精品解析：广东省江门市棠下中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

2023-2024学年江门市棠下中学第一学期12月考试 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念直接求两个集合的交集. 【详解】因为集合，， 根据交集的概念：. 故选：B 2. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，直接写出命题的否定，进行选择. 【详解】因为命题：，是存在量词命题， 所以：，. 故选：D 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出不等式，再利用集合关系，即可判断. 【详解】因为， 所以或， 则或， 故“”是“的充分不必要条件， 故选： 4. 下列函数中，既是奇函数又是区间上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除AB，根据单调性排除C，即可得到正确答案. 【详解】对A：因为函数的定义域为， 所以函数是非奇非偶函数，可排除A； 对B：因为，，则，且， 所以函数是非奇非偶函数，可排除B； 对C：幂函数在上单调递减，所以可排除C； 对D：因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以为奇函数， 又在上单调递增，故D正确. 故选：D 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由对数函数、指数函数的单调性、运算性质即可得解. 【详解】由题意，， 所以的大小关系为. 故选：D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算时的函数值可排除三个选项． 【详解】时，函数为减函数，排除B，时，函数也是减函数，排除D，又时，，排除C，只有A可满足． 故选：A. 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项． 7. 函数（且）的图象定点，若对任意正数，都有，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由得过定点，则，再由“”的代换，利用基本不等式求最值. 【详解】由（且）， 令，则， 即的图象恒过定点，则， 由，所以，， 又， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D. 8. 是定义在R上的偶函数，对，都有，且当时，.若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意分析函数的对称性及周期性；再利用函数的对称性和周期性作出函数在上的图象；最后数形结合列出不等式组求解即可. 【详解】由，可得：. 又因为是定义在R上的偶函数， 则，且函数图象关于轴对称. 所以，即的周期为4. 作出函数在上的图象，根据对称性及周期为4，可得出在上的图象. 令 若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根， 则函数与函数在上至少有2个不同的交点，至多有3个不同的交点. 所以，即，解得. 故答案为：C 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质的综合应用，函数与方程的综合应用及数形结合思想.解题关键在于根据题意分析出分析函数的对称性及周期性，并作出和图象；将方程根的问题转化为函数图象交点问题，数形结合解答即可. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，求20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数在定义域上为减函数 C. 函数的值域为 D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】先求出，再根据幂函数图象性质解决即可. 【详解】设幂函数为 将代入解析式得，故，所以， 定义域为， 因为，故函数为奇函数，故A正确； 函数在上都单调递减，但在定义域上不是减函数，故B错误； 显然的值域为，故C错误； 当时，， 即满足，故D正确 故选：AD 10. 已知函数是R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 是减函数 C. 只有一个零点 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇函数的性质可判断A、D项；结合时的解析式以及二次函数的性质，即可判断B、C. 【详解】对于A项，是R上的奇函数，故得，，A对； 对于B项，由A知，当时，， 根据二次函数的性质可知在上为增函数， 利用奇函数的对称性可知，在上为增函数， 故是R上的增函数，B不符合题意； 对于C项，当时，由，得. 又是增函数，所以零点唯一，C对； 对于D项，根据奇函数的性质可知，D对. 故选：ACD. 11. 以下说法正确的是（ ） A. B. C. 已知是幂函数，则的值为4 D. 若定义在上的函数是奇函数，则也是奇函数 【答案】CD 【解析】 【分析】根据分数指数幂的运算法则，对数的运算法则，幂函数的定义以及奇函数的定义依次判断. 【详解】对于选项，，则错误； 对于选项，由可知， ，则错误； 对于选项，为幂函数， 则且，即，则正确； 对于选项，由已知得 ，令， ，即也是奇函数，则正确； 故选：. 12. 已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】画出函数草图，数形结合，分析各选项的准确性. 【详解】如图： 由图象可知，若方程有4个不同的解，须有，故A错误； 当时，方程有4个不同的解，且. 所以，且，故B正确； 又，且关于直线对称，所以，故C错误； 由，又.所以，故D正确. 故选：BD 【点睛】方法点睛：根据函数的解析式，作出函数草图，数形结合，可非常直观的得到方程的根的性质. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的定义域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的解析式有意义求函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则有：，所以且. 所以函数的定义域为：. 故答案为： 14. 函数的递增区间为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数的单调递增区间． 【详解】函数的定义域为(−∞,0)∪(1,+∞) 令,则， ∵为增函数 在(−∞,0)上为减函数，在(1,+∞)为增函数， ∴函数的单调递增区间为(1,+∞) 故答案为：. 【点睛】本题考查复合函数的单调性，对于对数函数型复合函数的单调性，首先要确定定义域，再根据“同增异减”判断单调区间即可，属于基础题. 15. 已知函数，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】因为， ，且，则. 16. 已知函数的图象关于轴对称，且对于，当，时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数的性质，把函数不等式转化为与的代数不等式，进一步转化成不等式恒成立的问题，结合基本（均值）不等式求参数的取值范围. 【详解】由题意可知：函数为偶函数，且在上单调递减，所以函数在上单调递增. 所以. 若，上式恒成立； 若，则恒成立. 又（当且仅当即时取“”）. 所以. 故答案为： 【点睛】结论点睛：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数，且满足不等式的解集为. （1）求，的值； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1） （2）最大值4，最小值 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系计算参数即可； （2）利用二次函数的性质计算即可. 【小问1详解】 由题意可知是方程的两个根， 代入得，解方程得； 【小问2详解】 由上知， 由二次函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最大值为， 而，所以其最小值为， 综上函数在上的最大值4，最小值. 18. 已知幂函数在上单调递增，函数. （1）求的值； （2）记，在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求实数k的取值范围. 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和性质列式求解； （2）求出的值域和的值域，根据题目条件得到，得到不等式，求出实数k的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得，解得. 【小问2详解】 由（1）得在上单调递增，且， 当时，的值域为，即. 又因为在为单调递减，且， 所以的值域. 因为是的必要条件，则， 可得，解得，所以的取值范围是. 19. 已知函数. （1）判定函数的奇偶性，并加以证明； （2）判定的单调性（不用证明），并求不等式的解集. 【答案】（1） 是奇函数，理由如下： 由题意，解得，即的定义域关于原点对称， 且，即， 所以是奇函数. （2）在定义域上单调递增， 【解析】 【分析】（1）先求出的定义域并判断定义域是否关于原点对称，然后判断之间的关系即可. （2）将解析式变形，结合复合函数单调性可知在定义域上单调递增，而由（1）可知的定义域为，且是奇函数， 故不等式等价于不等式组，解不等式组即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于，所以由复合函数单调性可知在定义域上单调递增， 由（1）可知的定义域为，且是奇函数， 所以， 因为在定义域上单调递增， 所以有，解不等式组得，即， 所以不等式的解集为. 20. 已知函数是奇函数. （1）求，的值； （2）证明：是区间上的减函数； （3）若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 因为，下面利用定义证明函数在上为减函数. 设 则. 因为，所以，，， 故，所以即. 所以函数在上为减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义可求的值，根据奇函数定义域的特点可求. （2）用函数单调性的定义结合指数函数的单调性证明. （3）转化为恒成立的问题求的取值范围. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，所以. 所以. 又奇函数的定义域为：，所以. 故，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 问题转化为：对任意恒成立. 所以. 设，则，.所以. 故. 所以的取值范围为：. 【点睛】关键点点睛：在求的值时，一定要注意函数具有奇偶性时，函数的定义域必定关于原点对称. 21. 为践行“绿水青山，就是金山银山”，我省决定净化练江上游水域的水质．省环保局于2018年年底在练江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2019年2月底测得蒲草覆盖面积为，2019年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． （1）分别求出两个函数模型的解析式； （2）若2018年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能超过？ （参考数据：，） 【答案】（1）， （2）2020年2月 【解析】 【分析】（1）将点，点分别代入两个函数模型的解析式，即可求解； （2）将分别代入两个函数模型，将所得的结果与20进行比较，求出合适的函数模型，令，结合对数公式即可求解. 【小问1详解】 若选择模型， 将分别代入得：， 解得，， 故函数模型为， 若选择模型， 将分别代入得：， 解得，， 故函数模型为． 【小问2详解】 把代入可得，， 把代入可得，， ， 选择函数模型更合适， 令，可得， 两边取对数可得，， ， 故蒲草至少到2020年2月底覆盖面积能超过 22. 已知函数对任意实数恒有，当时，，且. （1）判断的奇偶性； （2）判断函数单调性，求在区间上的最大值； （3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）奇函数 （2）为上的减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）令，求得，再令，从而得，从而证明求解. （2）设且，结合条件用单调性的定义证明函数的单调性，然后利用单调性求解区间上的最大值. （3）根据函数对所有的，恒成立，说明的最大值小于右边，因此先将右边看作的函数，解不等式组，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 为奇函数，证明如下： 令，则，所以， 令，则， 所以：对任意恒成立， 所以函数为奇函数. 【小问2详解】 在上是减函数，证明如下： 任取且，则 ，所以， 所以在上为减函数. 当时，单调递减， 所以当时，有最大值为， 因为，所以， 故在区间上的最大值为. 【小问3详解】 由（2）知在区间上单调递减， 所以， 因为对所有的，恒成立， 即对任意恒成立， 令，则，即， 解得：或. 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年江门市棠下中学第一学期12月考试 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 下列函数中，既是奇函数又是区间上的增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 函数（且）的图象定点，若对任意正数，都有，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 8. 是定义在R上的偶函数，对，都有，且当时，.若在区间内关于x的方程至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，求20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9. 已知幂函数的图象经过点，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数在定义域上为减函数 C. 函数的值域为 D. 当时， 10. 已知函数是R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 是减函数 C. 只有一个零点 D. 11. 以下说法正确的是（ ） A. B. C. 已知是幂函数，则的值为4 D. 若定义在上的函数是奇函数，则也是奇函数 12. 已知函数，若方程有4个不同的零点，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 函数的定义域为_____. 14. 函数的递增区间为__________． 15. 已知函数，，则________． 16. 已知函数的图象关于轴对称，且对于，当，时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是_______________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数，且满足不等式的解集为. （1）求，的值； （2）求函数在上的最值. 18. 已知幂函数在上单调递增，函数. （1）求的值； （2）记，在区间上的值域分别为集合A，B，若是的必要条件，求实数k的取值范围. 19. 已知函数. （1）判定函数的奇偶性，并加以证明； （2）判定的单调性（不用证明），并求不等式的解集. 20. 已知函数是奇函数. （1）求，的值； （2）证明：是区间上的减函数； （3）若对于任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围. 21. 为践行“绿水青山，就是金山银山”，我省决定净化练江上游水域的水质．省环保局于2018年年底在练江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2019年2月底测得蒲草覆盖面积为，2019年3月底测得蒲草覆盖面积为，蒲草覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择． （1）分别求出两个函数模型的解析式； （2）若2018年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能超过？ （参考数据：，） 22. 已知函数对任意实数恒有，当时，，且. （1）判断的奇偶性； （2）判断函数单调性，求在区间上的最大值； （3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $