13.2命题与证明 教案 2024-2025学年沪科版数学八年级上册

课题 13.2命题与证明 课时 第1课时 上课时间 教学目标 了解命题的概念,会判定一个命题的真假. 教学 重难点 重点:认识命题的内涵和结构. 难点:区别命题的题设和结论. 教学活动设计 二次设计 课堂导入 在日常生活中,大家经常要遇到下面的表达语言. 例如:(1)福州市是福建省的省会. (2)3+7<11. (3)邻补角互补. (4)有共同顶点的两个角是对顶角. (5)对顶角相等. (6)上海在湖北. 请同学们观察,判断上述语言是否正确? 探索新知 合作探究 自学指导 自学课本第75页~77页内容 合作探究 1.根据学生的回答教师归纳: 在逻辑学中,凡是可以判断出真(正确)、假(错误)的语句叫做命题,正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题. 2.教师提问:下列句子都是命题吗?哪些是真命题? (1)今天下雨了吗? (2)画一条直线. (3)我回家啦! (4)两直线平行,同位角相等. (5)以A为圆心,2 cm为半径画圆. 3.每个命题都有条件(或题设)、结论(或题断)两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“如果……那么……”的形式.有时为了叙述简便,也可以省略关联词“如果”“那么”.如命题“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”可以写成“对顶角相等”. 以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p,那么q”,或者说成“若p,则q”,其中p是这个命题的条件(题设),q是这个命题的结论(题断). 4.教师引入: 把一个命题的条件与结论互换,便可以得到一个新的命题,我们称这样的两个命题为互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题. 续表 探索新知 合作探究 教师提问:如果原命题是真命题,那么它的逆命题是否也一定是真命题呢?说明一个命题是假命题只要举出一个反例(符合命题条件,但不满足命题结论的例子,叫做反例)即可. 【例1】 指出下列命题的条件与结论: (1)两条直线都平行于同一条直线,这两条直线平行; (2)如果∠A=∠B,那么∠A的补角与∠B的补角相等. 解:(1)“两条直线都平行于同一条直线”是条件,“两条直线平行”是结论. (2)“∠A=∠B”是条件,“∠A的补角与∠B的补角相等”是结论. 【例2】 写出下列命题的逆命题,并判断所得逆命题的真假,如果是假命题,请举一个反例: (1)内错角相等,两直线平行; (2)如果a=0,那么ab=0. 解:(1)逆命题是“两直线平行,内错角相等”,是真命题. (2)逆命题是“如果ab=0,那么a=0”,是假命题. 反例,当a=1,b=0时,ab=0. 教师指导 1.易错点: 写出命题的逆命题. 2.归纳小结: 在逻辑学中,凡是可以判断出真(正确)、假(错误)的语句叫做命题,正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题. 把一个命题的题设与结论互换,便可以得到一个新的命题,我们称这样的两个命题为互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题. 当堂训练 1.已知命题A:任何偶数都是8的整数倍.在下列选项中,可以作为“命题A是假命题”的反例的是(　　) (A)2k (B)15 (C)24 (D)42 2.命题“对顶角相等”的题设是　　　　　　　,结论是　　　　.  板书设计 第1课时　命题 1.命题定义　 例1 2.命题结构　 例2 教学反思 课题 13.2命题与证明 课时 第2课时 上课时间 教学目标 了解公理、定理、证明的内涵,会进行简单的推理. 教学 重难点 重点:掌握推理方法. 难点:发展演绎推理意识. 教学活动设计 二次设计 课堂导入 怎么区分公理、定理?什么是证明? 探索新知 合作探究 自学指导 自学课本第78页~79页内容 合作探究 新课讲解 1.定义引入: 在数学研究中,首先要确定数学的研究对象,例如,我们研究方程时,要明确什么是方程,在数学上称之为“定义”. 2.公理引入:在日常生活、实践中大家常常把公认的并且长期检验所取得的真命题,作为论证其他命题的根据,这样的最原始的真命题我们称之为公理. 3.定理引入:有些命题,如“对顶角相等”“三角形的内角和等于180°”“等角的补角相等”等,它们的正确性已经过推理得到证实,并被选定作为判定其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理. 4.证明引入:前面我们议到的话题:并不是所有命题都正确,只有经过演绎推理来论证,我们把这种推理的过程叫做证明. 范例学习,应用所学 【例1】已知:如图,直线c与直线a,b相交,且∠1=∠2. 求证:a∥b. 证明:因为∠1=∠2,(已知) 又因为∠1=∠3,(对顶角相等) 所以∠2=∠3.(等式性质) 所以a∥b.(同位角相等,两直线平行) 续表 探索新知 合作探究 【例2】 已知:如图,∠AOB+∠BOC=180°,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC. 求证:OE⊥OF. 证明:因为OE平分∠AOB,OF平分∠BOC,(已知) 所以∠1=∠AOB,∠2=∠BOC.(角平分线的定义) 又因为∠AOB+∠BOC=180°,(已知) 所以∠1+∠2=(∠AOB+∠BOC)=90°.(等式性质) 所以OE⊥OF.(垂直的定义) 教师指导 1.易错点: 证明问题的推理过程. 2.归纳小结: 证明的常规思路 证明是由条件(已知)出发,经过一步一步的推理,最后推出结论(求证)正确的过程. 证明中的每一步推理都要有根据,不能想当然.这些根据,可以是已知条件,也可以是定义、公理、已经学过的定理. 当堂训练 1.课本78~79页　练习第1题 2.课本79~80页　练习第1题 板书设计 第2课时　定理和证明 1.定理　 例3 2.证明　 例4 教学反思 课题 13.2 命题与证明 课时 第3课时 上课时间 教学目标 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理; 2.利用三角形内角和定理推出关于直角三角形的两个推论. 教学 重难点 重点:三角形的内角和定理的证明及关于直角三角形的两个推论. 难点:三角形内角和定理的推理过程. 教学活动设计 二次设计 课堂导入 多媒体展示:(三兄弟之争)在一个直角三角形村庄里,住着三个内角,平时它们非常团结,有一天,老三不高兴了,对老大说:“凭什么你的度数最大,我也要和你一样大!”老大说:“这是不可能的,否则我们这个家就要被拆散,围不起来了!”“为什么呢?”老二、老三纳闷起来…… 同学们,你们知道其中的道理吗? 探索新知 合作探究 自学指导 自学课本第80~81页内容 合作探究 新课讲解 1. 证明三角形的内角和定理 分析命题:三角形的内角和等于180°. 已知:△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=180°. 分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥BA, 这样就相当于把∠A移到了∠1的位置,把∠B移到了∠2的位置. 请同学们讨论证明三角形内角和是180°的方法,并写出证明过程. 教师提醒:在证明过程中,为了证明的需要,在原来图形上添画的线叫做辅助线. 2.想一想 在△ABC 中,若∠C =90°,你能求出∠A,∠B 的度数吗?为什么?你能求出∠A + ∠B 的度数吗?利用上面的结果,你能得出什么结论? 推论1:直角三角形的两锐角互余. 推论2:有两个角互余的三角形是直角三角形. 续表 探索新知 合作探究 教师指导 规律方法: 1.为了证明三角形三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法. 2.推论:(1)直角三角形的两锐角互余. (2)有两角互余的三角形是直角三角形. 当堂训练 1.下列说法正确的是(　　) (A)三角形的内角中最多有一个锐角 (B)三角形的内角中最多有两个锐角 (C)三角形的内角中最多有一个直角 (D)三角形的内角都大于60° 2.在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则此三角形是(　　) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形 3.在△ABC中,已知∠B-∠A=5°,∠C-∠B=20°,求三角形各内角的度数. 板书设计 第3课时　三角形的内角和 三角形的内角和定理:三角形的内角和等于180° 三角形内角和定理的证明 直角三角形的性质:直角三角形两锐角互余,有两个角互余的三角形是直角三角形 教学反思 课题 13.2　命题与证明 课时 第4课时 上课时间 教学目标 学会应用三角形外角及推论解决实际问题. 教学 重难点 重点:领悟有关三角形外角的推论,掌握几何推理方式. 难点:对逻辑推理思想的理解和运用. 教学活动设计 二次设计 课堂导入 如图所示,已知在△ABC中,BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB,若∠A=70°,求∠D的 度数. 探索新知 合作探究 自学指导 自学课本第82页~83页内容 合作探究 新课讲解 外角引入: 观察如图所示的三角形. 定义:由三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角. 教师提问: 上述图中,∠ACD是△ABC的外角,同样∠1和∠2也都是△ABC的外角,那么∠ACD与∠BAC和∠ABC之间有什么关系呢?∠ACD与∠BAC或∠ABC又有什么关系呢? 推论3:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论4:三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 范例学习,应用所学 【例1】 已知:如图,∠1,∠2,∠3是△ABC的三个外角. 求证:∠1+∠2+∠3=360°. 【例2】 如图所示,已知△ABC的外角∠ABD的角平分线与∠C的角平分线CF的延长线交于E,若∠A=70°,求∠E的度数. 续表 探索新知 合作探究 教师指导 1.易错点: 证明问题的推理过程. 2.归纳小结: 定义:由三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角. 推论3:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论4:三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 3.方法规律: (1)三角形的一个外角,就是三角形一个内角的邻补角. (2)根据外角定义可知,外角有三个特征: ①顶点在三角形的一个顶点上. ②一条边是三角形的一边. ③另一条边是三角形某边的延长线. 因此,可以根据这三点来判断三角形的外角. (3)推论3和推论4在理解和应用中,要明确“不相邻”三个字的意义,否则就会出现错误. 当堂训练 1.如图,平面上直线a,b分别过线段OK两端点(数据如图),则a,b相交所成的锐角是(　　) (A)20° (B)30° (C)70° (D)80° 2.如图,在△ABC中,∠A=50°,∠ABC=70°,BD平分∠ABC,则∠BDC的度数是(　　) (A)85° (B)80° (C)75° (D)70° 3.△ABC中,已知∠A=60°,∠B=80°,则∠C的外角的度数是　　　　.  4.如图所示,五角星ABCDE,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数. 板书设计 第4课时　三角形的外角 三角形外角的定义 推论3 推论4 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$