14.2三角形全等的判定 教案 2024-2025学年沪科版数学八年级上册

课题 14.2三角形全等的判定 课时 第1课时 上课时间 教学目标 理解判定两个三角形全等的方法之一——“边角边”,深化证明思维. 教学 重难点 重点:运用“边角边”解决实际问题. 难点:如何寻找适合“边角边”来证明全等的两个三角形. 教学活动设计 二次设计 课堂导入 上节课我们学习了全等三角形的有关性质是什么? 全等三角形的对应边相等,对应角相等. 探索新知 合作探究 自学指导 自学课本第97页~100页内容 合作探究 新课讲解 三角形有六个基本元素(三条边和三个角),只给定其中的一个或两个元素,能够确定一个三角形的形状和大小吗? 1.只给定一个元素 若只给一条边时,另一顶点无法确定,能画很多不同的三角形; 若只给一个角时,该角的对边无法确定,可以画很多不同的三角形. 2.若给定两个元素 结论:给定两个条件仍不能确定一个三角形的形状和大小. 3.若给三个条件 (1)三个角;(2)两边一角;(3)两角一边;(4)三条边. 4.研究两边一角的情况 利用尺规作图画出已知角和已知边 已知△ABC(如图(1)) 求作:△A1B1C1,A1B1=AB,∠B1=∠B,B1C1=BC. 作法: ①作∠MB1N=∠B; ②在B1M上截取B1A1=BA,在B1N上截取B1C1=BC; ③连接A1C1. 续表 探索新知 合作探究 则△A1B1C1(图(2))就是所求作的三角形. 同学们将这两个三角形重叠,看能否完全重合? 判定两个三角形全等的第1种方法是如下的基本事实: 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等,记为“边角边”或“SAS” (S表示边,A表示角) 注意:边角边中的角是两边的夹角. 例题分析 1.【例】 已知:如图所示,在AB,AC上各取一点E,D,使AE=AD.连接BD,CE相交于点O,∠1=∠2,连接AO,求证:∠B=∠C. 分析:要证明两个角相等,学过的方法有:(1)两直线平行,同位角相等或内错角相等;(2)利用三角形全等的性质. 2.阅读课本P99例1、例2 指导学生分析例题,并从中归纳出证明的思路、方法. 教师指导 1.易错点: 边角边中的角是两边的夹角. 2.归纳小结: 判定两个三角形全等的第1种方法是如下的基本事实: 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.记为“边角边”或“SAS” (S表示边,A表示角) 3.方法规律: (1)边角边:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. (2)在应用时要注意:对应的两边及这两边所夹的角相等. 当堂训练 已知:如图,点C为AB中点,CD=BE,CD∥BE. 求证:△ACD≌△CBE. 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　 板书设计 第1课时　用“SAS”判定两三角形全等 边角边: 例 教学反思 课题 14.2三角形全等的判定 课时 第2课时 上课时间 教学目标 理解“角边角”判定两个三角形全等的方法. 教学 重难点 重点:运用“角边角”解决实际问题. 难点:如何寻找适合“角边角”来证明全等的两个三角形. 教学活动设计 二次设计 课堂导入 “边角边” 由两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等吗?为什么? 如图:AB=AB,∠B=∠B,AB1=AC.但△ABB1与△ABC不全等. 探索新知 合作探究 自学指导 自学课本第101页~102页内容 合作探究 新课讲解 已知△ABC(如图(1)) 求作:△A1B1C1,使∠B1=∠B,B1C1=BC,∠C1=∠C. 作法:①作线段B1C1=BC; ②在B1C1的同旁,分别以B1,C1为顶点作∠MB1C1=∠ABC,∠NC1B1=∠C,B1M与C1N交于点A1. 则△A1B1C1(如图(2))就是所求作的三角形. (学生用剪刀剪下拼凑看能否重合) 判定两个三角形全等的第2种方法是如下的基本事实: 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,记为“角边角”或“ASA”) 续表 探索新知 合作探究 例题分析 1.【例】 已知:如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4, 求证:△ADC≌△BCD. 证明:因为∠1=∠2,∠3=∠4(已知), 所以∠1+∠3=∠2+∠4, 即∠ADC=∠BCD. 在△ADC和△BCD中, 所以△ADC≌△BCD(ASA). 归纳:在证明三角形全等时要善于把间接的条件转化为可以直接判定三角形全等的条件. 2.阅读课本P101~P102例3、例4. 在阅读中总结出证明方法,形成证明模式. 教师指导 1.易错点: 角边角中的边是两角的夹边. 2.归纳小结: 角边角:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 3.方法规律: 在证明三角形全等时要善于把间接的条件转化为可以直接判定三角形全等的 条件. 当堂训练 P102练习　1,2,3 板书设计 第2课时　用“ASA”判定两三角形全等 角边角 例 教学反思 课题 14.2三角形全等的判定 课时 第3课时 上课时间 教学目标 理解应用“边边边”来判定两个三角形全等的方法,拓展推理论证能力. 教学 重难点 重点:掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法. 难点:如何根据实际问题学会选择应用已学过的判定三角形全等的方法来解决. 教学活动设计 二次设计 课堂导入 一块三角形的玻璃损坏后,只剩下如图所示的残片,你对图中的残片作哪些测量,就可以割取符合规格的三角形玻璃,你能否利用你学过的知识加以说明? 探索新知 合作探究 自学指导 自学课本第103页~104页内容 合作探究 问题:方法1利用了什么定理?(“角边角”) 方法2利用了什么道理?(三边对应相等) 新课讲解 1.已知△ABC(如图(1)). 求作:△A1B1C1,使A1B1=AB,B1C1=BC,C1A1=CA. 作法: ①作线段B1C1=BC; ②分别以点B1,C1为圆心,BA,CA的长为半径画弧,两弧相交于点A1; ③连接A1B1,A1C1. 则△A1B1C1(如图(2))就是所求作的三角形. (将所求作的△A1B1C1与△ABC重叠,看能否重合) 判定两个三角形全等的第3种方法是如下的基本事实: 三边分别相等的两个三角形全等,简记为“边边边”或“SSS” 2.三角形的稳定性 只要三角形的三边长度确定了,这个三角形的形状和大小就完全确定,这个性质叫做三角形的稳定性. 续表 探索新知 合作探究 例题分析 【例1】 已知如图所示,AD=BC,AB=DC,DE=BF,求证:BE=DF. 分析:要证明BE=DF,由图可看出,只要证明△ABE≌△CDF.由已知AB=DC,AE=CF两组条件,只要证出∠A=∠C.但图形上现成的另一对三角形难以找出,因此添加辅助线DB.这样可由△ABD≌△CDB来推得∠A=∠C. 【例2】 已知如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF. 求证:AB∥DE,AC∥DF. 教师指导 1.易错点: 边边边的综合运用. 2.归纳小结: 三边分别相等的两个三角形全等,简记为“边边边”或“SSS”. 三角形的稳定性:一个三角形的三边长度确定了,这个三角形的形状和大小就完全确定. 3.方法规律: 在证明三角形全等时要善于把间接的条件转化为可以直接判定三角形全等的 条件. 当堂训练 已知如图所示,AB=DC.AD=BC,求证:∠A=∠C. 板书设计 第3课时　用“SSS”判定两三角形全等 边边边 例 教学反思 课题 14.2三角形全等的判定 课时 第4课时 上课时间 教学目标 理解用“角角边”来判定两个三角形全等的方法,发展推理意识. 教学 重难点 重点:应用“角角边”判定两个三角形全等. 难点:怎样运用已学过的判定三角形全等的方法解决实际问题. 教学活动设计 二次设计 课堂导入 已知如图所示,D在AB上,E在AC上,AB=AC,∠B=∠C, 求证:AD=AE. 探索新知 合作探究 自学指导 自学课本第105页~106页内容 合作探究 变式问题:如果将上题中的已知条件∠B=∠C改写成∠AEB=∠ADC,你能证出AD=AE吗?试一试! 教师归纳: 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.即“AAS” 新课讲解 1.定理: 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.记为“角角 边”或“AAS”. 2.填一填 两个三角形中对应相等的边或角 是否全等(全等画“√”不全等画“×”) 判定方法 三条边 √ SSS 两边 一角 两边及其夹角 √ SAS 两边与一边对角 × 两角一边 两角及其夹边 √ ASA 两角与一角对边 √ AAS 三个角 × 例题分析 【例】 已知如图,点B,F,C,D在同一直线上,AB=ED,AB∥ED,AC∥EF, 求证:△ABC≌△EDF. 续表 探索新知 合作探究 证明:因为AB∥ED,AC∥EF(已知), 所以∠B=∠D,∠ACB=∠EFD(两直线平行,内错角相等) 在△ABC与△EDF中, 因为 所以△ABC≌△EDF(AAS) 教师指导 1.易错点: AAS定理的综合运用. 2.归纳小结: 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.记为“角角边”或“AAS”. 3.方法规律: 在证明三角形全等时要善于把间接的条件转化为可以直接判定三角形全等的 条件. 当堂训练 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D.请说明△ADC≌△CEB的理由. 板书设计 第4课时　用“AAS”判定两三角形全等 角角边 例 教学反思 课题 14.2三角形全等的判定 课时 第5课时 上课时间 教学目标 1.学会判定直角三角形全等的特殊方法,发展合情推理能力； 2.熟练运用判定两个三角形全等的方法. 教学 重难点 重点:掌握判定直角三角形全等的特殊方法. 难点:应用“HL”解决直角三角形全等的问题;三角形全等判定方法的运用. 教学活动设计 二次设计 课堂导入 已知如图所示,BC=EF,AB⊥BE,垂足为B,DE⊥BE,垂足为E,AB=DE. 求证:AC=DF. 探索新知 合作探究 自学指导 自学课本第107页~108页内容 合作探究 问题迁移 如果将上题AB=DE改成AC=DF,其他条件不变,你能证明出AB=DE吗? 教师引导学生动手 已知Rt△ABC,其中∠C为直角,求作:Rt△A1B1C1,使∠C1为直角,A1C1=AC,A1B1=AB. 作法: ①作∠MC1N=∠C=90°; ②在C1M上截取C1A1=CA; ③以A1为圆心,AB长为半径画弧,交C1N于点B1; ④连接A1B1. 则Rt△A1B1C1就是所求作的直角三角形 直角三角形全等判定定理: 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(记为“斜边,直角边”或“HL”). 例题分析 【例1】 已知:如图AB=CD,BC=DA,E,F是AC上的两点,且AE=CF. 求证:BF=DE. 续表 探索新知 合作探究 分析:本题需要两次证明三角形全等,首先证明△ABC≌△CDA(SSS)得出∠1=∠2,再由“边角边”证明△DAE≌△BCF,最后证出BF=DE. 【例2】 已知:如图∠BAC=∠CDB=90°,AC=DB,求证:AB=DC. 【例3】 证明:全等三角形的对应边上的高相等. 教师指导 1.易错点: HL定理的综合运用. 2.归纳小结: 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(记为“斜边,直角边”或“HL”) 3.方法规律: (1)直角三角形是特殊的三角形,一般三角形所具有的性质,直角三角形都具备,因此判定两个直角三角形全等时,完全可以用前面学过的判定方法:“SAS,ASA,AAS,SSS”,此外,还有“斜边、直角边”即“HL”;有斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. (2)选择合适的判定方法证明相应问题;以及将文字题转化为符号语言,并与图形结合,写出已知、求证. 当堂训练 课本第109页练习1,2. 课本第110~111页练习1,3. 板书设计 第2课时　用“HL”判定两直角三角形全等 直角三角形全等判定定理 例 教学反思 课题 14.2三角形全等的判定 课时 第6课时 上课时间 教学目标 全面复习全等三角形及有关性质,掌握三角形全等的判定的四个方法. 教学 重难点 重点:综合运用各种判定方法来证明线段和角相等. 难点:常规的作辅助线的方法. 教学活动设计 二次设计 课堂导入 1.回顾判定两个三角形全等的方法(SAS,ASA,AAS,SSS,HL). 2.问题:如果两个三角形的三个角分别相等,那么这两个三角形会全等吗? 探索新知 合作探究 自学指导 复习课本第97页~110页内容 合作探究 自主学习,课堂导学 预习教材: (1)全等三角形的判定用了定义,实质上只需要三个条件,注意至少有一个条件是边,就能判定两个三角形全等;判定两个三角形全等在几何证明中常常不是结论,而通常是通过证明两个三角形全等,证明两条线段相等或两个角相等,这恰是判定两个三角形全等的目的; (2)三个对应角相等的两个三角形一定全等吗? 证明三角形全等的方法 1.平移法构造全等三角形 【例1】 如图所示,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,若AB>AD,DC=BC,求证:∠B+∠D=180°. 2.翻折法构造全等三角形 【例2】 如图所示,已知△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,BD平分∠ABC,求证:AB=BC+CD. 续表 探索新知 合作探究 3.旋转法构造全等三角形 【例3】 如图所示,已知点E,F分别在正方形ABCD的边BC与CD上,并且AF平分∠EAD,求证:BE+DF=AE. 4.延长法构造全等三角形 【例4】 如图所示,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAD=∠DAC,求证:AB=AC+CD. 教师指导 1.易错点:判定定理的选择. 2.归纳小结: 全等的判定方法:“SAS”“ASA”“SSS”“AAS”“HL”. 3.方法规律: 全等三角形的判定用了定义,实质上只需要三个条件,注意至少有一个条件是边,就能判定两个三角形全等;判定两个三角形全等在几何证明中常常不是结论,而通常是通过证明两个三角形全等,证明两条线段相等或两个角相等,这恰是判定两个三角形全等的目的所在. 当堂训练 1. 如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F依次是各边的中点,AD,BE,CF相交于G,那么图中的全等三角形共有(　　) (A)5对 (B)6对 (C)7对 (D)8对 2. 已知:如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BE⊥AC于E,AD与BE相交于H,且BH=AC,求∠HCD的度数. 板书设计 第6课时　三角形全等判定的综合应用 例1　例2 例3　例4 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$