浙江省九年级上学期数学期中模拟试卷02（测试范围：浙教版，二次函数、简单事件的概率、圆的基本性质）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷02 试卷满分120分 测试范围：二次函数、简单事件的概率、圆的基本性质 一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求． 1．已知的半径为5，点在内，则的长可能是　　 A．7 B．6 C．5 D．4 2．把图形绕点顺时针旋转180度后，得到的图形是　　 A． B． C． D． 3．二次函数的最小值是　　 A．1 B． C． D．3 4．书架上有数学书2本，英语书3本，语文书5本，从中任意抽取一本是数学书的概率是　　 A． B． C． D． 5．如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是　　 A． B． C． D． 6．如图，是的直径，点在上，点，是的三等分点，，则的度数是　　 A． B． C． D． 7．下列命题中，是真命题的是　　 A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等圆周角所对的弧相等 C．任意三个点确定一个圆 D．圆内接平行四边形必为矩形 8．若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有　　 A． B． C． D． 9．二次函数的图象与轴的两个交点为，，，，且，点是图象上一点，那么下列判断正确的是　　 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 10．如图，是的外接圆，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分． 11．一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则红色幸运星颗数约为 　　颗． 12．如图，、是半径为2的上的两点，若，点是的中点，则四边形的周长为 　　． 13．已知二次函数自变量与函数值之间满足下列数量关系，则代数式的值等于　　． 0 14．如图，是的直径，若，则的度数为　　． 15．如图，有长为的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃的面积最大为 　　． 16．已知二次函数，点，，都在这个二次函数的图象上，且．则的取值范围是 　　， 三、解答题：本题有8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）将绕点逆时针旋转得到△，画出△． （2）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为　 　　． 18．如图，是半的直径，，是圆上两点，且，与交于点． （1）求证：为的中点． （2）若，，求的长度． 19．（1）甲乙两个不透明的袋子中都装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外无其它差别，分别从两个袋子中各随机摸出一个球．用列表法或画树状图法，求摸出的两个球颜色相同的概率． （2）现将（1）中的6个球拿出，再全部重新放入甲乙两个袋子中，请你设计一种装袋方法，使得从两个袋子中各随机摸出一个球后，“摸出的两个球颜色相同的概率”和“摸出的两个球颜色不相同的概率”相等．（直接写出一种装法即可） 20．二次函数的图象经过点、． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求函数图象与坐标轴交点的坐标． 21．如图，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连结，，．延长，相交于点． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 22．如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，且二次函数的对称轴直线，一次函数的图象与抛物线交于、两点． （1）请求出点的坐标； （2）请利用图象直接写出的大小． （3）请利用图象直接写出当两函数的函数值的积小于0时的自变量取值范围． 23．古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形． （1）某桥主桥拱是圆弧形（如图①中，已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是 　　； （2）某桥的主桥拱是抛物线形（如图②，若水面宽，拱顶（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式； （3）如图③，在（1）和（2）的条件下，某个时刻桥和桥的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度． 24．如图1，在中，、是直径，弦，垂足为． （1）求证：； （2）如图2，点在上，且． ①求证：； ②若，，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷02 试卷满分120分 测试范围：二次函数、简单事件的概率、圆的基本性质 一、选择题：本题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求． 1．已知的半径为5，点在内，则的长可能是　　 A．7 B．6 C．5 D．4 【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【解答】解：的半径为5，点在内， ． 故选：． 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内． 2．把图形绕点顺时针旋转180度后，得到的图形是　　 A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【解答】解：把图形绕点顺时针旋转180度后，得到的图形是选项的图形． 故选：． 【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3．二次函数的最小值是　　 A．1 B． C． D．3 【分析】根据二次函数的性质进行解答． 【解答】解：二次函数的开口方向向上，且顶点坐标是， 该函数有最小值，最小值为3． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值．求二次函数的最大（小值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 4．书架上有数学书2本，英语书3本，语文书5本，从中任意抽取一本是数学书的概率是　　 A． B． C． D． 【分析】直接根据概率公式计算． 【解答】解：从中任意抽取一本是数学书的概率． 故选：． 【点评】本题考查了概率公式：随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 5．如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是　　 A． B． C． D． 【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可． 【解答】解：抛物线的开口向下，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小，关于称轴是直线的对称点是， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键． 6．如图，是的直径，点在上，点，是的三等分点，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系得到，然后利用平角的定义计算的度数． 【解答】解：点、是的三等分点， 即， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 7．下列命题中，是真命题的是　　 A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等圆周角所对的弧相等 C．任意三个点确定一个圆 D．圆内接平行四边形必为矩形 【分析】利用垂径定理、圆周角定理、确定圆的条件及院内接四边形的知识分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，是假命题； 、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故错误，是假命题； 、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，是假命题； 、圆内接平行四边形必为矩形，故正确，是真命题， 故选：． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解垂径定理、圆周角定理、确定圆的条件及院内接四边形的知识，难度不大． 8．若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的对称性即可判断． 【解答】解：二次函数的图象的对称轴为轴， 点关于对称轴的对称点为， 点必在该图象上， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 9．二次函数的图象与轴的两个交点为，，，，且，点是图象上一点，那么下列判断正确的是　　 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：二次函数， 该函数图象开口向上， 二次函数的图象与轴的两个交点为，，，，且，点是图象上一点， 当时，或，故选项、错误； 当时，，故选项错误，选项正确； 故选：． 【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 10．如图，是的外接圆，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】连接并延长到点，根据圆周角定理，三角形外角性质，得到，代入计算即可． 【解答】解：如图，连接并延长到点， ， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查了圆周角定理，三角形外角性质，熟练掌握圆周角定理，三角形外角性质是解题的关键． 二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分． 11．一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，则红色幸运星颗数约为 　35　颗． 【分析】设袋中红色幸运星有颗，根据“摸取到红色幸运星的概率稳定在0.5左右”列出关于的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数． 【解答】解：设袋中红色幸运星有颗， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 故答案为：35． 【点评】本题主要考查了已知概率求相关数量，正确列出方程是解题的关键． 12．如图，、是半径为2的上的两点，若，点是的中点，则四边形的周长为 　8　． 【分析】通过等弧所对的圆心角相等和，得到和都是等边三角形，再求出四边形的周长． 【解答】解：连接． 是的中点， ，而， 和都是等边三角形， ， 所以四边形的周长等于8． 故答案为：8． 【点评】掌握等弧所对的圆心角相等；熟练掌握等边三角形的判定和性质定理． 13．已知二次函数自变量与函数值之间满足下列数量关系，则代数式的值等于　　． 0 【分析】由表格可得时，据此求解即可． 【解答】解：时， ． 故答案为：． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是二次函数性质的应用． 14．如图，是的直径，若，则的度数为　　． 【分析】连接．在中，根据，，利用三角形内角和定理即可解决问题． 【解答】解：连接． 是直径， ， ， ． 故答案为． 【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 15．如图，有长为的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃的面积最大为 　48　． 【分析】设篱笆的宽为，长为，列出面积与的函数关系式，求出最值． 【解答】解：设篱笆的宽为米，长为米， ， 墙长不限， 当时，，值最大，此时． 故答案为：48． 【点评】本题以二次函数为背景考查了二次函数的综合运用，考查学生根据图形信息列出二次函数，本题难度适中，经常在考卷中出现，解决问题的关键是弄清题意，根据公式列出面积与的关系． 16．已知二次函数，点，，都在这个二次函数的图象上，且．则的取值范围是 　或　， 【分析】根据，都在这个二次函数的图象上，可得二次函数的对称轴直线即为直线，由，得，因，知在对称轴左侧，在对称轴右侧，抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是． 【解答】解：，都在二次函数的图象上， 二次函数的对称轴直线即为直线， ， ， ， 解得， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 在中，令得， 抛物线与轴交点为， 关于对称轴直线的对称点为， ， ， 解得； ①当，都在对称轴左侧时， 随的增大而减小，且， ， 解得， 此时满足的条件为； ②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时， ， 到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得：， 此时满足的条件是， 综上所述，或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了二次函数图象上点坐标的特征，二次函数的性质，解题的关键是分类讨论思想的应用． 三、解答题：本题有8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）将绕点逆时针旋转得到△，画出△． （2）若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为　 　　． 【分析】（1）分别作出点、绕绕点逆时针旋转得到的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）根据旋转变换的性质可确定旋转中心． 【解答】解：（1）如图所示，△即为所求． （2）如图所示，点即为所求，其坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． 18．如图，是半的直径，，是圆上两点，且，与交于点． （1）求证：为的中点． （2）若，，求的长度． 【分析】（1）根据圆周角定理以及平行线的性质可得，再根据垂径定理可得结论； （2）利用三角形中位线定理以及勾股定理列方程求解即可． 【解答】（1）证明：是半的直径，是圆上一点， ，即， ， ， ， 即为的中点； （2）解：设半径为，则，， ，， 是的中位线， ， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得， ． 【点评】本题考查圆周角定理、勾股定理、三角形中位线定理，掌握圆周角定理、勾股定理、三角形中位线定理是正确解答的前提． 19．（1）甲乙两个不透明的袋子中都装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外无其它差别，分别从两个袋子中各随机摸出一个球．用列表法或画树状图法，求摸出的两个球颜色相同的概率． （2）现将（1）中的6个球拿出，再全部重新放入甲乙两个袋子中，请你设计一种装袋方法，使得从两个袋子中各随机摸出一个球后，“摸出的两个球颜色相同的概率”和“摸出的两个球颜色不相同的概率”相等．（直接写出一种装法即可） 【分析】（1）画树状图，共有9种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色相同的结果有5种，再由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有8种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色相同的结果有4种，摸出的两个球颜色不相同的结果有4种，再由概率公式求出摸出的两个球颜色相同的概率摸出的两个球颜色不相同的概率即可． 【解答】解：（1）画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色相同的结果有5种， 摸出的两个球颜色相同的概率为； （2）装袋方法：甲袋中装2个白球，乙袋中装2个白球和2个红球．理由如下： 画树状图如下： 共有8种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色相同的结果有4种，摸出的两个球颜色不相同的结果有4种， 摸出的两个球颜色相同的概率，摸出的两个球颜色不相同的概率， “摸出的两个球颜色相同的概率”和“摸出的两个球颜色不相同的概率”相等． 【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 20．二次函数的图象经过点、． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求函数图象与坐标轴交点的坐标． 【分析】（1）将点、代入解析式，待定系数法求解析式即可求解； （2）分别令，，解方程即可求解． 【解答】解：（1）将点、代入解析式， 得， 解得：， ； （2）由，，得， 二次函数的图象与轴交点为， 令，即， 即， 解得，， 二次函数的图象与轴交点为和． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数图象与坐标轴的交点，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 21．如图，是的直径，点为下方上一点，点为的中点，连结，，．延长，相交于点． （1）求证：． （2）若，，求的半径． 【分析】（1）延长交于，连接，根据直径所对的圆周角为直角得，则，再根据垂径定理得：，由此可得出结论； （2）设的半径为，则，，证明是△的中位线，则，，进而得，，在△和△中利用勾股定理构造方程，由此解出即可． 【解答】（1）证明：延长交于，连接，如图所示： 为的直径， ， 即， 点为的中点， 根据垂径定理得：， ， （2）解：设的半径为，则，， ，， 是△的中位线， ，， ，， 在△中，由勾股定理得：， 在△中，由勾股定理得：， ， ， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 的半径为5． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，理解圆周角定理，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 22．如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，且二次函数的对称轴直线，一次函数的图象与抛物线交于、两点． （1）请求出点的坐标； （2）请利用图象直接写出的大小． （3）请利用图象直接写出当两函数的函数值的积小于0时的自变量取值范围． 【分析】（1）利用二次函数的对称性即可求得点的坐标； （2）观察图象即可求得； （3）根据图象即可求得． 【解答】解：（1）二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点，且二次函数的对称轴直线， ； （2）由图象可知，当或时，． （3）由图象可知，两函数的函数值的积小于0时的自变量取值范围是． 【点评】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 23．古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形． （1）某桥主桥拱是圆弧形（如图①中，已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是 　10　； （2）某桥的主桥拱是抛物线形（如图②，若水面宽，拱顶（抛物线顶点）距离水面，求桥拱抛物线的解析式； （3）如图③，在（1）和（2）的条件下，某个时刻桥和桥的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度． 【分析】（1）设主桥拱的半径是，根据勾股定理可得，即可解得答案； （2）以为原点，平行水面的直线为轴，建立直角坐标系，设桥拱抛物线的解析式为，用待定系数法可得桥拱抛物线的解析式为； （3）桥的桥下水位上升了，用勾股定理可得桥的水面宽度为；桥的桥下水位上升了，在中，令得或，即可得此时桥的水面宽度为． 【解答】解：（1）设主桥拱所在的圆弧形圆心为，连接，如图： 由拱高的定义可知，，，共线，设主桥拱的半径是， 在中，，， ， ， 解得， 故答案为：10； （2）以为原点，平行水面的直线为轴，建立直角坐标系，如图： 设桥拱抛物线的解析式为， 水面宽，拱顶（抛物线顶点）距离水面， ， ， 解得， 桥拱抛物线的解析式为； （3）桥的桥下水位上升了，如图： 根据题意，，， ； 此时桥的水面宽度为； 桥的桥下水位上升了， 在中，令得：， 解得或， ， 此时桥的水面宽度为． 【点评】本题考查二次函数的应用和圆的性质及应用，解题的关键是掌握待定系数法和圆的相关性质． 24．如图1，在中，、是直径，弦，垂足为． （1）求证：； （2）如图2，点在上，且． ①求证：； ②若，，求的长． 【分析】（1）先根据垂径定理得到，再根据圆心角、弧、弦的关系由得到，所以，从而得到结论； （2）①连接、，如图，根据圆周角定理得到，，再证明，，则可判断四边形为平行四边形，所以，然后利用得到； ②设，则，则利用为的中位线得到，再根据平行四边形的性质得到，所以，则在中利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【解答】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）①证明：连接、，如图， ，， ， ， 为直径， ， ， ，，， ， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ； ②解：设，则， ，， 为的中位线， ， 四边形为平行四边形， ， ， 在中，，，， ， 整理得， 解得，（舍去）， 即的长为1． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理、勾股定理和圆心角、弧、弦的关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$