3．2．2 双曲线的简单几何性质（九大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

3．2．2 双曲线的简单几何性质 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 7 题型一：双曲线的简单几何性质 7 题型二：双曲线的渐近线 9 题型三：求双曲线离心率的值 9 题型四：求双曲线离心率的范围 10 题型五：直线与双曲线的位置关系 11 题型六：弦长、面积问题 12 题型七：中点弦问题 14 题型八：定点定值问题 15 题型九：最值问题 17 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、双曲线的简单几何性质 双曲线（a>0，b>0）的简单几何性质 范围 ，即 或 双曲线上所有的点都在两条平行直线和的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足或． 对称性 对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为，所以双曲线的离心率． 由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 知识点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点三、双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 知识点四、双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； （4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来． （5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系． 知识点五、直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切． 知识点六、弦长公式 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 【方法技巧与总结】 求离心率范围的方法 一、建立不等式法： 1、利用曲线的范围建立不等关系． 2、利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 3、利用角度长度的大小建立不等关系． 4、利用题目不等关系建立不等关系． 5、利用判别式建立不等关系． 6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 7、利用基本不等式，建立不等关系． 二、函数法： 1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； 2、通过确定函数的定义域； 3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围． 三、坐标法： 由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系． 【典型例题】 题型一：双曲线的简单几何性质 【典例1-1】（多选题）（2024·高二·河南南阳·期中）已知双曲线，下列选项正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的实轴长为8 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的离心率为 【典例1-2】（多选题）（2024·高二·云南昆明·期中）已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（   ） A．的虚轴长为6 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．点到的一条渐近线的距离为4 【变式1-1】（多选题）（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率越大，椭圆越接近于圆 B．椭圆离心率越大，椭圆越扁平 C．双曲线离心率越大，开口越宽阔 D．双曲线离心率越大，开口越狭窄 【变式1-2】（多选题）（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，则（    ） A．实轴长为2 B．离心率为 C．两渐近线夹角的正切值不存在 D．直线与曲线有且仅有一个公共点，则 【变式1-3】（多选题）（2024·高二·河北邯郸·期中）已知双曲线C：（）的离心率，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为1，则（    ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．点在双曲线C上 D．直线与双曲线C恒有两个交点 【变式1-4】（多选题）（2024·高三·浙江·阶段练习）已知分别是双曲线的左右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（    ） A．三角形的周长是12 B．若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为8，则双曲线为 C．若，则的位置不唯一 D．若是双曲线左支上一动点，则的最小值是 题型二：双曲线的渐近线 【典例2-1】（2024·高二·山东·期中）若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 . 【典例2-2】（2024·高三·广东·阶段练习）是双曲线C：（）的一条渐近线，则双曲线C的右焦点F到直线的距离为 . 【变式2-1】（2024·高三·上海·阶段练习）若直线经过双曲线的一个焦点，且与该双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为 . 【变式2-2】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）设直线与双曲线（，）两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是 【变式2-3】（2024·高三·浙江金华·阶段练习）若双曲线的离心率为3，则该双曲线焦点到渐近线的距离为 ． 【变式2-4】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的右焦点为，过作垂直于一条渐近线，垂足为，若点关于原点对称，则 ． 题型三：求双曲线离心率的值 【典例3-1】（2024·高二·广东深圳·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过的直线 与的右支交于两点，若 ，则的离心率为 . 【典例3-2】（2024·高二·四川成都·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且 ，则的离心率为 . 【变式3-1】（2024·高二·吉林通化·阶段练习）已知点P是双曲线左支上一点，是双曲线的左右两个焦点，且，线段的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为 . 【变式3-2】（2024·北京怀柔·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点.若，则双曲线C的离心率为 . 【变式3-3】（2024·高二·广东茂名·期中）过双曲线（，）的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为 ． 【变式3-4】（2024·高二·安徽·期末）在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是的右支上一点，直线与相切于点.由点出发的入射光线碰到点后反射光线为，法线（在光线投射点与分界面垂直的直线）交轴于点，此时直线起到了反射镜的作用.若，则的离心率为 .    题型四：求双曲线离心率的范围 【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点作直线与及其渐近线在第一象限内分别交于点．若为线段的中点，则的离心率的取值范围是 ． 【典例4-2】（2024·高二·上海·期中）设，是椭圆与双曲线（，）的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点M，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【变式4-1】（2024·高二·浙江杭州·期中）我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线设共轭双曲线的离心率分别为，则的最大值是 ． 【变式4-2】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为.若有最大值，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【变式4-3】（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A、B，且，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【变式4-4】（2024·高二·河南·阶段练习）已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是 . 【变式4-5】（2024·高三·江苏南京·阶段练习）已知双曲线（，）的离心率为，若直线与无公共点，则e的取值范围是 . 题型五：直线与双曲线的位置关系 【典例5-1】（2024·高二·全国·课后作业）直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数 ． 【典例5-2】（2024·高二·辽宁鞍山·期末）平面内，一条直线至多与双曲线有 个交点. 【变式5-1】（2024·高二·上海·期中）已知双曲线 (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 (2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 【变式5-2】（2024·高二·全国·课后作业）讨论直线与双曲线的公共点的个数． 【变式5-3】（2024·高二·江苏·课后作业）判断直线与双曲线的公共点的个数． 【变式5-4】（2024·高三·重庆南岸·阶段练习）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围. 题型六：弦长、面积问题 【典例6-1】（2024·高二·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【典例6-2】（2024·高二·全国·竞赛）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于、两点，若使得的直线恰有条，则实数 . 【变式6-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． (1)求的方程和焦点坐标； (2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 【变式6-2】（2024·高二·湖南湘潭·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【变式6-3】（2024·高二·河南南阳·期中）已知双曲线：的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)若上两点，关于点对称，求直线的方程； (3)过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示） 【变式6-4】（2024·上海静安·一模）设和是双曲线上的两点，线段的中点为，直线不经过坐标原点． （1）若直线和直线的斜率都存在且分别为和，求证：； （2）若双曲线的焦点分别为、，点的坐标为，直线的斜率为，求由四点、、、所围成四边形的面积． 题型七：中点弦问题 【典例7-1】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 【典例7-2】（2024·高二·全国·竞赛）与的左支交于两点，直线过及中点，则在轴上截距范围为 ． 【变式7-1】（2024·高二·江西·期末）已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 【变式7-2】（2024·高二·广东中山·期中）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 【变式7-3】（2024·高二·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线C：． (1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程． 【变式7-4】（2024·高二·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2. (1)求双曲线的方程; (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 题型八：定点定值问题 【典例8-1】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程; (2)如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值； 【典例8-2】（2024·高二·河北石家庄·期中）已知双曲线的实轴长等于2，离心率， (1)求双曲线方程； (2)过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为，若直线AB过原点，判断是否为定值?若是，求出定值．若不是，请说明理由． 【变式8-1】（2024·高二·江西宜春·阶段练习）已知双曲线C1过点(4，-6)且与双曲线C2：共渐近线，点Р在双曲线C1上(不包含顶点). (1)求双曲线C1的标准方程； (2)记双曲线C1与坐标轴交于A，B两点，求直线PA，PB的斜率之积. 【变式8-2】（2024·高二·贵州六盘水·期末）已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 【变式8-3】（2024·高三·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求弦长； (3)记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 【变式8-4】（2024·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上． (1)求的方程； (2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由． 题型九：最值问题 【典例9-1】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线标准方程， (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 【典例9-2】（2024·高三·安徽·阶段练习）已知双曲线()左、右焦点为，其中焦距为，双曲线经过点． (1)求双曲线的方程； (2)过右焦点作直线交双曲线于M，N两点(M，N均在双曲线的右支上)，过原点O作射线，其中，垂足为为射线与双曲线右支的交点，求的最大值． 【变式9-1】（2024·高二·山东青岛·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，． (1)求的标准方程； (2)设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值． 【变式9-2】（2024·高二·湖北·阶段练习）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【变式9-3】（2024·高二·浙江温州·期中）已知与两边上中线长的差的绝对值为． (1)求三角形重心的轨迹方程； (2)若，点在直线上，连结，与轨迹的轴右侧部分交于两点，求点到直线距离的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3．2．2 双曲线的简单几何性质 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 7 题型一：双曲线的简单几何性质 7 题型二：双曲线的渐近线 11 题型三：求双曲线离心率的值 14 题型四：求双曲线离心率的范围 18 题型五：直线与双曲线的位置关系 22 题型六：弦长、面积问题 25 题型七：中点弦问题 30 题型八：定点定值问题 34 题型九：最值问题 39 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、双曲线的简单几何性质 双曲线（a>0，b>0）的简单几何性质 范围 ，即 或 双曲线上所有的点都在两条平行直线和的两侧，是无限延伸的．因此双曲线上点的横坐标满足或． 对称性 对于双曲线标准方程（，），把换成，或把换成，或把、同时换成、，方程都不变，所以双曲线（a>0，b>0）是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心． 顶点 ①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点． ②双曲线（，）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为，，顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点． ③两个顶点间的线段叫作双曲线的实轴；设，为y轴上的两个点，则线段叫做双曲线的虚轴．实轴和虚轴的长度分别为，．叫做双曲线的实半轴长，叫做双曲线的虚半轴长． ①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆． ②双曲线的焦点总在实轴上． ③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 离心率 ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作． ②因为，所以双曲线的离心率． 由，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔．所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度． ③等轴双曲线，所以离心率． 渐近线 经过点、作y轴的平行线，经过点、作x轴的平行线，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是． 我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交． 知识点二、双曲线两个标准方程几何性质的比较 标准方程 图形 性质 焦点 ， ， 焦距 范围 ， ， 对称性 关于x轴、y轴和原点对称 顶点 轴 实轴长=，虚轴长= 离心率 渐近线方程 知识点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看、的系数，如果项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在y轴上． 对于双曲线，不一定大于，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上． 知识点三、双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程： 若双曲线方程为，则其渐近线方程为 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程． （2）已知渐近线方程求双曲线方程： 若双曲线渐近线方程为，则可设双曲线方程为，根据已知条件，求出即可． （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线 与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线 等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，因此等轴双曲线可设为． 知识点四、双曲线中，，的几何意义及有关线段的几何特征： 双曲线标准方程中，、、三个量的大小与坐标系无关，是由双曲线本身的形状大小所确定的，分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且． 双曲线，如图： （1）实轴长，虚轴长，焦距， （2）离心率：； （3）顶点到焦点的距离：，； （4）中结合定义与余弦定理，将有关线段、、和角结合起来． （5）与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用双曲线的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角结合起来，建立、之间的关系． 知识点五、直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去 得到关于的一元二次方程， 1、当，即时，直线 与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； 2、当，即时，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切． 知识点六、弦长公式 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）． 【方法技巧与总结】 求离心率范围的方法 一、建立不等式法： 1、利用曲线的范围建立不等关系． 2、利用线段长度的大小建立不等关系．，为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，． 3、利用角度长度的大小建立不等关系． 4、利用题目不等关系建立不等关系． 5、利用判别式建立不等关系． 6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 7、利用基本不等式，建立不等关系． 二、函数法： 1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式； 2、通过确定函数的定义域； 3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围． 三、坐标法： 由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系． 【典型例题】 题型一：双曲线的简单几何性质 【典例1-1】（多选题）（2024·高二·河南南阳·期中）已知双曲线，下列选项正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的实轴长为8 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的离心率为 【答案】BD 【解析】因为，，焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为，实轴长为8，故A错误，B正确； 因为，所以双曲线的焦距为， 离心率为，故C错误，D正确． 故选：BD. 【典例1-2】（多选题）（2024·高二·云南昆明·期中）已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（   ） A．的虚轴长为6 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．点到的一条渐近线的距离为4 【答案】AB 【解析】由双曲线的方程可知其虚轴长为，故A正确； 离心率为，故B正确； 令，即其渐近线方程为，故C错误； 不妨设，则其到渐近线的距离为，故D错误. 故选：AB 【变式1-1】（多选题）（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率越大，椭圆越接近于圆 B．椭圆离心率越大，椭圆越扁平 C．双曲线离心率越大，开口越宽阔 D．双曲线离心率越大，开口越狭窄 【答案】BC 【解析】对于AB，椭圆的离心率，故离心率越大，越小，因此椭圆越扁平，故A不正确，B正确； 对于CD，双曲线的离心率，故离心率越大，可得越大，因此双曲线开口越大，C正确，D错误； 故选：BC． 【变式1-2】（多选题）（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，则（    ） A．实轴长为2 B．离心率为 C．两渐近线夹角的正切值不存在 D．直线与曲线有且仅有一个公共点，则 【答案】ABC 【解析】由双曲线可得， 所以实轴长为，故A对； 离心率为，故B对； 令，可得渐近线方程为和，斜率分别为1和-1， 所以斜率之积为-1，所以两直线垂直，其夹角为，故两渐近线夹角的正切值不存在，故C对； 把直线代入双曲线中，消y，得, 当时，即时，直线与双曲线相交有一个交点， 当，时，即，解得，直线与双曲线相切，有一个交点， 所以直线与曲线有且仅有一个公共点，则或，故D错； 故选：ABC 【变式1-3】（多选题）（2024·高二·河北邯郸·期中）已知双曲线C：（）的离心率，C的右支上的点到其右焦点的最短距离为1，则（    ） A．双曲线C的焦点坐标为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．点在双曲线C上 D．直线与双曲线C恒有两个交点 【答案】AC 【解析】双曲线C上的点到其焦点的最短距离为，离心率，所以， 所以，所以双曲线C的方程为，所以C的焦点坐标为，A正确． 双曲线C的渐近线方程为，B错误． 因为，所以点在双曲线C上，C正确． 直线即，恒过点，即双曲线的右顶点， 当时，直线与双曲线C的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D错误． 故选：AC 【变式1-4】（多选题）（2024·高三·浙江·阶段练习）已知分别是双曲线的左右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（    ） A．三角形的周长是12 B．若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为8，则双曲线为 C．若，则的位置不唯一 D．若是双曲线左支上一动点，则的最小值是 【答案】ACD 【解析】由题意可得双曲线，，，，，， 圆心坐标，半径， A，，，， 所以三角形的周长是12，故A正确； B，由题意可设双曲线的方程为或， 变形为标准形式或，， 又双曲线的焦距为8，所以， 所以双曲线为或，故B错误； C，，所以点轨迹为以为焦点的椭圆，且，，， 所以轨迹方程为， 圆心坐标代入椭圆方程可得， 所以圆心在椭圆上， 又点是圆上点，画出图形可得 所以，的位置不唯一，故C正确； D，由双曲线的定义可得， 所以， 所以， 因为， 所以当三点共线时，取得最小值， 又因为的最小值为， 所以的最小值是，故D正确； 故选：ACD. 题型二：双曲线的渐近线 【典例2-1】（2024·高二·山东·期中）若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 . 【答案】/ 【解析】由题意，即，可得， 所以渐近线的斜率为，所以两条渐近线的倾斜角为和， 所以双曲线的两条渐近线所成的锐角为. 故答案为：. 【典例2-2】（2024·高三·广东·阶段练习）是双曲线C：（）的一条渐近线，则双曲线C的右焦点F到直线的距离为 . 【答案】4 【解析】双曲线（）的渐近线方程为，故， 所以右焦点F的坐标为，F到直线的距离. 故答案为：4. 【变式2-1】（2024·高三·上海·阶段练习）若直线经过双曲线的一个焦点，且与该双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为 . 【答案】 【解析】双曲线焦点在轴上，渐近线方程为：， 直线经过点，所以，且直线的斜率为， 所以，解得，所以双曲线方程为. 故答案为： 【变式2-2】（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）设直线与双曲线（，）两条渐近线分别交于点A，B，若点满足，则该双曲线的渐近线方程是 【答案】 【解析】双曲线的两条渐近线方程为， 设,，,，的中点坐标为,； 所以，， 两式相减得：，化简得：， 由于点,在直线上，则①， 由于， 所以，②， 联立①②得：，，代入，得到， 所以渐近线的方程为． 故答案为：． 【变式2-3】（2024·高三·浙江金华·阶段练习）若双曲线的离心率为3，则该双曲线焦点到渐近线的距离为 ． 【答案】/ 【解析】由双曲线的方程可得，解得， 所以，所以双曲线的焦点在轴，且， 所以，又双曲线的离心率为3，所以， 解得，所以，，， 所以焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即， 所以焦点到渐近线的距离. 故答案为：. 【变式2-4】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的右焦点为，过作垂直于一条渐近线，垂足为，若点关于原点对称，则 ． 【答案】 【解析】由题可得，渐近线方程为， 不妨取，即， 所以， 所以， 故答案为：． 题型三：求双曲线离心率的值 【典例3-1】（2024·高二·广东深圳·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过的直线 与的右支交于两点，若 ，则的离心率为 . 【答案】 【解析】令，则， 在中，由余弦定理得， 解得，则，令， 在中，由余弦定理得，解得， 所以双曲线的离心率. 故答案为： 【典例3-2】（2024·高二·四川成都·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且 ，则的离心率为 . 【答案】2 【解析】由以为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P，可得，又， 在中，由余弦定理，得，所以， 根据直线OP为渐近线可得，所以，离心率. 故答案为：2. 【变式3-1】（2024·高二·吉林通化·阶段练习）已知点P是双曲线左支上一点，是双曲线的左右两个焦点，且，线段的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为 . 【答案】 【解析】由焦点到渐近线的距离为， 得出， 再根据题意，得出，又，所以， 根据双曲线定义：即，得到：， 即离心率为． 故答案为： 【变式3-2】（2024·北京怀柔·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点.若，则双曲线C的离心率为 . 【答案】2 【解析】易知关于x轴对称，令，， ∴，，∴，∴． ，，， ∴，∴． 故答案为: 2. 【变式3-3】（2024·高二·广东茂名·期中）过双曲线（，）的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】如图，由，设直线的方程为，， 由直线与圆相切，可得， 解得，即直线的方程为， 由，可得直线的方程为， 与切线的方程联立，可得，， 由，可得，， 若，则， 化为，即， 即为， 则． 故答案为：． 【变式3-4】（2024·高二·安徽·期末）在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是的右支上一点，直线与相切于点.由点出发的入射光线碰到点后反射光线为，法线（在光线投射点与分界面垂直的直线）交轴于点，此时直线起到了反射镜的作用.若，则的离心率为 .    【答案】/ 【解析】 过点作于点，延长交的延长线于点，设上有一点， 由题意可得，， 又，所以，所以，故， 由双曲线定义可得，故， 因为，，所以，故， 故离心率为， 故答案为：. 题型四：求双曲线离心率的范围 【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点作直线与及其渐近线在第一象限内分别交于点．若为线段的中点，则的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题，， 设，由中点坐标公式得， 代入中，得，整理得， 又，得，得． 故答案为：. 【典例4-2】（2024·高二·上海·期中）设，是椭圆与双曲线（，）的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点M，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由椭圆及双曲线定义得，所以， 因为， 由余弦定理得， 同时除以得， 因为，，， 所以，则， 故答案为： 【变式4-1】（2024·高二·浙江杭州·期中）我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线设共轭双曲线的离心率分别为，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】由题知，共轭双曲线和的半焦距相等，记为， 则，所以， 又，故设， 所以， 其中， 当时，取得最大值. 故答案为：. 【变式4-2】（2024·四川宜宾·模拟预测）已知为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为.若有最大值，则双曲线的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】由双曲线的定义，为双曲线右支上任意一点，可得，即， 则， 当三点共线时，取得最大值， 由点为双曲线右支上任意一点，可得直线的斜率小于渐近线的斜率， 即，所以，即双曲线的离心率的取值范围为. 故答案为：. 【变式4-3】（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）已知圆与双曲线，若在双曲线上存在一点P，使得过点P所作的圆的两条切线，切点为A、B，且，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】连接，则， 由切线长定理可得，又，， 所以 所以， 则 设点，则，且， 所以 所以， 故. 故答案为：. 【变式4-4】（2024·高二·河南·阶段练习）已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】设渐近线的倾斜角为，则，即， 所以，离心率. 故答案为：. 【变式4-5】（2024·高三·江苏南京·阶段练习）已知双曲线（，）的离心率为，若直线与无公共点，则e的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为双曲线（，）的渐近线为， 因为，要使直线与E无公共点，则， 所以，，所以双曲线的离心率的范围 所以满足条件的离心率的范围是， 故答案为： 题型五：直线与双曲线的位置关系 【典例5-1】（2024·高二·全国·课后作业）直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数 ． 【答案】或 【解析】由消去y，整理得， 当时，由得； 又注意到直线恒过点，且渐近线的斜率为时，直线与渐近线平行时也成立． 故答案为：或 【典例5-2】（2024·高二·辽宁鞍山·期末）平面内，一条直线至多与双曲线有 个交点. 【答案】2 【解析】当直线斜率不存在时，可设直线方程为，将其代入双曲线方程， 则，整理可得，显然当时，方程由两个不相等的实根， 则此时直线与双曲线有两个交点； 当直线斜率存在时，可设直线方程为，将其代入双曲线方程， 则，整理可得， 显然当，且时，该方程有两个不相等的实根， 则此时直线与双曲线有两个交点， 故答案为：2. 【变式5-1】（2024·高二·上海·期中）已知双曲线 (1)求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 (2)根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 【解析】（1）由题意得，可得， 故顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为； （2）联立方程，消去得， 当或时， 即或时，有1个交点； 当时，即时，有2个交点； 当时，即或时，无交点. 【变式5-2】（2024·高二·全国·课后作业）讨论直线与双曲线的公共点的个数． 【解析】联立直线和双曲线方程，消去y得． 整理得， 若，则方程①变为，无解，此时直线与双曲线无公共点． 事实上，此时直线为，就是双曲线的渐近线，自然与双曲线无公共点． 若，即直线平行于两条渐近线中的一条，方程①成为一元一次方程，有唯一解， 原方程组有唯一一组解，此时直线与双曲线有一个公共点． 综上可知，时，无公共点；时，有一个公共点． 【变式5-3】（2024·高二·江苏·课后作业）判断直线与双曲线的公共点的个数． 【解析】由，可得， ∴， ∴直线与双曲线的公共点的个数为2. 【变式5-4】（2024·高三·重庆南岸·阶段练习）已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点. (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围. 【解析】（1）双曲线的中心在原点,焦点在轴上,设双曲线的方程为 由,可得, 由双曲线过点,可得, 解得, 则双曲线的标准方程为; （2）联立直线与双曲线方程， 化简得，则， 假设, 则，解得. 题型六：弦长、面积问题 【典例6-1】（2024·高二·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 . 【答案】 【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线为， 联立，得， 设，则， 所以，解得，经检验符合题意； 则，. 弦长. 故答案为：. 【典例6-2】（2024·高二·全国·竞赛）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于、两点，若使得的直线恰有条，则实数 . 【答案】8 【解析】双曲线，则，，， 则右焦点为， 因为过右焦点作直线交双曲线于、两点，使得的直线恰有条， 由双曲线的对称性知必有一条弦垂直于轴或轴. 若轴，由，解得或， 所以，即，符合题意； 若轴，由，解得或， 此时，为最短弦长，只有一个解，而不是三个解，不符合题意，故舍去， 综上可得. 故答案为： 【变式6-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． (1)求的方程和焦点坐标； (2)设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 【解析】（1）因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以， 又， 联立解得，， 所以的方程为，左、右焦点坐标分别为． （2）由（1）知， 根据题意易得过的直线斜率存在， 设的直线方程为，如下图所示： 联立，化简得， 所以， 因为中点横坐标为3，所以， 解得，所以， 则， 则． 【变式6-2】（2024·高二·湖南湘潭·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【解析】（1）由题意得：，，， 解得：，，， 双曲线的标准方程为． （2）由题意可知，直线的斜率一定存在， 设直线的方程为，，，，， 联立方程组，消去整理得， 则， 原点到直线的距离为 ， 所以， 解得或，故 或， 故直线方程为或 【变式6-3】（2024·高二·河南南阳·期中）已知双曲线：的离心率为，且经过点． (1)求的方程； (2)若上两点，关于点对称，求直线的方程； (3)过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点，和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用表示） 【解析】（1）依题意，双曲线：的离心率为，且经过点， 所以，解得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，上两点，关于点对称， 由，两式相减并化简得， 所以直线的方程为. 由消去得，， 因此直线必与双曲线有两个交点，所以直线的方程为. （3）根据题意，直线的斜率都存在且不为，双曲线的右焦点为， 设直线，其中， 因为均与的右支有两个交点，所以，所以， 将的方程与联立，可得. 设，则， 所以 ， 同理， 所以,. 【变式6-4】（2024·上海静安·一模）设和是双曲线上的两点，线段的中点为，直线不经过坐标原点． （1）若直线和直线的斜率都存在且分别为和，求证：； （2）若双曲线的焦点分别为、，点的坐标为，直线的斜率为，求由四点、、、所围成四边形的面积． 【解析】（1）证明：法1：设不经过点的直线方程为，代入双曲线方程得：． 设坐标为，坐标为，中点坐标为，则，， ，，所以，，． 法2：设、，中点，则，且， （1）﹣（2）得：． 因为，直线和直线的斜率都存在，所以， 等式两边同除以，得：，即． （2）由已知得，求得双曲线方程为，直线斜率为， 直线方程为，代入双曲线方程可解得，中点坐标为． 面积． 另线段中点在直线上．所以由中点，可得点的坐标为，代入双曲线方程可得，即，解得（），所以．面积． 题型七：中点弦问题 【典例7-1】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】设，， 则，， 又， ， 两式相减，得， 即，整理得， 直线l的斜率为， 直线l的方程为， 化简得，经检验满足题意. 故答案为：. 【典例7-2】（2024·高二·全国·竞赛）与的左支交于两点，直线过及中点，则在轴上截距范围为 ． 【答案】 【解析】设， 把代入整理得 因为直线与双曲线左支交于两点，故方程有两负根． 所以，所以. 又因为中点为， 所以直线方程为，令，截距， 由得． 故答案为： 【变式7-1】（2024·高二·江西·期末）已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 【答案】3 【解析】因为双曲线的离心率为， 所以，不妨设， 因为点A，B在上，所以，两式相减，得， 因为点是的中点，所以，， 所以，即， 所以，同理，． 因为，所以．     故答案为：3. 【变式7-2】（2024·高二·广东中山·期中）对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围； (3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？ 【解析】（1）设双曲线的标准方程为代入，， 得，解得， ∴双曲线的标准方程. （2）如图： 设直线方程：，联立得 ， 直线与双曲线有两个交点， 所以或或. （或：且）. （3）设A，B两点坐标分别为，由（2）可得， 若P为AB中点，则， 此时， 所以不存在实数，使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点.. 【变式7-3】（2024·高二·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线C：． (1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程． 【解析】（1）双曲线C的渐近线方程为，要使直线与双曲线C有公共点，则有，即实数k的取值范围为． （2）设点，．∵点恰好为线段AB的中点， ∴，． 由，两式相减可得， ， 即，∴， ∴直线l的斜率， ∴直线l的方程为， 即． 【变式7-4】（2024·高二·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2. (1)求双曲线的方程; (2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率. 【解析】（1）因为双曲线的渐近线方程是，实轴长为2， 所以，， 所以双曲线的方程为； （2）双曲线的渐近线方程为，由双曲线关于坐标轴的对称性可知， 若线段的中点为，则直线的斜率存在， 设为，且，， 可得直线的方程为， 与双曲线方程联立， 可得， 设， 则， 解得，经检验符合题意. 题型八：定点定值问题 【典例8-1】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程; (2)如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且.求证:为定值； 【解析】（1）因为，所以， 所以双曲线的方程为，即 因为点在双曲线上，所以，所以 所以所求双曲线的方程为即 （2）由题意可得直线OP的斜率存在，可设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为， 由 ，得，所以 同理可得，， 所以 【典例8-2】（2024·高二·河北石家庄·期中）已知双曲线的实轴长等于2，离心率， (1)求双曲线方程； (2)过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为，若直线AB过原点，判断是否为定值?若是，求出定值．若不是，请说明理由． 【解析】（1）由题可得，，解得， 所以双曲线方程为. （2）是定值3，理由如下， 设， 则. 【变式8-1】（2024·高二·江西宜春·阶段练习）已知双曲线C1过点(4，-6)且与双曲线C2：共渐近线，点Р在双曲线C1上(不包含顶点). (1)求双曲线C1的标准方程； (2)记双曲线C1与坐标轴交于A，B两点，求直线PA，PB的斜率之积. 【解析】（1）设双曲线的方程为， 将(4，－)代入可得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）由（1）可设，A(，0)，B(，0)，P(，)， 则，， 而点P在双曲线上，点，即. 故. 【变式8-2】（2024·高二·贵州六盘水·期末）已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标． 【解析】（1）依题意左、右顶点分别为，， 所以，解得， 将代入得，解得， 故双曲线方程为； （2）设，，直线的方程为， 将代入整理得，， ∴，，又由， 代入上式得，解得，， 因为的重心在轴上，所以， 所以，代入双曲线得， 故或． 【变式8-3】（2024·高三·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求弦长； (3)记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 【解析】（1）由题意，双曲线的焦距为， 则，即， 由，得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，直线的方程为， 联立，即， 设，， 则，， 所以弦长. （3）证明：依题意，设直线的方程为，，， 联立，即， 则， 且，，即， 而，， 所以 为定值. 【变式8-4】（2024·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线分别是的左、右焦点．若的离心率，且点在上． (1)求的方程； (2)若过点的直线与的左、右两支分别交于两点，与抛物线交于两点，试问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）设双曲线的半焦距为， 由题意可得，解得，所以的方程为． （2）假设存在常数满足条件，由（1）知， 设直线， 联立方程得，消去，整理可得， 所以，， ． 因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以两点在轴同侧，所以． 此时，即，所以． 设，将代入抛物线方程，得， 则， 所以 ． 所以． 故当时，为定值，所以，当时，为定值． 题型九：最值问题 【典例9-1】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上. (1)求双曲线标准方程， (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值. 【解析】（1）由双曲线一条渐近线方程为，可以该双曲线方程为， 由点在双曲线上，可得，即， 所以双曲线标准方程为. （2）由双曲线标准方程为可知：左顶点的坐标为，右焦点为的坐标， 可设双曲线右支上任意一点，且，则， 所以， 又因为满足双曲线方程，则， 所以， 由于二次函数的对称轴是， 所以当，单调递增， 即当时，二次函数有最小值， 所以的最小值是. 【典例9-2】（2024·高三·安徽·阶段练习）已知双曲线()左、右焦点为，其中焦距为，双曲线经过点． (1)求双曲线的方程； (2)过右焦点作直线交双曲线于M，N两点(M，N均在双曲线的右支上)，过原点O作射线，其中，垂足为为射线与双曲线右支的交点，求的最大值． 【解析】（1）由题意得，，，解得，， 双曲线的方程为：. （2）当直线斜率不存在时，，，则， 当直线斜率存在时，假设直线方程为， 联立双曲线方程得， 则，，， ∵直线与双曲线交于右支，∴， 则， 设射线OP方程为：，联立与双曲线的方程， ∴，，， ∴， ∴ ， 当且仅当时等号成立，最大值为． 综上，的最大值为. 【变式9-1】（2024·高二·山东青岛·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，． (1)求的标准方程； (2)设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值． 【解析】（1）双曲线方程为， 由椭圆和双曲线定义可得，， 又，故，， 又因为，所以， 则椭圆的标准方程为 （2）设，，，显然，，，， 由椭圆定义知：，的周长均为， 所以，同理， 所以， 设直线，， 将直线方程代入椭圆的方程得：， 所以，即，同理， 所以，当且仅当，时等号成立． 所以的最大值为． 【变式9-2】（2024·高二·湖北·阶段练习）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为． (1)求双曲线的方程； (2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方． （ⅰ）求实数的取值范围． （ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值． 【解析】（1）设双曲线的焦距为，且， 因为到直线的距离为，故， 则，故双曲线的方程为：． （2）如图， （ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程， 消元得，则， 因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）知，， 原点到直线的距离， 设，，联立，则， ，，， 则， 而， 令，则， 当即时取到等号． 综上所述，的最大值为． 【变式9-3】（2024·高二·浙江温州·期中）已知与两边上中线长的差的绝对值为． (1)求三角形重心的轨迹方程； (2)若，点在直线上，连结，与轨迹的轴右侧部分交于两点，求点到直线距离的最大值． 【解析】（1）设与的中点为，则由题意可得， 由重心性质得， 由双曲线的定义可知的轨迹为双曲线，易得， ， （2）如图， 设， 令，得，同理由可得： ， 两边同时平方可得   ① 又由，可得，同理， 代入①式得 两边交叉相乘化简可得    ② 当斜率存在时，可设直线为， 与联立可得， 由根与系数关系可得：， 代入②式，得 解得或， 当时，直线过定点 当时，直线过定点， 由显然不成立，舍去， 若当斜率不存在时，则直线，过点． 综上，直线恒过定点 所以点到直线距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$3．2．2 双曲线的简单几何性质 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 1.双曲线的简单几何性质 标准方程 图形     性质 焦点 ____________________ ____________________ 焦距 __________ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c 知识梳理 标准方程 性质 范围 或 ，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴： ；对称中心：_____ 顶点 ____________________ ____________________ 轴 实轴：线段 ，长： ；虚轴：线段B1B2，长： ，实半轴长： ，虚半轴长：___ x≤－a x≥a 坐标轴 原点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) A1A2 2a 2b a b 知识梳理 标准方程 性质 渐近线 ________ ________ 离心率 a，b，c的关系 c2＝ (c>a>0，c>b>0) (1，＋∞) a2＋b2 03 典型例题 【典例1-1】（多选题）（2024·高二·河南南阳·期中）已知双曲线，下列选项正确的是（    ） A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的实轴长为8 C．双曲线的焦距为 D．双曲线的离心率为 【答案】BD 【解析】因为，，焦点在轴上， 所以双曲线的渐近线方程为，实轴长为8，故A错误，B正确； 因为，所以双曲线的焦距为， 离心率为，故C错误，D正确． 故选：BD． 题型一：双曲线的简单几何性质 典型例题 【典例1-2】（多选题）（2024·高二·云南昆明·期中）已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（   ） A．的虚轴长为6 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．点到的一条渐近线的距离为4 【答案】AB 【解析】由双曲线的方程可知其虚轴长为，故A正确； 离心率为，故B正确； 令，即其渐近线方程为，故C错误； 不妨设，则其到渐近线的距离为，故D错误． 故选：AB 题型一：双曲线的简单几何性质 典型例题 【变式1-1】（多选题）（2024·高二·湖北武汉·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．椭圆的离心率越大，椭圆越接近于圆 B．椭圆离心率越大，椭圆越扁平 C．双曲线离心率越大，开口越宽阔 D．双曲线离心率越大，开口越狭窄 【答案】BC 【解析】对于AB，椭圆的离心率，故离心率越大，越小，因此椭圆越扁平，故A不正确，B正确； 对于CD，双曲线的离心率，故离心率越大，可得越大，因此双曲线开口越大，C正确，D错误； 故选：BC． 题型一：双曲线的简单几何性质 典型例题 【典例2-1】（2024·高二·山东·期中）若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 ． 【答案】/ 【解析】由题意，即，可得， 所以渐近线的斜率为，所以两条渐近线的倾斜角为和， 所以双曲线的两条渐近线所成的锐角为． 故答案为：． 题型二：双曲线的渐近线 典型例题 【典例2-2】（2024·高三·广东·阶段练习）是双曲线C： （）的一条渐近线，则双曲线C的右焦点F到直线的距离为 ． 【答案】4 【解析】双曲线（）的渐近线方程为，故， 所以右焦点F的坐标为，F到直线的距离． 故答案为：4． 题型二：双曲线的渐近线 典型例题 【变式2-1】（2024·高三·上海·阶段练习）若直线经过双曲线的一个焦点，且与该双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为 ． 【答案】 【解析】双曲线焦点在轴上，渐近线方程为：， 直线经过点，所以，且直线的斜率为， 所以，解得，所以双曲线方程为． 故答案为： 题型二：双曲线的渐近线 典型例题 【典例3-1】（2024·高二·广东深圳·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过的直线 与的右支交于两点，若 ，则的离心率为 ． 【答案】 【解析】令，则， 在中，由余弦定理得 ， 解得，则，令， 在中，由余弦定理得，解得， 所以双曲线的离心率． 故答案为： 题型三：求双曲线离心率的值 典型例题 【典例3-2】（2024·高二·四川成都·期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，为原点，若以为直径的圆与的渐近线的一个交点为，且 ，则的离心率为 ． 【答案】2 【解析】由以为直径的圆与C的渐近线的一个交点为P， 可得，又， 在中，由余弦定理，得， 所以， 根据直线OP为渐近线可得，所以，离心率． 故答案为：2． 题型三：求双曲线离心率的值 典型例题 【变式3-1】（2024·高二·吉林通化·阶段练习）已知点P是双曲线左支上一点，是双曲线的左右两个焦点，且，线段的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为 ． 【答案】 【解析】由焦点到渐近线的距离为， 得出， 再根据题意，得出，又，所以， 根据双曲线定义：即，得到：， 即离心率为． 故答案为： 题型三：求双曲线离心率的值 典型例题 【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，过点作直线与及其渐近线在第一象限内分别交于点．若为线段的中点，则的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题，， 设，由中点坐标公式得， 代入中，得，整理得， 又，得，得． 故答案为：． 题型四：求双曲线离心率的范围 典型例题 【典例4-2】（2024·高二·上海·期中）设，是椭圆与双曲线（，）的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点M，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由椭圆及双曲线定义得，所以， 因为， 由余弦定理得， 同时除以得， 因为，，， 所以，则， 题型四：求双曲线离心率的范围 典型例题 【变式4-1】（2024·高二·浙江杭州·期中）我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线设共轭双曲线的离心率分别为，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】由题知，共轭双曲线和的半焦距相等，记为， 则，所以， 又，故设， 所以， 其中， 当时，取得最大值． 题型四：求双曲线离心率的范围 典型例题 【典例5-1】（2024·高二·全国·课后作业）直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数 ． 【答案】或 【解析】由消去y，整理得， 当时，由得； 又注意到直线恒过点，且渐近线的斜率为时，直线与渐近线平行时也成立． 故答案为：或 题型五：直线与双曲线的位置关系 典型例题 【典例5-2】（2024·高二·辽宁鞍山·期末）平面内，一条直线至多与双曲线 有 个交点． 【答案】2 【解析】当直线斜率不存在时，可设直线方程为，将其代入双曲线方程， 则，整理可得，显然当时，方程由两个不相等的实根， 则此时直线与双曲线有两个交点； 当直线斜率存在时，可设直线方程为，将其代入双曲线方程， 则，整理可得， 显然当，且时， 该方程有两个不相等的实根， 则此时直线与双曲线有两个交点， 题型五：直线与双曲线的位置关系 典型例题 【变式5-1】（2024·高二·上海·期中）已知双曲线 （1）求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程 （2）根据的不同取值，讨论直线与该双曲线的交点个数 【解析】（1）由题意得，可得， 故顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为； （2）联立方程，消去得， 当或时， 即或时，有1个交点； 当时，即时，有2个交点； 当时，即或时，无交点． 题型五：直线与双曲线的位置关系 典型例题 【典例6-1】（2024·高二·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 ． 【答案】 【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线为， 联立，得， 设，则， 所以，解得，经检验符合题意； 则，． 弦长． 题型六：弦长、面积问题 典型例题 【典例6-2】（2024·高二·全国·竞赛）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于、两点，若使得的直线恰有条，则实数 ． 【答案】8 【解析】双曲线，则，，， 则右焦点为， 因为过右焦点作直线交双曲线于、两点，使得的直线恰有条， 由双曲线的对称性知必有一条弦垂直于轴或轴． 若轴，由，解得或， 所以，即，符合题意； 若轴，由，解得或， 此时，为最短弦长，只有一个解，而不是三个解，不符合题意，故舍去， 综上可得． 题型六：弦长、面积问题 典型例题 【变式6-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． （1）求的方程和焦点坐标； （2）设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 【解析】（1）因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以， 又，联立解得，， 所以的方程为，左、右焦点坐标分别为． （2）由（1）知，根据题意易得过的直线斜率存在， 设的直线方程为，如下图所示： 联立，化简得， 所以， 因为中点横坐标为3，所以，解得，所以， 则， 则． 题型六：弦长、面积问题 典型例题 【典例7-1】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】设，， 则，， 又， ， 两式相减，得， 即，整理得， 直线l的斜率为， 直线l的方程为， 化简得，经检验满足题意． 题型七：中点弦问题 典型例题 【典例7-2】（2024·高二·全国·竞赛）与的左支交于两点，直线过及中点，则在轴上截距范围为 ． 【答案】 【解析】设， 把代入整理得 因为直线与双曲线左支交于两点，故方程有两负根． 所以，所以． 又因为中点为， 所以直线方程为，令，截距， 由得． 故答案为： 题型七：中点弦问题 典型例题 【变式7-1】（2024·高二·江西·期末）已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ． 【答案】3 【解析】因为双曲线的离心率为， 所以，不妨设， 因为点A，B在上，所以，两式相减，得， 因为点是的中点，所以，， 所以，即， 所以，同理，． 因为，所以．    题型七：中点弦问题 典型例题 【典例8-1】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． （1）求双曲线的方程； （2）如图，若直线与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且．求证：为定值； 【解析】（1）因为，所以， 所以双曲线的方程为，即 因为点在双曲线上，所以，所以 所以所求双曲线的方程为即 （2）由题意可得直线OP的斜率存在，可设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为， 由 ，得，所以 同理可得，， 所以 题型八：定点定值问题 典型例题 【典例8-2】（2024·高二·河北石家庄·期中）已知双曲线的实轴长等于2，离心率， （1）求双曲线方程； （2）过双曲线上一点M作直线MA，MB交双曲线于A，B两点，且斜率分别为，若直线AB过原点，判断是否为定值?若是，求出定值．若不是，请说明理由． 【解析】（1）由题可得，，解得， 所以双曲线方程为． （2）是定值3，理由如下， 设， 则． 题型八：定点定值问题 典型例题 【变式8-1】（2024·高二·江西宜春·阶段练习）已知双曲线C1过点（4，-6）且与双曲线C2：共渐近线，点Р在双曲线C1上（不包含顶点）． （1）求双曲线C1的标准方程； （2）记双曲线C1与坐标轴交于A，B两点，求直线PA，PB的斜率之积． 【解析】（1）设双曲线的方程为， 将（4，－）代入可得，解得， 故双曲线的标准方程为． （2）由（1）可设，A（，0），B（，0），P（，）， 则，， 而点P在双曲线上，点，即． 故． 题型八：定点定值问题 典型例题 【典例9-1】（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上． （1）求双曲线标准方程， （2）若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值． 【解析】（1）由双曲线一条渐近线方程为，可以该双曲线方程为， 由点在双曲线上，可得，即， 所以双曲线标准方程为． （2）由双曲线标准方程为可知：左顶点的坐标为，右焦点为的坐标， 可设双曲线右支上任意一点，且，则， 所以， 又因为满足双曲线方程，则， 所以， 由于二次函数的对称轴是， 所以当，单调递增， 即当时，二次函数有最小值，所以的最小值是． 题型九：最值问题 典型例题 【典例9-2】（2024·高三·安徽·阶段练习）已知双曲线（）左、右焦点为，其中焦距为，双曲线经过点． （1）求双曲线的方程； （2）过右焦点作直线交双曲线于M，N两点（M，N均在双曲线的右支上），过原点O作射线，其中，垂足为为射线与双曲线右支的交点，求的最大值． 【解析】（1）由题意得，，，解得，，双曲线的方程为：． （2）当直线斜率不存在时，，，则， 当直线斜率存在时，假设直线方程为， 联立双曲线方程得，则，，， ∵直线与双曲线交于右支，∴， 则， 设射线OP方程为：，联立与双曲线的方程， ∴，，，∴， ∴， 当且仅当时等号成立，最大值为． 综上，的最大值为． 题型九：最值问题 典型例题 【变式9-1】（2024·高二·山东青岛·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，． （1）求的标准方程； （2）设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值． 【解析】（1）双曲线方程为， 由椭圆和双曲线定义可得，， 又，故，， 又因为，所以，则椭圆的标准方程为 （2）设，，，显然，，，， 由椭圆定义知：，的周长均为， 所以，同理，所以， 设直线，，将直线方程代入椭圆的方程 得：， 题型九：最值问题 典型例题 【变式9-1】（2024·高二·山东青岛·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，． （1）求的标准方程； （2）设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值． 所以， 即，同理， 所以， 当且仅当，时等号成立． 所以的最大值为． 题型九：最值问题 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 2．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． C D D D －＝1(a>0，b>0)  －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)  －＝1(a>0，b>0) e＝∈__________ －＝1(a>0，b>0)  －＝1(a>0，b>0)  y＝±x  y＝±x $$