专项训练 全等三角形的证明及计算 2024-2025学年人教版数学八年级上册

专项训练 八上数学【全等三角形的证明及计算】（30道） 1．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． （1）证明：AD∥BC． （2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，会出现△DEG与△BFG全等的情况． 2．如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝ED． （1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：CE平分∠BCD； （2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CDAB＝4．求点E到BC的距离． 3．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 4．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F． （1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF． （2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF． 5．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N． （1）求证：△DBN≌△DCM； （2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论． 6．如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP． （1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系． 答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是 、 ． （2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系．答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是 、 ． （3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 7．如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0，b），且a、b满足|4﹣b|＝0， （1）求A、B两点的坐标； （2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB于E，求证：∠BDO＝∠EDA； （3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB＝PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围． 8．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO． （1）求证：AC＝BC； （2）在（1）中点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，如图2，求BC+EC的长； （3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当点H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 9．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC， （1）求C点的坐标； （2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值； （3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值． 10．在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD，点F在BD上，∠BEF＝45° （1）如图1，求证：BF＝CE； （2）如图2，作EM⊥BE，交BC的延长线于点M，连接AM，交BE的延长线于点N，若∠BAC＝30°，请探究线段EF与MN的数量关系，并加以证明． 11．综合与探究 如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F． （1）求证：△ACE≌△ABD． （2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数． （3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF． 12．如图①：△ABC中，AC＝BC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH． （1）求证：△AEF≌△BGH； （2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长． 13．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE． （1）求证：AB＝BD； （2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG． 14．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P； （1）求证：AD＝BE； （2）试说明AD平分∠BAE； （3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由． 15．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． （1）试证明：AD∥BC． （2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等． 16．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点． 17．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于点F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于点H． （1）求∠DHF的度数； （2）若EB平分∠DEC，则BE平分∠ABC吗？请说明理由． 18．如图所示，BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB． （1）探究PA与AQ之间的关系； （2）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论． 19．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． （1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想； （2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 20．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 ． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是 ． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 21．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝9cm，BC＝6cm，点D为AB的中点． （1）如果点P在边BC上以1.5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在边CA上由点C向点A运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，经过t秒后，△BPD与△CQP全等，求此时点Q的运动速度与运动时间t． （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 秒后，点P与点Q第一次在△ABC的 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程） 22．如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD、BE． （1）请你找出图中其他的全等三角形； （2）试证明CF＝EF． 23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．已知AD＝2cm，BC＝5cm． （1）求证：FC＝AD； （2）求AB的长． 24．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上． （1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD； （2）如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC． 25．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N． （1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； （2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； （3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 26．如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数； （2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 27．把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．说明：AF⊥BE． 28．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD． （1）求证：CD⊥AB； （2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA． ①求证：DE平分∠BDC； ②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明； ③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数． 29．如图，△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD平分线上一点，EB＝EC过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G． （1）请你在不添加辅助线的情况下找出一对你认为全等的三角形，并加以证明； （2）若AB＝3，AC＝5，求AF的长． 30．如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC， （1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． （2）连接AM，求证：MA平分∠EMF． 声明：试题解析著作权属所有，未 参考答案及解析 1．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． （1）证明：AD∥BC． （2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，会出现△DEG与△BFG全等的情况． 【分析】（1）由AD＝BC＝4，AB＝CD，BD为公共边，所以可证得△ABD≌△CDB，所以可知∠ADB＝∠CBD，所以AD∥BC； （2）设运动时间为t，点G的运动速度为v，根据全等三角形的性质进行解答即可． 【解答】（1）证明：在△ABD和△CDB中，， ∴△ABD≌△CDB（SSS）， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴AD∥BC； （2）解：设运动时间为t，点G的运动速度为v， 当时， 若△DEG≌△BGF， 则， ∴， ∴， ∴v＝3； 若△DEG≌△BGF， 则， ∴， ∴（舍去）； 当时， 若△DEG≌△BFG， 则， ∴， ∴， ∴； 若△DEG≌△BGF， 则， ∴， ∴， ∴v＝1． 综上，当点G的速度为3或1.5或1时．会出现△DEG与△BFG全等的情况． 2．如图，已知凸五边形ABCDE中，EC，EB为其对角线，EA＝ED． （1）如图1，若∠A＝60°，∠CDE＝120°，且CD+AB＝BC．求证：CE平分∠BCD； （2）如图2，∠A与∠D互补，∠DEA＝2∠CEB，若凸五边形ABCDE面积为30，且CDAB＝4．求点E到BC的距离． 3．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F． （1）求证：△ABC≌△ADE； （2）求∠FAE的度数； （3）求证：CD＝2BF+DE． 【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件； （2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数； （3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立． 【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°， ∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°， ∴∠BAC＝∠DAE， 在△BAC和△DAE中，， ∴△BAC≌△DAE（SAS）； （2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE， ∴∠E＝45°， 由（1）知△BAC≌△DAE， ∴∠BCA＝∠E＝45°， ∵AF⊥BC， ∴∠CFA＝90°， ∴∠CAF＝45°， ∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°； （3）延长BF到G，使得FG＝FB， ∵AF⊥BG， ∴∠AFG＝∠AFB＝90°， 在△AFB和△AFG中，， ∴△AFB≌△AFG（SAS）， ∴AB＝AG，∠ABF＝∠G， ∵△BAC≌△DAE， ∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED， ∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA， ∴∠G＝∠CDA， ∵∠GCA＝∠DCA＝45°， 在△CGA和△CDA中，， ∴△CGA≌△CDA（AAS）， ∴CG＝CD， ∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF， ∴CD＝2BF+DE． 4．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，设BE与CD相交于点F． （1）如图①，设∠A＝60°，BE、CD分别平分∠ABC、∠ACB，证明：DF＝EF． （2）如图②，设BE⊥AC，CD⊥AB，点G在CD的延长线上，连接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，证明：GD＝DF． 【分析】（1）在BC上截取BM＝BD，连接FM，证明△BFD≌△BFM，△ECF≌△MCF，进而可以解决问题； （2）根据已知条件证明△BDF≌△CDA，进而可以解决问题． 【解答】证明：（1）如图，在BC上截取BM＝BD，连接FM， ∵∠A＝60， ∴∠BFC＝90°+60°÷2＝120°， ∴∠BFD＝60°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠1＝∠2， 在△BFD和△BFM中，， ∴△BFD≌△BFM（SAS）， ∴∠BFM＝∠BFD＝60°，DF＝MF， ∴∠CFM＝120°﹣60°＝60°， ∵∠CFE＝∠BFD＝60°， ∴∠CFM＝∠CFE， ∵CD平分∠ACB， ∴∠3＝∠4， 又CF＝CF， 在△ECF和△MCF中，， ∴△ECF≌△MCF（ASA）， ∴EF＝MF， ∴DF＝EF； （2）∵BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠BDF＝∠CDA＝90°， ∴∠1+∠BFD＝90°，∠3+∠CFE＝90°，∠BFD＝∠CFE， ∴∠1＝∠3， ∵BD＝CD， 在△BDF和△CDA中，， ∴△BDF≌△CDA（ASA）， ∴DF＝DA， ∵∠ADF＝90°， ∴∠6＝45°， ∵∠G＝∠6， ∴∠5＝45° ∴∠G＝∠5， ∴GD＝DA， ∴GD＝DF． 【分析】（1）延长CD到T，使得DT＝BA，连接ET．证明△EAB≌△EDT（SAS），△ECB≌△ECT（SSS），可得结论． （2）延长CD到Q，使得∠QED＝∠AEB，过点E作EH⊥BC于H．证明△AEB≌△DEQ（ASA），△ECB≌△ECQ（SAS），由题意S五边形ABCDE＝S四边形EBCQ＝2S△EBC＝30，推出S△EBC＝15，再利用三角形面积公式求出EH即可． 【解答】（1）证明：延长CD到T，使得DT＝BA，连接ET． ∵∠CDE＝120°， ∴∠EDT＝180°﹣120°＝60°， ∵∠A＝60°， ∴∠A＝∠EDT， 在△EAB和△EDT中，， ∴△EAB≌△EDT（SAS）， ∴EB＝ET， ∴CB＝CD+BA＝CD+DT＝CT， 在△ECB和△ECT中，， ∴△ECB≌△ECT（SSS）， ∴∠ECB＝∠ECD， ∴CE平分∠BCD． （2）解：延长CD到Q，使得∠QED＝∠AEB，过点E作EH⊥BC于H． ∵∠A+∠CDE＝180°，∠CDE+∠EDQ＝180°， ∴∠A＝∠EDQ， 在△AEB和△DEQ中，， ∴△AEB≌△DEQ（ASA）， ∴EB＝EQ， ∵∠AED＝2∠BEC， ∴∠AEB+∠CED＝∠BEC， ∴∠CED+∠DEQ＝∠BEC， ∴∠CEB＝∠CEQ， 在△CEB和△CEQ中，， ∴△ECB≌△ECQ（SAS）， ∵S五边形ABCDE＝S四边形EBCQ＝2S△EBC＝30， ∴S△EBC＝15， ∵CDAB＝4， ∴AB＝6，CD＝4， ∴BC＝CD+QD＝CD+AB＝10， ∴10×EH＝15， ∴EH＝3， ∴点E到BC的距离为3． 5．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N． （1）求证：△DBN≌△DCM； （2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论． 【分析】（1）根据两角夹边相等的两个三角形全等即可证明． （2）结论：NE﹣ME＝CM．作DF⊥MN于点F，由（1）△DBN≌△DCM 可得DM＝DN，由△DEF≌△CEM，推出ME＝EF，CM＝DF，由此即可证明． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB， ∴∠ABC＝∠DCB＝45°， ∴BD＝DC， ∵∠BDC＝∠MDN＝90°， ∴∠BDN＝∠CDM， ∵CD⊥AB，BM⊥AC， ∴∠ABM＝90°﹣∠A＝∠ACD， 在△DBN和△DCM中，， ∴△DBN≌△DCM． （2）结论：NE﹣ME＝CM． 证明：由（1）△DBN≌△DCM 可得DM＝DN． 作DF⊥MN于点F，又 ND⊥MD， ∴DF＝FN， 在△DEF和△CEM中，， ∴△DEF≌△CEM， ∴ME＝EF，CM＝DF， ∴CM＝DF＝FN＝NE﹣FE＝NE﹣ME． 6．如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC＝BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF＝FP． （1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系． 答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是 AB＝AP 、 AB⊥AP ． （2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ．请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系．答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是 BQ＝AP 、 BQ⊥AP ． （3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ．你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）由于AC⊥BC，且AC＝BC，边EF与边AC重合，且EF＝FP，则△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到∠BAC＝∠CAP＝45°，AB＝AP，则∠BAP＝90°，于是AP⊥AB； （2）延长BQ交AP于H点，可得到△QPC为等腰直角三角形，则有QC＝PC，根据“SAS”可判断△ACP≌△BCQ，则AP＝BQ，∠CAP＝∠CBQ，利用三角形内角和定理可得到∠AHQ＝∠BCQ＝90°，即AP⊥BQ； （3）BQ与AP所满足的数量关系为相等，位置关系为垂直．证明方法与（2）一样． 【解答】解：（1）AB＝AP，AB⊥AP； （2）BQ＝AP，BQ⊥AP； （3）成立． 证明：如图，∵∠EPF＝45°， ∴∠CPQ＝45°． ∵AC⊥BC， ∴∠CQP＝∠CPQ， CQ＝CP． 在Rt△BCQ和Rt△ACP中， ∴Rt△BCQ≌Rt△ACP（SAS） ∴BQ＝AP； 延长QB交AP于点N， ∴∠PBN＝∠CBQ． ∵Rt△BCQ≌Rt△ACP， ∴∠BQC＝∠APC． 在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ＝90°， ∴∠APC+∠PBN＝90°． ∴∠PNB＝90°． ∴QB⊥AP． 7．如图，直线AB交x轴正半轴于点A（a，0），交y轴正半轴于点B（0，b），且a、b满足|4﹣b|＝0， （1）求A、B两点的坐标； （2）D为OA的中点，连接BD，过点O作OE⊥BD于F，交AB于E，求证：∠BDO＝∠EDA； （3）如图，P为x轴上A点右侧任意一点，以BP为边作等腰Rt△PBM，其中PB＝PM，直线MA交y轴于点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求线段OQ的取值范围． 【分析】①首先根据已知条件和非负数的性质得到关于a、b的方程，解方程组即可求出a，b的值，也就能写出A，B的坐标； ②作出∠AOB的平分线，通过证△BOG≌△OAE得到其对应角相等解决问题； ③过M作x轴的垂线，通过证明△PBO≌△MPN得出MN＝AN，转化到等腰直角三角形中去就很好解决了． 【解答】解：①∵|4﹣b|＝0 ∴a＝4，b＝4， ∴A（4，0），B（0，4）； （2）证明：作∠AOB的角平分线，交BD于G， ∴∠BOG＝∠OAE＝45°，OB＝OA， ∠OBG＝∠AOE＝90°﹣∠BOF， ∴△BOG≌△OAE， ∴OG＝AE． ∵∠GOD＝∠EAD＝45°，OD＝AD， ∴△GOD≌△EDA． ∴∠GDO＝∠ADE． （3）过M作MN⊥x轴，垂足为N． ∵∠BPM＝90°， ∴∠BPO+∠MPN＝90°． ∵∠AOB＝∠MNP＝90°， ∴∠BPO＝∠PMN，∠PBO＝∠MPN， ∵BP＝MP， ∴△PBO≌△MPN（AAS）， MN＝OP，PN＝AO＝BO， OP＝OA+AP＝PN+AP＝AN， ∴MN＝AN，∠MAN＝45°． ∵∠BAO＝45°， ∴∠BAO+∠OAQ＝90° ∴△BAQ是等腰直角三角形． ∴OB＝OQ＝4． ∴无论P点怎么动OQ的长不变． 8．如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO＝90°﹣∠BDO． （1）求证：AC＝BC； （2）在（1）中点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA＝∠DBO，如图2，求BC+EC的长； （3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当点H在FC上移动、点G在OC上移动时，始终满足∠GDH＝∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【分析】（1）由题意∠CAO＝90°﹣∠BDO，可知∠CAO＝∠CBD，CD平分∠ACB与y轴交于D点，所以可由AAS定理证明△ACD≌△BCD，由全等三角形的性质可得AC＝BC； （2）过D作DN⊥AC于N点，可证明Rt△BDO≌Rt△EDN、△DOC≌△DNC，因此，BO＝EN、OC＝NC，所以，BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC，即可得BC+EC的长； （3）在x轴的负半轴上取OM＝FH，可证明△DFH≌△DOM、△HDG≌△MDG，因此，MG＝GH，所以，GH＝OM+OG＝FH+OG，即可证明所得结论． 【解答】（1）证明：∵∠CAO＝90°﹣∠BDO， ∴∠CAO＝∠CBD． 在△ACD和△BCD中，， ∴△ACD≌△BCD（AAS）． ∴AC＝BC． （2）解：由（1）知∠CAD＝∠DEA＝∠DBO， ∴BD＝AD＝DE，过D作DN⊥AC于N点，如右图所示： ∵∠ACD＝∠BCD， ∴DO＝DN， 在Rt△BDO和Rt△EDN中，， ∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL）， ∴BO＝EN． 在△DOC和△DNC中， ∴△DOC≌△DNC（AAS）， 可知：OC＝NC； ∴BC+EC＝BO+OC+NC﹣NE＝2OC＝8． （3）GH＝FH+OG． 证明：由（1）知：DF＝DO， 在x轴的负半轴上取OM＝FH，连接DM，如右图所示： 在△DFH和△DOM中，， ∴△DFH≌△DOM（SAS）． ∴DH＝DM，∠1＝∠ODM． ∴∠GDH＝∠1+∠2＝∠ODM+∠2＝∠GDM． 在△HDG和△MDG中，， ∴△HDG≌△MDG（SAS）． ∴MG＝GH， ∴GH＝OM+OG＝FH+OG． 9．如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC， （1）求C点的坐标； （2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值； （3）如图3，已知点F坐标为（﹣2，﹣2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值． 【分析】（1）要求点C的坐标，则求C的横坐标与纵坐标，因为AC＝AB，则作CM⊥x轴，即求CM和AM的值，容易得△MAC≌△OBA，根据已知即可求得C点的值； （2）求OP﹣DE的值则将其放在同一直线上，过D作DQ⊥OP于Q点，即是求PQ的值，由图易求得△AOP≌△PDQ（AAS），即可求得PQ的长； （3）利用（2）的结论，可知m+n为定长是正确的，过F分别作x轴和y轴的垂线，类似（2），即可求得m+n的值． 【解答】解：（1）过C作CM⊥x轴于M点，如图1， ∵CM⊥OA，AC⊥AB， ∴∠MAC+∠OAB＝90°，∠OAB+∠OBA＝90° 则∠MAC＝∠OBA 在△MAC和△OBA中， 则△MAC≌△OBA（AAS） 则CM＝OA＝2，MA＝OB＝4，则点C的坐标为（﹣6，﹣2）； （2）过D作DQ⊥OP于Q点，如图2，则OP﹣DE＝PQ，∠APO+∠QPD＝90° ∠APO+∠OAP＝90°，则∠QPD＝∠OAP， 在△AOP和△PDQ中， 则△AOP≌△PDQ（AAS） ∴OP﹣DE＝PQ＝OA＝2； （3）结论②是正确的，m+n＝﹣4， 如图3，过点F分别作FS⊥x轴于S点，FT⊥y轴于T点， 则FS＝FT＝2，∠FHS＝∠HFT＝∠FGT， 在△FSH和△FTG中， 则△FSH≌△FTG（AAS） 则GT＝HS， 又∵G（0，m），H（n，0），点F坐标为（﹣2，﹣2）， ∴OT＝OS＝2，OG＝|m|＝﹣m，OH＝n， ∴GT＝OG﹣OT＝﹣m﹣2，HS＝OH+OS＝n+2， 则﹣2﹣m＝n+2， 则m+n＝﹣4． 10．在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，BE平分∠ABD，点F在BD上，∠BEF＝45° （1）如图1，求证：BF＝CE； （2）如图2，作EM⊥BE，交BC的延长线于点M，连接AM，交BE的延长线于点N，若∠BAC＝30°，请探究线段EF与MN的数量关系，并加以证明． 【分析】（1）在AB上截取BG＝BF，连接EG，利用BE平分∠ABD，可得∠GBE＝∠FBE，根据题意易求证△BGE≌△BFE（SAS），设∠EBG＝∠EBF＝α，∠DBC＝β，根据角度关系可求证GE∥BC，通过等量代换即可求解； （2）数量关系为：MN＝2EF，理由为连接NC，根据题意可求证BE＝EM，∠EBF＝∠CEM＝30°，BF＝CE，从而求证△BEF≌△EMC（SAS），可得EF＝MC，即可求解． 【解答】（1）证明：如图，在AB上截取BG＝BF，连接EG， ∵BE平分∠ABD， ∴∠GBE＝∠FBE， ∵BG＝BF，BE＝BE， ∴△BGE≌△BFE（SAS）， ∴∠GEB＝∠FEB＝45°， 设∠EBG＝∠EBF＝α，∠DBC＝β， ∴∠AGE＝∠GBE+∠GEB＝45°+α， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝2α+β， ∵∠BDC＝90°， ∴∠DBC+∠C＝90°，即2α+β+β＝90°， ∴α+β＝90°， ∴∠ABC＝2α+β＝45°+α， ∴∠ABC＝∠AGE， ∴GE∥BC， ∴∠AEG＝∠C＝∠ABC＝∠AGE， ∴AG＝AE， ∴AB﹣AG＝AC﹣AE，即BG＝CE， ∵BF＝BG， ∴BF＝CE； （2）解：数量关系为：MN＝2EF，理由如下： ∵∠BAC＝30°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝75°， ∵BD⊥AC， ∴∠DBC＝90°﹣75°＝15°， ∴∠ABD＝75°﹣15°＝60°， ∵BE平分∠ABD， ∴∠ABE＝∠EBD＝30°， ∴∠BAC＝∠ABE＝30°， ∴AE＝BE， ∴∠BED＝∠BAC+∠ABE＝75°， ∴∠EMC＝45°， ∵∠EBM＝∠EBD+∠DBC＝45°， ∴∠EMC＝∠EBM＝45°， ∴BE＝EM， ∴EM＝AE， ∴∠EAM＝∠EMA∠CEM＝15°， ∴∠AMC＝∠EMC+∠AME＝60°＝∠BEC， 如图，连接NC， ∴E、N、M、C四点共圆， ∴∠NCM＝∠NEM＝90°， 在Rt△NMC中，∠NMC＝60°， ∴∠CNM＝30°， ∴CMMN， ∵BE＝EM，∠EBF＝∠CEM＝30°，BF＝CE， ∴△BEF≌△EMC（SAS）， ∴EF＝MC， ∴MN＝2EF． 11．综合与探究 如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F． （1）求证：△ACE≌△ABD． （2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数． （3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF． 【分析】（1）可利用SAS证明结论； （2）由全等三角形的性质可得∠AEC＝∠ADB，结合平角的定义可得∠DAE+∠DFE＝180°，根据∠BFC+∠DFE＝180°，可求得∠BFC＝∠DAE，即可求解； （3）连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J．结合全等三角形的性质利用HL证明Rt△AFJ≌Rt△AFH，Rt△AJE≌Rt△AHD可得FJ＝FH，EJ＝DH，进而可证明结论． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE． ∴∠CAE＝∠BAD． 在△ACE和△ABD中，， ∴△ACE≌△ABD（SAS）； （2）解：∵△ACE≌△ABD， ∴∠AEC＝∠ADB， ∴∠AEF+∠AEC＝∠AEF+∠ADB＝180°． ∴∠DAE+∠DFE＝180°， ∵∠BFC+∠DFE＝180°， ∴∠BFC＝∠DAE＝∠BAC＝50°； （3）证明：如图，连接AF，过点A作AJ⊥CF于点J． ∵△ACE≌△ABD， ∴S△ACE＝S△ABD，CE＝BD， ∵AJ⊥CE，AH⊥BD． ∴， ∴AJ＝AH． 在Rt△AFJ和Rt△AFH中，， ∴Rt△AFJ≌Rt△AFH（HL）， ∴FJ＝FH． 在Rt△AJE和Rt△AHD中，， ∴Rt△AJE≌Rt△AHD（HL）， ∴EJ＝DH， ∴EF+DH＝EF+EJ＝FJ＝FH． 12．如图①：△ABC中，AC＝BC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH． （1）求证：△AEF≌△BGH； （2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长． 【分析】（1）利用AAS即可证明△AEF≌△BGH； （2）结合（1）证明△EFD≌△GHD，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC． ∵∠ABC＝∠GBH， ∴∠A＝∠GBH． ∵EF⊥AB，GH⊥AB， ∴∠AFE＝∠BHG． 在△ADG和△CDF中，， ∴△AEF≌△BGH（AAS）． （2）解：∵△AEF≌△BGH， ∴AF＝BH， ∴AB＝FH＝4． ∵EF⊥AB，GH⊥AB， ∴∠EFD＝∠GHD． 在△EFD和△GHD中， ∴△EFD≌△GHD（AAS）， ∴． 13．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE． （1）求证：AB＝BD； （2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG． 【分析】（1）证明Rt△ACB≌Rt△DEB即可解决问题； （2）作BM平分∠ABD交AK于点M，证明△BMK≌△BGK，△ABM≌△DBG，即可解决问题． 【解答】证明：（1）在Rt△ACB和Rt△DEB中，， ∴Rt△ACB≌Rt△DEB（HL）， ∴AB＝BD， （2）如图：作BM平分∠ABD交AK于点M， ∵BM平分∠ABD，KB平分∠AKG， ∴∠ABM＝∠MBD＝45°，∠AKB＝∠BKG， ∵∠ABF＝∠DBG＝45° ∴∠MBD＝∠GBD， 在△BMK和△BGK中，， ∴△BMK≌△BGK（ASA）， ∴BM＝BG，MK＝KG， 在△ABM和△DBG中，， ∴△ABM≌△DBG（SAS）， ∴AM＝DG， ∵AK＝AM+MK， ∴AK＝DG+KG． 14．如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE并延长AD交BE于点P； （1）求证：AD＝BE； （2）试说明AD平分∠BAE； （3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由． 【分析】（1）利用SAS证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形的对应边相等得到AD＝BE． （2）根据△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由∠BDP＝∠ADC，得到∠BPD＝∠DCA＝90°，利用等腰三角形的三线合一，即可得到AD平分∠BAE； （3）AD⊥BE不发生变化．由△BCE≌△ACD，得到∠EBC＝∠DAC，由对顶角相等得到∠BFP＝∠AFC，根据三角形内角和为180°，所以∠BPF＝∠ACF＝90°，即AD⊥BE． 【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°， ∴∠CBA＝∠CAB， ∴BC＝CA， 在△BCE和△ACD中，， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BE． （2）∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC＝∠DAC， ∵∠BDP＝∠ADC， ∴∠BPD＝∠DCA＝90°， ∵AB＝AE， ∴AD平分∠BAE． （3）AD⊥BE不发生变化． 如图2， ∵△BCE≌△ACD， ∴∠EBC＝∠DAC， ∵∠BFP＝∠AFC， ∴∠BPF＝∠ACF＝90°， ∴AD⊥BE． 15．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C做匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动． （1）试证明：AD∥BC． （2）在移动过程中，小明发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等． 【分析】（1）由AD＝BC＝4，AB＝CD，BD为公共边，所以可证得△ABD≌△CDB，所以可知∠ADB＝∠CBD，所以AD∥BC； （2）设运动时间为t，点G的运动速度为v，根据全等三角形的性质进行解答即可． 【解答】（1）证明：在△ABD和△CDB中，， ∴△ABD≌△CDB， ∴∠ADB＝∠CBD， ∴AD∥BC； （2）解：设运动时间为t，点G的运动速度为v， 当0＜t时，若△DEG≌△BFG，则， ∴， ∴， ∴v＝3； 若△DEG≌△BGF，则， ∴， ∴ （舍去）； 当t时，若△DEG≌△BFG，则， ∴， ∴， ∴v＝1.5； 若△DEG≌△BGF，则， ∴， ∴， ∴v＝1． 综上，点G的速度为3或1或1.5． 16．（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点． 【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE； （2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论； （3）由条件可知EM＝AH＝GN，可得EM＝GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG的中点． 【解答】解：（1）如图1， ∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90° ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD 在△ADB和△CEA中，， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）DE＝BD+CE． 如图2， 证明如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠DBA＝∠CAE， 在△ADB和△CEA中，． ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE （3）如图3， 过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N． ∴∠EMI＝GNI＝90° 由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN ∴EM＝GN 在△EMI和△GNI中，， ∴△EMI≌△GNI（AAS）， ∴EI＝GI， ∴I是EG的中点． 17．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于点F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于点H． （1）求∠DHF的度数； （2）若EB平分∠DEC，则BE平分∠ABC吗？请说明理由． 【分析】（1）由“SAS”可证△CDG≌△CBF，可得∠CBF＝∠CDG，再利用三角形的内角和定理，得∠CBF+∠BCF＝∠CDG+∠DHF，又∠ACB＝60°，即可出∠DHF＝∠ACB＝60°，从而问题得以解决； （2）由“SAS”可证△ABC≌△EDC；由三角形的内角和可得∠DEB+∠EBC＝60°，因为∠DEB＝∠BEC，只要证出∠DEB+∠ABE＝60°，用三角形的外角以及等量代换可以证出，进而得到BE平分∠ABC． 【解答】解：（1）在△CDG和△CBF中，， ∴△CDG≌△CBF（SAS）， ∴∠CBF＝∠CDG， ∵∠DFH＝∠BFC， ∴∠DHF＝∠BCF＝60°； （2）BE平分∠ABC． 理由：∵∠ACB＝60°， ∴∠ACM＝120°， ∵CE平分∠ACM， ∴∠ACE＝∠MCE＝60°， ∴∠ACB＝∠ACE， 在△ABC和△EDC中，， ∴△ABC≌△EDC（SAS）； ∴∠ABC＝∠EDC， ∵∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BEC+∠CBE＝60°， ∵∠DFH＝∠A+∠ABE＝∠BEC+∠FCG， ∵∠A＝∠DEC＝2∠DEB＝2∠BEC， ∴2∠DEB+∠ABE＝∠BEC+60°， ∴∠DEB+∠ABE＝60°， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴BE平分∠ABC． 18．如图所示，BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB． （1）探究PA与AQ之间的关系； （2）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，上述结论是否成立？画出图形并证明你的结论． 【分析】（1）由条件可得出∠1＝∠2，可证得△APB≌△QAC，可得结论； （2）根据题意画出图形，结合（1）可证得△APB≌△QAC，可得结论． 【解答】（1）结论：AP＝AQ，AP⊥AQ 证明：∵BD、CE是△ABC的高， ∴BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠1+∠CAB＝90°，∠2+∠CAB＝90°， ∴∠1＝∠2， 在△QAC和△APB中，， ∴△QAC≌△APB（SAS）， ∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P， 而∠DAP+∠P＝90°， ∴∠DAP+∠QAC＝90°， 即∠QAP＝90°， ∴AQ⊥AP； 即AP＝AQ，AP⊥AQ； （2）上述结论成立，理由如下： 如图所示： ∵BD、CE是△ABC的高， ∴BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠1+∠CAE＝90°，∠2+∠DAB＝90°， ∵∠CAE＝∠DAB， ∴∠1＝∠2， 在△QAC和△APB中，， ∴△QAC≌△APB（SAS）， ∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P， ∵∠PDA＝90°， ∴∠P+∠PAD＝90°， ∴∠QAC+∠PAD＝90°， ∴∠QAP＝90°， ∴AQ⊥AP， 即AP＝AQ，AP⊥AQ． 19．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． （1）当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想； （2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【分析】（1）延长BD交CE于F，易证△EAC≌△DAB，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根据∠AEC+∠ACE＝90°，可得∠ABD+∠AEC＝90°，即可解题； （2）延长BD交CE于F，易证∠BAD＝∠EAC，即可证明△EAC≌△DAB，可得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，根据∠ABC+∠ACB＝90°，可以求得∠CBF+∠BCF＝90°，即可解题． 【解答】证明：（1）延长BD交CE于F， 在△EAC和△DAB中，， ∴△EAC≌△DAB（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵∠AEC+∠ACE＝90°， ∴∠ABD+∠AEC＝90°， ∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD； （2）延长BD交CE于F， ∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°， ∴∠BAD＝∠EAC， ∵在△EAC和△DAB中，， ∴△EAC≌△DAB（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵∠ABC+∠ACB＝90°， ∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°， ∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD． 20．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 B ． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是 C ． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 【分析】（1）根据AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可； （2）根据全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可； （3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，根据等腰三角形的性质求出即可． 【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故选B； （2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB， ∴BE＝AC＝6，AE＝2AD， ∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6， ∴1＜AD＜7， 故选C． （3）证明： 延长AD到M，使AD＝DM，连接BM， ∵AD是△ABC中线， ∴BD＝DC， ∵在△ADC和△MDB中，， ∴△ADC≌△MDB（SAS）， ∴BM＝AC，∠CAD＝∠M， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠CAD＝∠M， ∴BF＝BM＝AC， 即AC＝BF． 21．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝9cm，BC＝6cm，点D为AB的中点． （1）如果点P在边BC上以1.5cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在边CA上由点C向点A运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，经过t秒后，△BPD与△CQP全等，求此时点Q的运动速度与运动时间t． （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 24 秒后，点P与点Q第一次在△ABC的 AC 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程） 【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中BP、CQ和BD、PC边的长，根据SAS判定两个三角形全等． ②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度； （2）根据题意结合图形分析发现：由于点Q的速度快，且在点P的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点P多走等腰三角形的两个边长． 【解答】解：（1）①全等，理由如下： ∵t＝1秒， ∴BP＝CQ＝1×1.5＝1.5（厘米）， ∵AB＝9cm，点D为AB的中点， ∴BD＝4.5cm． 又∵PC＝BC﹣BP，BC＝6cm， ∴PC＝6﹣1.5＝4.5（cm）， ∴PC＝BD． 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BDP和△CPQ中，， ∴△BPD≌△CQP（SAS）； ②假设△BPD与△CQP， ∵vP≠vQ， ∴BP≠CQ， 又由∠B＝∠C，则只能是BP＝CP＝3，BD＝CQ＝4.5， ∴点P，点Q运动的时间t＝BP÷1.5＝3÷1.5＝2（秒）， ∴vQ＝CQ÷t＝4.5÷2＝2.25（cm/s）； （2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得 2.25x＝1.5x+2×9， 解得x＝24， ∴点P共运动了24×1.5＝36（cm）． ∴点P、点Q在AC边上相遇， ∴经过24秒点P与点Q第一次在边AC上相遇． 故答案为：24；AC． 22．如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD、BE． （1）请你找出图中其他的全等三角形； （2）试证明CF＝EF． 【分析】（1）根据Rt△ABC≌Rt△ADE，得出AC＝AE，BC＝DE，AB＝AD，∠ACB＝∠AED，∠BAC＝∠DAE，从而推出∠CAD＝∠EAB，△ACD≌△AEB，△CDF≌△EBF； （2）先证得△CDF≌△EBF，进而得到CF＝EF． 【解答】解：（1）图中其它的全等三角形为：①△ACD≌△AEB，②△DCF≌△BEF； ①∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴AC＝AE，AB＝AD，∠BAC＝∠DAE， ∵∠BAC﹣∠BAD＝∠DAE﹣∠BAD， ∴∠DAC＝∠BAE， 在△ADC和△ABE中 ， ∴△ADC≌△ABE（SAS）； ②在△DCF和△BEF中， ∴△CDF≌△EBF（AAS）． （2）∵Rt△ABC≌Rt△ADE， ∴AC＝AE，AD＝AB，∠CAB＝∠EAD， ∴∠CAB﹣∠DAB＝∠EAD﹣∠DAB． 即∠CAD＝∠EAB． ∴△CAD≌△EAB， ∴CD＝EB，∠ADC＝∠ABE． 又∵∠ADE＝∠ABC， ∴∠CDF＝∠EBF． 又∵∠DFC＝∠BFE， ∴△CDF≌△EBF（AAS）． ∴CF＝EF． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/9 :23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．已知AD＝2cm，BC＝5cm． （1）求证：FC＝AD； （2）求AB的长． 【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答． （2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD，将已知代入即可． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC（已知）， ∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等） ∵E是CD的中点（已知）， ∴DE＝EC（中点的定义）． ∵在△ADE与△FCE中， ∴△ADE≌△FCE（ASA）， ∴FC＝AD（全等三角形的性质）； （2）解：∵△ADE≌△FCE， ∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等）， ∴BE是线段AF的垂直平分线， ∴AB＝BF＝BC+CF， ∵AD＝CF（已证）， ∴AB＝BC+AD（等量代换） ＝5+2＝7（cm）． 24．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上． （1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AF＝AE+AD； （2）如图2，若AD＝AB，求证：AF＝AE+BC． 【分析】（1）由∠BAC＝∠EDF＝60°，推出△ABC、△DEF为等边三角形，于是得到∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°，推出△BCE≌△ACD（SAS），根据全等三角形的性质得到AD＝BE，即可得到结论； （2）在FA上截取FM＝AE，连接DM，推出△AED≌△MFD（SAS），根据全等三角形的性质得到DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，证得∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，推出△ABC≌△DAM（SAS），根据全等三角形的性质得到AM＝BC，即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°， ∴△ABC、△DEF为等边三角形， ∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA＝60°， 在△BCE和△ACD中， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BE， ∴AE+AD＝AE+BE＝AB＝AF； （2）在FA上截取FM＝AE，连接DM， ∵∠BAC＝∠EDF， ∴∠AED＝∠MFD， 在△AED和△MFD中，， ∴△AED≌△MFD（SAS）， ∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF， ∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM， 即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC， 在△ABC和△DAM中，， ∴△ABC≌△DAM（SAS）， ∴AM＝BC， ∴AE+BC＝FM+AM＝AF． 即AF＝AE+BC． 25．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N． （1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； （2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； （3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明） 【分析】（1）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可； （2）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可； （3）在CB截取BE＝AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可． 【解答】 （1）AM+BN＝MN， 证明：延长CB到E，使BE＝AM， ∵∠A＝∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠EBD＝90°， 在△DAM和△DBE中，， ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE， ∵∠MDN＝∠ADC＝60°， ∴∠ADM＝∠NDC， ∴∠BDE＝∠NDC， ∴∠MDN＝∠NDE， 在△MDN和△EDN中，， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BE+BN＝AM+BN， ∴AM+BN＝MN． （2）AM+BN＝MN， 证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE， ∵∠A＝∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠DBE＝90°， ∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°， ∴∠MDN＝∠CDA， ∵∠MDN＝∠BDC， ∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB， 在△DAM和△DBE中，， ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE， ∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°， ∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB， ∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE， ∵∠CDM＝∠NDB ∴∠MDN＝∠NDE， 在△MDN和△EDN中，， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BE+BN＝AM+BN， ∴AM+BN＝MN． （3）BN﹣AM＝MN， 证明：在CB截取BE＝AM，连接DE， ∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°， ∴∠MDN＝∠CDA， ∵∠ADN＝∠ADN， ∴∠MDA＝∠CDN， ∵∠B＝∠CAD＝90°， ∴∠B＝∠DAM＝90°， 在△DAM和△DBE中，， ∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE， ∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN， ∴∠MDN＝∠EDN， 在△MDN和△EDN中，， ∴△MDN≌△EDN， ∴MN＝NE， ∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM， ∴BN﹣AM＝MN． 26．如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，并将添加的全等条件标注在图上． 请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，求∠EFA的度数； （2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【分析】根据SAS可知：在∠MON的两边上以O为端点截取相等的两条线段，另外两个端点与角平分线上任意一点相连，所构成的两个三角形全等，它们关于OP对称． （1）根据三角形内角和定理可求∠BAC．∠EFA是△ACF的外角，根据外角的性质计算求解； （2）根据图1的作法，在AC上截取AG＝AE，则EF＝FG；根据ASA证明△FCD≌△FCG，得DF＝FG，故判断EF＝FD； （3）只要∠B的度数不变，结论仍然成立．证明同（2）． 【解答】解：（1）如图2，∵∠ACB＝90°，∠B＝60°． ∴∠BAC＝30°， ∵AD、CE分别是∠BAC和∠BCA的平分线， ∴∠DAC∠BAC＝15°，∠ECA∠ACB＝45°． ∴∠EFA＝∠DAC+∠ECA＝15°+45°＝60°． （2）FE＝FD． 如图2，在AC上截取AG＝AE，连接FG． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△EAF和△GAF中 ∵ ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴FE＝FG，∠EFA＝∠GFA＝60°， ∴∠GFC＝180°﹣60°﹣60°＝60°． 又∵∠DFC＝∠EFA＝60°， ∴∠DFC＝∠GFC， 在△FDC和△FGC中， ∴△FDC≌△FGC（ASA）， ∴FD＝FG． ∴FE＝FD． （3）（2）中的结论FE＝FD仍然成立． 同（2）可得△EAF≌△HAF， ∴FE＝FH，∠EFA＝∠HFA， 又由（1）知∠FAC∠BAC，∠FCA∠ACB， ∴∠FAC+∠FCA（∠BAC+∠ACB）（180°﹣∠B）＝60°． ∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝120°． ∴∠EFA＝∠HFA＝180°﹣120°＝60°， 同（2）可得△FDC≌△FHC， ∴FD＝FH． ∴FE＝FD． 27．把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．说明：AF⊥BE． 【分析】可通过全等三角形将相等的角进行转换来得出结论．本题中我们可通过证明三角形BEC和ACD全等得出∠FBD＝∠CAD，根据∠CAD+∠CDA＝90°，而∠BDF＝∠ADC，因此可得出∠BFD＝90°，进而得出结论．那么证明三角形BEC和ACD全等就是解题的关键，两直角三角形中，EC＝CD，BC＝AC，两直角边对应相等，因此两三角形就全等了． 【解答】证明：AF⊥BE，理由如下： 由题意可知∠DEC＝∠EDC＝45°，∠CBA＝∠CAB＝45°， ∴EC＝DC，BC＝AC，又∠DCE＝∠DCA＝90°， ∴△ECD和△BCA都是等腰直角三角形， ∴EC＝DC，BC＝AC，∠ECD＝∠ACB＝90°． 在△BEC和△ADC中 EC＝DC，∠ECB＝∠DCA，BC＝AC， ∴△BEC≌△ADC（SAS）． ∴∠EBC＝∠DAC． ∵∠DAC+∠CDA＝90°，∠FDB＝∠CDA， ∴∠EBC+∠FDB＝90°． ∴∠BFD＝90°，即AF⊥BE． 28．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD． （1）求证：CD⊥AB； （2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA． ①求证：DE平分∠BDC； ②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明； ③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数． 【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质即可证明； （2）①易证BD＝AD，可得△ADC≌△BDC，即可求得∠ACD＝∠BCD＝45°即可解题； ②连接MC，易证△MCD为等边三角形，即可证明△BDC≌△EMC即可解题； ③分三种情形讨论即可； 【解答】（1）证明：∵CB＝CA，DB＝DA， ∴CD垂直平分线段AB， ∴CD⊥AB． （2）①证明：∵AC＝BC， ∴∠CBA＝∠CAB， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝∠CAB＝45°， 又∵∠CAD＝∠CBD＝15°， ∴∠DBA＝∠DAB＝30°， ∴∠BDE＝30°+30°＝60°， ∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD＝15°，BD＝AD， 在△ADC和△BDC中，， ∴△ADC≌△BDC（SAS）， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴∠CDE＝60°， ∵∠CDE＝∠BDE＝60°， ∴DE平分∠BDC； ②解：结论：ME＝BD， 理由：连接MC， ∵DC＝DM，∠CDE＝60°， ∴△MCD为等边三角形， ∴CM＝CD， ∵EC＝CA，∠EMC＝120°， ∴∠ECM＝∠BCD＝45° 在△BDC和△EMC中，， ∴△BDC≌△EMC（SAS）， ∴ME＝BD． ③当EN＝EC时，∠ENC＝7.5°或82.5°；当EN＝CN时，∠ENC＝150°；当CE＝CN时，∠CNE＝15°， 所以∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°． 29．如图，△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上一点，点E是∠CAD平分线上一点，EB＝EC过点E作EF⊥AC于F，EG⊥AD于G． （1）请你在不添加辅助线的情况下找出一对你认为全等的三角形，并加以证明； （2）若AB＝3，AC＝5，求AF的长． 【分析】已知AE平分∠CAD，EF⊥AC，EG⊥AD及公共边AE，则利用AAS判定△EGA≌△EFA；由△EGA≌△EFA可得到EG＝EF，AG＝AF，根据HL可判定Rt△EGB≌Rt△EFC，从而得到BG＝CF，整理可得到2AF＝AC﹣AB，从而可求得AF的长． 【解答】解：（1）△EGA≌△EFA（或△EGB≌△EFC）． 证明：∵AE平分∠CAD， ∴∠EAG＝∠EAF． 又∵EF⊥AC，EG⊥AD， ∴∠EGA＝∠EFA＝90°． 在△AEG和△EFA中： ∠EAG＝∠EAF，∠EGA＝∠EFA，AE＝AE， ∴△EGA≌△EFA（AAS）． 证明：（2）∵AE平分∠CAD且EF⊥AC，EG⊥AD， ∴EG＝EF，∠EGB＝∠EFC＝90°． 在Rt△EGB和Rt△EFC中，． ∴Rt△EGB≌Rt△EFC（HL）． ∴BG＝CF．（10分） 又∵BG＝AB+AG，CF＝AC﹣AF， 即AB+AG＝AC﹣AF， 又∵△EGA≌△EFA， ∴AG＝AF． ∴2AF＝AC﹣AB＝5﹣3＝2． ∴AF＝1． 30．如图：AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC， （1）图中EC、BF有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论． （2）连接AM，求证：MA平分∠EMF． 【分析】（1）先由条件可以得出∠EAC＝∠BAE，再证明△EAC≌△BAF就可以得出结论； （2）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF； 【解答】（1）解：结论：EC＝BF，EC⊥BF． 理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC， ∴∠EAB＝∠CAF＝90°， ∴∠EAB+∠BAC＝∠CAF+∠BAC， ∴∠EAC＝∠BAF． 在△EAC和△BAF中，， ∴△EAC≌△BAF（SAS）， ∴EC＝BF．∠AEC＝∠ABF ∵∠AEG+∠AGE＝90°，∠AGE＝∠BGM， ∴∠ABF+∠BGM＝90°， ∴∠EMB＝90°， ∴EC⊥BF． ∴EC＝BF，EC⊥BF． （2）证明：作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q． ∵△EAC≌△BAF， ∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）． ∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q， ∴AM平分∠EMF． 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$