6.4.2用样本估计总体的离散程度课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

6.4. 用样本估计总体的离散程度 湘教版（2019）必修第一册 学习目标 1.结合实例, 能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差). (重点) 2.理解离散程度参数的统计含义. (重点、难点) 新课导入 平均数、众数以及中位数作为一组数据的代表, 刻画了该组数据的集中趋势.而数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述. 思考一下：数据的离散程度用什么描述？ 下面我们来学习极差、方差或标准差. 新课学习 极差的定义 在统计学中, 我们将一组数据中的最大值与最小值统称为极值, 将最大值与最小值之差称为极差, 也称全距, 用 R表示. 例如, 某地随机抽取90户农村家庭, 调查乡村旅游活动每月给他们带来的人均收入情况, 得到人均收入最高的为2000元, 最低的为750元, 于是这90户家庭仅靠乡村旅游带来的人均月收入的极差R=2000-750=1250 (元). 新课学习 思考一下：极差的优缺点是什么？ 极差反映了一组数据变化的幅度, 是描述数据离散程度的最简单的代表值, 计算简单又易于理解，但它容易受极端值的影响.由于极差只利用了一组数据两端的信息, 不能反映中间数据的离散状况, 因而不能全面地描述数据的离散程度. 新课学习 思考:教练如何选出合适的选手？ 学校从甲、乙两名射击运动员中选拔一人参加市中学生运动会，甲、乙两人参加测试的成绩（单位：环）如下： 甲：7,8,8,9,7,8,8,9,7,9；乙：6,8,7,7,8,9,10,7,9,9 很自然地, 我们首先考虑两人射击测试的平均成绩, 经计算得 新课学习 思考:两人的平均成绩相同,那么是否意味着两个人的射击水平没有差异呢? 我们可以将甲、乙的射击成绩表示在下图中 比较上面两幅图可以发现, 甲的射击成绩大多集中在平均成绩8环的附近, 而乙的射击成绩与平均成绩比较, 波动较大. 新课学习 总体方差的定义 新课学习 思考一下:总体方差有什么性质？ 新课学习 样本方差的定义 新课学习 思考一下:根据上面的定义，计算一下甲、乙的的成绩，分析一下甲、乙哪个成绩更稳定？ 下面, 我们由获得的样本数据, 并利用方差来分析甲、乙射击成绩的波动大小: 新课学习 例 6 某省农科院在某地区选择了自然条件相同的两个试验区，用相同的管理技术试种甲、乙两种水稻各 100 亩.待水稻成熟，分別从甲、乙的 100 亩水稻中随机抽取 10 亩水稻, 它们的亩产量如下表所示. 思考:就产量这一指标来讲, 试确定哪个品种的水稻在该地区更适合推广？ 新课学习 分析:为选择合适的水稻品种, 从产量这一指标而言, 可以从样本的平均亩产量与产量的稳定性两个角度来衡量. 由于这 10 亩水稻是随机抽取的, 而这两种水稻的样本均值相差很小, 从而我们可以估计大面积种植这两种水稻后的平均亩产量也应相差很小. 新课学习 新课学习 例7 某校高一年级有男生180人，女生120人. 某统计小组为调查本年级学生身高情况, 采取分层抽样的方法从总体中随机抽取样本, 其中男生抽取18人, 女生抽取12人. 将男生组看作样本A1 , 计算出样本A1的平均身高为173.5 cm , 方差为 17; 将女生组看作样本A2 , 计算出样本 A2的平均身高为164.0 cm , 方差为30 .试根据以上数据计算由 A1 , A2 ,组成的样本A1 , A2 的方差, 并估计总体方差. 分析:按分层抽样获取的样本分为两层: 男生组与女生组. 现已知男生组样本和女生组样本的均值与方差, 借助方差的定义可计算出分层抽样样本的方差, 进而估计总体方差. 新课学习 新课学习 再计算样本A的方差: 于是可以估计该校高一年级学生身高的方差为43.86 新课学习 思考:根据上述例子，计算全部样本的样本容量、样本均值和样本方差？ 新课学习 标准差的一些定义 新课学习 思考一下:标准差选取的性质是什么？ 在刻画观测数据的离散程度上, 方差与标准差是一样的. 在对实际问题进行分析时，人们更多地使用标准差.样本标准差依赖于样本的选取, 也带有随机性. 样本方差是总体方差的估计.样本标准差是总体标准差的估计. 新课学习 例8 一台机床生产一种直径为 40 mm 的零件, 在正常生产时, 零件的直径的标准差不应超过 0.1 . 如果超过 0.1 , 则机床应检修调整. 下表是某日 8:30-9:30及 10:00-11:00两个时段中各随机抽取 10 个零件量出的直径的数值(单位: mm): 思考:判断机床生产是否正常可以从样本的均值与标准差两个角度来衡量？ 新课学习 分析：判断机床生产是否正常可以从样本的均值与标准差两个角度来衡量 课堂巩固 B D B B D 13 Add your title here 0.08 课堂总结 1.极差的一些概念 2.方差的一下概念 3.标准差的一些概念 谢 谢 您 的 观 看 ； 统计上，常采用方差来刻画一组数据波动的大小：若设 是总体的全部个体， 是总体均值，则称 为总体方差或方差. （1）总体方差 刻画了总体中的个体向总体均值 的集中或离散的程度：方差越小，表明个体与均值 的距离越近，个体向 集中得越好. （2）总体方差 也刻画了总体中个体的稳定或波动的程度：方差越小，表明个体越整齐，波动越小. 类似地，若从总体中随机抽样，获得n个观测数据 ，用 表示这 n个数据的均值，则称 为这n个数据的样本方差，也简称方差. 样本方差 刻画了样本数据相对于样本均值 集中或离散的程度.样本方差依赖于样本的选取，带有随机性. 如果样本是随机抽取的，当样本容量较大时，样本方差是总体方差的估计. 由于 , 可以估计甲的射击成绩比乙更稳定, 故可推荐甲参加运动会. ； . 使用计算器可算出甲、乙品种各10亩抽样水稻的平均亩产量为 ， . 借助计算器计算方差可得 ， 由于 ，因此我们可以估计乙种水稻的亩产量要比甲种水稻稳定. 综合以上两种因素，我们可以得出：在该地区，乙种水稻更有推广价值. 设从男生中抽出的样本个体为 ，均值记为 ，方差记为 ；从女生中抽取的样本个体为 ，均值记为 ，方差记为 . 先计算样本A的均值 ： 从例7可知，如果将总体分为两层，第一、二层的样本量分別为n1, n2，样本均值分别为 ， ，样本方差分别为 ， ，则全部样本的样本容量、样本均值和样本方差分别为 标准差是方差的算术平方根. 如果 是总体方差, 则称 是总体标准差; 如果 是样本方差, 则称 是样本标准差. 给定数据 和均值 . 由方差计算公式知道，样本标准差s可以用下面的公式计算: 设8:30-9:30为甲时段，10:00-11:00 为乙时段. 用计算器计算可得 ， ， 从样本均值看, 两个时段生产的零件尺寸差异性不大; 从样本标准差看, ， , 这说明甲时段 (8:30-9:30)机床生产不正常, 而经过调试, 机床在乙时段 (10:00-11:00)生产正常：生产的零件稳定程度高，且在质量控制范围内. 1.已知样本数据 ， ， ， 的平均数和标准差均为4，则数据 ， ， ， 的平均数与方差分别为( ) A.-5,4 B.-5,16 C.4,16 D.4,4 解析：由题意知样本数据 ， ， ， 的平均数和标准差均为4，则 ， ， ， 的方差为16，则 ， ， ， 的平均数为-4，方差为 ，故 ， ， ， 的平均数为 ，方差16，故选：B 2.为了了解某班学生数学成绩,利用分层随机抽样抽取了一个10人的样本,统计如下: 学生数 平均分 方差 男生 6 80 7 女生 4 75 2 则可估计全班学生数学的平均分和方差分别为( ) A.77.5,5 B.77.5,11 C.78,5 D.78,11 解析：可估计全班学生数学的平均分为 , 方差为 . 故选:D. 3.某次投篮比赛中，甲、乙两校都派出了10名运动员参加比赛，甲校运动员的得分分别为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，这些成绩可用下图中的（1）所示，乙校运动员的得分可用下图中的（2）所示.则以下结论中，正确的是( ) A.甲校运动员得分的中位数为7.5 B.乙校运动员得分的75%分位数为10 C.甲校运动员得分的平均数大于8 D.甲校运动员得分的标准差大于乙校运动员得分的标准差 解析：甲校派出的10名运动员参赛成绩从小到大为：6，7，7，7，8，8，8，8，9，10，其中位数为：8，平均数为： ，故选项A、C错误； 其标准差为： ； 乙校派出的10名运动员参赛成绩分别为：6，7，8，9，9，9，9，10，10，10， 则其平均数为： ，75%分位数为：10， 标准差为： . 所以甲校运动员得分的标准差小于乙校运动员得分的标准差，故选项B正确，D错误.故选：B 4.某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”，“论语组”，“春秋组”，“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是( ) A.诗经组中位数为3，众数为2 B.论语组平均数为3，方差为1 C.春秋组平均数为3，众数为2 D.礼记组中位数为3，极差为4 解析：对于A，数据为:1，2，2，2，2，4，6，7，8，9时，满足中位数为3，众数为2， 但不满足每位选手的失分不超过6分，故A错误; 对于B，假设有一位同学失7分，则方差 ，与方差为1矛盾， 假设不成立，故B正确; 对于C，数据为:1，2，2，2，2，2，2，3，5，9时，满足平均数为3，众数为2， 但是不满足每位选手失分不超过6分，故C错误; 对于D，数据为:3，3，3，3，3，3，3，3，7，7，满足中位数为3，极差为4， 但最大值超过6分，故D错误. 5.已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次,射中环数频率分布如图所示： 令 , 分别表示甲、乙射中环数的均值; , 分别表示甲、乙射中环数的方差,则( ) A. , B. , C. , D. , 解析：由图可知, , , , , 所以 , . 故选：D. 6.已知某中学的3个年级各有学生300,300,400人,现采用分层抽样的方法从3个年级的学生中抽取10人,对他们的体重进行了统计.若3个年级被抽到的学生体重的平均值分别为48,52,55kg,方差分别为4,10,1.将这10名学生体重W（kg）作为样本,则样本的方差为____________. 7.已知一组数据 , ,2,2.2, ,则该组数据的方差是___________. 解析：首先求得 , . $$