第一章直角三角形的边角关系　 单元测试 2023-2024学年北师大版数学九年级下册

第一章直角三角形的边角关系　单元评估卷 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝4，则sin A＝(　　) A. B. C. D. 2.在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tan A＝，则cos B＝(　　) A. B. C. D. 3.∠AOB在正方形网格中如图所示放置(点O，A，C均在网格的格点上，且点C在OB上)，则cos ∠AOB的值为(　　) A. B. C. D. 4.如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至B点处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则AB的距离可表示为(　　) A.13cos 40°海里 B．13sin 40°海里 C.海里 D.海里 5.如图，在△ABC中，AB＝3，tan∠ABC＝，∠ACB＝45°，则BC的长为(　　) A.9 B．12 C．6 D．9 6.如图是冬奥会首钢滑雪大跳台赛道的剖面图，剖面图的一部分可抽象为线段AB.已知斜坡AB的坡比接近3∶4，坡长AB为n米，则坡AB的铅直高度AH约为(　　) A.3米 B.米 C.米 D.米 7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别为△ABC的高线和中线，AB＝4，AC＝3，则cos∠EAD的值为(　　) A. B. C. D. 8.如图①，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x，＝y，图②是点P运动时y随x变化的图象，则等边三角形ABC的边长为(　　) A.6 B．3 C．4 D．2 二、填空题 (共5小题，每小题3分，共15分) 9.在△ABC中，若∠A，∠B满足|tan A－|＋＝0，则∠C＝________. 10.小明沿着坡度为1∶2的坡面向下走了20米，那么他下降的高度为________米. 11.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝，AB＝10，点D是AB边上一点，且BC＝BD，则BD的长为________. 12.菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，边OA在x轴上，cos∠AOC＝ ，点A，若点C在一个反比例函数图象上，则该反比例函数的表达式是________________________________________________________________________. 13.图①是一个水平地面上的长方体密封容器，内部装有水，其正方形底面的边CD＝8 cm，棱AD上标有刻度，水面与AD交于点M，读得DM＝30 cm，如图②，将容器放在斜坡OE上，此时水面分别与AD，BC交于点N，P(NP∥OF)，读得DN＝25 cm.若容器厚度不计，则tan∠EOF＝________. 三、解答题 (共5小题，共61分) 14.(10分)计算： (1)cos 30°＋sin 60°－(tan 45°－1)2 025; (2)4sin 60°－3tan 30°＋2cos 45°·sin 45°. 15.(12分)(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的余弦值和正切值. (2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．若a＝，c＝2，试解这个直角三角形. 16.(12分)某数学兴趣小组将测量学校旗杆的高度作为一次实践活动，活动报告如下： 【活动目的】测量学校旗杆的高度. 【活动工具】测角仪、皮尺等测量工具. 【测量方案】甲同学眼睛位于教学楼的顶端C处时，观察到地面上的点E、旗杆顶端A、教学楼顶端C在一条直线上，乙同学在点E处作好标记，并移动到点F处，用测角仪测得旗杆顶端A的仰角∠AFB的度数，已知点D，B，F，E在同一水平直线上，CD⊥DE，AB⊥DE. 【已知数据】CD＝18 m，DF＝16.5 m，EF＝7.5 m，∠AFB＝50.2°. 【参考数据】sin 50.2°≈0.77，cos 50.2°≈0.64，tan 50.2°≈1.20. 请你根据以上活动报告，计算学校旗杆的高度AB. 17.(13分)随着5G技术的进步与发展，中国大疆无人机享誉世界，生活中的测量技术也与时俱进．某天，数学小达人小婉利用无人机来测量神农湖上A，B两点之间的距离(A，B位于同一水平地面上)，如图所示，小婉站在A处遥控空中C处的无人机，无人机的飞行高度为41.6 m，并且无人机C测得湖岸边B处的俯角为60°，若小婉的身高AD＝1.6 m(眼睛到头顶的距离忽略不计)，且CD＝50 m(点A，B，C，D在同一平面内)，求A，B两点之间的距离．(结果精确到1 m，≈1.7) 18.(14分)家用洗手盆上常装有一种抬启式水龙头(如图①)，完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图②，M，D，E在一条直线上，ME⊥EC，∠BCE＝60°，其相关数据为AM＝10 cm，ME＝27 cm，求EC的长．(结果精确到1 cm，参考数据：sin 37°≈，cos 37°≈，tan 37°≈，≈1.73) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 答案 一、1.B　2.C　3.B　4.A　5.A　6.D　7.D 8．A　点拨：如图，设点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B. 结合图象可知，AO＝2，当点P在AO上运动时，＝1，∴PB＝PC. ∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC. 又∵AP＝AP，∴△APB≌△APC，∴∠BAO＝∠CAO＝30°. 由图象可知点P到达点B时运动的路程为4， ∴OB＝2＝AO，∴∠ABO＝∠BAO＝30°. 过点O作OD⊥AB于D，则AD＝BD＝AO·cos 30°＝3， ∴AB＝AD＋BD＝6， 即等边三角形ABC的边长为6，故选A. 二、9.60°　10.4　11.6　12.y＝ 13.　点拨：如图，过点P作PQ⊥AD于点Q. 由将容器放在斜坡OE上，水的体积没变，易知M为NQ的中点， ∵MN＝DM－DN＝30－25＝5(cm)， ∴QN＝2MN＝10 cm， 在Rt△PNQ中， PQ＝CD＝8 cm，QN＝10 cm， ∴tan∠PNQ＝＝＝. 由题易知AD∥BC，∴∠PNQ＝∠OPN. ∵NP∥OF，∴∠EOF＝∠OPN，∴∠EOF＝∠PNQ， ∴tan∠EOF＝tan∠PNQ＝. 三、14.解：(1)原式＝＋－0＝. (2)原式＝4×－3×＋2××＝2－＋1＝＋1. 15．解：(1)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12， ∴AB＝＝＝13， ∴cos A＝＝，tan A＝＝. ∴∠A的余弦值为，∠A的正切值为. (2)在Rt△ABC中，由勾股定理得 b＝＝＝， ∴tan A＝＝＝，∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°. 16．解：∵CD⊥DE，AB⊥DE， ∴∠CDE＝∠ABE＝90°. ∵∠E＝∠E，∴△ABE∽△CDE，∴＝， 设BF＝x m，在Rt△ABF中，∠AFB＝50.2°， ∴AB＝BF·tan 50.2°≈1.2x m. ∴≈，解得x≈12.5， ∴AB≈15 m，∴学校旗杆的高度AB约为15 m. 17．解：如图所示，作CE⊥AB交AB于点E，作DF⊥CE交CE于点F. ∵无人机的飞行高度为41.6 m，∴CE＝41.6 m. 由题意易得四边形AEFD是矩形， ∴DF＝AE，EF＝AD＝1.6 m，∴CF＝CE－EF＝40 m. ∵DF⊥CE，CD＝50 m，∴DF＝＝30 m. ∴AE＝30 m. ∵无人机C测得湖岸边B处的俯角为60°， ∴∠CBE＝60°，∴tan∠CBE＝tan 60°＝， 即＝，解得BE≈24 m， ∴AB＝AE＋BE≈30＋24＝54(m)， ∴A，B两点之间的距离约为54 m. 18．解：如图，过点A作AT⊥EH于点T，交MN于点R， 则易得四边形METR是矩形，∴ET＝MR，RT＝ME＝27 cm， ∠ARM＝180°－90°＝90°. 在Rt△AMR中，∠ARM＝90°，∠AMR＝37°，AM＝10 cm， ∴AR＝AM·sin∠AMR＝10×sin 37°≈10×＝6(cm)， MR＝AM·cos∠AMR＝10×cos 37°≈10×＝8(cm)， ∴ET＝MR≈8 cm，AT＝AR＋RT≈33 cm， 在Rt△ATC中，∠ATC＝90°，∠ACT＝60°， ∴CT＝≈＝≈19(cm)， ∴EC＝ET＋CT≈27 cm，∴EC的长约为27 cm. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$