数在区间(-,)上的简图. 【题型5 正切函数的定义域、值域与最值】 【例5.1】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正切函数特征，得到不等式，求出定义域. 【解答过程】由正切函数的定义域，令，即， 所以函数的定义域为. 故选：C. 【例5.2】（23-24高一下·江西·阶段练习）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出的范围，再由正切函数的性质求出范围，再乘以3即可. 【解答过程】 故选：C. 【变式5.1】（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值、最小值，并求函数取得最大值或最小值时自变量x的集合. 【解题思路】用换元，结合分离常数法与基本不等式求最值，然后根据正切函数性质即可求解. 【解答过程】解：令（，），则. 当时，； 当时，，当且仅当，即时，取等号， 所以，所以，时取到等号； 当时，所以， ，当且仅当， 即时，所以，所以，时取到等号. 所以，y的最小值为，此时，；y的最大值为3，此时，. 所以当时，函数为常数函数； 当时，函数取得最小值，自变量的集合为， 当时，函数取得最大值，自变量的集合为. 【变式5.2】（23-24高一下·上海·课后作业）求下列函数的值域： （1）； （2）． 【解题思路】（1）由定义域可得，令则，所以，再根据幂函数的性质计算可得； （2）利用换元法将函数转化为二次函数，根据二次函数的性质计算可得； 【解答过程】解：（1）因为，所以 令则 所以 因为，所以，，， ，即 （2）因为 所以 令， 所以 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 所以 即函数的值域为. 【题型6 正切函数的图象与性质】 【例6.1】（24-25高三上·黑龙江绥化·阶段练习）已知函数，则下列命题正确的有（    ）个 ①                              ②在上单调递增 ③为的一个对称中心     ④最小正周期为 A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】直接求函数值判断命题①；由正切函数的单调区间、对称轴公式、周期公式进行求解分别判断命题②③④. 【解答过程】命题①，已知函数，，故①错误； 命题②，，，解得，， 当时，，所以在上单调递增，故②正确； 命题③，把带代入，， 则为的一个对称中心，故③正确； 命题④，函数最小正周期为，故④错误. 正确命题有2个. 故选：C. 【例6.2】（23-24高一下·陕西渭南·期中）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．函数在上是增函数 C．函数的图像关于点对称 D．函数是偶函数 【解题思路】先利用诱导公式进行化简，然后结合正切函数的性质检验各选项即可判断. 【解答过程】由题可得：，根据正切函数得周期性可知，函数的最小正周期为，故A错误； 根据正切函数的性质可知，在上是减函数，故B错误； 根据正切函数的性质可知，的图像关于点对称， 取，则函数的图像关于点对称，故C正确； 的图象关于原点对称，为奇函数，故D错误； 故选：C. 【变式6.1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)试比较与的大小． 【解题思路】（1）先应用诱导公式化简再应用正切函数的单调性求解； （2）先求函数值再结合函数的单调性比较大小. 【解答过程】（1）， 由，得． 因为在上单调递增， 所以在上单调递减． 故原函数的单调递减区间为． （2） ， ， 因为，且在上单调递增， 所以，所以． 【变式6.2】（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间； (2)求不等式的解集； (3)作出函数在一个周期内的简图. 【解题思路】（1）由整体代换即可求出正切函数的定义域，由周期公式可得最小正周期，由单调性解不等式可得单调增区间. （2）由（1）中的单调性解不等式，可得其解集. （3）利用五点作图法即可得一个周期内的简图. 【解答过程】（1）由， 得（）， ∴的定义域是, ∵， ∴最小正周期， 由（），得（）. ∴函数的单调增区间是（）. 所以函数定义域是，最小正周期，单调增区间是（）. （2）由，得（）. 解得（）. ∴不等式的解集是. （3）令，则； 令，则； 令，则. ∴函数的图像与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是，. 从而得函数在一个周期内的简图如下： 【题型7 正切函数的含参问题】 【例7.1】（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正切函数的图象与性质，得到，且，即可求解. 【解答过程】由函数在上单调递增， 根据正切函数的性质，可得， 当时，可得，则，解得． 故选：D. 【例7.2】（23-24高一上·广东·期末）若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为（    ） A．0 B． C． D． 【解题思路】根据正切函数的性质，代入求值. 【解答过程】函数的图象与直线没有交点． 若函数的图象与直线没有交点， 则，，,， 则的最小值为． 故选：C. 【变式7.1】（2024·安徽马鞍山·一模）已知函数（，）的图象经过点，若函数在区间内恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先求，再根据,求的范围，结合正切函数的图象，列不等式，即可求的取值范围. 【解答过程】由条件可知，，所以， ，当时，， 若函数在区间上恰有2个零点，则， 解得. 故选：D. 【变式7.2】（23-24高三上·河南南阳·期末）已知是曲线与直线相邻的三个交点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意可得的最小正周期为1，根据的周期与的周期相等即可求解. 【解答过程】作出函数的图象如图所示， 不妨设， 可知的最小正周期， 的周期与的周期相等， 所以，解得． 故选:A. 【题型8 三角函数的零点问题】 【例8.1】（24-25高二上·浙江·开学考试）设函数，若对于任意实数在区间上至少2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】原问题转化为在区间上至少2个，至多有3个t，使，求取值范围，数形结合判断满足条件区间长度，由此建立关于的不等式，解出即可． 【解答过程】令，则，令，则， 则原问题转化为在区间上至少2个，至多有3个t，使得，求得取值范围， 作出与的图象，如图所示，    由图知，满足条件的最短区间长度为，最长区间长度为， ∴，解得． 故选：B． 【例8.2】（24-25高三上·浙江·阶段练习）函数在区间上的所有零点之和为（    ） A． B． C． D．4 【解题思路】根据函数零点个数与其对应方程的根、函数图象的交点个数之间的关系，作出函数和的图象，利用数形结合的思想即可求解. 【解答过程】由得，即， 函数的零点即方程的根， 作出函数和的图象，如图， 由图可知两个图均关于中心对称且在上有两个交点， 故函数在区间上有4个零点，所以4个零点的和为． 故选：B． 【变式8.1】（23-24高一下·陕西西安·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在区间上的所有零点之和. 【解题思路】（1）根据复合函数单调性及三角函数的单调性即可求解 （2）将函数的零点转化成方程的根，解方程得根即可求解． 【解答过程】（1）解：由， 解得. 函数的单调递增区间为. （2）解：由，得， 则或. 或 又，或或. 即函数在区间上的所有零点为，，， 故零点之和为. 【变式8.2】（23-24高一下·山东日照·期中）已知函数，其中为常数． (1)当，时，若，求的值； (2)设函数在上有两个零点， ①求t的取值范围； ②证明：． 【解题思路】（1）将代入后可得，结合范围计算即可得解； （2）①借助换元法，结合二次函数的性质计算即可得；②由韦达定理可得，，结合三角函数在上的单调性与①中所得计算有，即可得，即可得证. 【解答过程】（1）由，则， 当时，，而， 故或（舍），故， （2）①令，因为，所以，则， 则， 由在上单调递增， 故关于的方程在上有两个不相等实数根， 即有， 解得，即的取值范围为； ②令，， 则，为关于的方程的两根， 则有，， 所以，， 所以， 即， 即有，由①知， 故，又，故， 由于，则，故， 又在上单调递增，故， 即. 【题型9 与三角函数相关的复合函数】 【例9.1】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值和最小值，并指出使其取得最大值和最小值时x的集合： (1)，； (2)，． 【解题思路】（1）先根据三角函数求最值，再结合复合函数单调性求解自变量； （2）先应用同角三角函数关系换元，结合二次函数性质求出最值. 【解答过程】（1）因为，令 又因为,单调递增， 所以当,即时，; 当,即时，. （2）因为, 令 开口向上，关于对称， 当,即时，; 当，即时，. 【例9.2】（23-24高一上·浙江衢州·期末）已知函数，. (1)当时，求函数的最小值； (2)若的最大值为1，求实数的值； (3)对于任意，不等式都成立，求实数的范围. 【解题思路】（1）代入后配方，结合二次函数的性质和余弦函数的值域求解即可； （2）配方后再根据对称轴的情况分类讨论即可； （3）令，利用对勾函数的单调性求出最值即可； 【解答过程】（1）当时，， 因为， 所以当时，函数有最小值，最小值为， （2）因为， 当，即时， 则当时，函数的最大值为， 解得（舍去），或； 当即时，则当时，函数有最大值，即，解得； 当时，即时，则当时，函数有最大值， 即，解得（舍去）. 综上，或5. （3）因为， 令，由，得， 则， 因为都成立， 所以都成立， 所以在上恒成立， 姐在恒成立， 设， 由对勾函数的性质易知函数在上为减函数， 所以， 所以. 【变式9.1】（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域. (1)； (2)，； (3). 【解题思路】（1）令，用换元法得到，然后结合二次函数性质求解即可； （2）将原式化为，，根据函数奇偶性，然后结合二次函数性质求解即可； （3）令，用换元法得到，即可求解. 【解答过程】（1）设，， 则. 当时，y取最小值，无最大值， （2） ，. 由知为偶函数. 当时，， 令，， 当时，y取最大值为； 当时，y取最小值为. 故值域为. （3）令，则， 因为函数的定义域为，即， 所以， 则，. 由得， 所以函数值域为. 【变式9.2】（24-25高二上·山东日照·开学考试）设a为常数，函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若函数在区间上有两个不同的零点，求实数a的取值范围； (3)当时，设n为正整数，在区间上恰有2024个零点，求所有可能的正整数n的值． 【解题思路】（1）利用换元法结合三角函数值域，由二次函数性质即可得出函数的值域； （2）根据零点个数可得函数在上仅有一个零点，再由二次函数根的分布可得； （3）由二次函数根的个数及其符号并对参数的取值范围分类讨论，利用三角函数图象性质可得不同区间内的零点个数，即可得出结果. 【解答过程】（1）由题意， 令，则， 当时，， 所以当时，取最大值； 当时，取最小值， 所以的值域为； （2）由题意函数在区间上有两个不同的零点， 即函数在上仅有一个零点，因为， 由零点存在性定理，只需，得； 所以实数a的取值范围为. （3）因为，所以有两个零点， 又，不妨 当时，得，即或； 由三角函数图象性质可知在（k为正整数）内零点个数为，在内零点个数为， 因为，所以； 当时，在（k为正整数）内零点个数为， 在内零点个数为，若，此时不存在n； 当时，则，在（k为正整数）内零点个数为， 因为，所以； 综上n的所有可能值为1012，1349． 一、单选题 1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）当时，曲线与的交点个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】作出函数与的图象，结合图象，即可求解. 【解答过程】作出函数与的图象，如图所示， 观察在上的两个函数的图象，共有5个交点. 故选：C. 2．（24-25高三上·上海·开学考试）函数的单调减区间是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【解题思路】由正切函数的诱导公式变形后结合单调性即可求出； 【解答过程】， 令，， 解得， 所以函数的单调减区间是（）， 故选：D. 3．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）函数的图象如下，则其解析式可能是（     ） A． B． C． D． 【解题思路】结合图象可知，由此可判断BCD不可能，结合函数周期说明A中图象可能正确，即可得答案. 【解答过程】结合题意以及各选项可知A可为2， 结合图象可知， 则对于B，，由此可判断B中解析式不可能； 对于C，，由此可判断C中解析式不可能； 对于D，，由此可判断D中解析式不可能； 对于 A，由于，即可取2； 由，则，由于，可取， 此时，A可能， 故选：A. 4．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正切函数的单调性确定，再根据复合函数的单调性即可求出的值域，即得答案. 【解答过程】令，则， 因为在上单调递增，且，所以， 又在上单调递减，且，所以， 即的值域是. 故选：C. 5．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（    ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点中心对称 D．函数的单调递减区间为 【解题思路】选项A，根据图象可得，可得，即可判断选项A的正误；利用的性质，整体代入法，直接求出的对称轴、对称中心及单调区间，即可判断出选项B，C和D的正误. 【解答过程】对于选项A，由图知，得到，又，则，所以选项A正确， 对于选项B，由，得，，当时，对称轴为，所以选项B正确， 对于选项C，由，得，当时，对称中心为，所以选项C正确， 对于选项D，由，得， 所以的单调递减区间为，所以选项D错误， 故选：D. 6．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【解题思路】先根据的最小正周期为，求出的值，再结合给定范围求最值即可. 【解答过程】因为的最小正周期为 所以的最小正周期，即得， 所以， ， 所以， 当时，取的最小值0， 所以在上的最小值为. 故选：C. 7．（24-25高一上·河北衡水·期中）设函数在上有且只有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出的范围，利用余弦函数性质列不等式组求解可得. 【解答过程】， 又因为在上有且仅有4个零点， ，解得 故选：B. 8．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知为偶函数，，则下列结论不正确的是（    ） A． B．若的最小正周期为，则 C．若在区间上有且仅有3个最值点，则的取值范围为 D．若，则的最小值为2 【解题思路】先根据是偶函数求判断A选项；根据最小正周期公式计算可以判断B选项；据有且仅有3个最值点求范围判断C选项；据函数值求参数范围结合给定范围求最值可以判断D选项. 【解答过程】为偶函数， 则A选项正确； 若的最小正周期为，由则，B选项正确； 若在区间上有且仅有3个最值点， 则,C选项正确； 若 ， 则或，， 则 或， 又因为，则的最小值为，D选项错误. 故选:D. 二、多选题 9．（2024高一上·全国·专题练习）函数与直线（为常数）公共点个数可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 E．4 【解题思路】结合正弦函数图象分析求解. 【解答过程】作出的图象（实线部分）， 所以函数与直线（为常数）公共点个数可能是0，1，2. 故选：ABC. 10．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）已知函数，，下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．函数的最小正周期为 C．函数的值域为 D．函数的一条对称轴为 【解题思路】根据三角恒等变换、三角函数的单调性、周期性、值域、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】A选项，当时，，， 此时，而在上不单调，故A错误； B选项，函数， 而 ， 所以的最小正周期为，故B正确； C选项，当时，， ， 所以， 当时，， ， 所以， 综上，函数的值域为，故C正确； D选项，因为，， ，所以不是的一条对称轴. 故选：BC. 11．（24-25高三上·山西·阶段练习）已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．若的最小正周期是，则 B．若的图象关于直线对称，则 C．若在上单调递增，则的取值范围是 D．若，则在上有且只有1个零点 【解题思路】先根据函数的图象经过点求出，根据正弦函数的周期即可判断A；根据正弦函数的对称性即可判断B；根据正弦函数的单调性即可判断C；根据正弦函数的图象与性质即可判断D. 【解答过程】因为的图象经过点，所以，即， 又，所以，所以， 对于A，因为的最小正周期是，所以，解得，故A正确； 对于B，因为的图象关于直线对称，则， 又，所以，故B错误； 对于C，由，得， 因为在上单调递增，所以， 即，解得，即的取值范围是，故C正确； 对于D，因为，所以， 因为，所以， 所以在上有且只有1个零点，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的单调增区间为 ． 【解题思路】以为整体，结合正弦函数单调性运算求解. 【解答过程】令，解得， 所以函数的单调增区间为. 故答案为：. 13．（23-24高一下·吉林长春·阶段练习）已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为 ． 【解题思路】根据给定条件，探讨函数的单调性，结合函数值情况列出不等式求解即得. 【解答过程】当时，， 由，得； 由，得， 因此函数， 在上单调递增，函数值从增大到， 在上单调递减，函数值从减小到， 且， 由函数在上有两个零点，得，解得， 所以m的取值范围为. 故答案为：. 14．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数（，），为的零点，为图象的对称轴，且在上不单调，则的最小值为 2 . 【解题思路】首先根据对称轴和对称中心间的距离，得到关于的关系式，再验证，即可求解. 【解答过程】设函数的最小正周期为，因为为的零点，为图象的对称轴， 所以，即， 所以. 因为，所以在上不单调， 当时，由为的零点可得，， 因为，所以. 因为在上不单调，所以的最小值为. 故答案为：2. 四、解答题 15．（23-24高一下·全国·课后作业）已知函数 请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； 0 x 【解题思路】根据五点作图法，分别令填写表格，再作出函数图象. 【解答过程】令，得： 0 x 0 1 0 0 画出函数在一个周期的图象，如图， 16．（24-25高一上·全国·课堂例题）比较大小： (1)与； (2)与． 【解题思路】（1）根据诱导公式把两个角转化为一个单调区间的两个角，利用正切函数的单调性进行判断即可； （2）根据诱导公式把两个角转化为一个单调区间的两个角，利用正切函数的单调性进行判断即可. 【解答过程】（1）因为，， 又，在上单调递增， 所以， 即． （2）因为，， 又，在上单调递增， 所以， 所以， 即． 17．（24-25高一上·河北衡水·期中）设函数，若函数的图象关于直线对称，且 (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最值. 【解题思路】（1）利用函数对称轴以及可解得，再由正弦函数单调性可得结果； （2）利用整体代换法，由函数单调性即可求得函数在区间上的最值. 【解答过程】（1）∵函数的图象关于直线对称， 所以，； 又，所以时，， 因此； 令，解得； ∴函数的单调递减区间为 （2）由（1）得， 因为，得， ，得 函数在区间上的最大值为，最小值为 18．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知函数在区间上单调递减且， (1)求的解析式； (2)求使成立的的取值范围. 【解题思路】（1）根据题意先可以确定函数的最小正周期，进而得到的值，进而代值计算，从而求解； （2）根据正弦函数的性质解不等式即可. 【解答过程】（1）在区间上单调递减， 且， 的最小正周期， 解得. ， 由“五点法”可知. . （2）由（1）可知， ， ， 解得， 的取值范围是. 19．（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数的表达式为， (1)设，求函数，的单调增区间； (2)设实数，的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围． 【解题思路】（1）结合正弦函数的单调性求解； （2）由，得，考虑正弦函数在上的零点，可得关于的不等式，解之可得． 【解答过程】（1），，，则 ， 时，， 所以时，，单调递增， 时，，单调递减， 因此增区间是，减区间是； （2）的最小正周期为，则，即， ，则， 由题意，解得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$