5.3.1 组合课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3 组合 互动学习 达标小练 自 主 预 习 [课标解读]1.通过实例，理解组合的概念，能利用计数原理推导组合数 公式.2.能够利用组合数公式解决一些简单的实际问题. [素养目标]水平一：1 .能从教材实例中抽象出组合的概念(数学抽象).2. 通过实例，理解组合与两个计数原理的关系，能利用计数原理推导组合数公 式(数学抽象).3.通过组合知识解决实际问题(逻辑推理、数学运算). 水平二：1.借助组合数公式及组合数的性质进行运算(数学运算).2.能用枚举 法写出一个组合问题的所有的组合(逻辑推理).3.能用分步乘法计数原理解决 简单的组合问题(逻辑推理、数学运算). 自主预习 1.组合的概念 一般地，从n 个不同元素中，任取 m(m≤n, 且 m,n∈N+) 个元素为一 组，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组 合 .我们把有关求组合的 个数问题叫作组合问题. 课前篇 自主预习 · 知识梳理· 知识点一组合 2.组合与排列的联系与区别 从排列与组合的定义可知，两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n, 且m,n∈N+) 个元素的计数问题，它们的差别是：排列需要考虑元素顺序， 组合不需要考虑元素顺序.也就是说：只有元素相同且顺序也相同的两个排列 才是相同的；只要两个组合元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组 合 . 知识点二 组合数 1.组合数的概念 从 n 个不同元素中取出m(m≤n, 且 m,n∈N+) 个元素的所有组合个 数，叫作从n个不同元素中取出m(m≤n, 且 m,n∈N+) 个元素的组合数， 记作Cm. 2.组合数公式及其性质 (1)公式： (2)性质： (3)规定：Ch= 1 . ·问题初探· 1.“abc”和“acb”是相同的排列还是相同的组合? 提示：由于“abc” 与 “acb” 的元素相同，但排列的顺序不同，所以“abc” 与“acb”是相同的组合，但不是相同的排列. 2. 怎样理解组合，它与排列有何区别? 提示：(1 )组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从 n个不同的元素中进行m 次不放回地取出. (2)取出的m 个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是 组合的特点. (3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否 有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问 题，否则就是组合问题。 3.如何理解组合与组合数这两个概念? 提示：同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合 数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n, 且m,n∈N+) 个元素合成一组”,它不是一个数，而是具体的一件事；“组 合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n,且 m,n∈N+) 个元素的所有 不同组合的个数”,它是一个数.例如，从3个不同元素a,b,c 中每次取出 两个元素的组合为ab,ac,bc, 其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3 个，则组合数为3. 互动学习 课堂篇 互动学习 类 型 写出问题的组合 [例1] 写出从5位同学中选3位同学去社区服务的所有组合. [解] 解法一：用 A,B,C,D,E 分别表示5位同学，可按AB→AC →AD→BC→BD→CD 顺序写出，即 所以所有组合为ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE , BDE,CDE. 解法二：用A,B,C,D,E 分别表示5位同学，画出树形图，如图所 示 . 由此可以写出所有的组合：ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE, BCD,BCE,BDE,CDE. 通法提炼 1.此类列举所有从n个不同元素中选出m 个元素的组合，可借助“顺序后移 法”或“树形图法”,直观地写出组合做到不重复不遗漏. 2.由于组合与顺序无关.故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出 的一个组合不可交换位置.如写出ab 后，不必再交换位置为ba, 因为它们是 同一组合.画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗 漏. 变式训练1 (1)在圆周上有5个点，则以这5个点为顶点的三角形有10 个. 解析：设圆周上5个点分别为A,B,C,D,E, 由于任意3点不共 线，所以只需从这5个点中任意取出3个点均可构成三角形，属于组合问 题，所有的组合为{A,B,C},{A,B,D},{A,B,E},{A,C,D}, {A,C,E},{A,D,E},{B,C,D},{B,C,E},{B,D,E},{C, D,E}, 共10种. (2)如已知a,b,c,d 这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合. 解：可 按a→b→c→d顺序写出，即 所以所有组合为ab,ac,ad,bc,bd,cd. [例2] ( 1)计算：① +Cỉ0 · (2)证明： 类型 二 组合数公式的应用 ;② ;③ ● ③解法一：原式=C3+Cs-c4+c4-Cs+…+C41-C4o=Cf₁=330. 解法二：原式=C4+c3+C³+…+Cỉo=Cs+C³+…+Cio=C6+c6 ②∵ ∴9.5≤n≤10.5,∵n∈N*,∴n=10, 十…+Cỉo=…=C4o+Cỉo=Cf₁=330. (2)证明：解法一：左边= 右边，原结论得证。 解法二：利用公式Cm=cm-1+cm=1 推得左边=(cm+ 1+cm)+(Cm+ 通法提炼 有关组合数的两个公式的应用范畴是有所区别的， 常用于n, m 为具 体自然数的题目，一般偏向于具体组合数的计算；公式 常用于 n,m 为字母或含有字母的式子的题目，一般偏向于方程的求解或有关组合数 的恒等式的证明. 变式训练2 (1)计算：( ②Cy+C5+C²+C³+C4+C5. (2)求证： ; (2)证明：因为 类型 简单的组合问题 [例3] 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从 中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法? (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加. [解] (1)从中任取5人是组合问题，共有Ci₂ =792 (种)不同的选法. (2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问 题，共有C?=36(种)不同的选法. (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C5 =126(种)不同的选法. (4)甲、乙、丙三人有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中选1人， 有C ¹=3 (种)选法；再从另外9人中选4人，有C9种选法.共有C3c9= 378(种)不同的选法. 通法提炼 解答简单的组合问题的思考方法： (1)弄清要做的这件事是什么事. (2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题. (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果. 变式训练3 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名. (1)现要从中选2名教师去参加会议，有多少种不同的选法? (2)选出2名男教师或2名女教师去外地学习的选法有多少种? (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法? 解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数为 ● (2)可把问题分两类情况： 第一类，选出的2名是男教师有C?种选法； 第二类，选出的2名是女教师有C2种选法。 根据分类加法计数原理，共有C6+c²=15+6=21 (种)不同的选法。 (3)从6名男教师中选2名的选法有C6种，从4名女教师中选2名的选法 有C2种，根据分步乘法计数原理，共有 (种)不同的 选法. 类 型 四 分组分配问题 [例4] 6 本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法： (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本； (2)分为三份，每份两本； (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本； (5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本. [解] (1)根据分步乘法计数原理得到C6c2c²=90 (种). (2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C6c2c2种方法，这个过程可以分 两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份 分给甲、乙、丙三名同学有A3种方法.根据分步乘法计数原理可得c?c2c2 =xA3,所以 ● 因此分为三份，每份两本一共有15种方法. (3)这是“不均匀分组”问题，一共有C₆csc3=60 (种)方法。 (4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有C₆csc3A3=360 (种)方法. (5)可以分为三类情况：①“2,2,2型”即(1)中的分配情况，有 c6c2 c²=90 (种)方法；②“1,2,3型”即(4)中的分配情况，有C₆csc3A³ ₃ =360(种)方法；③“1,1,4型”,有C6A3=90 (种)方法.所以一共有90+ 360+90=540(种)方法. 常见形式 处理方法 非均匀编 号分组 n个不同元素分成m组，各组元素数目均不相等，且考 虑各组间的顺序，其分法种数为A ·Am 均匀编 号分组 n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑 各组间的顺序，其分法种数为 ·Am 通法提炼 1.组合应用题中分配问题的常见形式及处理方法如下表所示 A A 通法提炼 2.分配问题的处理途径 将 n 个元素按一定要求分给m 个人，称为分配问题.分组问题和分配问题是 有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不可区分的；而后者即使两 个元素个数相同，但因人不同，仍然是可区分的.对于这类问题必须遵循先分 组后排列的原则. 变式训练4 将4个编号为1,2,3,4的小球放入4个编号为1,2,3,4 的盒子中. (1)每盒至多一球，有多少种放法? (2)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有 多少种放法? (3)把4个不同的小球换成4个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种放 法? (4)把4个不同的小球换成20个相同的小球，要求每个盒内的球数不少 它的编号数，有多少种放法? 解：(1)这是全排列问题，共有A4=24 (种)放法。 (2)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C4种，当1个球与1个盒子的 编号相同时，用局部列举法可知其余3个球的投放方法有2种，故共有 c4·2=8 (种)放法。 (3)先从四个盒子中选出三个盒子，再从三个盒子中选出一个盒子放入 两个球，余下两个盒子各放一个.由于球是相同的，即没有顺序，所以属于 组合问题，故共有C4c¹=12 (种)放法。 (4)(隔板法)先将编号为1,2,3,4的4个盒子分别放入0,1,2,3个 球，再把剩下的14个球分成四组，即在 ○○○○○○○○○○○○○○这14个球中间的13个空中放入三块隔 板，共有Cỉ3=286 (种)放法，如O0|O0000|O00|O00○, 即编号 为1,2,3,4的盒子分别放入2,6,5,7个球. 达标小练 1.以下四个命题，属于组合问题的是( C ) A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D.从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地 检测篇 达标小练 解析：选 项A是排列问题，因为2个小球有顺序；选项B是排列问题，因为 甲、乙位置互换后是不同的排列方式；选项C是组合问题，因为2位观众无 顺序；选项D是排列问题，因为两位司机开哪一辆车是不同的.故选C. 2.计算7C6-4C4 的值为( A ) A.0 B.1 C.360 D.120 3.某小组有10名学生，其中3名女生，从中选3名代表，要求至少有1名女 生，则有不同的选法种数是 ( D ) A.120 B.108 C.100 D.85 解析：某小组有10名学生，其中3名女生，从中选3名代表，要求至少有1 名女生，则不同的选法种数为Cỉo-c³=120-35=85. 故选D. 4. 要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个 村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有6 种. 解析：第一步，将3名学生分成两个组，有C3c2=3 (种)分法； 第二步，将2组学生安排到2个村，有A²=2 (种)安排方法； 所以，不同的安排方法共有3×2=6(种). 5. 课外活动小组共13人，其中男生8名，女生5名，并且男、女生各指定一 名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法? (1)至少有一名队长当选； (2)既要有队长，又要有女生当选. 解：(1)直接法：至少有一名队长当选含有两类情况：只有一名队长当选和 两名队长都当选， 故共有C¹·Cf₁+c²·Cỉ1=825 (种)选法。 间接法：共有Ci₃-Ci₁= 825(种)选法。 (2)分两类：第一类女队长当选：C42 种；第二类女队长不当选：(C4·c³+ c2·c²+C4·c¹+C4) (种).故共有Ci₂+c4·c³+c2·c²+c4·c¹+c4= 790(种)选法. 谢谢观赏! Thanks! $$