2025年贵州九年级中考数学一轮复习课件：第23节 矩形、菱形、正方形

第23节 矩形、菱形、正方形-第1课时 矩 形 1 ①理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它们之间的 关系（新增） ②理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系（新增） 2 01 核心考点 精讲练 3 考点 1 矩形、菱形、正方形的性质与判定（重点） 矩形 菱形 正方形 图形 ________________________________________ （， 为两邻边 长） ________________________________________ （为边长， 为该边 上的高，, 为对角线 的长） ___________________________________ （为边长， 为对角 线的长） 边 对边平行且相等 对边平行，四条边都 相等 对边平行，四条边都 相等 角 四个角都是直角 对角相等 四个角都是直角 4 矩形 菱形 正方形 对角 线 对角线互相平分且 相等 对角线互相垂直且平 分，每条对角线平分 一组对角 对角线互相垂直平分 且相等，每条对角线 平分一组对角 对称 性 既是轴对称图形，又是中心对称图形 面积 5 矩形 菱形 正方形 判定 ①有三个角是直角 的四边形是矩形② 有一个角是直角的 平行四边形是矩形 ③对角线相等的平 行四边形是矩形 ①四条边相等的四边 形是菱形 ②对角线互相垂直且 平分的四边形是菱形 ③有一组邻边相等的 平行四边形是菱形 ④对角线互相垂直的 平行四边形是菱形 ①有一组邻边相等的 矩形是正方形 ②对角线互相垂直的 矩形是正方形 ③有一个角是直角的 菱形是正方形 ④对角线相等的菱形 是正方形 6 考点 2 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 边、角的特点 对角线的特点 __________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________ 7 考点 3 中点四边形 概念 顺次连接四边形各边的中点所得的四边形叫做中点四边形 原图形 任意四 边形 矩形 菱形 正方 形 对角线相 等的四边 形 对角线互 相垂直的 四边形 对角线互相 垂直且相等 的四边形 中点四 边形的 形状 平行四 边形 菱形 矩形 正方 形 菱形 矩形 正方形 8 考点 4 梯形［2022年版课标新增］ 概念 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形 叫做梯形 ____________________________________________________ 分类 ①等腰梯形：在同一底边上的两个内角相等 的梯形 ②直角梯形：有一个角是直角的梯形 性质 梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的 一半 面积 （上底下底） 高 9 第1课时 矩 形 10 02 重难点突破 11 例1 已知在四边形中,对角线和交于点 . （1）若增加下列条件中的一个,可使四边形 为矩形,则这个条件可以 是________.（填序号） ;②四边形 是平行四边形, ;,;, , ;, . ①③④ 12 （2）若四边形 为矩形,回答下列问题. ①如图1,若,,则____ , 的长为___. 例1题图 ②如图2,点是 边上一动点. 若,,则 的最小值为___, 若,, ,则 的长为______. 或4 13 变式1图 变式1 （2022铜仁2题）如图，在矩形 中， ，，，则 的坐标为( ) A. B. C. D. √ 14 例2题图 例2 （2024贵州20题10分）如图，四边形 的对角 线与相交于点，， ，有下 列条件：， . （1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形 是矩形； 解：答案不唯一，若选择①，证明如下： ， ， 四边形 是平行四边形. ， 四边形 是矩形. 15 （2）在（1）的条件下，若，，求四边形 的面积. 解： 四边形是矩形， . ，， ， 四边形的面积 . 例2题图 16 03 贵州真题 随堂测 （建议用时：20分钟） 17 命题点 矩形的性质与判定（5年4考） 1.（2023贵州20题10分）如图，在中， ，延长至 ， 使得，过点，分别作，，与 相交于点 ．下面是两位同学的对话： 第1题图 18 （1）请你选择一位同学的说法，并进行证明； 第1题解图1 解：答案不唯一，若选择小星的说法，证明如下：如解 图1，连接，，， 四边形 是平行四边形，， .又 ，点在的延长线上，， 四边 形是平行四边形. 又 ， 四边形 是矩形， . 第1题图 19 （2）连接，若,，求 的长． 第1题解图2 解：如解图2，连接，， ， ，.在 中， ， ，解得 . 第1题图 20 2.（2021贵阳19题10分）如图，在矩形中，点在 上， ，且，垂足为 . 第2题图 21 （1）求证： ； 证明：在矩形 中， ， ， . ， . 在和 中， . 第2题图 22 （2）若，，求四边形 的面积. 解：， , , ， ， . 第2题图 23 3.（2022六盘水19题）如图，在平行四边形中，平分， 平分 . 第3题图 24 （1）求证： ； 证明： 四边形是平行四边形， ， ，， 平分，平分 ， ， ， .在和中， ， . 第3题图 25 （2）当满足什么条件时，四边形 是矩形？请写出证明过程. 解：当满足时，四边形 是矩形， 证明如下：由（1）可知， ，， 四边形是平行四边形. ，平分， ， ， 四边形 是矩形. 第3题图 26 $$第2课时 菱 形 1 01 重难点突破 2 例1 已知四边形为菱形,对角线,交于点 . （1）若 ,则____ ； （2）如图1，若,，，分别是， 的中点. 例1图1 ①菱形 的周长为____; ②, 间的距离为____； ③连接，则 的长为___; ④连接，则 的长为_____. 3 例1图2 （3）如图2，若菱形的边长为4, ， 点是边上一动点（不与点,重合）,过点 作 交于点,连接 . ①当是等腰三角形时, 的长为_ ______; 或 ②过点分别向直线,作垂线,垂足分别为点,，连接 ,当 取得最小值时, 的长为___. 变式1图 变式1 如图，在四边形中，， ， ，连接，的平分线交， 分别于点 ，.若，，则 的长为( ) A.4 B. C. D. √ 4 例2题图 例2 （2024贵阳市南明区模拟）如图，四边形 是平行四边形，点，分别是边， 的中点， . （1）求证：四边形 是菱形； 证明： 四边形 是平行四边形， ， . 点，分别是边， 的中点， ， 四边形 是平行四边形. ， 四边形 是菱形. 5 （2）若 ，平行线与间的距离是 ，求平行四边形 的面积. 解：如解图，过点作于点，连接 . 例2题解图 点是边的中点， . 由（1）知四边形 是菱形， , ， 例2题图 6 易得为直角三角形， . 四边形是平行四边形， ， ， ， . 由题意知， ， ， . , ， . ，， ， . 例2题解图 02 贵州真题 随堂测 （建议用时：15分钟） 8 命题点 菱形的性质与判定（5年4考） 1.（2020贵阳7题3分）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长 是( ) A.5 B.20 C.24 D.32 第2题图 2.（北师九上P9 T3改编）（2024安顺模拟）如图，在菱形 中，，，，垂足为， 与 交于点，则 的值为( ) A. B. C. D. √ √ 9 第3题图 3.（2021贵阳14题4分）如图，在平面直角坐标系中，菱 形对角线的交点坐标是，点 的坐标是 ，且，则点 的坐标是_______. 第4题图 4.（2023贵州模拟15题4分）如图，将四根长度相等的细 木条首尾相连，用钉子钉成四边形.若 ， ，则， 两点间的距离为___. 10 第5题图 5.（人教八下P67 T5改编）（2022黔东南州15题）如 图，矩形的对角线，相交于点 ， ，.若，则四边形 的周 长是____. 第6题图 6.（2022铜仁14题）如图，四边形 为菱形， ，延长到点，在内作射线 ， 使得 ，过点作，垂足为 .若 ，则 的长为______（结果保留根号）. 11 第7题图 7.（2024贵阳市乌当区模拟）如图，矩形 的对角线 ，交于点，延长到点，使 ，延长 到点，使，连接，， . （1）求证：四边形 是菱形； 证明：， ， 四边形 是平行四边形. 四边形 是矩形， ， ， 四边形 是菱形. 12 （2）若，，求四边形 的面积. 解： 四边形 是矩形， . ， ， 在中， ， ， . 第7题图 13 $$第3课时 正方形 1 01 重难点突破 2 例1（1）已知四边形 为平行四边形. ①若 ,则要使平行四边形 为正方形,需添加的条件为 _________________________; ②连接,,若,则要使平行四边形 为正方形,需添加的条 件为____________________________. （答案不唯一） （答案不唯一） 例1题图1 （2）如图1,若四边形为正方形,是 上一点,连接 ,交于点,且 . ①的长为______， _____; ②若是的中点,则的长为_ ___, _____; 3 （3）若四边形为正方形,连接,交于点 . ①如图2,点,分别是,上的点,连接,,, .若 四边形是菱形,且,则 ______, _________; ②如图3,是的中点,是上一点,为对角线 上一 点.若，,则 的最小值为_____. 例1题图2 例1题图3 4 变式1 （2022贵阳21题10分）如图，在正方形中，为 上一点， 连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点 在 上，且 . 变式1图 5 （1）求证： ； 证明： 四边形为正方形， ， ， . ， 四边形 是矩形， ， ， . 的垂直平分线交于点，交于点，垂足为 ， ， 变式1图 6 . 在和中， , . 变式1图 （2）若，，求 的长. 解： ， 是公共角， ， . ，， ， ,， . 由（1）知， ， . 变式1图 8 例2 （2024云南改编）如图，在四边形中，点，，， 分别是 各边的中点，且，，四边形 是矩形，则四边形 的形状是______. 菱形 例2题图 9 02 贵州真题 随堂测 （建议用时：20分钟） 10 命题点 正方形的性质与判定（5年5考） 第1题图 1.（2022贵阳8题3分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角 三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形.若图中的直角 三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长 是( ) A.4 B.8 C.12 D.16 √ 11 第2题图 2.（2024遵义市红花岗区模拟）如图， 是等腰直角三 角形， ，是的中点，连接并延长至 ， 使得，连接和.①以点为圆心， 的长为半 径画弧交于点;②分别以点，为圆心，大于 的长为 半径画弧，两弧交于点;③作射线交于点，连接 . 若，则 的长为( ) A.2 B. C. D. √ 12 第3题图 3.（2022黔东南州9题）如图，在边长为2的等边三角形 的外侧作正方形，过点作 ，垂足 为，则 的长为( ) A. B. C. D. √ 13 4.（2024贵州模拟18题10分）如图，在矩形中，点， 分别在 ，上，连接，， . 第4题图 14 （1）试判断四边形 的形状，并说明理由； 解：四边形 为正方形，理由如下： 四边形 是矩形， . ， ， 四边形 为矩形. ， 四边形 为正方形. （2）若，，求矩形 的周长. 解： 四边形为正方形， . ， ， 矩形的周长为 . 第4题图 15 5.（2022遵义19题）将正方形和菱形 按照如图所示摆放，顶 点与顶点重合，菱形的对角线经过点，点，分别在 ， 上. 第5题图 16 （1）求证： ； 证明： 四边形是正方形， 四边形是菱形，点与点 重合， ，， . 在和中，， . 第5题图 17 ， ， ， （负值已舍去）， 在中，由勾股定理得 . （2）若，求 的长. 第5题解图 解：如解图，过点作于点 ，则 . 四边形 是正方形， ， ， 四边形是菱形， ， ， . 18 $$