12.2　一次函数 教案 2024-2025学年沪科版数学八年级上册

课题 12.2　一次函数 课时 第1课时 上课时间 教学目标 了解正比例函数的定义、图象、性质及画法. 教学 重难点 重点:理解正比例函数意义及解析式特点,掌握正比例函数图象的性质特点. 难点:正比例函数图象性质特点的掌握. 教学活动设计 二次设计 课堂导入 一九九六年,鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环.4个月零1周后人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它. 1.这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米(精确到10千米)? 2.这只燕鸥的行程y(千米)与飞行时间x(天)之间有什么关系? 3.这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米? 探索新知 合作探究 自学指导 自学课本第35页~36页内容 合作探究 首先我们来思考这样一些问题,看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示?这些函数有什么共同特点? 1.圆的周长L随半径r的大小变化而变化. 2.铁的密度为7.8 g/cm3.铁块的质量m(g)随它的体积V(cm3)的大小变化而变化. 3.每个练习本的厚度为0.5 cm.一些练习本摞在一些的总厚度h(cm)随这些练习本的本数n的变化而变化. 4.冷冻一个0 ℃的物体,使它每分钟下降2 ℃.物体的温度T(℃)随冷冻时间t(分)的变化而变化. 引导发现:上述函数的表达式都可以写成y=kx+b的形式. 一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数(其中k叫做比例系数).当b=0时,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数.正比例函数是一次函数的特殊情形. 我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点,那么它的图象有什么特征呢? 由上节可知: 正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是经过原点的直线,通常我们把正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象叫做直线y=kx. 思考:经过原点与点(1,k)的直线是哪个函数的图象?画正比例函数的图象时,怎样画最简单?为什么? 画正比例函数图象的方法:经过原点与点(1,k). 续表 探索新知 合作探究 【例题】 在同一平面直角坐标系中,画下列函数的图象:y=x,y=x,y=-3x. 引导发现: 一般地,正比例函数y=kx(k为常数,且k≠0)有下列性质: 当k>0时,y随x的增大而增大(图象自左向右是上升的); 当k<0时,y随x的增大而减小(图象自左向右是下降的). 教师指导 1.易错点: 正比例函数图象的性质. 2.归纳小结: 一般地,形如y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数(其中k叫做比例系数)当b=0时,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数.正比例函数是一次函数的特殊情形. 正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是经过原点的直线,通常我们把正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象叫做直线y=kx. 画正比例函数图象的方法:经过原点与点(1,k). 3.方法规律: 正比例函数的图象与性质 正比函数图象是直线,经过(1,k)和原点. k正一三负二四,变化趋势记心间. k正左低右边高,同大同小像爬山. k负左高右边低,一大另小下山峦. 当堂训练 1.下列函数中,正比例函数是(　　) (A)y=-8x (B)y=-8x+1 (C)y=8x2+1 (D)y=- 2.已知正比例函数y=kx(k≠0),点(2,-3)在函数上,则y随x的增大而________ (增大或减小).  3.已知y=(2m-1)是正比例函数,且函数图象经过第一、三象限,求m的值. 板书设计 第1课时　正比例函数 一、提出问题、创设情境 二、导入新课 正比例函数图象的画法 例 教学反思 课题 12.2　一次函数 课时 第2课时 上课时间 教学目标 1.进一步掌握一次函数图象的画法; 2.掌握一次函数系数k,b与图象位置的关系; 3.掌握一次函数的性质并会运用. 教学 重难点 重点:一次函数的性质. 难点:一次函数的性质的掌握. 教学活动设计 二次设计 课堂导入 1.回顾作函数图象的一般步骤. 2.在同个平面直角坐标系中画出下列函数的图象. (1)y=-6x　(2)y=-6x+5　(3)y=3x　(4)y=3x+2 探索新知 合作探究 自学指导 自学课本第37页~39页内容 合作探究 问题1:以上四个一次函数图象是什么形状呢? 问题2:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象都是一条直线吗?举例验证. 问题3:几个点可以确定一条直线? 问题4:画一次函数图象时,只要取几个点? 画一次函数图象时,只要取直线与x轴和y轴的交点比较方便. 问题5:观察“做一做”画出的四个函数的图象,比较下列各对一次函数的图象有什么共同点,有什么不同点. (1)y=-6x与y=-6x+2; (2)y=x与y=x+2; (3)y=-6x+2与y=x+2. 能否从中发现一些规律? 问题6:对于直线y=kx+b(k,b是常数,k≠0).常数k和b的取值对于直线的位置各有什么影响? 让学生讨论,交流,然后填空: 两个一次函数,当k一样,b不一样时,有 共同点:  不同点:  当两个一次函数,b一样,k不一样时,有 共同点:  不同点:  在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象 (1)y=2x与y=2x+3; (2)y=2x+1与y=x+1. 续表 探索新知 合作探究 请同学们画出图象后,看看是否与上面的讨论结果一样. 探究(见课本第39页) 让学生独立思考:从中能发现什么规律? 例题(补充) 已知一次函数y=(2m-1)x+m+5,当m是什么数时,函数值y随x的增大而减小? 教师指导 1.易错点: 一次函数图象的性质运用. 2.归纳小结: 一般地,一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象是平行于y=kx的一条直线,我们以后把一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象叫做直线y=kx+b. 直线y=kx+b与y轴相交于(0,b),b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距,简称截距. 直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度得到(当b>0时,向上平移;当b<0时,向下平移). 一次函数y=kx+b有下列性质: (1)当k>0时,y随x的增大而增大,这时函数的图象从左到右上升; (2)当k<0时,y随x的增大而减小,这时函数的图象从左到右下降. 3.方法规律: 熟练掌握一次函数图象的画法及性质是解决问题的关键. 当堂训练 1.函数y=x-1的图象是(　　) 2.对于函数y=-2x+1,下列结论正确的是(　　) (A)y的值随x值的增大而增大 (B)它的图象经过第一、二、三象限 (C)它的图象必经过点(-1,2) (D)当x>1时,y<0 3.已知一次函数y=(1-m)x+m-2,当m　　　　时,y随x的增大而增大.  4.已知一次函数y=kx+3的图象与直线y=2x平行,那么此一次函数的解析式为　　　　　　　　.  板书设计 第2课时　一次函数的图象及性质 一、提出问题、创设情境 二、导入新课 一次函数图象的性质 教学反思 课题 12.2一次函数 课时 第3课时 上课时间 教学目标 1.理解待定系数法; 2.能用待定系数法求一次函数,用一次函数表达式解决有关现实问题. 教学 重难点 重点:待定系数法确定一次函数解析式. 难点:待定系数法确定一次函数解析式. 教学活动设计 二次设计 课堂导入 一次函数关系式y=kx+b(k≠0),如果知道了k与b的值,函数解析式就确定了,那么有怎样的条件才能求出k和b呢? 探索新知 合作探究 自学指导 自学课本第40页~41页内容 合作探究 【例题】 如果知道一个一次函数,当自变量x=4时,函数值y=5;当x=5时,y=2.写出函数表达式并画出它的图象. 例题(补充1) 已知弹簧的长度y(厘米)在一定的限度内是所挂物质量x(千克)的一次函数.现已测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米,挂4千克质量的重物时,弹簧的长度是7.2厘米,求这个一次函数的关系式. 考虑:这个问题中的不挂物体时弹簧的长度6厘米和挂4千克质量的重物时,弹簧的长度7.2厘米,与一次函数关系式中的两个x、y有什么关系? 上题可作如下分析: 已知y是x的函数关系式是一次函数,则关系式必是y=kx+b的形式,所以要求的就是系数k和b的值.而两个已知条件就是x和y的两组对应值,也就是当x=0时,y=6;当x=4时,y=7.2.可以分别将它们代入函数式,转化为k与b的二元一次方程组,进而求得k与b的值. 讨论: 1.本题中把两对函数值代入解析式后,求解k和b的过程,转化为关于k和b的二元一次方程组的问题. 2.这个问题是与实际问题有关的函数,自变量往往有一定的范围. 先设待求函数关系式(其中含有未知的常数系数),再根据条件列出方程或方程组,求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法. 例题(补充2) 已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1,1)和点(1,-5),求当x=5时,函数y的值. 续表 探索新知 合作探究 分析: 1.图象经过点(-1,1)和点(1,-5),即已知当x=-1时,y=1;x=1时,y=-5.代入函数解析式中,求出k与b. 2.虽然题意并没有要求写出函数的关系式,但因为要求x=5时,函数y的值,仍需从求函数解析式着手. 教师指导 1.易错点: 待定系数法的步骤. 2.归纳小结: 先设待求函数关系式(其中含有未知的常数系数),再根据条件列出方程或方程组,求出未知系数. 3.方法规律: 一次函数解析式的方法,步骤: (1)方法:待定系数法; (2)步骤:①设:设一次函数的解析式为y=kx+b; ②列:将已知条件中的x,y的对应值代入解析式得k,b的方程组; ③解:解方程组得k,b的值; ④写:写出直线的解析式. 当堂训练 1.已知函数y=kx+b(k≠0)的图象与y轴交点的纵坐标为-2,且当x=2时,y=1.那么此函数的解析式为　　　　.  2.设一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过A(1,3),B(0,-2)两点,试求k,b的值. 3.已知一次函数的图象如图,写出它的关系式. 4.如图,一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A(1,-2),求k,b. 板书设计 第3课时　待定系数法求一次函数的表达式 一、创设情境 二、导入新课 待定系数法　　　　　　　 例 例题(补充1) 例题(补充2) 教学反思 课题 12.2　一次函数 课时 第4课时 上课时间 教学目标 1.能根据实际问题中变量之间的关系,确定一次函数关系式; 2.能将简单的实际问题转化为数学问题,从而解决实际问题; 3.在应用一次函数解决问题的过程中,体会数学的抽象性和应用的广泛性. 教学 重难点 重点:根据实际问题中变量之间的关系,确定一次函数的关系式. 难点:一次函数应用. 教学活动设计 二次设计 课堂导入 我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式,如何利用一次函数知识解决相关实践问题呢?这将是我们这节课要解决的主要问题. 探索新知 合作探究 自学指导 自学课本第41页~44页内容 合作探究 【例题】 某单位有职工几十人,想在节假日期间组织到外地H旅游.当地有甲、乙两家旅行社,它们服务质量基本相同,到H地旅游的价格都是每人100元,经联系协商,甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠;乙旅行社表示单位先交1 000 元后,给予每位游客六折优惠,问该单位选择哪家旅行社,使其支付的旅游总费用较少? 分析:(1)到H地旅游,原价每人100元, 甲旅行社的优惠措施是每位游客打八折,现价每人　　　　元.  设人数为x人,选甲旅行社的费用为y1,列出关系式:　.  乙旅行社的优惠措施是先交　　　　元,然后每位游客打　　　　折,打折后每 人　　　　元.  设人数为x人,选乙旅行社的费用为y2,列出关系式:　.  (2)在同一坐标系中画出得到的两个一次函数的图象. 方法一:从“形”上看 (3)观察图象回答下列问题: ①参加旅游的人数是多少人时,甲、乙两家旅游社的费用一样? ②参加旅游的人数是多少人时,选择甲旅行社比较合算? ③参加旅游的人数是多少人时,选择乙旅行社比较合算? 方法二:从“数”上看 续表 探索新知 合作探究 解:设参加旅游人数为x人,则甲旅行社收费y1元,乙旅行社收费y2元,则y1=80x y2=1 000+60x 当y1=y2时,有x=50, 当y1>y2时,有x>50, 当y1<y2时,有x<50, 所以当旅游的人数是50人时,两家旅行社收费一样, 当人数多于50人时,乙旅行社收费低, 当人数少于50人时,甲旅行社收费低. 教师指导 1.易错点: 建立一次函数模型. 2.归纳小结: 实际问题中构建“一次函数”模型的常见方法 (1)根据实际意义直接写出一次函数表达式,然后解决相应问题; (2)已经明确函数类型,利用待定系数法构建函数表达式; (3)根据各类信息猜测函数类型为一次函数,并验证猜想; (4)利用问题中各个量之间的关系,变形推导所求两个变量之间的函数关系式; (5)自觉运用函数思想,构建函数模型解决(最值、决策). 3.方法规律: 用函数的思想解决实际问题的关键在于用运动和变化的观点,去观察,分析具体问题中的数量关系通过函数的形式,把这种函数关系表示出来并加以研究,从而使问题获得解决. 当堂训练 小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃,快递时,他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外,樱桃不超过1 kg收费22元,超过1 kg,则超出部分按每千克10元加收费用.设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y(元),所寄樱桃为x(kg). (1)求y与x之间的函数关系式; (2)已知小李给外婆快寄了2.5 kg樱桃,请你求出这次快寄的费用是多少元? 板书设计 第4课时　一次函数的应用 一、创设情境　　　　　 例题 二、导入新课 教学反思 课题 12.2一次函数 课时 第5课时 上课时间 教学目标 熟练掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的联系. 教学 重难点 重点:探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系. 难点:利用一次函数图象解一次方程或一次不等式. 教学活动设计 二次设计 课堂导入 前面已经学过一元一次方程和一元一次不等式的解法,它们与一次函数之间有什么联系呢? 探索新知 合作探究 自学指导 自学课本第45页~46页内容 合作探究 问题:已知一次函数y=2x+6. (1)画出函数图象,并求它与x轴交点的坐标; (2)观察图象,判断x取什么值时,函数y的值等于零? (3)函数y=2x+6的图象与x轴交点横坐标与一次方程2x+6=0的解有何关系? 如图:一次函数y=2x+6的图象与x轴交点的横坐标x=-3就是方程2x+6=0的解. 引导发现: 一般地,一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标. [思考] 根据一次函数y=2x+6的图象,你能说出一元一次不等式2x+6>0,2x+6<0的解集吗? 由图象知,当x>-3时,y>0(2x+6>0);当x<-3时,y<0(2x+6<0). 引导发现: 一般地,一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0)的解集,就是使一次函数y=kx+b取正值(取负值)时x的取值范围. 【例题】 画出函数y=-3x+6的图象,结合图象: (1)求方程-3x+6=0的解; (2)求不等式-3x+6>0和-3x+6<0的解集. 教师指导 1.易错点: 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系. 续表 探索新知 合作探究 2.归纳小结: 一般地,一元一次方程kx+b=0的解就是一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标. 一般地,一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0)的解集,就是使一次函数y=kx+b取正值(或负值)时x的取值范围. 3.方法规律: 弄清一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,是解决一次函数与方程不等式问题的关键. 当堂训练 1.如图,一次函数y=kx+b的图象经过A,B两点,则不等式kx+b<0的解集是(　　) (A)x<0 (B)0<x<1 (C)x<1 (D)x>1 2.一次函数y=kx+b的图象如图所示,则方程kx+b=0的解为(　　) (A)x=2 (B)y=2 (C)x=-1 (D)y=-1 第1题图 第2题图 3.已知一次函数y=ax+b(a,b是常数),x与y的部分对应值如表: x -2 -1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 -2 -4 那么方程ax+b=0的解是　　　　;不等式ax+b<0的解集是　　　　.  4.函数y=ax+b的图象如图,则方程ax+b=0的解为　　　　;不等式0<ax+b≤2的解集为　　　　.  板书设计 第5课时　一次函数与一元一次方程、一元一次不等式 问题　　　　　 例题 引导发现 思考 引导发现 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $$