6.4.3用频率分布直方图估计总体的分布、6.4.4 百分位数课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

6.4.3 用频率分布直方图估计总体分布 6.4.4 百分位数 湘教版（2019）必修第一册 学习目标 1.会计算频率分布直方图有关的问题（重点） 2.理解百分位数的概念, 会用样本常用百分位数估计总体百分位数（重难点） 新课导入 思考一下：用频率分布直方图, 如何估计样本的平均数、中位数和众数, 进而估计总体的相应值? 我们已经知道, 样本的平均数、中位数和众数可以分别作为总体的平均数、中位数和众数的估计，但在某些情况下我们无法获知原始的样本数据.例如，我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图, 如频率分布直方图. 新课学习 用频率分布直方图估计平均数 根据平均数的意义可知, 样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和,从而在频率分布直方图中, 样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 这样我们就可近似估计样本的平均数. 总结：样本平均数等于每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和 新课学习 用频率分布直方图估计平均数 根据中位数的意义可知, 在样本中, 有50%的个体小于或等于中位数, 也有50%的个体大于或等于中位数. 因此, 在频率分布直方图中, 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等, 由此可估计样本中位数的值. 总结：样本中位数为左边和右边的直方图的面积应该相等的数值 用频率分布直方图估计众数 根据众数的意义可知, 可将频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点所对应的数据作为样本众数的估计值. 总结：众数等于最高矩形所在区间的中点所对应的数据 新课学习 新课学习 例 9 某部门就全国高校在读大一学生的月花费金额（单位：元）情况调查了 10000 人, 并根据所得数据画出了样本频率分布直方图（如下图），每个分组包括左端点, 不包括右端点, 如第一组表示月花费金额在[500, 1 000) 内. 新课学习 思考：为了分析大一学生的月花费金额与家庭等方面的关系, 必须按月花费金额再从这 10000 人中用分层随机抽样的方法抽出 100 人做进一步分析, 则月花费金额在[2000, 2500) 内的应抽取多少人? 利用频率之和为 1 , 由上图可得 新课学习 思考：根据频率分布直方图估计样本数据的中位数? 方法一： 新课学习 方法二： 新课学习 思考：根据频率分布直方图估计样本数据的平均数? 新课学习 思考一下：从上个例子中得到的平均数和中位数大小相等, 这一关系具有普遍性吗? 对一个单峰的频率分布直方图来说, 如果直方图的形状是对称的 (如下图），那么平均数和中位数应该大体上差不多 新课学习 如果直方图在右边矮长些（如下图), 那么平均数大于中位数; 如果直方图在左边矮长些（如下图），那么平均数小于中位数. 总结：与中位数相比, 平均数总在矮长的那一边 新课学习 随着样本容量的不断增大, 当频率分布直方图的组数不断增多，分组的组距不断缩小时，较多的原始数据信息被保留，从而频率分布直方图越来越接近于总体的分布.于是，我们可用频率分布直方图估计出的样本的平均数、中位数、众数等来作为总体的相应估计值.但要注意的是, 用频率分布直方图比通过样本数据得来的估计值的精度低, 且估计结果与数据分组有关. 思考一下：用频率分布直方图估计样本数据的优缺点? 新课学习 百分位数的概念 例如, "全班有25%的人某科考试成绩低于 83 分"，这句话的意思是全班小于或等于 83 分的人数不少于全班人数的25%，大于或等于83分的人数不少于1-25%=75%.这时, 我们称83为所有成绩的第25百分位数. 新课学习 思考一下：如何求一组数据的百分位数? 首先是确定位置，然后是求出对应的百分位数. 下面我们以计算P25为例进行说明： 新课学习 例10 计算数据 1,5,9,12,13,18,21,23,28,36 的百分位数:P25,P50,P75 . 新课学习 新课学习 例11 某地政府为满足居民基本用电需求, 并提高能源的利用效率, 实现绿色发展，计划对全市居民用电标准按年采用三阶式递增电价收费：75%的用户在最低电价一档， 20%的用户用电量超出一阶电价的临界值而未超过二阶电价的临界值，超过一阶临界值的用电量按二阶电价缴费，5%的用户用电量超过二阶电价的临界值，超过二阶临界值的用电量按三阶电价缴费.为此，当地电力公司调查了 200 户居民 6 月份的用电量 (单位:kW h), 并排序如下: 新课学习 思考：阶梯电价的临界点如何确定? 分析：电力公司选取 6 月份进行调查，是因为 6 月用电量在一年 12 个月中处于中等偏上（可能需要空调用电）,一年的用电量近似等于这个月的用电量乘以 12. 阶梯电价临界值的确定依赖于总体分布, 我们要用样本数据的信息确定第 75 百分位数以及第 95 百分位数. 新课学习 课堂巩固 C 课堂巩固 A 课堂巩固 课堂巩固 A 课堂巩固 课堂巩固 D 课堂巩固 B 课堂巩固 课堂巩固 1.8 2.7 课堂巩固 21 总结一下 1.用频率分布直方图估计平均数 2.用频率分布直方图估计中位数 5.百分位数的计算步骤 4.百分位数的定义 3.用频率分布直方图估计众数 谢 谢 您 的 观 看 所以月花费金额在 内的频率为 ，则抽出的 100 人中月花费金额在 内的人数为 . (0.0002+0.0004+2a+0.0003+0.0001)×500=1 解得 因为0.0002×500=0.1，0.0004×500=0.2，0.0005×500=0.25， . 所以样本数据的中位数是 (元) 设所求的中位数为x . 由于中位数将频率平均分成两部分, 所以 解得 (元) 样本数据的平均数为 百分位数是位于按从小到大的顺序排列的一组数据中某一个百分位置的数值，以 表示，其中r是区间 上的整数. 一个百分位数 将总体或样本的全部观测值分为两部分，至少有 的观测值小于或等于它，且至少有 的观测值大于或等于它，当 时， 即对应中位数. 第二步，如果c不是整数， 用m表示比c大的最小整数，则所求的 ， 如果c是整数，则所求的 . 对于 之间的整数r，将上述的 改为 ，即可求得 . 又称为第一四分位数， 又称为第二四分位数， 又称为第三四分位数. 设观测数据已经按从小到大的顺序排列，如 . 第一步，计算 %； 数据量 . 因为 %，2.5不是整数，3是比2.5大的最小整数， 所以 ； 因为 %，5是整数， 所以 ； 因为 %，7.5不是整数，8是比7.5大的最小整数， 所以 . 对于从小到大排列的n个数， 大约处于这n个数的 处， 大约处于这 n个数的中间， 大约处于这n个数的 处 样本容量 . 为了使75% 的用户以最低第一档电价缴费，需确定 . 因为 %，150是整数，所以 . 这说明 6 月份约有75%的用户用电量不超过178kw/h. 假设每年用电量不超过 按第一档电价缴费，则大约 的用户将按第一档缴费. 因为 % ，190是整数, 所以 . 这说明6月份约有95%的用户用电量不超过 ，也就是说该月用电量超过 的用户只有5%.若每年用电量超过 ，不超过 ，则其中的 按第一档电价缴费，超过部分按第二档电价缴费. 若每年用电量超过 ，则超过部分按第三档电价缴费. 1.已知一组数据：3，5，7，x，9的平均数为6，则该组数据的 分位数为( ) A.4.5 B.5 C.5.5 D.6 解析：依题意， ，解得 ，将数据从小到大排列可得：3，5，6，7，9，又 ，则 分位数为 .故选：C. 2.某大学生暑假到工厂参加劳动，生产了100件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将所得数据分成6组： ， ， ， ， ， ，得到如图所示的频率分布直方图，则对这100件产品，下列说法中不正确的是( ) A. B.长度的平均数是93 C.长度的中位数一定落在区间 内 D.长度落在区间 内的个数为35 解析：对于A，由频率和为1，得 ，解得 ，故A错误； 对于B，根据频率分布直方图长度的平均数为 ，故B正确； 对于D，长度落在区间 内的个数为 ，故D正确； 对于C， 有 个数， 内有 个数，所以长度的中位数一定落在区间 内，故C正确.故选：A 3.平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关在下图分布形态中，a，b，c分别对应这组数据的平均数､中位数和众数，则下列关系正确的是( ) A. B. C. D. 解析：由数据分布图知，众数是最高矩形下底边的中点横坐标，因此众数 为右起第二个矩形下底边的中点值， 直线 左右两边矩形面积相等，而直线 左边矩形面积大于右边矩形面积，则 ， 又数据分布图左拖尾，则平均数a小于中位数b，即 ， 所以 .故选：A 4.已知一组数据4，8，9，3，3，5，7，9，则( ) A.这组数据的上四分位数为8 B.这组数据没有众数 C.这组数据的极差为5 D.这组数据的平均数为6 解析：对于A，给定数据由小到大排列为3，3，4，5，7，8，9，9，而 ， 所以这组数据的上四分位数为 ，A错误; 对于B，这组数据的众数是3和9，B错误; 对于C，这组数据的极差为6，C错误; 对于D，这组数据的平均数为 ，D正确. 5.下图为某商家2023年1月至10月某商品的月销售量，则下列说法正确的是( ) A.这10个月的月销售量的中位数为28 B.这10个月的月销售量的平均数为31 C.这10个月的月销售量的第75百分位数为 D.前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差 解析：将样本数据从小到大排列为25，26，27，28，28，30，33，36，37，40，这10个月的月销售量的中位数为 ，A错误； 这10个月的月销售量的平均数为 ，B正确； 根据百分位数的定义可知 ，则这10个月的月销售量的第75百分位数为第8个数36，C错误； 由图形可知，前5个月的月销售量的波动小于后5个月的月销售量的波动，所以前5个月的月销售量的方差小于后5个月的月销售量的方差，D错误，故选：B. 6.每年的4月23日是世界读书日，为了了解学生的阅读情况，某校随机抽取了8名学生，统计到他们某一周课外阅读时间（单位:小时）分别为3.5、2.8、2.5、2.3、3.2、3.0、2.7、1.7，则这组数据的极差是________，第40百分位数是________. 解析：将这组数据从小到大排列为:1.7、2.3、2.5、2.7、2.8、3.0、3.2、3.5， 所以这组数据的极差为 ， 因为 ，所以这组数据的第40百分位数为第4项数据，即2.7. 7.为响应自己城市倡导的低碳出行，措姆老师选择骑自行车上班，她记录了100次骑车所用时间（单位：分钟），得到频率分布直方图，则骑车时间的众数的估计值是_________分钟 解析：由频率分布直方图可知，骑车时间的众数的估计值是 分钟. $$