精品解析：吉林省松原市长岭县第二中学2024-2025学年高三上学期第二次月考数学试卷

长岭二中2024～2025学年度上学期第二次月考 高三数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：王建元 审核人：张婷婷 注意事项：请将第Ⅰ卷选择题答案用2B铅笔填涂在答题纸的相应位置上； 第Ⅱ卷试题答案用黑色签字笔填写在答题纸的相应位置，本卷不交，只交答题纸． 第Ⅰ卷（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 设，向量，．下列说法正确的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是的充分不必要条件 D. 是的必要不充分条件 3. 已知向量满足，，，则（ ） A. 17 B. 5 C. D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若等比数列满足，则（ ） A. B. 2020 C. 4040 D. 8080 7. 设a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位．根据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 D. 的最大值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，，则下列结论正确的有（ ） A. 函数是定义域为R的奇函数 B. 函数的最小正周期为 C. 函数的所有零点构成的集合为 D. 函数在上是增函数 10. 已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则动点的轨迹经过的内心 D. 若，则动点的轨迹经过的外心 11. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，这个数列叫做牛顿数列．若函数，且，，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列是递减数列 D. 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则=__________． 13. 已知数列的前项和为，且满足，则_______． 14. 已知向量的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差，等比数列的公比为，若1是的等比中项，设向量，，且. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 在锐角中，的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 17. 已知，分别为函数图象上相邻的最高点和最低点，，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，为奇函数． （1）求函数的解析式； （2）在中，角的对边分别为，若，，，求的面积． 18. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）求证：当时，； （3）若函数不具有单调性，求实数的取值范围． 19. 在一个由个数构成的排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数．排列的逆序数记为．例如2431中，21，43，41，31是逆序，因此． （1）计算； （2）设数列满足，，求的通项公式； （3）设排列满足，，，，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长岭二中2024～2025学年度上学期第二次月考 高三数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：王建元 审核人：张婷婷 注意事项：请将第Ⅰ卷选择题答案用2B铅笔填涂在答题纸的相应位置上； 第Ⅱ卷试题答案用黑色签字笔填写在答题纸的相应位置，本卷不交，只交答题纸． 第Ⅰ卷（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交、并、补的运算求解. 【详解】依题意，，而， 所以, 所以阴影部分表示的集合为=． 故选:C. 2. 设，向量，．下列说法正确的是（ ） A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件 C. 是的充分不必要条件 D. 是的必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算不同情况的的值，然后判断充分性和必要性即可. 【详解】当时，得，所以是的充要条件； 若，则，，则，所以； 若，则，得. 所以是的必要不充分条件. 故选:D 3. 已知向量满足，，，则（ ） A. 17 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】由，得，由，得，解得，又， 所以. 故选：D 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二倍角的余弦公式，同角三角函数的基本关系化简后求出，结合诱导公式逐项判断即可得解. 【详解】因为，则， 即，解得或， 因为，则，， A选项，，故A选项错误； B选项，，故B选项错误； C选项，，故C选项错误； D选项，，故D选项正确． 故选：D 5. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由分母不为零确定函数的定义域，再由三角函数的诱导公式和确定函数为奇函数，最后讨论和时的正负可得结果； 【详解】由可得函数的定义域为，且， 因为，所以为奇函数． 因为， 所以当时，，当时，，排除A，C，D， 故选：B. 6. 已知函数，若等比数列满足，则（ ） A. B. 2020 C. 4040 D. 8080 【答案】C 【解析】 【分析】先分析当时，是否为定值，再根据等比数列的性质求和. 【详解】当时，. 等比数列满足，则， 所以， 所以. 故选：C 7. 设a，b，c均为正数，且，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数恒等式可得，，，作出，， 的图象，利用图象即可得解. 【详解】由题意，，，． 在同一坐标系中分别画出，， 的图象如图， 与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ， 与 的图象的交点的横坐标为， 由图象可以看出． 故选：B 8. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位．根据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 D. 的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】由欧拉公式及复数的相关概念逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B， 由，其虚部为，B错误； 对于C，，则复数在复平面内对应的点位于第一象限，C错误； 对于D， ，当时取等号，D正确， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，，则下列结论正确的有（ ） A. 函数是定义域为R的奇函数 B. 函数的最小正周期为 C. 函数的所有零点构成的集合为 D. 函数在上是增函数 【答案】CD 【解析】 【分析】由正切函数的定义域可判断A；由二倍角的正弦公式和最小正周期公式可判断B；求出的零点可判断C；求出的单调增区间可判断D. 【详解】对A，定义域为，不是R，故A错误； 对B，，所以．故B错误； 对C，由， 所以函数的所有零点构成的集合为，故C正确； 对D，， 由， 令，则的其中一个单调增区间为，故D正确． 故选：CD. 10. 已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则动点的轨迹经过的内心 D. 若，则动点的轨迹经过的外心 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据得到，同理得到，故；B选项，取的中点，故，故⊥，取的中点，同理可得⊥，点P是的外心，故；C选项，由正弦定理得到，故，点P在的中线上，C错误；D选项，作出辅助线，结合向量数量积运算法则得到，从而得到，点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心. 【详解】A选项，因为，所以， 所以，同理可得， 故点是的垂心， 故，故A正确； B选项，取的中点，则，故，故⊥， 取的中点，则，故，故⊥， 故点P是的外心，故，B正确； C选项，由正弦定理得，故， 故， 取的中点，则， 故点P在的中线上，重心在其上，故C错误； D选项， ， 设的中点，， 所以， ， 所以， 故点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心，故D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 11. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点．如图，在横坐标为的点处作的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面的过程得到；一直下去，得到数列，这个数列叫做牛顿数列．若函数，且，，数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列是递减数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导函数与斜率的关系求出切线方程，进而可求，即可判断选项A； 根据，可求出，即可判断选项B， 根据，可确定数列是以为首项，为公比的等比数列，即可判断选项C， 根据等比数列前项和公式即可判断选项D. 【详解】， 所以在点处的切线方程为：， 令0，得，故A正确； 由于， 所以，，， ∴，故B正确． ，故， 即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故C错误． 所以，D正确． 故选：ABD. 第Ⅱ卷（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则=__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用复数的运算求出复数，再结合共轭复数概念即可求解. 【详解】因为，所以， 可得， 因此可得， 故答案为：. 13. 已知数列的前项和为，且满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用来求得正确答案. 【详解】根据题意，数列满足， 当时，有； 当时，有，不符合， 故 故答案为： 14. 已知向量的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量数量积的概念求，再根据投影向量的概念求在方向上的投影向量. 【详解】因为与的夹角为，所以， 故在方向上的投影向量为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的公差，等比数列的公比为，若1是的等比中项，设向量，，且. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】(1) ， . (2) . 【解析】 【分析】（1）由得，又有，结合公差、公比可解得首项，从而可得两数列的通项公式； （2）由（1）可得，用错位相减法可求和． 【详解】（1）由已知可得，， 即，解之得， 的公差为，的公比，所以 ， ， （2） ， ， ， 两式相减得， ， . 16. 在锐角中，的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合得到，由辅助角公式得到，求出； （2）在（1）的基础上，得到，，并得到，求出，得到的取值范围. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，， 由得， ， 即， 又，所以， 所以，即， 又，所以，即； 【小问2详解】 由（1）知，故， 所以 ， 因为是锐角三角形，所以，即， 所以， 所以， 所以， 即的取值范围为. 17. 已知，分别为函数图象上相邻的最高点和最低点，，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，为奇函数． （1）求函数的解析式； （2）在中，角的对边分别为，若，，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的性质，结合待定系数法求得，再利用三角函数平移的性质与奇偶性求得，从而得解； （2）利用已知可求得，由正弦定理可得，利用余弦定理可求得，可求三角形的面积. 【小问1详解】 由题意得，， 即，又， 则，，所以， 则， 因为为奇函数，所以，所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 由，得, 因为，所以，得，得， 因为，由正弦定理得， 因为，代入余弦定理公式，得 ， 得． 18. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）求证：当时，； （3）若函数不具有单调性，求实数的取值范围． 【答案】（1）极大值为，无极小值； （2） 令，， 求导得，函数在上单调递增， 因此，所以当时，. （3）. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数单调区间，进而求出函数的极值. （2）根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性即可推理得证. （3）根据给定条件，利用函数的导数有变号零点，再构造函数，利用导数求出其最小值即可得解. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，无极小值. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 显然函数在定义域R上的图象连续不断，而该函数不具有单调性， 则函数在R上有变号零点，由，得，令， 求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而当时，，即函数的值域为， 因此当时，函数存在变号零点， 所以实数的取值范围是. 19. 在一个由个数构成的排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数．排列的逆序数记为．例如2431中，21，43，41，31是逆序，因此． （1）计算； （2）设数列满足，，求的通项公式； （3）设排列满足，，，，，证明：． 【答案】（1）9 （2） （3） 由题意得， 所以， 所以 ，即， 所以， 所以， 即得证． 【解析】 【分析】（1）利用逆序数的定义，依次分析排列中的逆序个数，从而得解； （2）利用逆序数的定义得到，从而利用构造法推得是等比数列，从而得解； （3）根据和的关系得到，即，将代入，得到，放缩后裂项相消求和． 【小问1详解】 由题设定义，知； 【小问2详解】 ，又，所以， 设，得， 所以，解得，则， 因为，所以数列是首项为1，公比为9的等比数列， 所以，则． 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查数列的新定义，数列的求和，裂项求和法，数列的应用，读懂逆序的概念，利用待定系数法求出，巧用放缩法及裂项相消求和来证明不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $