精品解析：上海市闵行区浦江第一中学2024-—2025学年九年级上学期数学期中考试试卷

2024学年第一学期期中调研 九年级数学学科 （考试时间100分钟，满分150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列命题中，假命题是（　　） A. 两个正方形一定相似 B. 两个菱形一定相似 C. 两个等腰直角三角形一定相似 D. 两个等边三角形一定相似 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似形的判定及命题的真假判断，根据相似图形的定义逐项判断即可求解，掌握正方形、菱形、等腰直角三角形和等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故选项是真命题； 、两个菱形的边成比例，但角不一定相等，所以不一定相似，故选项是假命题； 、两个等腰直角三角形的底角都是一定相等，所以一定相似，故选项是真命题； 、两个等边三角形的角都是一定相等，所以一定相似，故选项是真命题； 故选：B． 2. 中，，，，那么的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，明确：在直角三角形中，一锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值．先利用勾股定理求出，再根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， ． 故选：C． 3. 下列说法错误的是（　　） A. 如果与都是单位向量，那么 B. 如果，那么或 C. 如果（为非零向量），那么 D. 如果，（为非零向量），那么与平行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面向量，根据平面向量的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、如果与都是单位向量，那么，A选项正确，不符合题意； B、如果，那么或，B选项正确，不符合题意； C、如果（为非零向量），那么，故C选项不正确，符合题意； D、∵，（为非零向量）， ∴， 即， ∴， ∴与平行． 故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 4. 如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是一道关于平行线分线段成比例的题目，掌握平行线分线段成比例的相关知识是解答本题的关键．根据平行线分线段成比例定理，即可进行判断． 【详解】解：A．∵， ∴，故A正确； B．根据无法判断，故B错误； C．∵， ∴， ∵， ∴，故C错误； D．∵， ∴， ∵， ∴，故D错误． 故选：A． 5. 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．某商场“飞梯”从2层直达5层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据图形和锐角三角函数，可以表示出的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴（米）， 故选：A． 6. 已知是的重心，记，那么下列等式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了向量的线性运算，重心的定义，先推出，，再由重心的性质可得，则，由此即可得到． 【详解】解：如图所示，中，G是重心，是中线， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵是的重心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选C． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知线段，，如果线段c是a和b的比例中项，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例中项，根据比例中项的定义进行求解即可． 【详解】∵线段c是a和b的比例中项， ∴， ∴． 故答案为： 8. 已知，求________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握及运用其性质是做题的关键．将所求分式拆分为两个分式之和，并代入已知条件计算即可． 【详解】解： ， ． 故答案为 ：． 9. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查向量的加减法计算法则，熟记法则是解题的关键．根据向量的计算法则解答． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 在中，，如果，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 11. 如图，在中，点在边上，点在边上，，，那么的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据已知证明，得出，进而得出，由，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如果P是线段的黄金分割点，，那么较长线段的长是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，关键是明确黄金分割所涉及的线段的比． 根据黄金分割的定义解答． 【详解】解：设， 根据题意列方程得，， 即， 解得(负值舍去)． 故答案为：． 13. 在中，，（是锐角），，那么的长为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点C作于D，先解得到，即可利用勾股定理求出，再解求出，则． 【详解】解：如图所示，过点C作于D， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：3． 14. 小明沿斜坡坡面向上前进了5米，垂直高度上升了1米，那么这个斜坡的坡比是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求正切值，勾股定理，解题的关键是掌握坡比等于坡角的正切值，先根据勾股定理求出前进的水平距离，再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意可得：， 根据勾股定理可得：， ∴这个斜坡的坡比， 故答案为：． 15. 进博会期间，从一架离地200米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是___________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形-仰角俯角问题，根据正弦的定义求出，即可得到答案． 【详解】解：如图， 在中，米，， ∴， ∴（米）， 故答案为：． 16. “二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．”如图，已知，，是上一点，，在处测得点的俯角为，，，那么___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形仰角俯角问题及勾股定理，根据题意可得，解直角三角形求出，进而得到，再利用勾股定理求出，由即可求解． 【详解】解：根据题意可得， 在中，， ， ， 在中，，则， ， ． 故答案为：． 17. 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=9，点E、F分别在边AB、CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么=_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用比例中线的定义，求出EF的长度，然后由梯形ADFE相似与梯形EFCB，得到，即可得到答案. 【详解】解：如图， ∵EF是梯形的比例中线， ∴， ∴， ∵AD//BC， ∴梯形ADFE相似与梯形EFCB， ∴； 故答案为：. 【点睛】本题考查了相似四边形的性质，以及比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握相似四边形的性质和比例中线的性质. 18. 如图，在中，，，点为边上的点，连接，将沿翻折，点落在平面内点处，边交边于点，连接，如果，那么的值为 __． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质，掌握等腰三角形的性质和解直角三角形是解题的关键．分当点在左侧时和当点在右侧时，两种情况讨论，先过作于，过作于，再根据相似三角形的性质及解直角三角形求解． 【详解】解：当点在左侧时，如图所示，过作于，过作于， ， ， ， 设，则， ， ， ， 将沿翻折，点落在平面内点处， ， ， ， ， ， ， ； 当点在右侧时，如图所示，过作于，过作于， ， ， ， 设，则， ， ， ， 将沿翻折，点落在平面内点处， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：或． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记各个特殊角度的锐角三角函数值．先将各个特殊角度的锐角三角函数值化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 20. 如图，已知梯形中，，、分别是、的中点，与交于点，为上一点，． （1）求的值； （2）设，，如果，那么________，________．(用向量、表示) 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的中位线定理、相似三角形的判定与性质、平面向量； （1）由三角形中位线定理易得为的中位线，进而可得为的中位线，于是； （2）根据题意可得，根据三角形法则得出，证，得到，进而，以此即可得到答案． 【小问1详解】 解：，点为的中点， 为的中位线， 点为的中点， 又点为的中点， 为的中位线， ，，即 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， 即， ， ， 故答案为：，． 21. 如图，在中，，，的平分线交边于点，点在边上，且，与相交于点． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）的值为． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角函数，相似三角形的性质与判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得出，，根据，可设，，根据勾股定理得出，进而求出，得出，，即可得出答案； （2）先得出，，根据相似三角形的性质得出，再得出，进而得出，由，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 ∵，平分， ∴，， 在中，， 设，， 由勾股定理得：，即， ∴，解得， ∴，， ∴； 【小问2详解】 过作于点， 由（）得：， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由， ∴， ∴， ∴的值为． 22. 如图，商场自动扶梯从一楼到三楼与水平面所成的角度分别是：和，每层楼自动扶梯爬坡的坡面长度相同，如果从一楼到二楼的层高为5米，求一楼到三楼的层高是多少米？（忽略楼层之间厚度，参考数据：） 【答案】一楼到三楼的层高是11米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线构造直角三角形成为解题的关键． 如图，过D作于点F，过E作于点G．在中，解直角三角形可得，则；在中可得，最后根据矩形的性质和线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，过D作于点F，过E作于点G． ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴，则． 在中，， ∴， ∴， ∴． 答：一楼到三楼的层高是11米． 23. 已知：如图，在中，点D在边上，，，与交于点F． （1）求证：； （2）连接，如果，求证∶． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 证明：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）证明，即可得出； （2）先推导出，证明，得，即可证明进而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫做线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”：如图，平面直角坐标系中有一点，把线段绕点做“旋似”运动，点的对应点是点，若“旋似角”为， （1）当“旋似比”为时，求点的坐标； （2）过做轴，点为垂足，连接，若轴，求此时的“旋似比”； （3）当“旋似比”为时，设线段与轴交于点，点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 【答案】（1）点 （2）“旋似比”为 （3）或 【解析】 【分析】（）先证明，再利用“旋似比”为即可求解； （）证明，再根据相似三角形的性质即可求解； （）由“旋似比”为，求出点，再求出解析式，则有，从而得出，分两种情况：当点F在O点上方时，当点F在O点下方时，分别求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图，过作轴于点，过作轴于点， ∴ ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴点； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴此时的“旋似比”为； 【小问3详解】 解：如图，过作轴于点，过作轴于点，延长交于点， ∴ ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴点， ∴，， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴解析式为， 把代入得， 把代入得，解得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当点F在O点上方时，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时点F的坐标为； 在O点的下方取，使，如图所示： ∴， ∴， ∴当点F在点时，符合题意， 设点的坐标为， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为， ∴点的坐标或． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质与判定，待定系数法求解析式，坐标与图形，解题的关键是根据题意转化为相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定． 25. 如图，已知中，，是边上一点，且，过点作，并截取，射线与的延长线交于点． （1）求证：； （2）设，，求与的函数关系式； （3）如果是直角三角形，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ （2）； （3）或． 【解析】 【分析】（1）先证明，得出，进而证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）过点作，交于点，证明，得出，，根据相似三角形的性质得出比例式，即可得出函数关系式； （3）由，分两种情况分别讨论，，，在中，根据三角函数的定义，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点作，交于点 又∵， ∴， ∴ ∴， 由，,则，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴. 【小问3详解】 ①， ②如果， 由，，可得 设，则， 在中，， ∴，. ③如果， 由，，可得， 设，， 在中，， ∴，. 所以，当是直角三角形时，的长为或. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质，列函数关系式，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期期中调研 九年级数学学科 （考试时间100分钟，满分150分） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列命题中，假命题是（　　） A. 两个正方形一定相似 B. 两个菱形一定相似 C. 两个等腰直角三角形一定相似 D. 两个等边三角形一定相似 2. 中，，，，那么的值是（　　） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（　　） A. 如果与都是单位向量，那么 B. 如果，那么或 C. 如果（为非零向量），那么 D. 如果，（为非零向量），那么与平行 4. 如图，已知，直线，，分别交直线于点、、，交直线于点、、，那么下列比例式正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．某商场“飞梯”从2层直达5层，“飞梯”的截面如图，的长为50米，与的夹角为，则的长是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是的重心，记，那么下列等式中，成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知线段，，如果线段c是a和b的比例中项，那么______． 8. 已知，求________． 9. 计算：___________． 10. 在中，，如果，，那么______． 11. 如图，在中，点在边上，点在边上，，，那么的值为___________． 12. 如果P是线段的黄金分割点，，那么较长线段的长是_____________． 13. 在中，，（是锐角），，那么的长为_______． 14. 小明沿斜坡坡面向上前进了5米，垂直高度上升了1米，那么这个斜坡的坡比是___________． 15. 进博会期间，从一架离地200米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是___________米． 16. “二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．”如图，已知，，是上一点，，在处测得点的俯角为，，，那么___________． 17. 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=9，点E、F分别在边AB、CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么=_____． 18. 如图，在中，，，点为边上的点，连接，将沿翻折，点落在平面内点处，边交边于点，连接，如果，那么的值为 __． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 如图，已知梯形中，，、分别是、的中点，与交于点，为上一点，． （1）求的值； （2）设，，如果，那么________，________．(用向量、表示) 21. 如图，在中，，，的平分线交边于点，点在边上，且，与相交于点． （1）求的长； （2）求的值． 22. 如图，商场自动扶梯从一楼到三楼与水平面所成的角度分别是：和，每层楼自动扶梯爬坡的坡面长度相同，如果从一楼到二楼的层高为5米，求一楼到三楼的层高是多少米？（忽略楼层之间厚度，参考数据：） 23. 已知：如图，在中，点D在边上，，，与交于点F． （1）求证：； （2）连接，如果，求证∶． 24. 在平面直角坐标系中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫做线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”：如图，平面直角坐标系中有一点，把线段绕点做“旋似”运动，点的对应点是点，若“旋似角”为， （1）当“旋似比”为时，求点的坐标； （2）过做轴，点为垂足，连接，若轴，求此时的“旋似比”； （3）当“旋似比”为时，设线段与轴交于点，点是轴上一点，且满足，求点的坐标． 25. 如图，已知中，，是边上一点，且，过点作，并截取，射线与的延长线交于点． （1）求证：； （2）设，，求与的函数关系式； （3）如果是直角三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $