第13章轴对称复习检测卷-2024-2025学年人教版数学八年级上册

第13章轴对称复习检测卷-2024-2025学年数学八年级上册人教版 一．选择题（共8小题） 1．（2024•滨州）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•成都模拟）在平面直角坐标系中，点A（3，﹣2），B（m，n）关于x轴对称，将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（　　） A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（0，﹣2） D．（0，2） 3．（2024秋•宜兴市校级月考）下列说法：①形状相同的两个三角形是全等三角形；②全等三角形的中线相等；③成轴对称的两个图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分；④两条直角边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024秋•凉州区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，且点D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠C为（　　） A．30° B．36° C．40° D．45° 5．（2024秋•南岗区校级月考）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝AK，BN＝BK，若∠MKN＝44°，则∠P＝（　　） A．90° B．92° C．96° D．98° 6．（2023秋•凤山县期末）如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 7．（2024春•顺河区期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．100° B．90° C．70° D．80° 8．（2024秋•玄武区校级月考）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，连接AD．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADB+∠ACD＝90°；④△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共8小题） 9．（2024春•城关区校级期末）如图，已知AB＝CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是　 　．（只需写一个，不添加辅助线） 10．（2024秋•六合区校级月考）如图，∠A＝30°，∠C'＝60°，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B＝　 　． 11．（2024秋•玄武区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为40°，则∠C的度数为 　 　． 12．（2024秋•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足为D．若CD＝2，则AC的长为 　 　． 13．（2024秋•西湖区校级月考）如图．在△ABC中，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD，若AB＝5，AC＝4，则△ACD的周长为 　 　． 14．（2024秋•虎丘区校级月考）若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，当∠ABC和∠ADE互余时，称△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC的边BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．如图，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”． （1）若连接BD，CE，判断△ABD与△ACE是否互为“底余等腰三角形”：　 　（填“是”或“否”）； （2）当∠BAC＝90°时，若△ADE的“余高”AH＝3，则DE＝ 　 　． 15．（2024秋•姑苏区校级月考）如图，点B，F，D在射线AM上，点G，C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GA，则∠A＝　 　°． 16．（2024•武威三模）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 　 　． 三．解答题（共7小题） 17．（2023秋•宝丰县期末）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（3，4），C（3，﹣1）． （1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点； （2）求△ABC的面积． （3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标． 18．（2023秋•乌鲁木齐期末）如图，直线AB∥CD，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：△FCE是等腰三角形． 19．（2024秋•廊坊期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，CF为△ABC的角平分线，边AC的垂直平分线分别交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OA、OB． （1）不添加辅助线，请直接写出图中的等腰三角形（△ABC除外），并用“≌”表示全等的等腰三角形． （2）若∠CAB＝65°，求∠BOE的度数．（可直接利用（1）的结论） 20．（2024秋•沭阳县校级月考）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F． （1）若∠ACB＝110°，则∠MCN的度数为 　 　； （2）若∠ACB＝α，则∠MCN的度数为 　 　；（用含α的代数式表示） （3）连接FC，试证明FC平分∠MCN． 21．（2024秋•靖江市校级月考）如图，已知AB∥CD，∠BAC的角平分线与CD交于点E，F为射线AB上的一个动点，连接EF，过点C作CG⊥EF，且FG＝EG． （1）已知∠BAC＝70°，求∠AEF的度数． （2）若∠AEF＝α，求∠ECG的度数． 22．（2024秋•高州市校级月考）如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米． 现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 23．（2024秋•高新区月考）如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，连接AP，BP，若∠APM＝∠BPN，则称点P为点A，B关于直线MN的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在△ABC中，D为BC上一点，点D、E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线AB的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图3，在△ABC中，∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，点O到AC的距离为2，直线l垂直平分边BC，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接OP，BP，当∠ACB＝60°时，OP+BP的值为 　 　． 第13章轴对称复习检测卷-2024-2025学年数学八年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．（2024•滨州）数学中有许多精美的曲线，以下是“悬链线”“黄金螺旋线”“三叶玫瑰线”和“笛卡尔心形线”．其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、是轴对称图形； D、是轴对称图形； 故选：B． 2．（2024•成都模拟）在平面直角坐标系中，点A（3，﹣2），B（m，n）关于x轴对称，将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（　　） A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（0，﹣2） D．（0，2） 【解答】解：∵点A（3，﹣2），B（m，n）关于x轴对称， ∴点B的坐标为（3，2）， ∴将点B向左平移3个单位长度得到点C，则点C的坐标为（0，2）． 故选：D． 3．（2024秋•宜兴市校级月考）下列说法：①形状相同的两个三角形是全等三角形；②全等三角形的中线相等；③成轴对称的两个图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分；④两条直角边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的说法有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①形状相同的两个三角形是相似三角形，不一定是全等三角形，只有形状相同，大小也相等的两个三角形才是全等三角形，不符合题意； ②全等三角形对应边上的中线相等，不符合题意； ③成轴对称的两个图形中，对应点的连线段被对称轴垂直平分，符合题意； ④两个直角三角形的两条直角边对应相等，这两个直角三角形全等，符合全等三角形的判定定理“SAS”，符合题意． 综上所述，正确的说法有③④共2个． 故选：B． 4．（2024秋•凉州区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，且点D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠C为（　　） A．30° B．36° C．40° D．45° 【解答】解：∵AB＝AC，CD＝AD，AB＝BD， ∴∠B＝∠C＝∠CAD，∠ADB＝∠BAD， ∵∠ADB＝∠C+∠CAD＝∠C+∠C， ∴∠B+∠C+BAC＝∠C+∠C+2∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝36°， 故选：B． 5．（2024秋•南岗区校级月考）如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝AK，BN＝BK，若∠MKN＝44°，则∠P＝（　　） A．90° B．92° C．96° D．98° 【解答】解：∵PA＝PB，∴∠A＝∠B， ∵AM＝AK，BN＝BK， ∴∠AKM＝∠AMK＝∠BKN＝∠BNK， ∵∠MKN＝44°， ∴∠AKM＝∠BKN＝（180°﹣44°）＝68°， ∴∠A＝∠B＝180°﹣68°﹣68°＝44°， ∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝92°， 故选：B． 6．（2023秋•凤山县期末）如图，OC＝CD＝DE，若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【解答】解：∵OC＝CD＝DE， ∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC， ∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC， ∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°， ∴∠ODC＝25°， ∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°， ∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°． 故选：C． 7．（2024春•顺河区期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　） A．100° B．90° C．70° D．80° 【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值． ∵∠C＝40°， ∴∠DAB＝140°， ∴∠AA′E+∠A″＝40°， ∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″， ∴∠EAA′+∠A″AF＝40°， ∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°， 故选：A． 8．（2024秋•玄武区校级月考）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF，连接AD．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB＝2∠ADB；③∠ADB+∠ACD＝90°；④△ABD和△ACD都是等腰三角形．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①过D作DM⊥AB于M，DP⊥AC于P，DN⊥BC于N， ∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACF， ∴DM＝DN，DP＝DN， ∴DM＝DP， ∴AD平分∠EAC， ∴∠EAD＝∠CAD， ∵∠EAC＝∠ABC+∠ACB，∠ACB＝∠ABC， ∴∠EAD＝∠ABC， ∴AD∥BC， ∵AD∥BC，故①正确； ②∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB＝2∠DBC＝2∠ADB， 即∠ACB＝2∠ADB，故②正确； ③∵CD平分∠ACF， ∴∠ACF＝2∠ACD， 又∠ACF+∠ACB＝180°，∠ACB＝2∠ADB， ∴2∠ADB+2∠ACD＝180°， ∴∠ADB+∠ACD＝90°，故③正确； ④∵BD平分∠ABC，AD∥BC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴△ABD是等腰三角形， ∵CD平分∠ACF，AD∥BC， ∴∠ACD＝∠ADC， ∴△ACD是等腰三角形． 故④正确， 故选：D． 二．填空题（共8小题） 9．（2024春•城关区校级期末）如图，已知AB＝CB，要使四边形ABCD成为一个轴对称图形，还需添加一个条件，你添加的条件是　AD＝CD　．（只需写一个，不添加辅助线） 【解答】解：AD＝CD， 理由：在△ABD与△CBD中，， ∴△ABD≌△CBD， ∴四边形ABCD是一个轴对称图形， 故答案为：AD＝CD． 10．（2024秋•六合区校级月考）如图，∠A＝30°，∠C'＝60°，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则∠B＝　90°　． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称， ∴△ABC≌△A′B′C′， ∴∠C＝∠C′＝60°， ∵∠A＝30°， ∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°， 故答案为：90°． 11．（2024秋•玄武区校级月考）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为40°，则∠C的度数为 　65°或25°　． 【解答】解：如图，当AB的垂直平分线与边AC相交于点D时，∠ADE＝40°，则∠A＝90°﹣40°＝50°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣50°）÷2＝65°． 如图，当AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝90°﹣40°＝50°， ∴∠BAC＝180°﹣50°＝130°． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣130°）÷2＝25°． 综上所述：∠C为65°或25°． 故答案为：65°或25°． 12．（2024秋•海淀区校级月考）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足为D．若CD＝2，则AC的长为 　8　． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC， ∴∠CBD＝180°﹣∠C﹣∠BDC＝30°， ∴BC＝2CD＝4， ∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝30°， ∴AC＝2BC＝8， 故答案为：8． 13．（2024秋•西湖区校级月考）如图．在△ABC中，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连结CD，若AB＝5，AC＝4，则△ACD的周长为 　9　． 【解答】解：由作图过程可知，直线MN为线段BC的垂直平分线， ∴CD＝BD， ∴△ACD的周长为AC+AD+CD＝AC+AD+BD＝AC+AB＝4+5＝9． 故答案为：9． 14．（2024秋•虎丘区校级月考）若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，当∠ABC和∠ADE互余时，称△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC的边BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．如图，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”． （1）若连接BD，CE，判断△ABD与△ACE是否互为“底余等腰三角形”：　是　（填“是”或“否”）； （2）当∠BAC＝90°时，若△ADE的“余高”AH＝3，则DE＝ 　6　． 【解答】解：（1）如图1，连接BD、CE， ∵AB＝AC＝AD＝AE， ∴∠ABC＝∠ACB，∠ADE＝∠AED，∠ADB＝∠ABD，∠AEC＝∠ACE， ∴∠ABC+∠ACB+∠ADE+∠AED＝2（∠ABC+∠ADE），∠ADB+∠ABD+∠AEC+∠ACE＝2（∠ADB+∠AEC）， ∵∠ABC+∠ADE＝90°， ∴2（∠ABC+∠ADE）＝180°， ∵由四边形BDEC内角和可得∠ABC+∠ACB+∠ADE+∠AED+∠ADB+∠ABD+∠AEC+∠ACE＝360°， ∴2（∠ABC+∠ADE）+2（∠ADB+∠AEC）＝360°， ∴2（∠ADB+∠AEC）＝180°， ∴∠ADB+∠AEC＝90°， ∴△ABD与△ACE互为“底余等腰三角形”， 故答案为：是． （2）如图： ∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝AD＝AE， ∴∠B＝∠C＝45°， ∵∠B+∠D＝90°， ∴∠D＝45°， ∴∠D＝∠E＝∠B＝∠C＝45°， ∴△ADE≌△ABC（AAS）， ∴DE＝BC， ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝CH，∠HAB＝∠HAC＝45°， ∴， ∴DE＝BC＝6， 故答案为：6． 15．（2024秋•姑苏区校级月考）如图，点B，F，D在射线AM上，点G，C，E在射线AN上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GA，则∠A＝　　°． 【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GA，设∠A＝x， 则∠AFG＝∠ACB＝x，∠CGF＝∠CEF＝∠CBF＝∠CDF＝2x， ∠ECD＝∠CED＝∠EFD＝∠EDF＝3x，而∠A+∠CED+∠EDF＝180°， 故x＝， 即∠A＝， 故答案为：． 16．（2024•武威三模）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于O点，过点O作BC的平行线交AB于M点，交AC于N点，则△AMN的周长为 　10　． 【解答】解：∵BO为∠ABC的平分线，CO为∠ACB的平分线， ∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO， ∵MN∥BC， ∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO， ∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO， ∴MB＝MO，NC＝NO， ∴MN＝MO+NO＝MB+NC， ∵AB＝4，AC＝6， ∴△AMN周长为AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10， 故答案为：10 三．解答题（共7小题） 17．（2023秋•宝丰县期末）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（3，4），C（3，﹣1）． （1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点； （2）求△ABC的面积． （3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标． 【解答】解：（1）如图所示，点A、B、C即为所求； （2）△ABC的面积为：＝5； （3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，则A1（1，﹣4）、B1（3，﹣4）、C1（3，1）． 18．（2023秋•乌鲁木齐期末）如图，直线AB∥CD，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：△FCE是等腰三角形． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠DFE＝∠1＝60°， ∵∠DFE＝∠2+∠E，∠DFE＝60°，∠2＝30°， ∴∠2＝∠E， ∴CF＝EF， ∴△FCE是等腰三角形． 19．（2024秋•廊坊期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，CF为△ABC的角平分线，边AC的垂直平分线分别交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OA、OB． （1）不添加辅助线，请直接写出图中的等腰三角形（△ABC除外），并用“≌”表示全等的等腰三角形． （2）若∠CAB＝65°，求∠BOE的度数．（可直接利用（1）的结论） 【解答】解：（1）等腰三角形有△OAB，△OAC，△OBC； ∵AC＝BC，CF 为△ABC的角平分线， ∴CF垂直平分边AB， ∴OA＝OB， ∵边AC 的垂直平分线分别交AC，CF，CB于点D，O，E， ∴OA＝OC， ∴OA＝OC＝OB， ∴△OAB，△OAC，△OBC为等腰三角形， 在△OAC和△OBC中， ， ∴△OAC≌△OBC（SSS）； （2）∵AC＝BC，∠CAB＝65°， ∴∠CBA＝∠CAB＝65°，∠ACB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝50° ∵CF为△ABC的角平分线， ∵DE⊥AC， ∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠ACB＝180°﹣90°﹣50°＝40°． ∵△OBC 为等腰三角形， ∴∠CBO＝∠BCF＝25°， ∴∠BOE＝∠DEC﹣∠CBO＝40°﹣25°＝15°． 20．（2024秋•沭阳县校级月考）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F． （1）若∠ACB＝110°，则∠MCN的度数为 　40°　； （2）若∠ACB＝α，则∠MCN的度数为 　2α﹣180°　；（用含α的代数式表示） （3）连接FC，试证明FC平分∠MCN． 【解答】（1）解：∵DM，EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN， ∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN＝180°，∠ACB＝∠ACM+∠BCN+∠MCN＝110°， ∴∠A+∠B＝70°， ∴∠A+∠B+∠ACM+∠BCN＝140°， ∴∠MCN＝40°， 故答案为：40°； （2）解：∵DM，EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN， ∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN＝180°，∠ACB＝∠ACM+∠BCN+∠MCN＝α， ∴∠A+∠B＝180°﹣α， ∴∠A+∠B+∠ACM+∠BCN＝2（180°﹣α）＝360°﹣2α， ∴∠MCN＝180°﹣（360°﹣2α）＝2α﹣180°， 故答案为：2α﹣180°； （3）证明：如图，连接AF、BF， 由题意可得AF＝CF，BF＝CF，AM＝CM，BN＝CN， ∴AF＝BF，∠ACF＝∠CAF，∠BCF＝∠CBF，∠CAB＝∠ACM，∠CBA＝∠BCN， ∴∠BAF＝∠ABF， ∵∠MCF＝∠ACF﹣∠ACM＝∠CAF﹣∠CAM＝∠BAF，∠NCF＝∠BCF﹣∠BCN＝∠CBF﹣∠CBN＝∠ABF， ∴∠MCF＝∠NCF， ∴FC平分∠MCN． 21．（2024秋•靖江市校级月考）如图，已知AB∥CD，∠BAC的角平分线与CD交于点E，F为射线AB上的一个动点，连接EF，过点C作CG⊥EF，且FG＝EG． （1）已知∠BAC＝70°，求∠AEF的度数． （2）若∠AEF＝α，求∠ECG的度数． 【解答】解：（1）如图所示，连接CF， ∵CG⊥EF，FG＝EG． ∴CF＝CE， ∴∠CFE＝∠CEF， ∵AB∥CD， ∴∠BFE＝∠CEF， ∴∠CFE＝∠BFE， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠AEC， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝35° ∴∠AEC＝∠CAE， ∴CA＝CE， ∴CF＝CA， ∴∠CFA＝∠CAF＝70°， ∴∠CEF＝∠CFE＝∠BFE＝（180°﹣70°）＝＝55°， ∵∠AEC＝35°， ∴∠AEF＝∠CEF﹣∠AEC＝20°； （2）设∠AEC＝β， ∵∠AEF＝α， ∴∠CEF＝∠AEF+∠AEC＝α+β， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝∠AEC＝β， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAE＝2β， ∴∠AEC＝∠EAC， ∴CA＝CE， ∵CG⊥EF，FG＝EG， ∴CG垂直平分EF， ∴CF＝CE， ∴CA＝CF，∠CFE＝∠CEF＝α+β， ∴∠CFA＝∠CAF＝2β， ∵AB∥CD， ∴∠AFE+∠CEF＝180°， ∴∠AFC+∠CFE+∠CEF＝180°， 即2β+α+β+α+β＝180°， ∴β＝， ∴α+β＝， ∵∠CGE＝90°， ∴∠ECG＝90°﹣∠CEF＝90°﹣（α+β）＝45°﹣， ∴∠ECG的度数为45°﹣． 22．（2024秋•高州市校级月考）如图1，A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米． 现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A'，连接A'B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 【解答】解：方案1：如图2中，过点A作AE⊥BD于点E， ∵∠ACD]＝∠CDE＝∠AED＝90°， ∴四边形ACDE是矩形， ∴DE＝AC＝1， ∵AC＝1，BD＝4， ∴BE＝BD﹣DE＝4﹣1＝3， 在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2， ∴， ∴AC+AB＝1+5＝6； 方案2：如图3中，过A′作A′H⊥BD交BD延长线于点H， ∵AA′⊥CD，BH⊥CD， ∴AA′∥BH， ∵A′H⊥BH， ∴CD＝A′H＝4， 同理A′C＝DH， ∵AC＝A′C＝1， ∴BH＝BD+DH＝BD+A′C＝BD+AC＝5， ∴， ∵AM′＝AM， ∴， ∵， ∴方案1路线短，更合适． 23．（2024秋•高新区月考）如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，连接AP，BP，若∠APM＝∠BPN，则称点P为点A，B关于直线MN的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在△ABC中，D为BC上一点，点D、E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线AB的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图3，在△ABC中，∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，点O到AC的距离为2，直线l垂直平分边BC，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接OP，BP，当∠ACB＝60°时，OP+BP的值为 　4　． 【解答】解：（1）点B是点D、F关于直线AB的“等角点”，理由如下： 如图， ∵点D、E关于直线AB对称， ∴∠ABD＝∠ABE， ∵∠ABE＝∠FBM， ∴∠ABD＝∠FBM， ∴点B是点D、F关于直线AB的“等角点”； （2）如图，连接OC，PC，过点O作OD⊥AC于D， ∵∠ABC，∠BAC的平分线交于点O， ∴OC平分∠ACB， ∴∠OCD＝∠ACB＝30°， ∵OD⊥AC， ∴OC＝2OD＝4， ∵直线l垂直平分边BC， ∴∠BPE＝∠CPE，BP＝CP， ∵点P为O，B关于直线l“等角点”， ∴∠BPE＝∠OPF， ∴∠CPE＝∠OPF， ∵∠OPF+∠BPO+∠BPE＝180°， ∴∠CPE+∠BPO+∠BPE＝180°， ∴O，P，C在同一条直线上， ∴OP+BP＝OP+CP＝OC＝4， 故答案为：4． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$