精品解析：福建省宁德市福鼎市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题

福鼎一中2024-2025学年第一学期第一次月考 高二数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 将数列1，3，6，8中的某两项分别减1、加1后（另两项不变），得等差数列的前四项，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 2. 过点且方向向量为的直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 3. 设为等比数列{}的前n项和,,则＝ A. 10 B. 9 C. -8 D. -5 4. 已知点，，若过点的直线l与线段AB相交，则直线l斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在数列中，，，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 已知等差数列，，，则数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 7. 山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间､次间､梢间､尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为.若设明间的宽度为，则该大殿9间的总宽度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正项数列满足，，则下列错误的是（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为数列的前n项和，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是单调递增数列 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若数列是等比数列，则数列也是等比数列 B. 若是公差为负的等差数列，是其前n项和，若，则和是的最大值 C. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 D. 直线不过第四象限，则或 11. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l过点，与两坐标分别交于A，B两点，设三角形OAB面积为，则下列选项中是真命题的是（ ） A. 存在正实数m，使得满足条件的直线直线l恰有一条． B. 存在正实数m，使得满足条件的直线直线l恰有两条． C. 若存在三条直线，使得三角形ABO面积为m，则． D. 若存在四条直线，使得三角形ABO面积为m，则． 三、填空：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，三点共线，则满足的关系式为______． 13. 在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则______． 14. 已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则_______，不等式成立的的最小值为_______． 四、解答题 15. 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点，其方向向量也是直线的法向量． （2）经过点，和两条坐标轴正半轴围成的三角形的面积为4． 16. 已知等差数列公差为d，，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求． 17. 已知数列的前n项和为，且，．设． （1）求证：数列是等比数列，并求． （2）求证：数列是等差数列，并求． （3）求数列的前项和． 18. 已知函数的图像上有一点列，点在x轴上的射影是，且，． （1）求数列的通项公式． （2）对任意的正整数n，不等式都成立，求实数t的取值范围． （3）设四边形的面积是，求证：． 19. 数列、满足：是等比数列，，，且． （1）求数列、的通项公式. （2）求集合中所有元素的和． （3）对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试判断数列、是否是“和稳定数列”，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福鼎一中2024-2025学年第一学期第一次月考 高二数学试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 将数列1，3，6，8中的某两项分别减1、加1后（另两项不变），得等差数列的前四项，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知变化的两项为1，4或2，3，逐项检验并结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】记减1的项为a，加1的项为b， 因为，可知变化的两项为1，4或2，3， 若，可得0，3，6，9，为等差数列， 此时首项为0，公差为3，所以； 若，可得2，3，6，7，不为等差数列； 若，可得1，2，7，8，不为等差数列； 若，可得1，4，5，8，不为等差数列； 综上所述：数列的通项公式为. 故选：D. 2. 过点且方向向量为的直线的一般式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方向向量可得直线斜率，即可根据点斜式求解直线方程. 【详解】由于方向向量为，故斜率为，故直线方程为， 即， 故选：B 3. 设为等比数列{}的前n项和,,则＝ A. 10 B. 9 C. -8 D. -5 【答案】A 【解析】 【详解】由,得,故. 故选：A 4. 已知点，，若过点的直线l与线段AB相交，则直线l斜率k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用斜率公式求，数形结合确定直线斜率的范围. 【详解】由题设，如下图示， 所以. 故选：C 5. 在数列中，，，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得数列是以1，3，3，1循环排列的周期为4的数列，计算可得. 【详解】由，可得， 又，可得， 以此类推可知数列是以1，3，3，1循环排列的周期为4的数列， 故. 故选：B 6. 已知等差数列，，，则数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知求出等差数列的公差，得到通项，利用分组求和，结合等差等比数列的求和公式求数列的前n项和. 【详解】设等差数列公差为，由，得，则， 所以，， 则数列的前n项和为 . 故选：D. 7. 山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间､次间､梢间､尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为.若设明间的宽度为，则该大殿9间的总宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意把9间的宽度转化为两个等比数列的和,应用等比数列前项和公式计算即可. 【详解】由题意, 设明间的宽度为等比数列的首项,从明间向右共5间,宽度成等比数列, 公比为, 同理从明间向左共5间,宽度成等比数列,公比为, 则由可得 所以总宽度为 故选: 8. 已知正项数列满足，，则下列错误的是（ ） A. B. 是递增数列 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合数列的递推公式、单调性、以及放缩法、累加法的应用，对各项逐一判断，即可得到本题答案. 【详解】对于A：∵，，∴，即 因为在正项数列中，，∴，故A正确； 对于B：， 即，∴是递增数列，故B正确； 对于C：， ∵ ∴，故C不正确； 对于D：∵，，……，， ∴. 故D正确. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为数列的前n项和，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是单调递增数列 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】当时，，可得选项A错误；代入通项公式可得选项B正确；由可得选项C正确；根据等差数列的性质求和可得选项D正确. 【详解】A.当时，， 当时，， 故，选项A错误. B.由得，，故，选项B正确. C. ∵， ∴是单调递增数列，选项C正确. D. 由得，, 故，选项D正确. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若数列是等比数列，则数列也是等比数列 B. 若是公差为负的等差数列，是其前n项和，若，则和是的最大值 C. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 D. 直线不过第四象限，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】A若公比为，写出通项公式即可判断；B根据等差数列通项公式、前n项和公式判断数列单调性且即可判断；C注意过原点的情况；D直线不过第四象限有即可判断. 【详解】A：若公比为，且，则，故， 显然是首项为，公比为的等比数列，对； B：若公差为，则，且数列单调递减， 由，即，则时，时， 综上，和是的最大值，对； C：截距相等包含直线过原点的情况，此时直线为，错； D：由直线不过第四象限，则，可得或，对. 故选：ABD 11. 平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l过点，与两坐标分别交于A，B两点，设三角形OAB面积为，则下列选项中是真命题的是（ ） A. 存在正实数m，使得满足条件的直线直线l恰有一条． B. 存在正实数m，使得满足条件的直线直线l恰有两条． C. 若存在三条直线，使得三角形ABO面积为m，则． D. 若存在四条直线，使得三角形ABO面积为m，则． 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的方程求出与坐标轴的交点坐标，然后求出的面积，作出函数的图象，利用数形结合，可确定的值的情况，即可判断各选项的正误. 【详解】由题意可知：直线l的斜率存在，且不为0， 设直线， 可知直线l与轴、轴交点的坐标分别为，， 显然，解得， 可得三角形OAB面积， 令，作出其图象如图所示， 由图可知：当时，有两解； 当时，有三解； 当时，有四解； 结合选项可知：A错误，BCD正确； 故选：BCD. 三、填空：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，三点共线，则满足的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】转化为平面向量平行，探索参数满足的条件. 【详解】由题意：，，因为三点，，三点共线， 所以. 所以：即. 故答案为： 13. 在各项不为零的等差数列中，，数列是等比数列，且，则______． 【答案】16 【解析】 【分析】利用等差数列的性质得，结合条件得，根据等比数列的性质得，代入可求结果. 【详解】∵为等差数列， ∴， ∵， ∴， ∴或（舍）， ∴， ∴， ∴. 故答案为：16. 14. 已知数列的通项公式是，记为在区间内项的个数，则_______，不等式成立的的最小值为_______． 【答案】 ①. 14 ②. 13 【解析】 【分析】①根据，得，代入即可得解；②根据，得，对分奇偶讨论即可得解. 【详解】令，得， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以. 当为奇数时，， 即，因为，所以，即， 因为为奇数，所以的最小值为； 当为偶数时，， 因为，所以，， 因为为偶数，所以的最小值为. 综上所述，的最小值为. 故答案为： ， 【点睛】关键点点睛：讨论m的奇偶性求出对应通项公式为关键. 四、解答题 15. 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点，其方向向量也是直线的法向量． （2）经过点，和两条坐标轴正半轴围成的三角形的面积为4． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式即可求出直线方程； （2）利用截距式方程结合题意即可求出直线方程. 【小问1详解】 直线的斜率为， 其法向量所在直线的斜率为， 所求直线方程为，即. 【小问2详解】 设直线方程为， 则，解得， 所求直线方程为， 即. 16. 已知等差数列公差为d，，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知列方程组求出数列的首项和公差，可得通项公式； （2）利用列项相消求数列的前n项和为 【小问1详解】 等差数列公差为d，，且，，，成等比数列， 则有，解得， 所以 【小问2详解】 ，， 所以数列的前n项和. 17. 已知数列的前n项和为，且，．设． （1）求证：数列是等比数列，并求． （2）求证：数列是等差数列，并求． （3）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析，； （2）证明见解析，； （3） 【解析】 【分析】（1）先利用题给条件求得数列的递推关系式，再利用构造法即可证得数列是等比数列，进而求得的解析式； （2）先利用构造法证得数列是等差数列，进而求得的解析式； （3）利用错位相减法即可求得数列的前项和． 【小问1详解】 数列的前n项和为，且，． 则时， 两式相减得，即， 因为，则，故． 又，，则，则. 则数列是首项为2，公比为2的等比数列，故. 【小问2详解】 由（1）可得，，， 则，等式两边同时除以可得，， 又，则数列是首项为，公差为的等差数列， 故，则 【小问3详解】 由（2）得，则， ， 则， 上式减去下式得， 则. 18. 已知函数的图像上有一点列，点在x轴上的射影是，且，． （1）求数列的通项公式． （2）对任意的正整数n，不等式都成立，求实数t的取值范围． （3）设四边形的面积是，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）变换得到，确定是以为首项为公比的等比数列，得到通项公式. （2）计算，根据数列单调性得到，代入不等式解得答案. （3）计算，放缩得到，根据裂项相消法求和得到答案. 【小问1详解】 ∵，∴，又， ∴是以为首项为公比的等比数列，∴，∴. 【小问2详解】 ，∵不等式对正整数恒成立， ∴，而， ∴是一个减数列，， 故，解得， 所以实数t的取值范围为. 【小问3详解】 ， ∴ ， ∴. 19. 数列、满足：是等比数列，，，且． （1）求数列、的通项公式. （2）求集合中所有元素的和． （3）对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试判断数列、是否是“和稳定数列”，并说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）数列是“和稳定数列”，理由如下： 当时，是的正整数倍， 故一定不是数列中的项； 当时，，不是数列中的项； 当时，，是数列中的项； 综上，数列是“和稳定数列”，； 数列不是“和稳定数列”，理由如下： 不妨设：，则， 且， 故不是数列中的项. 数列不是“和稳定数列”. 【解析】 【分析】（1）根据已知及等比数列的定义求出的通项公式，由已知和求通项可得的通项公式； （2）根据等差数列及等比数列的求和公式可得结果； （3）根据“和稳定数列”的定义可判定. 【小问1详解】 根据题意可知，所有可得， 又因是等比数列，所以设的公比为，则， 所以， 因①， 当时，②， ①式减去②式可得， 将，可得， 将之化简可得， 所以数列是为首项，公差为的等差数列， 故. 【小问2详解】 由题意知集合， 则化简转化为， 设前项和为， 数列前项和为， 且解之可得， 所以集合所有元素之和为 . 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：解决新定义的综合性数列题目，常用思想及方法有： （1）数列的公式法；（2）数列定义法；（3）阅读理解能力应用；（4）分类与整合思想. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $