河南省新蔡县第一高级中学2024-2025学年高一上学期数学期中模拟卷（二）

注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大（2019）第一章----第三章 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 3．设集合，则如下的4个图形中能表示定义域为，值域为的严格单调函数的是（    ） A．B．C． D． 4．已知：，且，下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数与的定义域均为，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不正确的有（    ） A．关于对称 B．关于点对称 C．的周期 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个命题：其中正确的命题为（   ） A．已知集合，集合，则 B．集合的非空真子集有2个 C．已知集合，且，则的取值构成的集合为 D．记，，则 10．二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（    ） A． B． C．函数的对称轴为直线 D．关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间 11．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中大于1的一个常数），则下列说法正确的有（    ） A．是奇函数 B． C． D．函数的值域为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，那么等于 . 13．8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕．中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩，小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为 ． 14．对，都有恒成立，那么的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值; (2)判断函数在区间的单调性，并用单调性定义证明; 16．（15分）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 17．（15分）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)，都有，求实数的取值范围 (3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 2．（17分）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 19．（17分）已知函数的定义域为D，若对任意（，），都有，则称为的一个“n倍区间”． (1)判断是否是函数的一个“倍区间”，并说明理由； (2)若是函数的“2倍区间”，求m的取值范围； (3)已知函数满足对任意，且，都有，且，证明：（）是的一个“3倍区间”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一上册数学期中模拟卷（二） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：北师大（2019）第一章----第三章 5．难度系数：0.62。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由全称命题的否定形式可得结果. 【详解】全称命题的否定是存在性命题，所以，命题“”的否定是. 故选：C． 2．不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，分类讨论并结合一元二次不等式恒成立求出范围. 【详解】不等式对一切实数都成立，当时，成立，则， 当时，必有，解得，则， 所以的取值范围为. 故选：D 3．设集合，则如下的4个图形中能表示定义域为，值域为的严格单调函数的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】由函数的定义域、值域和严格单调函数的概念易得结果. 【详解】对于A，函数的定义域为，不是集合，故A错误； 对于B，定义域和值域都满足题意，且符合严格单调函数，故B正确， 对于C，存在和轴平行的一段图象，故不是严格单调函数，故C错误； 对于D，对定义域中除0以外的任一都有两个与之对应， 不符合函数关系，故D错误. 故选：B. 4．已知：，且，下列不等关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过赋值法举反例排除A,B,C项，对于D项，则可寻找条件成立的充要条件，再用作差法判断即得. 【详解】对于A，可取，满足，但得不到，故A错误； 对于B，可取，满足，但不满足，故B错误； 对于C，可取，满足，但，故C错误； 对于D，因，而，故必有成立，即D正确. 故选：D. 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以函数的定义域为， 则对于函数，需满足， 解得，即函数的定义域为. 故选：D. 6．若，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得，，，变形代数式，利用基本不等式求其最小值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 故，，， 又 因为，，， 由基本不等式就可得， 当且仅当，时等号成立， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 7．已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断出函数的单调性，由此列不等式组来求得的取值范围. 【详解】由于对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：C 8．已知函数与的定义域均为，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不正确的有（    ） A．关于对称 B．关于点对称 C．的周期 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合对称性、奇函数的性质可得函数图象的对称中心及对称轴，再逐项判断即得. 【详解】对于A，令是函数的图象上任意一点，则在的图象上， 即，则，由为奇函数，得， 则有，函数的图象关于点对称， 又，则，函数的图象关于对称，A正确； 对于C，，即， 则，的周期，C正确； 对于D，，则，D正确； 对于B，由，得，函数的图象关于对称， 若图象关于点对称，则，即， 而没有条件确保恒成立，B错误. 故选：B 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个命题：其中正确的命题为（   ） A．已知集合，集合，则 B．集合的非空真子集有2个 C．已知集合，且，则的取值构成的集合为 D．记，，则 【答案】BD 【分析】A选项分别求出两个集合的范围即可判断；B选项需要求出集合，根据子集的定义得出结论；C选项由集合与元素的关系解出参数值，注意互异性；D选项弄清集合内元素的特征即可做出判断. 【详解】对于A.，，，则，所以A.选项错误； 对于B，因为集合，所以它的非空真子集有2个，所以B选项正确； 对于C，因为集合，且，所以或． 当时，解得：或．而，不符合元素的互异性， 故或，所以C选项错误． 对于D，集合是由奇数组成的集合，集合是由被4除余1的整数组成的集合，则，所以D选项正确． 故选：BD 10．二次函数是常数，且的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … 2 2 … 且当时，对应的函数值．下列说法正确的有（    ） A． B． C．函数的对称轴为直线 D．关于的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间 【答案】BCD 【分析】根据函数过点得，再利用当时，对应的函数值确定即可判定A、C；根据相应函数值确定的关系可判定B；利用二次函数根的分布可判定D. 【详解】将代入得， 解得，所以二次函数， 当时，对应的函数值，所以， 解得，所以， 所以，所以，故A错误； 当时，， 当时，，所以， 因为，所以，故B正确； 因为二次函数过，所以其对称轴为， 又当时，对应的函数值，根据二次函数的对称性知， 当时，对应的函数值， 而当时，，所以二次函数与轴负半轴的交点横坐标在利0之间， 所以关于的方程一定有一正、一负两个实数根， 且负实数根在和0之间，故CD正确. 故选：BCD 11．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中大于1的一个常数），则下列说法正确的有（    ） A．是奇函数 B． C． D．函数的值域为 【答案】AD 【分析】根据函数奇偶性定义判断A；根据指数运算判断B、C；由，可求其值域，即可对D判断. 【详解】对于A：函数，定义域为， 所以，则函数是奇函数，故A正确； 对于B：由于， 又 ， 所以，故B错误； 对于C：因为双曲正弦函数和双曲余弦函数 则，故C错误； 由，又因为，所以，所以， 所以的值域为，故D正确； 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，那么等于 . 【答案】 【分析】根据，再结合时，则，即可求解. 【详解】由， 因为，则， 故，即得. 故答案为：. 13．8月11日，第33届夏季奥林匹克运动会在巴黎法兰西体育场落下帷幕．中国体育代表团在巴黎奥运会获得40金、27银、24铜共91枚奖牌，取得了我国1984年全面参加夏季奥运会以来境外参赛历史最好成绩，小明统计了班级60名同学对游泳、跳水、乒乓球这三类体育项目的喜欢情况，其中有20名同学同时喜欢这三类体育项目，18名同学不喜欢乒乓球，20名同学不喜欢跳水，16名同学不喜欢游泳，且每人至少喜欢一类体育项目，则至少喜欢两类体育项目的同学的人数为 ． 【答案】46 【分析】根据给定条件，画出韦恩图，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】设只喜欢游泳、跳水、乒乓球的同学的人数分别为， 喜欢游泳和跳水两样的同学的人数为，喜欢游泳和乒乓球两样的同学的人数为， 喜欢跳水和乒乓球两样的同学的人数为，如图， 则，后三个方程相加得， 与第一个方程消去得， 所以至少喜欢两类体育项目的同学的人数为. 故答案为：46 14．对，都有恒成立，那么的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用分离常数法求出，然后求出最值，再根据恒成立条件即可得 【详解】由题意可知，恒成立， 当时，恒成立， 当时，， 而，当且仅当时，等号成立，所以； 综上所述：. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值; (2)判断函数在区间的单调性，并用单调性定义证明; 【答案】(1)， (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）利用且，列方程组求的值并检验即可； （2）利用定义法判断并证明函数的单调性. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即有， 且，则，解得， 则函数的解析式：， 经检验，，故是奇函数. 所以，. （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 设，则， 由于，则，即， 又，则有，即. 所以在上单调递增． 16．（15分）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据集合间的运算直接得解. （2）根据集合的包含关系，列不等式，解不等式即可. （3）根据交集的结果分情况列不等式，解不等式. 【详解】（1）由得，，而， 所以. （2）由，得，解得， 所以实数的取值范围是. （3）当时，，解得，满足，则； 当时，由，得或，解得， 所以实数的取值范围是. 17．（15分）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)，都有，求实数的取值范围 (3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）由题意可得是方程的两根，结合韦达定理求解即可； （2）由（1）可知，求出在上的最小值，即可得答案； （3）结合（2）求出在上的最大值，即可得答案 【详解】（1）由题意可得是方程的两根， 由韦达定理可得， 解得; （2）因为， 所以， 当时，则的最小值为， 所以， 所以实数的取值范围为； （3）由（2）可知当时，则的最大值为， 所以实数的取值范围为. 2．（17分）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】(1)每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元 (2)每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有 ， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. （2）设月利润为万元，则有， 由题知，整理得，解得. 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 19．（17分）已知函数的定义域为D，若对任意（，），都有，则称为的一个“n倍区间”． (1)判断是否是函数的一个“倍区间”，并说明理由； (2)若是函数的“2倍区间”，求m的取值范围； (3)已知函数满足对任意，且，都有，且，证明：（）是的一个“3倍区间”． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2) (3)证明见解析； 【分析】（1）由函数新定义判断即可； （2）由函数新定义结合二次函数的值域判断即可； （3）由函数新定义结合函数的单调性构造函数，得到在上单调递减即可； 【详解】（1）由题意可得，当时，，此时倍区间为， 但，所以不是函数的一个“倍区间”， （2）由题意可得当时，， 因为， 所以，即， 所以m的取值范围为， （3）当时，由，得， 当时，由，得， 所以在为单调递增函数，所以在上的值域为， 当时，，得，即， 当时，，得，即， 设，则当时，，当时，， 所以在上单调递减， 因为，所以，即， 得， 所以，所以（）是的一个“3倍区间”. 【点睛】关键点点睛：本题第三小问关键在于能够通过所给不等式发现函数的单调性，再通过不等式变形构造函数，结合单调性分析. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$