精品解析：辽宁省鞍山市华育学校2024—2025学年上学期10月月考九年级数学试题

6学科网命组卷网 辽宁省鞍山市华育学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试 卷 一.选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1.方程2x2=3(x一6)化为一般形式二次项系数、一次项系数和常数项分别为() A.2,3,-6 B.2,-3,18 C.2,-3,6 D.2,3,6 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式. 解：方程2x=3(x-6), 去括号，得2x2=3x-18, 整理，得2x2-3x+18-0, 所以，二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，-3,18， 故选B 考点：一元二次方程的一般形式. 2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是() 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行 逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对 第1页/共36页 学科网 命组卷网 称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫 做中心对称图形，这个点就是它的对称中心 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意： B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意： C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选C 3.老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子， 并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程.过程如图所示： 老师 甲 丙 x2+8x-9=0 x2+8x+16=9 (x+4)2=9 x+4=3 x=-1 接力中，自己负责的一步出现错误的是() A.只有甲 B.甲和丙 C.乙和丙 D.丙和丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程.熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键。 根据配方法解一元二次方程判断作答即可. 【详解】解：由题意知，甲中+8x+16=9+16 丙中x+4=3」 .甲和丙出现了错误， 故选：B 4.如图，△OCD是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若∠COD=60°，则∠COB的度数 是() 第2页/共36页 6学科网组卷网 B 0 25° A. 13o B.150 C200 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据旋转的性质求出∠BOD的度数，然后求出∠BOC的度数即可. 【详解】解：由题意得：∠BOD=40°， 又.∠COD=60°， .∠B0C=∠COD-∠BOD=60°-40°=20° 故选：C. 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，求出旋转角∠BOD的度数是解题的关键 5。数学课上，老师要求同学们“解方程-3x+3=0,小东说“其中一个解是X=1,小清说“方程 有两个实数根，这两个实数根的和为3”，小广说“此方程无实数根”，判断以上结论正确的是() A.小东说得对 B.小清说得对 C.小广说得对 D.三名同学说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是熟练掌握根的判别式及根据判别式 判断一元二次方程根的情况. 由题意得出系数后，根据根的判别式判断即可求解. 【详解】解：方程-3x+3=0中，a=1,b=-3,c=3 第3页/共36页 命学科网组卷网 ∴.b2-4ac=（-3)2-4×1×3=-3<0 方程无实数根， 则小东说的不对，小清说的不对，小广说得对. 故选：C 6.如图所示，在△ABC中，EF∥BC.若AB=7,BC=5,BE=3,则EF=() A E F B 15 20 15 20 A.4 B.3 C.7 D.7 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件得到AE=4,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论 【详解】解：，AB=7,BE=3, AE=4, .EF∥BC, ,△AEF∽△ABC, AB BC 75 ∴.AEEF,即4EF, 20 EF=7, 故选：D. 第4页/共36页 命学科网命组卷网 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共 角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相 似三角形；在利用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长， 7.如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙，另外三边用25m长的篱笆围成.为方便进 出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为”，若花圃的面积为 0m2 所列方程正确的是() A.x(26-2x)=80 B.x(24-2x)=80 c.(x-1)(26-2x)=80 D.(x-1)(25-2x)=80 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设与墙垂直的一边长为m,则与墙平行的一边长 为（26-2x)m,根据花圈面积为80m2即可列出关于x的一元二次方程，此题得解. 【详解】解：设与墙垂直的一边长为m,则与墙平行的一边长为(26-2x)m, 根据题意得： x(26-2x)=80 故选：A 8.如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍不能使△ACD∽△ABC的是() 第5页/共36页 6学科网命组卷网 ∠ACD=∠B B∠ADC=∠ACB AD CD C.AC-BC D.AC2=AD.AB 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解， 本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理， 【详解】解：A、,∠A=∠A,∠ACD=∠B. .△ACD∽△ABC,不符合题意， B、,∠A=∠A,∠ADC=∠ACB, ∴.△ACD∽△ABC,不符合题意， AD CD C、根据ACBC无法得到△ACD∽△ABC,符合题意， D、AC2=AD.AB AC AB .AD AC' 又∠A=∠A, ∴.△ACD∽△ABC,不符合题意， 故选：C 二.填空题（共8小题，每小题3分，共24分） 9若关于的-元二次方程3r-5x+m=0。 的一个根是1，则该方程的另一个根是 2 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解一元二次方程，一元二次方程的解是使方程左右两 第6页/共36页 命学科网命组卷网 边相等的未知数的值，据此把x=1代入原方程求出的值，进而解原方程求出另一个根即可得到答案. 【详解】解：~关于x的一元二次方程3x-5x+m=0 一个根是1， :3x12-5x1+m=0 .m=2, 3x2-5x+2=0 .原方程为 2 解得5=五 2 .该方程的另一个根为3， 故答案为：3 10.若点P(m-1,5)与点(3,2-”川关于原点成中心对称，则m+n的值为一· 【答案】5 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案. 【详解】解：，点P(m-1,5)与点Q(3,2-n)关于原点对称， .m-1=-3,2-n=-5, 解得：m=-2,1=7, 则m+n=-2+7=5. 故答案为：5. 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反 数。 11.在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学每人送出贺卡 张。 【答案】6 第7页/共36页 命学科网组卷网 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设参加活动的同学有x人，则每个人都要给其他 (x一)人赠送一张贺卡，再根据共送贺卡42张列出方程求解即可· 【详解】解：设参加活动的同学有x人， x(x-1)=42 由题意得， 整理得 x2-x-42=0 解得x=7或x=-6(舍去)， .参加活动的同学有7人， 参加活动的同学每人送出贺卡7-1=6张， 故答案为：6. 12如图， AD∥BE∥CF,直线、马与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.若 AB 2 BC3,DE=6,则DF的长为. 【答案】15 【解析】 AB DE 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出BCEF,再将已知数据代入求出即可. 第8页/共36页 6学科网 命组卷网 【详解】解：.AD∥BE∥CF, AB DE .BC EF, AB 2 :BC3,DE=6, 26 .3EF’ .EF=9, .DF=EF+DE=9+6=15. 故答案为：15. AB DE 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，得出BCEF是解题的关键。 13.摩拜共享单车计划2023年第三季度(8,9,10月)连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划8月投放 3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x,则可列方程 【答案】3000+3000(1+x)+3000(1+x)2=12000 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设增长率为x,则9月份投 3000(1+x)台，10月份 投放3000(1+x台，再根据第三季度共投放120台列出方程即可. 【详解】解：由题意得，3000+3000(1+x)+3000(1+x)}=12000 故答案为：3000+3000(1+x)+3000(1+x)2=12000 14.如图在△ABC中，AB=8,AC=6,P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q,若以A、P、Q 第9页/共36页 6学科网命组卷网 AO 为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则的长为 B 9 【答案】4或4 【解析】 【分折】本题主要考查了相似三角形的性质，先由线段中点的定义得到4P-4C=3,再分 △AOPOAABC△APOAABC 和 ，两种情况根据相似三角形对应边成比例列式求解即可. 【详解】解：P是AC的中点，AC=6, :AP=)4C=3 2 .∠A=∠A, ∴只存在△AOPABC和△APOABC 和 两种情况， A0AP 当△OPOAABC时，则ABAC, A0 3 .86, ,AQ=4 AO AP 当△APOn△ABC时，则ACAB, A但_3 .68, 第10页/供36页 6学科网6组卷网 0s9 9 4: 综上所述，AQ=4或9、9 4, 9 故答案为：4或4. 15.m,n是方程x2-2023x+2024=0的两根，则代数式(m2-2022m+2024)m2-202n+2024)的 值是 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，一元二次方程的解是使方程左右两 边相等的未知数的值，据此可得m-2023m+2024=0,广-2023m+2024=0,再由根与系数的关系 得到mn=2024 进一步求出 m2-2022m+2024=m,n2-2022n+2024=n,则 m2-2022m+2024)(n2-2022n+2024)=mn=2024 【详解】解：m,n是方程t-2023x+2024=0 两根， :.m-2023m+2024=0.2-2023m+2024=0mm=2024 .m-202m+2024=m,72-2022n+2024=n .(m2-2022m+2024)(n2-2022n+2024)=mn=2024 故答案为：2024 16,如图，口ABCD中，AB=4,BC=8,∠B=30°，点P是边BC上一动点，连接AP,将线段AP 第11页/共36页 6学科网列组卷网 绕点P顺时针旋转9O°，当点A的对应点E恰好落在口ABCD的边所在的直线上时，线段AP的长为 【答案】2或4或2V5 【解析】 【分析】分四种情况讨论.①如图，当点E落在BC上时，由旋转性质可得AP⊥BC,在Rt△ABP中， AB=4∠B=30° AP=AB.sin∠B 根据锐角三角函数可得 ②如图，当点E落在CD上时，过点A作AM⊥BC于点M,过点E作EN⊥BC于点N,在 Rt△MBM中，可得AM=2,BM=2V3 由旋转性质可得∠APE=90°，AP=EP,证明 △APM≌PEN((AAS),则PN=AM=2,设BP=x,可得PM=EW=2N5-x,CN=6-x, 根据平行四边彩的性质可得∠BCg=ABC=30P,则W=CWam30P=3CND 3 23-x=2(6-,解得r=0,得到点P与点B重合，则P=4B: 3 ③当点E落在AD上时，如图，过点P作PF⊥AD于点F,四边形AGPF是矩形，可得FP=2,由 旋转性质可得AP=PE,∠APE=90°，得到AF=FE=FP=2,再利用勾股定理可得结论： ④当点E落在AB上时，过点P作PG⊥AB于点G,由旋转性质可得AP=PE,∠APE=90°，得到 第12页/共36页 6学科网丽组卷网 1G=EG=PG,根据锐角三角函数可粉anB=C-PG-V BGPG+43,解得PC=2W3+2,则 BP=PG =43+4 sin30 得到4V3+4>8,继而推出点P在线段BC的延长线上，可得结论. 【详解】解：①当点E落在BC上时，如图， ,线段AP绕点P顺时针旋转90°，点A的对应点为点E, .AP⊥EP, .AP⊥BC, 在RtAABP中，AB=4,∠B=30°， 1-2 :1P=AB-sin∠B=4×sin30°=4 2 ②当点E落在CD上时，如图，过点A作AM⊥BC于点M,过点E作EN⊥BC于点N, .∠AMP=∠PNE=∠CNE=90°， ∴.∠APM+∠PAM=90°， :线段AP绕点P顺时针旋转90°，点A的对应点为点E, .∠APE=90°，AP=EP, :.∠APM+∠EPN=90°. :.∠PAM=∠EPN. 第13页/供36页 6学科网命组卷网 在△APM和△PEN中， ∠PAM=∠EPN ∠AMP=∠PNE AP=PE .△APM≌APEN(AAS) .'AM PN,PM=EN, .∠AMP=90°，AB=4,BC=8,∠ABC=30°， :AM=AB-sin∠B=4xsin30°=4x)=2,BM=1B-eos∠B=4xcos30P=4x5=25 2 .PN=AM=2, 设BP=x, EN=PM=BM-BP=23-x CN=BC-PN-BP=8-2-x=6-x ,四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=30°， .AB∥CD, .∠BCE=∠ABC=30°， .∠CNE=90°， wc-un /wC-c c 3(6-x) 解得：x=0, 第14页/供36页 6学科网列组卷网 点P与点B重合， .AP=AB=4: (B)P M ③当点E落在AD上时，如图，过点P作PF⊥AD于点F,过点A作AG⊥BC于点G, .∠AGP=∠AFP=90° ,四边形ABCD是平行四边形，∠B=30°，AB=4, AG=AB-sin∠B=4xsin30°=4x)=2 .AD∥BC, 2 .∠GAF=180°-∠AGP=180°-90°=90°」 ∴四边形AGPF是矩形， :FP=AG=2, ,线段AP绕点P顺时针旋转90°，点A的对应点为点E, .AP=PE,∠APE=90° .AF =FE=FP=2, AP=4F2+PF2=22+22=2 B ④当点E落在AB上时，过点P作PG⊥AB于点G, 第15页/供36页 6学科网列组卷网 .∠PGA=90°， ,线段AP绕点P顺时针旋转90°，点A的对应点为点E, ∴.AP=PE,∠APE=90° AG=EG=PG、 .AB=4,BC=8,∠B=30°， :anB=PS-、PGg BG PG+4 3, :PG=2V3+2 .BP-PG=PG =4V3+4 sin B sin30° .4W3+4>8 ∴点P在线段BC的延长线上，不符合题意； 综上所述，AP的长为2或4或2V2 故答案为：2或4或22 E 【点睛】本题是旋转变换综合题，考查了旋转的性质，平行 四边形的性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形三 线合一性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，运用了分类讨论的思想.掌握旋转的性质，解直 角三角形是解题的关键， 第16页/共36页 6学科网 命组卷网 三·解答题（共72分） 17.解下列方程： (1)9x-102-4=0 2)2x2-4x-5=0 5 1 【答案】4)=3名=3 (2)与2+ ,5-2-ig 2 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键. (1)把方程化为： 心-=9，再利用直接开平方法解方程即可 (2)先计算A=b-4c=(-4-4×2x(-5)=56>0,再利用公式法解方程即可. 【小问1详解】 解：…9(x-2-4=0 :9(x-1)=4 --g. :-1=2 3， 【小问2详解】 第17页/供36页 6学科网命组卷网 解：2x-4x-5=0 .a=2,b=-4,c=-5, :△=b2-4ac=(4)}2-4×2×(-5)=56>0 :x=-b±F-4ac-4±24_2士4 2a 2 24与2 解得七 2 18如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上. (1)画出将△MBC关于原点O的中心对称图形△4BG；(点A与4对应，点B与B对应，点C与G 对应) (2)将4DEF绕点B逆时针旋转90°得到△DE5,画出△DE5:点D与D对应，点F与F对应 (3)若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 【答案】(1) 如图， △AB,C即为所求： 第18页/供36页 6学科网组卷网 Ci (2) E 如图， △D,EE即为所求： (3) (0,1) 【解析】 【分析】本题主要考查了作图旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键， △4BC (1)根据中心对称的性质即可画出 △DEE (2)根据旋转的性质即可画出 (3)根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得旋转点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等： 第19页/共36页 6学科网命组卷网 旋转中心在线段AD、CF的中垂线上，即为图中点P: 由图象可知， 该点的坐标为(0，) 故答案为： (0,1) 19已知关于x的-元二次方程+(2k+4)x+k2+1= 有两个不等实数根，七」 (1)求k的取值范围： (2)若+名+2xx2=1 ,求k的值 【答案】(1) k>、3 4 (2)k=1+7 2 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，根的判别式： 4)根据题意可得△=(2k+4°-4(k2+)>0,据此求解即可； (2)由根与系数的关系得到+名=-(2k+4),x52=k2+1 再根据已知条件得到 -2k-4+2k2+2=1 解方程即可得到答案。 第20页/共36页 6学科网6组卷网 【小问1详解】 解：“关于x的一元二次方程+(2k+4)x+k2+1=0 两个不等实数根， .△=(2k+42-4k2+1)>0. :42+16k+16-4h2-4>0 >3 4 【小问2详解】 解：：关于的一元二次方程+(2k+4)x+2+1=0有两个不等实数根。， :+名=-(2k+4)x5=2+1 ++2xx2=1 :-2k-4+22+2=1 :2k2-2k-3=0 2↓6 解得长1+ 2(舍去). 20.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,∠B=40°，将△ABC绕点C逆时针方向旋转100°得到 △4，C,连接AA.求证：四边形M4BC是平行四边形. 第21页/供36页 6学科网组卷网 B 【答案】 AB=AC,∠B=40°， .∠B=∠ACB=40°， .∠BAC=100°， ∠ACA,=∠BCB,=100°∠B=∠B,=∠A4,CB=40°∠BAC=∠B,A,C=100° ,由旋转可得： AC=AC :∠CA4=∠C44=400 :∠B,44=∠ACB=140 :∠B4A+∠B=180°=∠B+∠ACB :A4IBC,AC∥AB ∴四边形 AABC 为平行四边形. 【解析】 【分析】先求解∠B=∠ACB=40°，∠BAC=100°，结合旋转的性质可得 ∠ACA=∠BCB=100° ∠B=∠B,=∠ACB,=40°∠BAC=∠B4C=100 ，再证明14BC,AC∥4 ,从而可得结 第22页/供36页 命学科网 组卷网 论. 【详解】略 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，旋转的性质，平行四边形的判定， 熟练的利用旋转的性质解题是关键。 21.根据以下素材，完成探索任务. 探索果园土地规划和销售利润问题 其农户承包了一块长方形果园ABCD,图1是 E M 果园的平面图，其中AB=200米，BC=300 种植园区 材 米.准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道 N 1 路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度 2x 都为x米，中间部分种植水果。 BxI 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过 图1 12米，且不小于5米. 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市 场调查，草莓培育一年可产果.若每平方米的草 素 莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平 材方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓 2出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调 4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月 图2 的承包费为2万元 问题解决 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. (1)若中间种植的面积是 第23页/共36页 可学科网丽组卷网 44800m2 求道路宽度的值， (2)若农户预期一个月的总利润 佃 解决果园种植的预期利润问题.（总利润=销售 为55.2万元，则从购买草莓客户 利润一承包费) 的角度考虑，每平方米草莓平均 利润应该降价多少元？ 【答案】(1)10：(2)每平方米草莓平均利润下调48元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. (300-2x)(200-2×2x) (1)由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为 米、宽为 米 的长方形，根据中间种植的面积是44800m 可列出关于x的一元二次方程，解之可得出的值，取其符 合题意的值即可得出结论： (100-y) (2)设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为 元，每月可售出 5000+500× 平方米草莓，利用总利润=销售利润_承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可 得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论 (300-2x)(200-2×2x)=44800 【详解】解：(1)根据题意得： 整理得：r-200x+1900=0 解得：=10为=190 (不符合题意，舍去)， .道路宽度为10米： (2)设每平方米草莓平均利润下调y元， 第24页/共36页 6学科网6组卷网 (0-500+500×) 20000=552000 整理得： y2-60y+576=0 解得：片=12与=48 又从客户的角度考虑，要让利于顾客， ∴y=48 答：每平方米草莓平均利润下调48元. 22.如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且AD2=AEAB,连接DE. (1)求证：△ABD∽△ADE: (2)若CD=3CB=9 4,求AC的长. 【答案】(1) 证明：：AD是∠BAC的角平分线， ∴.∠BAD=∠EAD AD=AE-AB AD AB :AE AD, :AABD△ADE 第25页/供36页 6学科网命组卷网 (2)4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理： AD AB (I)根据AD是∠BAC的角平分线可得出∠BAD=∠EAD,由AD=AE·AB可得出AEAD,进而 即可证出△ABD∽△ADE: △ABD∽△ADE,∠ADB=∠AED,∠ABD=∠ADE (2)由 可得出 ,根据三角形内角和定理及平角等于 180° ∠CDE=∠CAD △DCE∽△ACD ,即可得出 ,结合公共角相等可得出 ，再利用相似三角形的性 质即可求出AC的长度即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：：△ABDn△ADE, ∠ADB=∠AED,∠ABD=∠ADE :∠DAE+∠ADE+∠AED=I80,∠ADB+∠ADE+∠CDE=18O0 :∠CDE=∠DAE=∠DABn∠CDE=∠CAD ,即 又：∠DCE=∠ACD. △DCE∽△ACD AC CD .CD CE, 第26页/供36页 6学科网 6组卷网 AC 3 39 4 :4C=4 23.综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，在△ABC中，∠BAC=90,AE是BC边的中线，延长BA至点D,连接CD,且BD=CD 求证：∠AEB=∠D. D B E B E 图1 图2 图3 (1)独立思考：请解答王老师提出的问题. (2)实践探究：在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答. “如图2，F是CD边的中点，连接AF,将∠AEB绕点E顺时针旋转一定角度，交AF于点M,交AB 于点N.在图中找出与AM相等的线段，并证明.” (3)问题解决：数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当射线EM经过点D时，若给 出BC,BD的边长，则图3中所有己经用字母标记的线段长均可求.该小组提出下面的问题，请你解答. “如图3，在(2)的条件下，当射线EM经过点D时，BC=6,BD=5,求AM的长.” 【答案】(1) 证明：：在△ABC中，∠BAC=90°，AE是BC边的中线， .AE=BE=CE=-BC 2 .∠B=∠BAE. BD CD 第27页/共36页 学科网列组卷网 .∠B=∠BCD .∠BAE=∠BCD .∠AEB=180°-∠B-∠BAE,∠D=180°-∠B-∠BCD, .∠AEB=∠D. (2) BN=AM 证明如下：：∠BAC=90°， .∠DAC=90° F是CD边的中点， AF=CF=DF=10 CD ∴.∠D=∠FAD ,∠AEB=∠D,将∠AEB绕点E顺时针旋转得到∠MEN, .∠AEB=∠MEN=∠FAD, :∠FAD+∠MAN=180°， .∠MEN+∠MAN=180° :.∠ANE+∠AME=180° .∠AWE+∠BNE=180°， .∠BNE=∠AME. .∠AEB=∠MEN. 第28页/供36页 命学科网 命组卷网 .∠AEB-∠AEN=∠MEN-∠AEN,即∠BEN=∠AEM. BE=AE, :.△BEN≌AAEM(AAS) :BN=AM AM= 35 (3) 39 【解析】 分析】（山）先根据直角三角形斜边中线的性质得到E=BE=CE=)BC,则B=BME,进一步西 2 明∠BAE=∠BCD,再由三角形内角和定理即可证明∠AEB=∠D: AF=CF=DF= -CD (2)由题意可得 2,则∠D=∠FAD,由旋转的性质得到 ∠AEB=∠MEN=∠FAD ∠ANE+∠AME=180°，∠ANE+∠BNE=180° .证明 .再由 得到 ∠BNE=∠AME.再证明∠BEN,=∠AEM.即可证明△BEN≌AAEM(AAS),则BN=AM, (3)法一：连接EF,由中位线定理得到 BD=5 2,EF∥BD, BE=)BC=3.证明 2 △1BE△CBD.求B- 5.则D AM AD 5.再证明△ADM∽△FEM,得到AF-AMEF,即 7 AM 即可求出 35:法二：连接，同理得到 AM= F-1BD-5 5 2 39 EF 2 2EF∥BD 第29页/供36页 命学科网命组卷网 BE=-BC=3 4 2 由等腰三角形三线合一定理得到DE⊥BC,求出DE=4.再利用面积法求出 AC= 5 > AM 利用勾股定理求出 7·证明 ·得到AM 5,即可求 AD= AD:即5-AM 5 △ADMP△FEM AF-AM EF 2 AM-35 39 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：法一：连接EF, E,F分别是BC,CD的中点，BD=5,BC=6, 、5 2,EF∥BD, E=号BC=3 :∠B=∠B,∠AEB=∠BDC, .△ABE∽△CBD AB BE AB 3 .CBBD,即65， :AB= 5 :AD=BD-4B=] 第30页/共36页 6学科网6组卷网 .EF∥BD, .△ADM∽△FEM. AM AD ∴.FMEF, 2 AM ·.AMAD,即5 AF-AM EF 2 -AM :1Ms35 39 B 法二：连接EF, ,E,F分别是BC,CD的中点，BD=5,BC=6, 2 D-2.E那∥BD,E=Bc=3 :BD=CD,BD=5,E是BC的中点， .CD=5,DE⊥BC. 4F-CD 2 2. .∠DEC=90° 在Rt△CDE中，DE=VCD2-CE2=V52-32=4 第31页/共36页 命学科网命组卷网 BD:AC=BC.DE 2 2 1 ×5×AC=5×6×4 .2 24 AC=白 5. 在RtAACD中，∠DAC=90°， EF∥BD, .△ADMn△FEM. AM AD .FM EF. 7 AM ..AM AD,即5 5 -AM AF-AM EF AM=35 39. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质 与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键. 24点R、点P和点0为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若P2=P'Q,且PQr=90, 第32页/共36页 6学科网 命组卷网 则称P为点P关于点O的等垂点. (1)己知点的坐标为(4,0)）， ①如下图所示，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点P'的坐标 O(P) ②如下图所示。P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点P恰好在一次函数'=2x+3 的图象上，求点 P的坐标； (2)如下图所示，若点Q的坐标为，-2），P为直线y=2上一点，P关于点Q的等垂点P位于y轴右 侧，连接OPQP OP'+Op ,请问 是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由. ◇ O 第33页/共36页 6学科网命组卷网 【皆案1o44度-4P(子4威P行4 (2)V85 【解析】 P'9⊥x,P9=4 P y 【分析】(1)①根据新定义，得到 轴，且 ,求解即可；②分点在轴正半轴和在 轴负半轴上，两种情况进行求解即可； 直线少2 (2)过点P作A .过点P作PBL40.证明△01心aPB0.得到点P在直线=5 上运动，作点2关于直线x=5的对称点(9，-2），得到OP+PD=0P+P'Q≥00，进而得到当 0,P',2' OP'+P'Q .0Q 三点共线时， 的值最小，为的长，进行求解即可. 【小问1详解】 解：①：点P为原点，点Q的坐标为(4,0) .P9=P9=4,P'9⊥x 轴， .P'(4,4)或P(4,4), 故答案为：(4,4)或(4,4)， ②当点P在'轴负半轴上时：过点P作PE100 y=2x+3 ∠P'EQ=∠P'QP=∠POE=90° 则： 第34页/供36页 6学科网命组卷网 ∠EP'Q=∠OQP=90°-∠EQP' PO=PO 又 △EPQ≌△OQP EP'=O9=4 ，即：点的纵坐标为4， ,点P'在直线y=2x+3上，当y=4时x≤、7 2, G 当点'在轴正半轴上时：过点P作PCLO0. P /y=2x+3 C △CP'Q≌AOQP 同法可得： :P℃=0g=4 即：点的纵坐标为4， 、7 当y=4时， 2, ( 综.P(子4P行 第35页供36页 命学科网命组卷网 【小问2详解】 如图，过点e作4上有 4百线"=2，过P作P8L0, :(,-2),点A在直线y=2上， :0=4 △QAP≌△P'BQ 同(1)②法可得： P'B=A0=4 ∴点P的横坐标为5，即：点P在直线x=5上运动， 作点2关于直线x=5的对称点'(9，-2)】 OP+P'O=OP'+P'O'zOO' O,P,O' OP'+PO 09 当 三点共线时， 的值最小，为的长， (9,-2) :00=V92+22=V⑧5 【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用，利用轴对称解决线段最短问题，全等三角形的判定 和性质.解题的关键是掌握新定义，画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解. 第36页/共36页 辽宁省鞍山市华育学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷 一．选择题(共8小题，每小题3分，共24分) 1. 方程2x2＝3(x－6)化为一般形式二次项系数、一次项系数和常数项分别为 ( ) A. 2，3，－6 B. 2，－3，18 C. 2，－3，6 D. 2，3，6 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成配方法解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示： 接力中，自己负责的一步出现错误的是（ ） A. 只有甲 B. 甲和丙 C. 乙和丙 D. 丙和丁 4. 如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 数学课上，老师要求同学们“解方程”，小东说“其中一个解是”，小清说“方程有两个实数根，这两个实数根的和为3”，小广说“此方程无实数根”，判断以上结论正确的是（ ） A. 小东说得对 B. 小清说得对 C. 小广说得对 D. 三名同学说法都不对 6. 如图所示，在中，．若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的墙，另外三边用长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为，若花圃的面积为，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题(共8小题，每小题3分，共24分) 9. 若关于x 的一元二次方程的一个根是1，则该方程的另一个根是________． 10. 若点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 11. 在元旦庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡42张，则参加活动的同学每人送出贺卡________张． 12. 如图， ，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，，则的长为______． 13. 摩拜共享单车计划2023年第三季度(8，9，10月)连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划8月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x， 则可列方程________． 14. 如图在中，，P是的中点，过P点的直线交于点Q，若以A、P、Q 为顶点的三角形和以A、B、C 为顶点的三角形相似，则的长为________． 15. m，n是方程的两根，则代数式的值是________． 16. 如图，中，，，，点是边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转，当点的对应点恰好落在的边所在的直线上时，线段的长为______． 三 ．解答题（共72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． （1）画出将关于原点O的中心对称图形；（点A与对应，点B与对应，点C与对应) （2）将绕点E逆时针旋转得到， 画出；(点D与对应，点F与对应) （3）若由 绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ． 19. 已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根． （1）求k的取值范围； （2）若，求k的值． 20. 如图，在等腰中，，，将绕点C逆时针方向旋转得到， 连接．求证：四边形是平行四边形． 21. 根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过12米，且不小于5米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果．若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）若中间种植的面积是，求道路宽度的值． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（总利润销售利润承包费） （2）若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 22. 如图，在中，是角平分线，点E在边上，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题： 如图1，在中，是边的中线，延长至点D，连接，且．求证：． （1）独立思考：请解答王老师提出的问题． （2）实践探究：在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答． “如图2，F是边的中点，连接，将绕点E顺时针旋转一定角度，交于点M，交于点N．在图中找出与相等的线段，并证明．” （3）问题解决：数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当射线EM经过点D时，若给出的边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答． “如图3，在（2）的条件下，当射线经过点D时，，求的长．” 24. 点P、点和点Q为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点P关于点Q的等垂点． （1）已知点Q的坐标为， ①如下图所示，若点P为原点，直接写出P关于Q的等垂点的坐标________； ②如下图所示，P为y轴上一点，且点P关于点Q的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标； （2）如下图所示，若点Q的坐标为，P为直线上一点，P关于点Q的等垂点位于y轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $