2.5直线与圆、圆与圆的位置关系-2.5.1直线与圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 教师：XXX 2.5.1直线与圆的位置关系 1 复习引入 3 3、平面内一点P(x0,y0) 到直线Ax+By+C=0的距离公式： 2、圆的一般方程: 1、圆心C(a,b),半径r的圆的标准方程： (x-a)2+(y-b)2=r2 新知探究 4 O O O r d ∟ r d ∟ r d 直线与圆相交 直线与圆相切 直线与圆相离 d< r d= r d> r 2个公共点 1个公共点 0个公共点 问题1：直线与圆有哪些位置关系？ 例题讲解 5 例1 如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求弦长. . x y O C A B l 所以，直线l与圆C相交，有两个公共点. 解：圆C的方程可化为x2+(y-1)2=5 因此圆心C的坐标为(0，1)，半径为 圆心C(0，1)到直线l的距离 |AB|= 法一：几何法 例题讲解 6 例1 如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求弦长. 解得 x1＝1，x2 ＝2 所以直线l 与圆相交，有两个公共点 解：联立方程组 消y得 ， ① ② 把x1，x2代入方程①得到y1 ＝3 ，y2 ＝0 所以直线l与圆有两个不同的交点A(1,3),B(2,0) 所以弦长 . x y O C A B l 法二：代数法 直线方程与圆的方程联立，消元可得一元二次方程 1）若△>0，则有两个解，即直线与圆相交； 2）若△=0，则有一个解，即直线与圆相切； 3）若△<0，则无解，即直线与圆相离. 巩固练习 7 练习1（课本P93练习T1) １．判断下列各组直线与圆的位置关系： （１） （２） （３） 方法小结 8 一、直线Ax+By+C＝0与圆(x-a)2+(y-b)2＝r2的位置关系及判断： 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法： 设圆心到直线的距离d＝ ____ ____ ____ 代数法： 消元得到一元二次方程的判别式Δ ____ ____ ____ d<r d＝r d>r Δ>0 Δ＝0 Δ<0 例题讲解 9 例2 过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线 l ,求切线的方程. 解法一: 设切线l的斜率为k,则切线l的方程为y-1=k(x-2),即x-y+1-2k=0. 由圆心(0,0)到切线l的距离等于圆的半径1, 得 解得k=0或k= 则所求切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0. 当直线的斜率不存在时，直线与圆不相切 综上，所求切线l 的方程为y=1或4x-3y-5=0. 当直线的斜率存在时， P O 例题讲解 10 例2 过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线 l ,求切线的方程. 因为方程①只有一个解， 所以△=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0, 解得k=0或k= 解法2:当直线的斜率存在时，设切线l的斜率为k, 则切线l的方程为y-1=k(x-2).因为直线l与圆相切， 所以方程组 所以，所求切线l的方程为y=1,或4x-3y-5=0. 消元，得(k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0. ① 当直线的斜率不存在时，直线与圆不相切 综上，所求切线l 的方程为y=1或4x-3y-5=0. 例题讲解 11 例2 过点P(2,1)作圆O:x2+y2=1的切线 l ,求切线的方程. P A(x0,y0) 求点A 点A在圆上 OA⊥PA O 解法3:两点（点P、切点） 切线方程 巩固练习 12 练习2 过点P(1,1)且与圆C:x2+y2-8y+14=0相切的直线方程为_________________. 方法小结 13 1.求过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程:先求切点与圆心连线的斜率k,则由垂直关系,切线斜率为- ,由点斜式方程可求得切线方程.若k=0或斜率不存在,则由图形可直接得切线方程为y=b或x=a. 二、求切线方程的方法： 2.求过圆外一点P(x0,y0)的圆的切线时,常用几何方法求解 设切线方程为y-y0=k(x-x0),即kx-y-kx0+y0=0,由圆心到直线的距离等于半径,可求得k,进而切线方程即可求出.但要注意,此时的切线有两条,若求出的k值只有一个时,则另一条切线的斜率一定不存在,可通过数形结合求出. 例题讲解 14 例3 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长. 解法一：求出直 线与圆的交点坐标 例题讲解 15 例3 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长. 解法二：利用弦长公式 例题讲解 16 例3 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长. 解法三：利用几何法作出直角三角形 方法小结 17 (1)几何法:如图①,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半 三、求直线与圆相交时弦长的两种方法： 巩固练习 18 练习3（课本P93练习T3) 例题讲解 19 例3 图2.5-3是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝２０ｍ，拱高OP＝４ｍ，建造时每间隔４ｍ需要用一根支柱支撑，求支柱A２P２的高度（精确到0.0１ｍ） 例题讲解 20 例3 图2.5-3是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝２０ｍ，拱高OP＝４ｍ，建造时每间隔４ｍ需要用一根支柱支撑，求支柱A２P２的高度（精确到0.0１ｍ） 例题讲解 21 例3 图2.5-3是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB＝２０ｍ，拱高OP＝４ｍ，建造时每间隔４ｍ需要用一根支柱支撑，求支柱A２P２的高度（精确到0.0１ｍ） 巩固练习 22 练习4 例题讲解 23 例４一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为２０ｋｍ的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西４０ｋｍ处，港口位于小岛中心正北３０ｋｍ处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？ 巩固练习 24 练习5（课本P95练习T3) ３．在一个平面上，机器人从与点C（５，－３）的距离为９的地方绕点C顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变．它在行进过程中到过点A（－１０，０）与B（０，１２）的直线的最近距离和最远距离分别是多少？ 课堂小结 25 一、直线Ax+By+C＝0与圆(x-a)2+(y-b)2＝r2的位置关系及判断 二、求切线方程的方法 三、求直线与圆相交时弦长的两种方法 谢谢聆听 THANKS FOR YOUR WATCHING 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 由得交点A(1,3),B(2,0), 故弦AB的长为|AB|=. 由 消去y,得x2-3x+2=0. 设两交点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2), 则由根与系数的关系,得x1+x2=3,x1·x2=2.∴|AB|=, 即弦AB的长为. 圆C:x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5, 其圆心坐标(0,1),半径r=, 点(0,1)到直线l的距离为d=, 所以半弦长为, 所以弦长|AB|=. (2)代数法:如图②所示,将直线方程与圆的方程联立,设直线与圆的两交点分别是A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|(直线l的斜率k存在). 径为r,弦长为|AB|,则有()2+d2=r2,即|AB|=2. 以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立直角坐标系,设圆心为C,水面所在弦的端点为A、B,则由已知得A(6,-2). 设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.① 将点A的坐标为(6,-2)代入方程①,解得r=10. ∴圆的方程为x2+(y+10)2=100.② 当水面下降1米后,可设点A′的坐标为(x0,-3)(x0＞3), 将A′的坐标(x0,-3)代入方程②,求得. ∴水面下降1米后,水面宽为 如图所示,一座圆拱（圆的一部分）桥,当水面在图位置m时,拱顶离水面2 m,水面宽 12 m,当水面下降1 m后,水面宽多少米? $$