精品解析：江苏省苏州市2024-2025学年上学期八年级数学期中模拟卷（八）

苏州市2024-2025学年第一学期八年级数学期中模拟卷（八） （范围：八上第2-4章+二次根式 时间：100分钟 满分：100分） 一．选择题（每小题2分，共16分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 在实数、0、、、π+1、、0.101001…中，无理数的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 元旦联欢会上，3名同学分别站在△三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△的（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 4. “一座姑苏城，半卷江南诗．”2023年苏州市文旅行业势头强劲，经综合测算，国庆长假期间，我市累计接待游客万人次，按可比口径较2019年增长近似数万精确到（ ） A. 十分位 B. 百位 C. 千位 D. 千分位 5. 等腰三角形的两边满足，那么这个三角形的周长是（ ） A. 9或12 B. 9 C. 12 D. 10 6. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A B. C. D. 7. 如图，长方形中，，，在数轴上，点表示数1，以点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点，则数轴上点表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（每小题2分，共16分） 9. 要根式有意义，则实数的取值范围为_____________． 10. 的平方根是_______． 11. 定义：不超过实数的最大整数成为的整数部分，记作．例如，．按此规定，________． 12. 如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有_________个． 13. 如图，在矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是______________． 14. 如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要______米． 15. 如图，四个全等直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，相交于点Ｏ，与相交于点P．若，则正方形的面积是_____． 16. 如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为_________． 三．解答题（共68分，17-22题每题6分，23-26题每题8分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 计算： （1） （2） 19. 已知一个正数的两个平方根分别为和． （1）求的值，并求这个正数； （2）求的立方根． 20. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． （1）直接写出　　，　　，　　； （2）判断的形状，并说明理由； （3）直接写出边上的高　　． 21. 如图，在△中，边、的垂直平分线分别交于、． （1）若，求△的周长； （2）若，求的度数． 22. 如图，长方形纸片的边长，．将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，折叠后在其一面着色． （1）求长； （2）求图中阴影部分的面积． 23. 在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：； （3）求证：． 24. 阅读下面解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：． 类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知，，为的三边长．化简：． 25. 如图，在中，，，，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，设运动时间为t秒（）． （1）把沿着过点P的直线折叠，使点A与点B重合，请求出此时t的值． （2）是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，直接写出结果；若不存在，请说明理由． （3）现把沿着直线BP翻折，当t为何值时点C恰好落在直线AB上． 26. 引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”． ① 　；② 　． （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°．请你说明CD是△ABC的等角分割线． （3）在△ABC中，若∠A=40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏州市2024-2025学年第一学期八年级数学期中模拟卷（八） （范围：八上第2-4章+二次根式 时间：100分钟 满分：100分） 一．选择题（每小题2分，共16分） 1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图案都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图案能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2. 在实数、0、、、π+1、、0.101001…中，无理数的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】将和进行化简计算，然后根据无理数的概念进行判断． 【详解】解：； ∴在实数、0、、、π+1、、0.101001…中，无理数有、π+1、0.101001…，共3个 故选：B 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根和立方根及无理数的概念，掌握相关概念正确计算判断是解题关键． 3. 元旦联欢会上，3名同学分别站在△三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在△的（ ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边中线的交点 D. 三边上高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边垂直平分线的交点上． 故选：A． 4. “一座姑苏城，半卷江南诗．”2023年苏州市文旅行业势头强劲，经综合测算，国庆长假期间，我市累计接待游客万人次，按可比口径较2019年增长近似数万精确到（ ） A. 十分位 B. 百位 C. 千位 D. 千分位 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是近似数的精确度，将题目中的数化成原始数，看后面的5 在哪一位即可求解． 【详解】解：近似数万， 近似数万精确到千位， 故选：C． 5. 等腰三角形的两边满足，那么这个三角形的周长是（ ） A. 9或12 B. 9 C. 12 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，通过非负性可以判断a，b的长度，已知等腰三角形的两边，通过两边相等及构造条件可以判断三边，求出周长即可． 【详解】解：∵，且， ∴ ∴． 又因为等腰三角形， 所以三边长为5，5，2，或2，2，5（不满足三角形构造条件，舍去） 所以周长为． 故选：C． 6. 一技术人员用刻度尺（单位，）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点为边的中点，点对应的刻度为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出的长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：∵点对应的刻度为， ∴， ∵，点为边的中点， ∴， 故选：B． 7. 如图，长方形中，，，在数轴上，点表示数1，以点为圆心，对角线长为半径画弧交数轴于点，则数轴上点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据勾股定理算出的长度，进而得到的长度，再根据点表示数1，可得E点表示的数． 【详解】∵，，长方形中，，， ∴ ∴根据作图，可知：, ∵点表示数1， ∴点表示的数是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，在数轴上表示数等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键． 8. 如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于D，交的延长线于E，于F，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质．连接常用的辅助线构造全等三角形是解题关键． 【详解】解：∵为的平分线， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，平分， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，即平分． ∵与不重合， ∴不平分，故③错误； 如图，连接， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． ∵，， ∴，故④正确． 综上可知正确的有3个． 故选C． 二．填空题（每小题2分，共16分） 9. 要根式有意义，则实数的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式，进行计算即可． 【详解】解：由题意得： ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键． 10. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 11. 定义：不超过实数的最大整数成为的整数部分，记作．例如，．按此规定，________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算、无理数的估算，估算是解题的关键． 【详解】解：∵不超过实数的最大整数成为的整数部分，记作， ， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，网格中每个小正方形的边长为1，A，B是格点（各小正方形的顶点是格点），则以A，B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有_________个． 【答案】4 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①当A为顶角顶点时；②当B为顶角顶点时；③当C为顶角顶点时；分别作出图形即可得出结果． 【详解】解：分三种情况：如图所示： ①当A为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点有C点1个； ②当B为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C1、C2点2个； ③当C为顶角顶点时，符合△ABC为等腰三角形的点C有C3点1个； 综上所述：以A，B，C为等腰三角形顶点的所有格点C的位置有1+2+1=4（个）； 故答案为：4． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定，分情况讨论是解决问题的关键． 13. 如图，在矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是______________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据两个正方形的面积求出两个正方形的边长分别是和2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】由相邻两个正方形的面积分别为2和4，得到边长为和2， 则阴影部分面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由正方形的面积表示出正方形的边长，再进一步表示矩形的长． 14. 如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆柱展开图，勾股定理等．根据题意可知圆柱展开图为长方形，彩带最短为长方形对角线长度，再利用勾股定理即可求出本题答案． 【详解】解：由题意得：彩带最短为长方形对角线长度， ∵圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米， ∴米， 故答案为：． 15. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接，相交于点Ｏ，与相交于点P．若，则正方形的面积是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】证明，得出，则，，由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， ， 又， ， ， ，， ， ． 为，的交点， ， ∵，， ∴， 四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ， ， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 16. 如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，在中，，，当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 【详解】解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，如图所示： 在中，， ， ， 当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， 是等边三角形， ， 在中， ，，， ， ， ， ， ， 的最小值为12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造数学模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三．解答题（共68分，17-22题每题6分，23-26题每题8分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义计算即可求出解； （2）方程变形后，利用立方根的定义计算即可求出解． 【详解】解：（1）方程变形得：， 开方得：2x-3=±3， 解得：，； （2）方程变形得：， 开方得：x+2=， 解得：． 【点睛】本题考查立方根以及平方根的应用，熟练掌握各自的定义是解题的关键． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简，然后去括号，再合并同类二次根式即可． （2）利用完全平方公式，然后去括号，再合并同类二次根式和同类项即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，混合运算，以及完全平方公式的应用，熟练运用二次根式的混合运算是解题的关键． 19. 已知一个正数的两个平方根分别为和． （1）求的值，并求这个正数； （2）求的立方根． 【答案】（1），； （2）； 【解析】 【分析】根据平方根的性质可知一个正数的平方根之和为0，由此可列出代数式，进而可求出的值，代入可知的值； 根据（1）可知的值，代入可求出的值，进而可求出的立方根． 【小问1详解】 解：由平方根的性质得：， 解得：， ∴这个正数为； 【小问2详解】 解：当时，， 的立方根， 的立方根为． 【点睛】本题考查求一个数的平方根和立方根，列代数式，能够熟练掌握求一个数的平方根与立方根是解决本题的关键． 20. 如图，正方形网格的每个小方格边长均为1，的顶点在格点上． （1）直接写出　　，　　，　　； （2）判断的形状，并说明理由； （3）直接写出边上的高　　． 【答案】（1），， （2）是直角三角形，理由见解析 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； （3）利用面积法，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：，，， ，，； 【小问2详解】 解：是直角三角形， 理由：，， ， 是直角三角形； 【小问3详解】 解：设边上的高为， 的面积， ， ， ． 21. 如图，在△中，边、垂直平分线分别交于、． （1）若，求△周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． （1）根据线段垂直平分线性质得出，求出的周长，即可得出答案； （2）由，即可得，又由，即可求得的度数． 【小问1详解】 解：在中，边的垂直平分线分别交于D、E， ∴， 又， ∴的周长； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，长方形纸片的边长，．将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，折叠后在其一面着色． （1）求的长； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）22 【解析】 【分析】（1）利用翻折变换的性质可得：，，设，在中利用勾股定理列出方程，解方程即可求解； （2）利用（1）中的结论用矩形的面积减去的面积即可得出结论． 【小问1详解】 解：由翻折变换的性质可得：，， 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴， ∴， 由翻折变换的性质可得：， ∴图中阴影部分的面积 ． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 23. 在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：； （3）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，再证，得到，然后由三角形内角和定理求解即可； （2）由等腰三角形的性质得出，再由推出，得出，由（1）得，，从而即可得出结论； （3）由全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，然后由勾股定理得，，即可得出结论． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 证明：，是的中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）得，， ； 【小问3详解】 证明：由（2）得：， ， ，，， ， 在中，， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 24. 阅读下面解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件，解得：，． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】 （2）实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知，，为的三边长．化简：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，实数与数轴，三角形三边的关键： （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，据此化简二次根式和绝对值即可； （3）根据三角形三边的关系得到，据此化简二次根式即可． 【详解】解：（1）∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）由题意得，， ∴， ∴ ； （3）∵，，为的三边长 ∴， ∴ ． 25. 如图，在中，，，，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，设运动时间为t秒（）． （1）把沿着过点P的直线折叠，使点A与点B重合，请求出此时t的值． （2）是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，直接写出结果；若不存在，请说明理由． （3）现把沿着直线BP翻折，当t为何值时点C恰好落在直线AB上． 【答案】（1）；（2）t的值为10s或或16s;（3）5s或20s 【解析】 【分析】（1）根据题意得，点P在AB的垂直平分线与AC的交点处点A与点B重合，设AP=x，则BP=x，CP=8-x，根据勾股定理列出方程并求解即可； （2）分AB=AP，AP=BP，AB=BP犬可能； （3）分点P在AC上和在AC的延长线上两种情况结合勾股定理求出萨赫毅然线段长即可解决问题． 【详解】解：（1）在中，，，， 由勾股定理得， ∴ （1）如图，当点P为边AB的垂直平分线与AC边的交点处点A与点B重合， 设，则， 在中， ∴ 解得， 即： ∴ （2）存在 由题意知： 当时， 当时，由（1）知， 当 ∴ ∴ 综上，t的值为10s或或16s； （3）①当点P在AC上时，如图， 由题意得， ∴ 设，则 在中， ∴ ∴，即 ∴ ②如图，当点P在AC的延长线上时， 由折叠得， 设，则， 在中， ∴ ∴，即 又 ∴ ∴ 综上，t的值为5s或20s 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，灵活进行分类讨论是解答本题的关键． 26. 引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”． 引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”． （1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”． ① 　；② 　． （2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°．请你说明CD是△ABC的等角分割线． （3）在△ABC中，若∠A=40°，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的∠B度数． 【答案】（1）与；与 （2）理由见解析 （3）60°；30°；； 【解析】 【分析】（1）由题意知，，可说明与是“等角三角形”，根据，可说明与是“等角三角形”，进而可得答案； （2）根据三角形内角和定理计算，由角平分线的定义可知，，可说明是有两个角相等的三角形，由，，，可说明与原来三角形是“等角三角形”，进而结论得证； （3）由题意可知，分4种情况求解：①当是有两个角相等的三角形，且时，如图1，由（2）可知，；②当是有两个角相等的三角形，且时， 如图2，由题意知，则，，进而可知的值；③当是有两个角相等的三角形，且时，与是“等角三角形”，如图3，，，根据求出的值即可；④当是有两个角相等的三角形，且时，与是“等角三角形”如图4，则，，根据求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∵ ∴ 同理 ∴与是“等角三角形” ∵ ∴与是“等角三角形” 故答案为：与；与． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ∵CD为角平分线 ∴ ∵ ∴是有两个角相等的三角形 ∵，， ∴与原来三角形是“等角三角形” ∴CD是△ABC的等角分割线． 【小问3详解】 解：①当是有两个角相等的三角形，且时，如图1， 由（2）可知，，满足CD为△ABC的等角分割线； ②当是有两个角相等的三角形，且时， 如图2， 由题意知， ∴， ∴， ∴时，满足CD为△ABC的等角分割线； ③当是有两个角相等的三角形，且时，与是“等角三角形”，如图3， ， ∵ ∴ ∴时，满足CD为△ABC的等角分割线； ④当是有两个角相等的三角形，且时，与是“等角三角形”如图4， ∴ ∵ ∴ ∴ 时，满足CD为△ABC的等角分割线； 综上所述，的度数为 或或 或 ． 【点睛】本题考查了角平分线，等边对等角，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．解题的关键在于理解题意熟练掌握角度的求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$