第一章 特殊平行四边形教案 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

课题 1.1.1菱形的性质 课型 新授课（第一课时） 教学目标 1.通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质，理解菱形与平行四边形之间的联系； 2. 通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳，运用已学过的知识总结菱形的特征； 3. 掌握菱形的概念和菱形的性质以及菱形的面积公式的推导． 教学重点 掌握菱形的概念和菱形的性质以及菱形的面积公式的推导． 教学难点 掌握菱形的概念和菱形的性质以及菱形的面积公式的推导． 学情分析 教学方法 自主学习法，合作探究法，讲授法 教学反思 亮点： 不足： 再教思考： 教学过程 落实知识与技能的方法 一 导 入: 活动引入： 请看演示：(可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示)如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念． 让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子． 二、自学反馈: 活动内容：菱形的性质 性质1： 菱形的四条边相等 如图所示，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是(　　) A．10 B．12 C．15 D．20 解析：根据菱形的性质可判断△ABD是等边三角形，继而根据AB＝5求出△ABD的周长． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD. 又∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴△ABD的周长＝3AB＝15. 故选C. 方法总结：如果一个菱形的内角为60°或120°，则两边与较短对角线可构成等边三角形，这是非常有用的基本图形． 性质2：菱形的对角线互相垂直 如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长． 解析：由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长．由菱形性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理进行计算． 解：因为四边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD， AO＝AC，BO＝BD. 因为AC＝6cm，BD＝12cm， 所以AO＝3cm，BO＝6cm. 在Rt△ABO中，由勾股定理，得 AB＝＝＝3(cm)． 所以菱形的周长＝4AB＝4×3＝12(cm)． 性质3：菱形是轴对称图形 如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF. 解析：要证明AE＝AF，需要先证明△ACE≌△ACF. 证明：连接AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC平分∠BAD， 即∠BAC＝∠DAC. ∵CE⊥AB，CF⊥AD， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°. 在△ACE和△ACF中， ∴△ACE≌△ACF. ∴AE＝AF. 方法总结：菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴，每条对角线平分一组对角． 推理：菱形每一条对角线平分一组对角 三、解决疑惑: 菱形的面积的计算方法 如图所示，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h. 解析：先利用菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半求得菱形的面积，又因为菱形是特殊的平行四边形，其面积等于底乘高，也就是一边长与两边之间距离的乘积，从而求得两对边的距离． 解：在Rt△AOB中，AB＝13，OA＝5，OB＝12， 于是S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30， 所以S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120. 又因为菱形两组对边的距离相等， 所以S菱形ABCD＝AB·h＝13h， 所以13h＝120，得h＝. 方法总结：菱形的面积计算有如下方法：(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；(3)两条对角线长度乘积的一半． ( A B C O D ) 4、 能力提升： 1.填一填：根据右图填空 （1）已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______. （2）菱形ABCD中∠ABC＝120 °，则∠BAC＝_______. （3）菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长是（ ） A.10cm B.7cm C. 5cm D.4cm ( A B C O D )2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O. 已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长. 3.课堂小结： （1）本节课的收获与不足 （2）知识点的小结： 菱形的四条边相等 菱形的对角线互相垂直 菱形是轴对称图形 菱形每一条对角线平分一组对角 五、作业布置：习题1、2题和随堂练习必做；习题3、4题任选一题完成 板书设计 菱形 课题 1.1.2.菱形的判定 课型 新授课（第一课时） 教学目标 1.理解并掌握菱形的判定方法；灵活运用菱形的判定方法进行有关的证明和计算． 2.通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳，运用已学过的知识总结菱形的判定方法； 3.经历学习过程，培养学生的总结归纳、运用能力 教学重点 理解并掌握菱形的判定方法 教学难点 灵活运用菱形的判定方法进行有关的证明和计算． 学情分析 教学方法 自主学习法，合作探究法，讲授法 教学反思 亮点： 不足： 再教思考： 教学过程 落实知识与技能的方法 一 导 入: 活动引入： 木工在做菱形的窗格时，总是保证四条边框一样长，你知道其中的道理吗？借助以下图形探索：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，试说明四边形ABCD是菱形． 二、自学反馈: 活动内容：菱形的判定 探究点一：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 如图所示，ABCD的对角线BD的垂直平分线与边AB，CD分别交于点E，F.求证：四边形DEBF是菱形． 解析：本题首先应用到平行四边形的性质，其次应用到菱形的判定方法．要证四边形DEBF是菱形，可以先证明其为平行四边形，再利用“对角线互相垂直”证明其为菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC. ∴∠FDO＝∠EBO. 又∵EF垂直平分BD， ∴OB＝OD. 在△DOF和△BOE中， ∴△DOF≌△BOE(ASA)． ∴OF＝OE. ∴四边形DEBF是平行四边形． 又∵EF⊥BD， ∴四边形DEBF是菱形． 三、解决疑惑: 探究点二：四边相等的四边形是菱形 如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形． 解析：根据平移的性质可得CF＝AD＝10cm，DF＝AC，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长为10cm，就可以根据四边相等的四边形是菱形得到结论． 证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC. ∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm， ∴AC＝＝＝10(cm)， ∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm， ∴四边形ACFD是菱形． 方法总结：当四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便． 5、 能力提升： 如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． (1)证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE∥BC且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形； (2)解：∵∠BCF＝120°，∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为2， ∴菱形的面积为4×2＝8. 2.课堂小结： （1）本节课的收获与不足 （2）知识点的小结： 菱形的四条边相等 菱形的对角线互相垂直 菱形是轴对称图形 菱形每一条对角线平分一组对角 五、作业布置：习题1、2任选1题完成，第3题必做 板书设计 课题 1.1.3菱形的综合应用 课型 新授课（第一课时） 教学目标 1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法． 2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法． 3.在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力． 教学重点 菱形的性质与判定的理解和掌握． 教学难点 菱形的性质与判定的综合应用 学情分析 教学方法 自主学习法，合作探究法，讲授法 教学反思 亮点： 不足： 再教思考： 教学过程 落实知识与技能的方法 一 导 入: 提问：(1)什么样的四边形叫做菱形？(2)菱形的性质定理有哪几条？(3)菱形的判定定理有哪几条？引入：你能发现菱形的性质和判定都集中在哪些元素上吗？这就是综合应用菱形的性质和判定的关键． 二、自学反馈: 例题1：如图1－1－38，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm.求： (1)对角线AC的长度； (2)菱形ABCD的面积． 跟进练习： 1．已知四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，求这个菱形的面积．[答案：16 cm2] 2．已知菱形ABCD的面积为16，AC＝4，求AB的长．[答案：2 ] 3．如图1－1－39所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC＝2AD，EA＝ED＝2，AC与ED相交于点F.当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积． 三、解决疑惑: 如图1－1－40，已知菱形ABCD的对角线长分别为2和5，P是对角线AC上任一点(点P不与点A，C重合)，且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是多少？ 四、能力提升： 如图1－1－43，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60，AB＝30.D是AC上的动点，过点D作DF⊥BC于点F，过点F作FE∥AC，交AB于点E.设CD＝x，DF＝y. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当四边形AEFD为菱形时，求x的值； (3)当△DEF是直角三角形时，求x的值．2.课堂小结： （1）本节课的收获与不足 5、 作业布置： 板书设计 菱形 课题 1.2.1矩形的判定 课型 新授课（第一课时） 教学目标 1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系；会运用矩形的概念和性质来解决有关问题．　　　　　　 2.通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳，运用已学过的知识总结矩形的性质； 3.经历学习过程，培养学生的总结归纳、运用能力。 教学重点 掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系 教学难点 会运用矩形的概念和性质来解决有关问题． 学情分析 教学方法 自主学习法，合作探究法，讲授法 教学反思 亮点： 不足： 再教思考： 教学过程 落实知识与技能的方法 一 导 入: 内容：1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片(推拉门、活动衣架、篱笆、井架等)，想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？ 2．思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？(动画演示拉动过程如图) 3．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形(小学学过的长方形)，引出本课题及矩形定义． 矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都是矩形． 有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质． 二、自学反馈: 探究点一：矩形的性质 性质1： 矩形的四个角都是直角 如图，矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC.若BE＝4，AC＝15，则△AEC的面积为(　　) A．15 B．30 C．45 D．60 方法总结：矩形的四个角都是直角，常作为证明或求值的隐含条件． 性质2：矩形的对角线相等 :如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长是(　　) A．2 B．4 C．2 D．4 解析：根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD＝OA＝AC，由∠AOD＝60°得△AOD为等边三角形，即可求出AC的长． ∵四边形ABCD为矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OD＝OB＝BD， ∴OA＝OD.∵∠AOD＝60°， ∴△AOD为等边三角形， ∴OA＝OD＝2，∴AC＝2OA＝4. 故选B. 方法总结：矩形的两条对角线互相平分且相等，即对角线把矩形分成四个等腰三角形，当两条对角线的夹角为60°或120°时，图中有等边三角形，从而可以利用等边三角形的性质解题． 三、解决疑惑: 探究点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图，已知BD，CE是△ABC不同边上的高，点G，F分别是BC，DE的中点，试说明GF⊥DE. 解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理． 解：连接EG，DG. ∵BD，CE是△ABC的高， ∴∠BDC＝∠BEC＝90°. ∵点G是BC的中点， ∴EG＝BC，DG＝BC. ∴EG＝DG. 又∵点F是DE的中点， ∴GF⊥DE. 方法总结：在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题． 探究点三：矩形的性质的应用 利用矩形的性质求有关线段的长度 如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长． 解析：先判定△AEF≌△DCE，得CD＝AE，再根据矩形的周长为32列方程求出AE的长． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴∠CED＋∠ECD＝90°. 又∵EF⊥EC， ∴∠AEF＋∠CED＝90°， ∴∠AEF＝∠ECD. 而EF＝EC， ∴△AEF≌△DCE， ∴AE＝CD. 设AE＝xcm， ∴CD＝xcm，AD＝(x＋4)cm， 则有x＋4＋x＝16，解得x＝6. 即AE的长为6cm. 6、 能力提升： 1.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC，DE＝4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长． 2.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，∠DAE：∠BAE＝3：1，求∠BAE和∠EAO的度数． 3.如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的(　　) A. 　　B. C. 　　D. 4.如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积． 2.课堂小结： （1）本节课的收获与不足 （2）知识点的小结： 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 6、 作业布置： 习题1、2、3必做，随堂练习选择完成 板书设计 矩形 课题 1.2.2矩形的判定 课型 新授课（第一课时） 教学目标 1.理解并掌握矩形的判定方法；能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用． 　　　　　　　　　 2.通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳，运用已学过的知识总结矩形的判定； 3.经历学习过程，培养学生的总结归纳、运用、操作能力。 教学重点 理解并掌握矩形的判定方法 教学难点 能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用． 学情分析 教学方法 自主学习法，合作探究法，讲授法 教学反思 亮点： 不足： 再教思考： 教学过程 落实知识与技能的方法 一 导 入: 小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！ 二、自学反馈: 探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形 如图所示，外面的四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上，且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形MPNQ是矩形． 解析：要证明四边形MPNQ是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角线相等． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD. ∵AM＝BP＝CN＝DQ， ∴OM＝OP＝ON＝OQ. ∴四边形MPNQ是平行四边形． 又∵OM＋ON＝OQ＋OP， ∴MN＝PQ. ∴平行四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)． 方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件证明矩形． 探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形 如图，GE∥HF，直线AB与GE交于点A，与HF交于点B，AC、BC、BD、AD分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线，求证：四边形ADBC是矩形． 解析：利用已知条件，证明四边形ADBC有三个角是直角． 证明：∵GE∥HF， ∴∠GAB＋∠ABH＝180°. ∵AD、BD分别是∠GAB、∠ABH的平分线， ∴∠1＝∠GAB，∠4＝∠ABH， ∴∠1＋∠4＝(∠GAB＋∠ABH)＝×180°＝90°， ∴∠ADB＝180°－(∠1＋∠4)＝90°. 同理可得∠ACB＝90°. 又∵∠ABH＋∠FBA＝180°， ∠4＝∠ABH，∠2＝∠FBA， ∴∠2＋∠4＝(∠ABH＋∠FBA)＝×180°＝90°，即∠DBC＝90°. ∴四边形ADBC是矩形． 方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形． 探究点三：有一个角是直角的平行四边形是矩形 如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF. (1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD＝CD；(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC满足的条件必须是AB＝AC. 解：(1)BD＝CD.理由如下： ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE. ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE. 在△AEF和△DEC中， ∴△AEF≌△DEC(AAS)， ∴AF＝DC. ∵AF＝BD， ∴BD＝DC； (2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下： ∵AF∥BD，AF＝BD， ∴四边形AFBD是平行四边形． ∴AB＝AC，BD＝DC， ∴∠ADB＝90°. ∴四边形AFBD是矩形． 三、解决疑惑: 1. 如图，□ ABCD的对角线AC、BD交于点O，△AOB是正三角形，AB=4cm. ( O D C B A )(1) 求证□ ABCD是矩形. (2) 求□ ABCD的面积. 2．已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形吗？说明理由。 四、能力提升： 1．下列说法正确的是（ ） A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形 B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 C.对角线互相平分的四边形是矩形 D.对角互补的平行四边形是矩形 2. 矩形各角平分线围成的四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 3. 下列判定矩形的说法是否正确 （1）有一个角是直角的四边形是矩形 （ ） （2）四个角都是直角的四边形是矩形 （ ） （3）四个角都相等的四边形是矩形 （ ） （4）对角线相等的四边形是矩形 （ ） （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形 （ ） （6）对角线相等且互相平分的四边形是矩形 （ ） 2.课堂小结： （1）本节课的收获与不足 （2）知识点的小结： 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 7、 作业布置： 习题1、2、3必做，随堂练习选择完成 板书设计 课题 1.2.2矩形性质与判定的综合应用 课型 新授课 教学目标 1.掌握矩形的性质及判定，学会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法． 2.能够用综合法证明矩形的性质定理和判定定理以及其他相关结论，经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力． 3.在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”． 教学重点 矩形的性质及判定的运用． 教学难点 综合运用矩形的性质及判定定理． 学情分析 教学方法 自主学习法，合作探究法，讲授法 教学反思 亮点： 不足： 再教思考： 教学过程 落实知识与技能的方法 一 导 入: 活动内容：回答下列问题． 问题1：矩形的性质及判定有哪些？ 问题2：如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是(　　) A．30°　　 　　B．60°　　　 　 C．90°　　 　　D．120° 问题3：在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° 问题4：如图所示，要使平行四边形ABCD是矩形， 则应添加一个条件是__________________． (添加一个即可) 二、自学反馈: 活动内容1：(多媒体出示)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE.求AE的长． 处理方式：学生讨论交流，在导学案上完成后再展示说明，学生之间互相补充，教师适时点评．最后教师用多媒体出示解答过程，以规范学生解题． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°(矩形的四个角都是直角)， AC＝BD(矩形的对角线相等)， AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD(矩形的对角线互相平分)， ∴AO＝BO＝DO＝BD. ∵ED＝3BE，∴BE＝OE. 又∵AE⊥BD，∴AB＝AO， ∴AB＝AO＝BO， 即△ABO是等边三角形，∴∠ABO＝60°， ∴∠ADB＝90°－∠ABO＝90°－60°＝30°， ∴AE＝AD＝×6＝3. 三、解决疑惑: 如图1－2－46，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作BD的垂线，垂足为E，已知∠EAD＝3∠BAE，求∠EAO的度数． 如图1－2－47，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形． 四、能力提升： 1．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则AC的长是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF. 求证：OE＝OF. 3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形． (1)求证：四边形ADBE是矩形； (2)求矩形ADBE的面积． 　　 4．如图1－2－52，在四边形ABCD中，H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连接BE，CF. (1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是____________(添加一个即可)，并证明； (2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形？请说明理由． 　2.课堂小结： （1）本节课的收获与不足 （2）知识点的小结： 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 8、 作业布置： A组(必做)：1.课本P18习题1.6中的T1、T3. B组(选做)：2.课本P19习题1.6中的T4、T5. 板书设计 　矩形的性质与判定的综合应用 一、复习回顾 矩形的性质与判定有哪些？ 二、探究运用 活动内容1： 解： 变式训练 活动内容2： 解： 变式训练 投 影 区 学　生　活　动　区 课题 1.3.1正方形的性质 课型 新授课（第一课时） 教学目标 1.理解并掌握正方形的性质；能熟练掌握正方形的概念及性质的综合应用． 　　　　　　　　　 2.通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳，运用已学过的知识总结矩形的判定； 3.经历学习过程，培养学生的总结归纳、运用、操作能力。 教学重点 理解并掌握正方形的性质 教学难点 能熟练掌握正方形的概念及性质的综合应用． 学情分析 教学方法 自主学习法，合作探究法，讲授法 教学反思 亮点： 不足： 再教思考： 教学过程 落实知识与技能的方法 一 导 入: 显示投影片：展示生活中有关正方形的图片，幻灯片(多幅). 活动方略：教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题： 1.同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形四条边有什么关系？四个角呢？ 2.正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？ 3.正方形具有哪些性质呢？ 二、自学反馈: 学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片，进行联想．易知：正方形四条边都相等(小学已学过)；正方形四个角都是直角(小学已学过). 试验活动：教师拿出矩形按下图折叠，然后展开，让学生发现：只要矩形一组邻边相等，这样的矩形就是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，框架变形过程中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形也是正方形. 图1－3－11 教师活动：组织学生联想正方形还具有哪些性质， 板书画出一个正方形，如下图： 学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以具有菱形的一切性质．归纳如下： 正方形定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 正方形的性质： (1)边的性质：对边平行，四条边都相等. (2)角的性质：四个角都是直角. (3)对角线的性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角. (4)对称性：是轴对称图形，有四条对称轴，也是中心对称图形． 三、解决疑惑: 例　(教材例1)如图1－3－13，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点， 且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由． 四、能力提升： 1.如图1－3－14，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，MN∥AB，且分别与OA，OB相交于点M，N. 求证：(1)BM＝CN；(2)BM⊥CN. 2.已知：如图1－3－15，正方形ABCD中，点E在AD边上，且AE＝AD，F为AB的中点．求证：△CEF是直角三角形. 2. 课堂小结： 平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间有什么关系？与同学们讨论、交流，并用框图表示出来. 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质(投影显示) 边 角 对角线 平行四边形 矩形 菱形 正方形 2.平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定 判定 平行四边形 矩形 菱形 正方形 9、 作业布置： 1.课本P21中的随堂练习（必做） 2.课本P22习题1.7中的T1、T2、T3、T4(第四题选做) 板书设计 正方形 课题 1.3.2正方形的判定 课型 新授课（第一课时） 教学目标 1.掌握正方形的判定方法；会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算． 　　　　　 2.通过学生间的交流、讨论、分析、类比、归纳，运用已学过的知识总结正方形的判定； 3.经历学习过程，培养学生的总结归纳、运用、操作能力。 教学重点 掌握正方形的判定方法 教学难点 会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算． 学情分析 教学方法 自主学习法，合作探究法，讲授法 教学反思 亮点： 不足： 再教思考： 教学过程 落实知识与技能的方法 一 导 入: 我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？请填入下图中． 通过填写让学生形象地看到正方形是特殊的矩形，也是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形；而正方形、矩形、菱形都是平行四边形；矩形、菱形都是特殊的平行四边形． 1．怎样判断一个四边形是矩形？ 2．怎样判断一个四边形是菱形？ 3．怎样判断一个四边形是平行四边形？ 4．怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？ 议一议：你有什么方法判定一个四边形是正方形？ 二、自学反馈: 探究点一：正方形的判定 先证明是矩形再证明是正方形 已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形． 证明：如图所示，过点D作DG⊥AB于点G. ∵DF⊥AC，DE⊥BC， ∴∠DFC＝∠DEC＝90°. 又∠C＝90°， ∴四边形CEDF是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)． ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB， ∴DF＝DG. 同理可得DE＝DG.∴DE＝DF. ∴四边形CEDF是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)． 方法总结：正方形的判定方法有很多，可以先证明它是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直；或先证明它是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等． 先证明是菱形再证明是正方形 如图，EG，FH过正方形ABCD的对角线的交点O，且EG⊥FH.求证：四边形EFGH是正方形． 证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴OB＝OC，∠ABO＝∠BCO＝45°，∠BOC＝90°＝∠COH＋∠BOH. ∵EG⊥FH， ∴∠BOE＋∠BOH＝90°， ∴∠COH＝∠BOE， ∴△CHO≌△BEO，∴OE＝OH. 同理可证：OE＝OF＝OG， ∴OE＝OF＝OG＝OH. 又∵EG⊥FH， ∴四边形EFGH为菱形． ∵EO＋GO＝FO＋HO，即EG＝HF， ∴四边形EFGH为正方形． 方法总结：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． 三、解决疑惑: 正方形、菱形、矩形与平行四边形之间的关系 填空：(1)对角线________________的四边形是矩形； (2)对角线____________的平行四边形是矩形； (3)对角线__________的平行四边形是正方形； (4)对角线________________的矩形是正方形； (5)对角线________________的菱形是正方形． 四、能力提升： 1、判断对错： （1）如果一个菱形的两条对角线相等，那么它一定是正方形. （ ） （2）如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么它一定是正方形.（ ） （3）两条对角线互相垂直平分且相等的四边形，一定是正方形. （ ） （4）四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形. （ ） 2、已知：点E、F、G、H分别是正方形ABCD四条边上的中点，并且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点.求证：四边形EFGH是正方形. 3. 课堂小结： 平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间有什么关系？与同学们讨论、交流， 10、 作业布置： 1.课本P21中的随堂练习 2.课本P22习题 板书设计 课题 第一章：特殊平行四边形 （1） 课型 复习课 教学目标 1.掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的定义，性质及判定，清楚四边形与特殊平行四边形的关系； 2.能利用特殊平行四边形的性质已经判定进行推理和计算有关的数学问题 3.学生明确特殊平行四边形的知识体系，提高空间想象能力，掌握基本的推理能力。 教学重点 掌握特殊平行四边形的性质及判定； 教学难点 能用特殊平行四边形的性质及判定解决几何的证明和计算． 学情分析 教学方法 自主学习法，合作探究法，讲授法 教学反思 亮点： 不足： 再教思考： 教学过程 落实知识与技能的方法 一 导 入: 1. 梳理知识点： （1） 菱形的性质与判定：_________________________________________ （2） 矩形的性质与判定:__________________________________________ （3） 正方形的性质与判定:__________________________________________ 二、解决疑惑: 例： □ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AO=4,OB=3.求证：□ABCD是菱形。 跟进练习：一个平行四边形的一条边长是15，两条对角线的长分别是12和9，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求它的面积。 归纳：S菱形= = 例：△ABC中，点O是AC边上一动点，过O点作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F， （1）试说明EO=OF的理由。 （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论。 例：如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，试说明 EF=BE+DF。 跟进练习：如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使∠EAF=45°，AG⊥EF于G. 求证：AG=AB 。 三、讲评小结 1.菱形的两条对角线长分别是12cm，16cm，它的周长等于 ，面积等于 。 2.已知：菱形的周长是20cm，两个相邻的角的度数比为1：2，则较短的对角线长是 。 3.在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若，则 。 4.已知矩形的长为20，宽为12，顺次连结矩形四边中点所形成的 四边形的面积是__________. 5.如右图，E为正方形ABCD内一点，且△EBC是等边三角形，求∠EAD与∠ECD的度数． 3.课堂小结： （1）本节课的收获与不足 （2）知识点的小结： 作业布置：第一章总复习第1、4、5、7必做，第12、18选做一题 板书设计 课题 第一章：特殊平行四边形 （2） 课型 复习课 教学目标 1.掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的定义，性质及判定，清楚四边形与特殊平行四边形的关系； 2.能利用特殊平行四边形的性质已经判定进行推理和计算有关的数学问题 3.学生明确特殊平行四边形的知识体系，提高空间想象能力，掌握基本的推理能力。 教学重点 掌握特殊平行四边形的性质及判定； 教学难点 能用特殊平行四边形的性质及判定解决几何的证明和计算． 学情分析 教学方法 自主学习法，合作探究法，讲授法 教学反思 亮点： 不足： 再教思考： 教学过程 落实知识与技能的方法 一 导 入: 1.知识梳理； 二、解决疑惑: 例： 如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠部分的四边形ABCD是什么形状？说说你的理由. 例： 工人师傅做铝合金窗框分三个步骤进行下面: （1）先截出两对符合规格的铝合金窗料，使AB=CD，EF=GH. （2） 摆成如图所示的四边形，则这时窗框的形状是______________;根据的数学依据是：____________________ (3)将直角尺靠紧窗框的一个角，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗框是______.，根据的数学道理是 _______ 例： 若矩形纸片ABCD两条对角线的夹角∠AOB为60° , △ AOB的周长为3 m. （1）求窗框对角线AC长； （2）求窗框ABCD的面积. （3）延长AB到E，使得AB=BE,连接EC,请 判断DO与EC的关系，说明理由。 （4）当角E等于多少度时，四边形ABCD为 正方形。 （5）将矩形纸片折叠，使得点C与点A重合，在图中画出折痕， 求折痕的长 例：（1）如果想得到一个正方形，该怎么剪？ (2) 若E为对角线上一点，连接EA、EC.EA=EC 吗？ 说说你的理由 三、讲评小结 1.检查一个门框是矩形的方法是（ ） A.测量两条对角线是否相等. B.测量有三个角是直角. C.测量两条对角线是否互相平分. D.测量两条对角线是否互相垂直. 2.顺次连接矩形各边中点所得的四边形是（ ） A.矩形 B.菱形 C.梯形 D.正方形 3.菱形的对角线长为6和8,则菱形的边长＿＿＿ ,面积是＿＿＿. 4.矩形的对角线长为8,两对角线的夹角为60º ,则矩形的两邻边分别长＿＿＿和＿＿＿. 3.课堂小结： （1）本节课的收获与不足 （2）知识点的小结： 作业布置：第一章总复习第2、3、9必做，第14/、19选做一题 板书设计 学科网（北京）股份有限公司 $$