3．2．2 双曲线的简单几何性质（九大题型）（精练）-2024-2025学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

3．2．2 双曲线的简单几何性质 目录 【题型归纳】 2 题型一：双曲线的简单几何性质 2 题型二：双曲线的渐近线 3 题型三：求双曲线离心率的值 3 题型四：求双曲线离心率的范围 4 题型五：直线与双曲线的位置关系 4 题型六：弦长、面积问题 5 题型七：中点弦问题 6 题型八：定点定值问题 7 题型九：最值问题 8 【重难点集训】 10 【高考真题】 13 【题型归纳】 题型一：双曲线的简单几何性质 1．（多选题）（2024·高三·海南儋州·开学考试）已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（   ） A．双曲线的一条渐近线方程为 B．椭圆和双曲线共焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆和双曲线的图像有4个公共点 2．（多选题）（2024·高二·河北保定·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．的面积为 D．直线与圆相切 3．（多选题）（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）直线与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（    ） A．若，则 B．若，则的面积为4 C． D．的最小值为4 4．（多选题）（2024·高三·安徽黄山·阶段练习）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与圆相切于点，与第二象限内的渐近线交于点，则（    ） A．双曲线的离心率 B．若，则的渐近线方程为 C．若，则的渐近线方程为 D．若，则的渐近线方程为 题型二：双曲线的渐近线 5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且直线与另一条渐近线交于点，设为坐标原点，则的面积为 . 6．（2024·高二·北京·阶段练习）若双曲线的两条渐近线互相垂直，则两条渐近线方程为 . 7．（2024·高二·吉林·期末）已知双曲线，焦点到渐近线距离为3，则其渐近线方程为 . 8．（2024·高二·福建·期末）双曲线的左，右焦点，过点F2的直线l1交双曲线的右支于A、B两点，且，，则双曲线的渐近线为 . 题型三：求双曲线离心率的值 9．（2024·高二·上海·期中）已知椭圆，双曲线.设椭圆两个焦点分别为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，记双曲线的一条渐近线与椭圆的一个交点为，若且，则的值为 . 10．（2024·高二·重庆·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径的圆过椭圆的上顶点，双曲线和椭圆有相同的焦点，为曲线与的一个公共点，若，则曲线与的离心率的乘积为 . 11．（2024·高二·河南开封·期末）已知过双曲线左焦点且倾斜角为60°的直线与C交于点A，与y轴交于点B，且A是的中点，则C的离心率为 . 12．（2024·高二·上海·期中）双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另一个焦点.已知双曲线，如图从的一个焦点射出的光线，经过两点反射后，分别经过点和.若，则的离心率为 . 13．（2024·高二·上海·阶段练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为 ． 题型四：求双曲线离心率的范围 14．（2024·高二·浙江嘉兴·期末）已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 15．（2024·高三·陕西榆林·阶段练习）若双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是其右支上的动点，与其左支交于点Q.若存在P，使得，则C的离心率的取值范围为 . 16．（2024·高二·贵州黔东南·阶段练习）已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 . 题型五：直线与双曲线的位置关系 17．（2024·高三·全国·专题练习）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ． 18．（2024·高二·江苏镇江·期中）已知双曲线C的方程为. (1)求与双曲线C有公共渐近线，且过点的双曲线标准方程； (2)当过点的直线与双曲线C有两个公共点时，求直线斜率取值范围. 19．（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线与点，讨论过点的直线的斜率的情况，使与双曲线分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点． 20．（2024·高二·上海·期中）已知，直线与双曲线相交于不同的点. (1)若点分别在双曲线的左、右两支上，求的取值范围； (2)若以线段为直径的圆，经过坐标原点，求的值. 题型六：弦长、面积问题 21．（2024·高二·北京·开学考试）已知双曲线，则双曲线的离心率为 ；直线与双曲线相交于两点，则 . 22．（2024·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 23．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 24．（2024·高二·黑龙江·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 题型七：中点弦问题 25．（2024·高二·山东泰安·阶段练习）直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是 . 26．（2024·高二·江西赣州·期中）已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 . 27．（2024·高二·河南南阳·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 28．（2024·高二·全国·课后作业）双曲线C的离心率为，且与椭圆有公共焦点． （1）求双曲线C的方程． （2）双曲线C上是否存在两点A，B关于点（4，1）对称？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由． 题型八：定点定值问题 29．（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点. 30．（2024·高二·四川泸州·阶段练习）设直线．点和点分别在直线和上运动，点为的中点，点为坐标原点，且． (1)已知直线 ：经过定点P，直线经过点P，且，求直线的方程. (2)求点的轨迹方程； (3)当直线的斜率存在时，设点关于直线的对称点为，证明：直线过定点． 31．（2024·高二·陕西西安·阶段练习）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 32．（2024·高三·河北邯郸·阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为.过点的直线l与C的右支交于M、N两点，设直线的斜率分别为． (1)若，求：； (2)证明：为定值． 题型九：最值问题 33．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，离心率为2，，分别为C的左、右焦点，两点，都在C上. (1)求C的方程； (2)若，求直线AB的方程； (3)若，且，，求四个点A，B，，所构成四边形的面积的最小值. 34．（2024·高三·上海宝山·阶段练习）已知双曲线的虚轴长为4，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设，是双曲线上的动点，求的最小值； (3)过双曲线右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值. 35．（2024·湖北黄冈·二模）已知双曲线的左､右焦点分别为，焦距为4，虚半轴长为1.如图，直线与双曲线的右支交于两点，其中点在第一象限.与关于原点对称，连接与，其中垂直于的平分线，垂足为.    (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：直线与直线的斜率之积为定值； (3)求的最小值. 36．（2024·高二·河南商丘·期末）若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值． 37．（2024·高三·辽宁·阶段练习）已知双曲线（，）的离心率为，且经过点. (1)求的方程； (2)过原点的直线与交于，两点（异于点），记直线和直线的斜率分别为，，证明：的值为定值； (3)过双曲线上不同的两点，分别作双曲线的切线，若两条切线相交于点，且，求的最大值. 【重难点集训】 1．（2024·高二·河南南阳·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，若P与恰好关于C的一条渐近线对称，且，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 2．（2024·高二·河南·阶段练习）已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，若的面积为，则的焦距的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·高三·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，过双曲线上一点作两条渐近线的平行线分别与两渐近线交于，两点．若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高三·广东揭阳·阶段练习）已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·云南曲靖·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为．若，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）已知方程的根大于，则实数满足（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，虚轴长为，离心率为是上一点，若，则（    ） A．2 B．3或6 C．3 D．2或10 8．（2024·高二·全国·课后作业）已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为为右支上的一点，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·高三·贵州贵阳·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，点是上的一点，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或1 B．不存在点为线段的中点 C．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 D．内切圆圆心的横坐标为 10．（多选题）（2024·高二·河南商丘·期末）已知双曲线与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则的离心率可以是（   ） A． B．2 C．3 D．4 11．（多选题）（2024·高二·浙江衢州·期末）已知是双曲线的右焦点，为其左支上一点，点，则（    ） A．双曲线的焦距为6 B．点到渐近线的距离为2 C．的最小值为 D．若，则的面积为 12．（2024·高二·江西南昌·期中）已知双曲线的左､右作点分别为为坐标原点，倾斜角为的直线过右焦点且与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为 ． 13．（2024·高二·云南昆明·期中）已知反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到，若的三个顶点均在双曲线上，则垂心的轨迹方程是 ．（三角形三条高线交于一点，此点即为垂心） 14．（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为 ． 15．（2024·高二·浙江宁波·阶段练习）已知平面内两个定点，满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线和的斜率之积为，试证明直线过定点，并求出这个定点坐标． 16．（2024·高三·贵州·阶段练习）已知是双曲线的一条渐近线，点在上. (1)求的方程. (2)已知直线的斜率存在且不经过原点，与交于两点，的中点在直线上. （i）证明：的斜率为定值. （ii）若的面积为，求的方程. 17．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为． (1)求的方程； (2)过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值； (3)已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 【高考真题】 1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 2．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024年上海市1月春考数学试题）三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 . 6．（2024年北京高考数学真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 7．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 9．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率时，求的值． (2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标． (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3．2．2 双曲线的简单几何性质 目录 【题型归纳】 2 题型一：双曲线的简单几何性质 2 题型二：双曲线的渐近线 6 题型三：求双曲线离心率的值 8 题型四：求双曲线离心率的范围 12 题型五：直线与双曲线的位置关系 14 题型六：弦长、面积问题 17 题型七：中点弦问题 20 题型八：定点定值问题 23 题型九：最值问题 28 【重难点集训】 36 【高考真题】 51 【题型归纳】 题型一：双曲线的简单几何性质 1．（多选题）（2024·高三·海南儋州·开学考试）已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（   ） A．双曲线的一条渐近线方程为 B．椭圆和双曲线共焦点 C．椭圆的离心率 D．椭圆和双曲线的图像有4个公共点 【答案】ACD 【解析】对于椭圆的方程为，可得， 对于双曲线的方程为，可得， 且椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上， 对于选项A：因为双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的一条渐近线方程为，故A正确； 对于选项B：因为椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上， 所以椭圆和双曲线不共焦点，故B错误； 对于选项C：椭圆的离心率，故C正确； 对于选项D：因为，可知双曲线的顶点在椭圆内部， 所以椭圆和双曲线的图像有4个公共点，故D正确； 故选：ACD. 2．（多选题）（2024·高二·河北保定·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为双曲线右支上一点，且，若与一条渐近线平行，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．的面积为 D．直线与圆相切 【答案】ACD 【解析】不妨设直线平行于双曲线的渐近线， 从而可得是线段的垂直平分线，且直线的方程为， 设直线与直线相交于点， 联立方程组，解得，即， 又，结合中点坐标公式，可得， 代入双曲线，可得，整理得，， 对于A，双曲线的离心率，故A正确； 对于B，双曲线的渐近线，故B错误； 对于C，的面积，故C正确； 对于D，圆心到直线的距离， 故直线与圆相切，故D正确. 故选：ACD 3．（多选题）（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）直线与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（    ） A．若，则 B．若，则的面积为4 C． D．的最小值为4 【答案】AD 【解析】设双曲线右焦点为，由题意可知，四边形为平行四边形， 由双曲线可知：， 对于A，因为，所以，所以四边形为矩形，所以，故A正确； 对于B，据双曲线定义可知：， 若，则四边形为矩形， 则，所以， 即 所以，所以， 所以，故B不正确； 对于C，由双曲线的方程可知， 在中，， 又因为双曲线渐近线方程为：，所以， 所以，即，故C错误； 对于D， 当且仅当时，取到最小值为4，故D正确． 故选：AD． 4．（多选题）（2024·高三·安徽黄山·阶段练习）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与圆相切于点，与第二象限内的渐近线交于点，则（    ） A．双曲线的离心率 B．若，则的渐近线方程为 C．若，则的渐近线方程为 D．若，则的渐近线方程为 【答案】AC 【解析】 对于A，，，，， ，，又与第二象限内的渐近线交于点， ，即，，，A正确； 对于B，由A知：，又，， 直线即为双曲线的一条渐近线， ，，又， ，， ， ，， ，整理可得：， ，，， 即，解得：，的渐近线方程为，B错误； 对于C，，， ，， ，整理可得：，即， ，，的渐近线方程为，C正确； 对于D，，，， ， ，， ，整理可得：， ，，，的渐近线方程为，D错误. 故选：AC. 题型二：双曲线的渐近线 5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过右焦点作其中一条渐近线的垂线，垂足为，且直线与另一条渐近线交于点，设为坐标原点，则的面积为 . 【答案】 【解析】由题意，得双曲线的渐近线方程为. 不妨设直线为过右焦点且与渐近线垂直的直线， 则直线的方程为，联立， 解得，即. 同理，联立，解得，即， 所以. 故答案为：. 6．（2024·高二·北京·阶段练习）若双曲线的两条渐近线互相垂直，则两条渐近线方程为 . 【答案】 【解析】因为双曲线的两条渐近线互相垂直， 的渐近线方程为，所以， 即，所以渐近线方程为， 故答案为：. 7．（2024·高二·吉林·期末）已知双曲线，焦点到渐近线距离为3，则其渐近线方程为 . 【答案】 【解析】双曲线，（），其焦点到渐近线的距离为， ，又，所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 8．（2024·高二·福建·期末）双曲线的左，右焦点，过点F2的直线l1交双曲线的右支于A、B两点，且，，则双曲线的渐近线为 . 【答案】 【解析】令，则，依题意，，， 等腰中，，而， 在中，由余弦定理得： ，整理得：， 又，解得，， 所以双曲线的渐近线为. 故答案为： 题型三：求双曲线离心率的值 9．（2024·高二·上海·期中）已知椭圆，双曲线.设椭圆两个焦点分别为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，记双曲线的一条渐近线与椭圆的一个交点为，若且，则的值为 . 【答案】 【解析】如图所示，椭圆， 因为, 所以， 又因为， 所以， 故， 双曲线的一条渐近线设为， 即，故， 所以双曲线离心率， 所以. 故答案为：. 10．（2024·高二·重庆·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，以为直径的圆过椭圆的上顶点，双曲线和椭圆有相同的焦点，为曲线与的一个公共点，若，则曲线与的离心率的乘积为 . 【答案】 【解析】因为以为直径的圆过椭圆的上顶点， 所以，如图， 所以，所以，故， 设双曲线的方程为， 假设点在第一象限，则 ，得， 在中，由余弦定理得 ，即， 整理得， 所以，则， ，所以，所以， 故. 故答案为： 11．（2024·高二·河南开封·期末）已知过双曲线左焦点且倾斜角为60°的直线与C交于点A，与y轴交于点B，且A是的中点，则C的离心率为 . 【答案】/ 【解析】由题意，，所以直线的方程为， 令得，因为A是的中点，所以， 将点代入得， 结合化简得，所以， 所以或，所以或， 又，所以，所以. 故答案为： 12．（2024·高二·上海·期中）双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另一个焦点.已知双曲线，如图从的一个焦点射出的光线，经过两点反射后，分别经过点和.若，则的离心率为 . 【答案】 【解析】由双曲线的光学性质可知,的反向延长线交于双曲线的左焦点,如图所示： 由, 两边平方可得, 所以，所以，所以， 又，所以， 设则， 设，则， 根据双曲线定义，可得， 所以，解得，所以 在中，所以 所以C的离心率为. 故答案为：. 13．（2024·高二·上海·阶段练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解析】设，则， 可知点在双曲线的右支上，点在双曲线的右支上， 设与双曲线的左支的交点为，连接， 因为，即，即，， 因为，由双曲线的对称性可知：为平行四边形， 则，，， 因为，则， 由余弦定理可得：， 整理得，即， 所以双曲线的离心率为. 故答案为：. 题型四：求双曲线离心率的范围 14．（2024·高二·浙江嘉兴·期末）已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，倾斜角为的直线与双曲线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 在中，， 由余弦定理得 ， 又， 所以， 设双曲线的左焦点为，，在中，由余弦定理得 ，得， 由得，，． 所以离心率的取值范围是. 故答案为： 15．（2024·高三·陕西榆林·阶段练习）若双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P是其右支上的动点，与其左支交于点Q.若存在P，使得，则C的离心率的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，且，所以， 所以，由于，所以，解得，所以. 故答案为： 16．（2024·高二·贵州黔东南·阶段练习）已知双曲线，若过右焦点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为， 要使直线与双曲线的右支有两个交点， 需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率， 即，即，由， 得，整理得，所以， 因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是， 故答案为：． 题型五：直线与双曲线的位置关系 17．（2024·高三·全国·专题练习）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ． 【答案】 和 【解析】若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时仅有一个交点，满足条件； 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组， 整理得到， 当时，方程无解，不满足条件； 当时，方程有一解，满足条件； 当时，令， 解得，此时恰好为渐近线的斜率，不满足条件， 所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为和． 故答案为：；和. 18．（2024·高二·江苏镇江·期中）已知双曲线C的方程为. (1)求与双曲线C有公共渐近线，且过点的双曲线标准方程； (2)当过点的直线与双曲线C有两个公共点时，求直线斜率取值范围. 【解析】（1）由已知可设双曲线方程为， 又双曲线过点，即，解得， 故双曲线方程为，即； （2）设直线的方程为，即， 联立得， ， 解得：且， 综上所述：. 19．（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线与点，讨论过点的直线的斜率的情况，使与双曲线分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点． 【解析】①当垂直于轴时，直线与双曲线相切，有一个公共点． ②当与轴不垂直时，设直线的方程为， 代入双曲线的方程中，有． 当，即或时，方程有一个解． 当时，， 令，可得；令，可得；令，可得． 综上所述，当直线的斜率或直线的斜率不存在时， 直线与双曲线有一个公共点； 当直线的斜率时， 直线与双曲线有两个公共点； 当直线的斜率时，直线与双曲线没有公共点． 20．（2024·高二·上海·期中）已知，直线与双曲线相交于不同的点. (1)若点分别在双曲线的左、右两支上，求的取值范围； (2)若以线段为直径的圆，经过坐标原点，求的值. 【解析】（1）直线与双曲线方程联立得：， 因为直线与双曲线相交于不同的两点分别在双曲线的左、右两支上， 所以有：， 因此实数的取值范围为； （2）设，因为线段为直径的圆经过坐标原点， 所以有，即， 由（1）可知：， 则， 即. 题型六：弦长、面积问题 21．（2024·高二·北京·开学考试）已知双曲线，则双曲线的离心率为 ；直线与双曲线相交于两点，则 . 【答案】 【解析】因为双曲线， 则故； 当时，，不妨设, 故， 故答案为：；. 22．（2024·海南·模拟预测）已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求. 【解析】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：； 又因为点在双曲线上，所以，解得：， 所以双曲线的标准方程为： （2）设， 由题可得过点且斜率为的直线方程为：，即， 联立，消去可得：， 所以，， 所以 23．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)若直线交于两点，且，求直线的方程． 【解析】（1）根据题意由可知， 动点的轨迹为以为焦点，实轴长为的双曲线， 即，所以， 所以可得的方程为； （2）如下图所示： 依题意设， 联立与的方程， 消去整理可得，则； 且，解得； 所以， 解得，满足，符合题意； 所以直线的方程为. 24．（2024·高二·黑龙江·期中）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 【解析】（1）由题意得：，解得，，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，联立方程组消去y整理得， 则，，， ， 原点到直线AB的距离， 所以． 题型七：中点弦问题 25．（2024·高二·山东泰安·阶段练习）直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是 . 【答案】 【解析】设直线与双曲线的交点为， 联立方程组，整理得，则，且， 设弦的中点为，则，代入直线方程可得， 所以截得弦的中点坐标为. 故答案为：. 26．（2024·高二·江西赣州·期中）已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 . 【答案】 【解析】由题意可知：直线：的斜率为， 可知直线的斜率， 设，则线段中点的坐标， 可得，， 因为A，B为双曲线C：上的两点，则， 两式相减整理得，即， 解得，即直线， 联立方程，解得， 可知线段中点的坐标为. 故答案为：. 27．（2024·高二·河南南阳·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【解析】（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为． （2）设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 28．（2024·高二·全国·课后作业）双曲线C的离心率为，且与椭圆有公共焦点． （1）求双曲线C的方程． （2）双曲线C上是否存在两点A，B关于点（4，1）对称？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由． 【解析】（1）椭圆：， 所以双曲线. 所以双曲线的方程为. （2）画出图象如下图所示，设， ， 两式相减并化简得，即， 所以直线的方程为. 题型八：定点定值问题 29．（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点. 【解析】（1）由题意，设右焦点的坐标为， 双曲线的渐近线方程为：， 右焦点到其中一条渐近线的距离为，可得， 又因为，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）当直线的斜率不为0时，设，则 联立方程组，得 整理得：. ，且 ，, ，令得， ， 直线过定点. 当直线的斜率为0时，此时直线:，此时均在轴上，故直线过定点. 综上：直线过定点. 30．（2024·高二·四川泸州·阶段练习）设直线．点和点分别在直线和上运动，点为的中点，点为坐标原点，且． (1)已知直线 ：经过定点P，直线经过点P，且，求直线的方程. (2)求点的轨迹方程； (3)当直线的斜率存在时，设点关于直线的对称点为，证明：直线过定点． 【解析】（1）对于直线，将其变形为. 令，解方程组： 将其代入，得到. 那么，所以定点. 已知直线，其斜率， 因为，两直线垂直斜率之积为，所以直线的斜率. 由点斜式可得直线的方程为，整理得. （2）设，则， 所以从而 因为，所以，即． 则，化简得． 所以点的轨迹方程为． （3）设，则， 当直线的斜率存在，易得 且， 则直线的方程为， 注意到，化简得． 点与关于直线对称， 设，则由， 解得， 又，所以 ， 从而， 令，得，因此直线过定点． 31．（2024·高二·陕西西安·阶段练习）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为． (1)求点的轨迹的方程； (2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由． 【解析】（1）设，到定直线的距离为则， 故，平方后化简可得， 故点的轨迹的方程为： （2）由题意，, 设直线的方程为，,，,， 由，可得， 所以，． 则，， 所以 ； 当直线的斜率不存在时，，此时， 综上，为定值． 32．（2024·高三·河北邯郸·阶段练习）已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为.过点的直线l与C的右支交于M、N两点，设直线的斜率分别为． (1)若，求：； (2)证明：为定值． 【解析】（1）设双曲线的焦距为，由题意得，，所以． 因为，所以，所以C的标准方程为． 直线，由消去y化简并整理得， 解得或（舍），所以． 又直线过点，所以直线的方程为，所以． （2）设，则． 因为，所以． 设直线，由消去x化简并整理得． 设，则， 故 ． 所以为定值． 题型九：最值问题 33．（2024·高三·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，离心率为2，，分别为C的左、右焦点，两点，都在C上. (1)求C的方程； (2)若，求直线AB的方程； (3)若，且，，求四个点A，B，，所构成四边形的面积的最小值. 【解析】（1）由题意可得，解得， 故曲线的方程为， （2）根据题意知直线的斜率不为零，设直线的方程为， 得，都在右支上， 由，消去可得， 易知，其中恒成立， ， 代入，消元得， 所以，解得，满足， 所以直线的方程为， （3），， 则分别在两支上，且都在的上方或的下方， 不妨设都在的上方，又， 则在第二象限，在第一象限，如图所示， 延长交双曲线与点，延迟交双曲线于点， 由对称性可知四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍， 由题设直线的方程为，直线的方程为， 由第（2）问易得， 因为,所以，所以， 两条直线与间的距离， 所以， 令，， 所以， 设，则，在上恒为减函数， 所以在上恒为增函数， 当时即，取得最小值为12， 所以四个点所构成的四边形的面积的最小值为12. 34．（2024·高三·上海宝山·阶段练习）已知双曲线的虚轴长为4，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)设，是双曲线上的动点，求的最小值； (3)过双曲线右焦点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点、，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值. 【解析】（1）由题意可知，又渐近线方程为，所以， 易知双曲线的标准方程为. （2）设，， 因为或，对称轴为，所以当时取得最小值1. （3）设，，，，联立方程 得， ， 且，， 由，，三点共线得①， 由得，即②，由①②解得. 由可知，四边形是平行四边形， 所以，， ， 所以， 令，，则，令， 则， 所以在上单调递减，上单调递增，所以， 所以，当且仅当，即时取等号. 35．（2024·湖北黄冈·二模）已知双曲线的左､右焦点分别为，焦距为4，虚半轴长为1.如图，直线与双曲线的右支交于两点，其中点在第一象限.与关于原点对称，连接与，其中垂直于的平分线，垂足为.    (1)求双曲线的标准方程； (2)求证：直线与直线的斜率之积为定值； (3)求的最小值. 【解析】（1）由题设，故，所以，则双曲线的标准方程为. （2）不妨设，因为点与点关于原点对称，所以， 易知直线的斜率存在，不妨设直线的斜率为， 记，因为直线为的平分线，所以， 因为两点均在双曲线上，所以， 此时，则， 同理得， 因为，又， 所以，整理得，则， 故直线与直线的斜率之积为定值； （3）由（2）知，因为，所以， 联立，又，解得， 所以， 不妨设直线的方程为，因为点在直线上，解得， 所以直线的方程为，易知， 因为直线的斜率为，不妨设直线的方程为， 因为点在直线上，解得， 所以直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 因为，所以，此时， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 故当时，取得最小值，最小值为3. 36．（2024·高二·河南商丘·期末）若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为． (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值． 【解析】（1）由题意可设的标准方程为，则，， 所以双曲线的标准方程为． （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 设点、， 联立，得， 所以且， 即且， 由韦达定理可得，， ． 因为，且，， 所以 ． 所以或． 当时，直线恒过点，不合题意， 当时，直线恒过点，合乎题意； 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为， 则、 因为，所以，解得或（舍去）． 所以直线恒过点， 所以当直线时，点到直线的距离最大，距离的最大值为． 37．（2024·高三·辽宁·阶段练习）已知双曲线（，）的离心率为，且经过点. (1)求的方程； (2)过原点的直线与交于，两点（异于点），记直线和直线的斜率分别为，，证明：的值为定值； (3)过双曲线上不同的两点，分别作双曲线的切线，若两条切线相交于点，且，求的最大值. 【解析】（1）依题意可得，解得，所以双曲线方程为； （2）根据对称性，不妨设在双曲线的右支， 设，（且），则，， 所以，为定值. （3）依题意可得，两点处的切线的斜率都存在且不为， 设，两点处的切线方程为，，依题意， 由，消元整理得， 则且，整理得到， 同理可得， 又点在两切线上，所以，所以， ， 所以、为关于的方程的两根， 即的两根， 所以，即， 所以点的轨迹方程为，所以. 【重难点集训】 1．（2024·高二·河南南阳·期中）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为双曲线上一点，若P与恰好关于C的一条渐近线对称，且，则的面积为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【解析】连接交双曲线的渐近线于点，则（为原点）， 而分别为的中点，则，，且， 由双曲线的一条渐近线为，得，则， 所以的面积为. 故选：D 2．（2024·高二·河南·阶段练习）已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，若的面积为，则的焦距的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意双曲线的一条渐近线方程为，即， 设点到渐近线的距离为，则， 所以，因为，，所以， 所以，所以；的焦距为， 又，当且仅当时，等号成立. 故选：C 3．（2024·高三·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，过双曲线上一点作两条渐近线的平行线分别与两渐近线交于，两点．若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意可得双曲线的渐近线方程为， 设交直线于点， 则点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为，由正弦定理可得， 即， 设，即， 因为， ， 所以，即， 所以，即， 所以离心率. 故选：C. 4．（2024·高三·广东揭阳·阶段练习）已知双曲线的两条渐近线均和圆相切，且圆的圆心是双曲线的一个焦点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆的圆心为，半径，所以， 又双曲线的两条渐近线为，即， 由题知，整理得到，又，得到， 所以，，得到双曲线的方程为. 故选：B. 5．（2024·高二·云南曲靖·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为．若，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设双曲线的半焦距为， 则右焦点的坐标为， 不妨设以为圆心，为半径的圆与渐近线的两个交点为． 则，又， 所以为等边三角形， 所以点到直线的距离等于， 所以，又， 故，所以， 所以双曲线的离心率为. 故选：D. 6．（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）已知方程的根大于，则实数满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，原方程转化为， 问题转化为过定点的直线与实轴在轴上的双曲线的交点的横坐标要大于的问题， 因为直线过，所以只需要保证直线和右支相交，而与左支不相交，即可， 观察图形，可以发现两条渐近线的斜率是临界情况，所以. 故选：A 7．（2024·高二·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为，虚轴长为，离心率为是上一点，若，则（    ） A．2 B．3或6 C．3 D．2或10 【答案】D 【解析】因为双曲线虚轴长为，且离心率为， 可得，所以， 又因为，即，解得， 当在的左支时，，因为，所以； 当在的右支时，，因为，所以． 综上，或10． 故选：D. 8．（2024·高二·全国·课后作业）已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为为右支上的一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，所以， 由双曲线定义可得，则， 则， 所以为直角三角形， 所以． 故选：B. 9．（多选题）（2024·高三·贵州贵阳·阶段练习）已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为2，点是上的一点，过点的直线与交于两点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或1 B．不存在点为线段的中点 C．若直线与双曲线的两支各有一个交点，则直线的斜率 D．内切圆圆心的横坐标为 【答案】BCD 【解析】对于A，离心率为，解得：，则或1.又因为，故A错； 对于B，假设存在点为线段的中点，则，又， 线段，联立与双曲线， 整理得：，，矛盾， 所以不存在点为中点的弦，故B正确； 对于C，由于双曲线的渐近线斜率为，直线与双曲线的两支各有1个交点，则直线的斜率，故C正确； 对于的内切圆与轴相切于点，则由双曲线定义得： ， 所以，即内切圆圆心的横坐标为，所以D正确， 故选：BCD. 10．（多选题）（2024·高二·河南商丘·期末）已知双曲线与直线无公共点，过的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，若，则的离心率可以是（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【解析】因为双曲线的渐近线方程为， 则的右焦点到的距离，即， 因为，则， 又因为，则，可得， 又因为与直线无公共点，则， 所以的离心率． 故选：BC． 11．（多选题）（2024·高二·浙江衢州·期末）已知是双曲线的右焦点，为其左支上一点，点，则（    ） A．双曲线的焦距为6 B．点到渐近线的距离为2 C．的最小值为 D．若，则的面积为 【答案】AC 【解析】如图： 由双曲线的标准方程，可知，，所以，所以双曲线的焦距为：，故A正确； 双曲线的渐近线为，即，点到渐近线的距离为： ，故B错误； 设双曲线的左焦点为,根据双曲线的定义：， 所以，故C正确； 在中，由，，， 由余弦定理得：， 所以， 所以，所以，故D错误. 故选：AC 12．（2024·高二·江西南昌·期中）已知双曲线的左､右作点分别为为坐标原点，倾斜角为的直线过右焦点且与双曲线的左支交于点，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】 【解析】因为 ， 所以，则， 过作轴，垂足为， 由题意知，则，故， 在中，， 故，又点在双曲线上， 则，将代入整理得， 则，解得，又，得到， 所以双曲线的离心率为， 故答案为：. 13．（2024·高二·云南昆明·期中）已知反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到，若的三个顶点均在双曲线上，则垂心的轨迹方程是 ．（三角形三条高线交于一点，此点即为垂心） 【答案】 【解析】等轴双曲线上三点的垂心的轨迹方程就是等轴双曲线本身. 证明如下： 由题意，反比例函数可由等轴双曲线绕原点逆时针旋转得到， 故证明采用反比例函数. 设垂心的坐标为， 且三个顶点都在等轴双曲线上， 设三个顶点坐标为, 所以直线的方程为， 即， 因为,即， 所以直线的方程为， 同理由,即， 所以直线的方程为， 所以由， 解得的垂心坐标为， 即垂心的横纵坐标的乘积为， 所以垂心的轨迹方程就是原来的等轴双曲线本身. 故答案为：. 14．（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左焦点为，直线与双曲线的右支交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，且的取值范围为，记的面积为面积为，则取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题设可知，面积为面积的两倍， 记的面积为，所以. 又因为 和的高相同，所以. 由直线与双曲线的渐近线交于两点，与双曲线的右支交于两点. 联立方程组，可得，消去可得， 而，则. 由韦达定理可得， 从而有，. 又，则，所以. 故答案为： 15．（2024·高二·浙江宁波·阶段练习）已知平面内两个定点，满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线和的斜率之积为，试证明直线过定点，并求出这个定点坐标． 【解析】（1）设，由题意得， 化简得到，所以曲线C的轨迹方程为． （2）因为直线和的斜率之积为，所以直线的斜率存在, 设，，， 由，消得到， 则，，， 而， ， 化简整理得到，得到或， 当时，，直线过定点与重合，不合题意， 当时，，直线过定点，所以直线过定点． 16．（2024·高三·贵州·阶段练习）已知是双曲线的一条渐近线，点在上. (1)求的方程. (2)已知直线的斜率存在且不经过原点，与交于两点，的中点在直线上. （i）证明：的斜率为定值. （ii）若的面积为，求的方程. 【解析】（1）由题可得， 所以的方程为. （2）（i）证明：设， 由得， 由题意得， 设中点的坐标为，则 所以. 因为的中点在直线上，所以，即， 因为，所以，故的斜率为定值. （ii）由（i）得的方程为， 且， 又点到的距离， 所以， 解得，所以的方程为. 17．（2024·高三·云南昆明·阶段练习）动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为． (1)求的方程； (2)过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值； (3)已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】（1）根据到直线与直线的距离之积等于，可得，化简得， 由于，故，即. （2）设，， 故当时，最小值为2 （3）联立与可得， 设， 则， 故 设存在点C满足，则， 故， 由于在，故， 化简得，即，解得或（舍去）， 由于，解得且， 故符合题意，由于，故， 故,故， 故存在，使得 【高考真题】 1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（    ） A．4 B．3 C．2 D． 【答案】C 【解析】由题意，设、、， 则，，， 则，则. 故选：C. 2．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，则， 解得， 所以双曲线的渐近线为， 当渐近线为时，圆心到该渐近线的距离，不合题意； 当渐近线为时，则圆心到渐近线的距离， 所以弦长. 故选：D 3．（2023年天津高考数学真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．过向一条渐近线作垂线，垂足为．若，直线的斜率为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图， 因为，不妨设渐近线方程为，即， 所以， 所以. 设,则，所以，所以. 因为,所以，所以，所以， 所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以双曲线的方程为 故选：D 4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则的中点， 可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得， 所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得， 此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确； 故选：D. 5．（2024年上海市1月春考数学试题）三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 . 【答案】3 【解析】由双曲线的定义， 则. 故答案为：3 6．（2024年北京高考数学真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ． 【答案】（或，答案不唯一） 【解析】联立，化简并整理得：， 由题意得或， 解得或无解，即，经检验，符合题意. 故答案为：（或，答案不唯一）. 7．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ． 【答案】 【解析】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距， 由双曲线的离心率为，得，解得，则， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 8．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ． 【答案】/ 【解析】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 9．（2024年上海秋季高考数学真题（网络回忆版））已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若离心率时，求的值． (2)若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标． (3)连接并延长，交双曲线于点，若，求的取值范围． 【解析】（1）由题意得，则，． （2）当时，双曲线，其中，， 因为为等腰三角形，则 ①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去； ②当以为底时，， 设，则 , 联立解得或或， 因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去； （或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）； ③当以为底时，，设，其中， 则有，解得，即． 综上所述：. （3）由题知， 当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则， 则设直线， 设点，根据延长线交双曲线于点， 根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数， 其中， ①，②，   ， 则，因为在直线上， 则，， 即，即， 将①②代入有， 即 化简得， 所以 , 代入到 , 得 , 所以 , 且，解得，又因为，则， 综上知，，． 10．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上. 【解析】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. （2）由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$