精品解析：云南省红河州蒙自市三中教育集团2024--2025学年上学期九年级数学期中知识演练

云南省红河州蒙自市三中教育集团2024-2025学年上学期 九年级数学期中知识演练 （全卷三个大题，共27个小题，满分：100分，时间：120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，满分30分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程有一个根为2，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人 5. 点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，为弦，于点E，则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，绕点O顺时针旋转得到，点D恰好落在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 下列四个选项中，函数y＝ax+a与y＝ax2（a≠0）的图象表示正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为　　 A. 向下，直线， B. 向下，直线， C. 向上，直线， D. 向下，直线， 10. 如图，在中，是直径，是弦，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 11. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 12. 已知的半径为，若直线与圆心的距离为，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交或相离 D. 相交 13. 如图所示，⊙的半径为13，弦的长度是24，，垂足为，则 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 14. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　） A. 1000（1+x）2＝1000+440 B. 1000（1+x）2＝440 C. 440（1+x）2＝1000 D. 1000（1+2x）＝1000+440 15. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图,给出下列四个结论:①a＜0，②b＞0，③b2﹣4ac＞0，④a+b+c＜0，其中结论正确的个数有（　 ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分） 16. 已知方程的两根为，则_____． 17. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 18. 若是二次函数，则______． 19. 如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∠P＝70°，C为弧AB上一点，则∠ACB的度数为___． 三、解答题（本大题共8小题，满分62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标，请解答下列问题： （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 22. 某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？ 23. 直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件，若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 24. 某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量W（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为y（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图，为的直径，为的切线，交于点，为上一点，． （1）求证：； （2）若的半径为5，求 的长． 26. 如图内接于，，CD是的直径，点P是CD延长线上一点，且． 求证：PA是的切线； 若，求的直径． 27. 如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）． （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程； （2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南省红河州蒙自市三中教育集团2024-2025学年上学期 九年级数学期中知识演练 （全卷三个大题，共27个小题，满分：100分，时间：120分钟） 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，满分30分） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住：化简后的方程：含有“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行判断即可． 【详解】解：A、未知数最高次数是1，不是一元二次方程，不符合题意； B、只有当时，才是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 2. 若关于x的一元二次方程有一个根为2，则k的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的含义，解题的关键是掌握一元二次方程根的含义，方程的根是使得方程成立的未知数的值． 将代入方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程得，， 解得：， 故选：B． 3. 在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 4. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ） A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，那么由题意可列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， 第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染， 那么由题意可知1+x+x（1+x）=100， 整理得，x2+2x-99=0， 解得x=9或-11， x=-11不符合题意，舍去． 那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人． 故选：B． 【点睛】本题考查增长问题，应理解“增长率”的含义，并可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，注意要舍去不合题意的解． 5. 点均在二次函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的函数值比大小．正确计算各函数值是解题的关键． 分别计算的值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图，是的直径，为弦，于点E，则下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理可得：，，进而得到，无法得到，即可得到答案． 【详解】解：是的直径，为弦，于点E， ，， B、D选项结论成立，不符合题意； ， ， A选项结论成立，不符合题意； 无法判断， C选项结论不成立，符合题意， 故选C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，熟练掌握垂直弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧是解题关键． 7. 如图，绕点O顺时针旋转得到，点D恰好落在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，，再由，可得，再根据，可得，然后求出即可． 【详解】解：根据旋转的性质得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用旋转的性质解答． 8. 下列四个选项中，函数y＝ax+a与y＝ax2（a≠0）的图象表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式，讨论a＞0 和a＜0时，两个函数的函数图象，从而可以解答本题． 【详解】解：当a＞0时， y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向上，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第一、二、三象限， 当a＜0时， y=ax2的图象是抛物线，顶点在原点，开口向下，函数y=ax+a的图象是一条直线，在第二、三、四象限， 故选项A、C、D错误，选项B正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 9. 二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为　　 A. 向下，直线， B. 向下，直线， C. 向上，直线， D. 向下，直线， 【答案】D 【解析】 【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据二次项系数可判断开口方向，根据解析式可知顶点坐标及对称轴． 【详解】解：由二次函数y=-（x+3）2+2，可知a=-1＜0，故抛物线开口向下； 顶点坐标为（-3，2），对称轴为x=-3． 故选D． 【点睛】顶点式可判断抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标，最大（小）值，函数的增减性． 10. 如图，在中，是直径，是弦，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，圆周角定理，由等边对等角可得，再由圆周角定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 11. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 12. 已知的半径为，若直线与圆心的距离为，则直线l与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交或相离 D. 相交 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：根据题意，得 的半径为，若直线与圆心的距离为， 直线和圆相交； 故选：D． 13. 如图所示，⊙的半径为13，弦的长度是24，，垂足为，则 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：已知⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，，垂足为N，由垂径定理可得AN=BN=12，再由勾股定理可得ON=5，故答案选A. 考点：垂径定理；勾股定理. 14. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　） A. 1000（1+x）2＝1000+440 B. 1000（1+x）2＝440 C. 440（1+x）2＝1000 D. 1000（1+2x）＝1000+440 【答案】A 【解析】 【分析】根据第一个月的单车数量×(1+x)2=第三个月的单车数量可以列出相应的一元二次方程，进而可得答案． 【详解】解：由题意可得，1000（1+x）2＝1000+440． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 15. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图,给出下列四个结论:①a＜0，②b＞0，③b2﹣4ac＞0，④a+b+c＜0，其中结论正确的个数有（　 ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由y=ax2+bx+c（a≠0）的图象结合二次函数的性质进行判断即可. 【详解】（1）由抛物线开口向下知道a<0, 因此判断①正确; （2）对称轴在y轴左侧, a＜0可得b<0,因此可以判断②错误; （3）由图象与x轴有两个交点得到以>0,因此可以判断③正确; （4）由图象可知当x=1时, 对应的函数值y=a+b+c＜0, 所以判断④正确. 故正确的选项有①③④， 故答案选C. 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，满分8分） 16. 已知方程的两根为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由方程的两根为，利用根与系数的关系得出，将其代入中可求出的值． 【详解】∵方程的两根为， ∴， ， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，即“韦达定理”，熟练掌握“两根之和等于，两根之积等于”是解决本题的关键． 17. 点关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的对称性，根据关于原点对称的两个点的横坐标及纵坐标均互为相反数的特征直接求解即可得到答案，熟记关于原点对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 18. 若是二次函数，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数的值，根据二次函数的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故答案为：3． 19. 如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，∠P＝70°，C为弧AB上一点，则∠ACB的度数为___． 【答案】125° 【解析】 【分析】由切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，利用四边形内角和可求∠AOB=110°，再利用圆周角定理可求∠ADB=55°，再根据圆内接四边形对角互补可求∠ACB． 【详解】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD， ∵AP、BP是⊙O切线， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∴∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°， ∴∠ADB=∠AOB=55°， 又∵圆内接四边形的对角互补， ∴∠ACB=180°-∠ADB=180°-55°=125°． 故答案为：125°． 【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质．解题的关键是连接OA、OB，求出∠AOB． 三、解答题（本大题共8小题，满分62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）方程开方转化为两个一元一次方程来求解； （2）方程利用因式分解法求出解即可． 【小问1详解】 开方得：或， 解得：，． 【小问2详解】 分解因式得：， 所以或， 解得：，； 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点A的坐标，请解答下列问题： （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕原点O顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求，； （2）如图所示，即为所求，． 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质找出对应点即可求解； （2）根据旋转对称的性质找出对应点即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了旋转变换的性质，熟练掌握中心对称作图和旋转作图的方法是解题的关键． 22. 某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图，原广场长50m，宽40m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3：2．扩充区域的扩建费用每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用每平方米100元．如果计划总费用642000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？ 【答案】扩充后广场的长和宽应分别为和. 【解析】 【分析】设扩充后广场的长为3xm，宽为2xm，根据矩形的面积公式和总价＝单价×数量列出方程并解答． 【详解】解：设扩充后广场的长为，宽为. 根据题意，得. 解得（不合题意，舍去）. 所以. 答：扩充后广场的长和宽应分别为和. 【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，以及总价＝单价×数量的运用，解答时找准题目中的数量关系是关键． 23. 直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件，若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 【答案】应定为50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每件售价应定为元，根据按每件60元销售，每天可卖出20件．每降低1元，日销售量增加2件．日利润保持不变．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设每件售价应定为元， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元． 24. 某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量W（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为y（元）． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润为200元 【解析】 【分析】（1）根据数量乘以单位的利润，等于总利润，可得答案． （2）根据二次函数的性质解决问题即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，y有最大值200． 故当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润为200元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意列出函数关系式是解题关键． 25. 如图，为的直径，为的切线，交于点，为上一点，． （1）求证：； （2）若的半径为5，求 的长． 【答案】（1） 证明：是的切线，为的直径 ， ， 又， ， ， ； （2）5 【解析】 【分析】此题主要考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识和垂径定理的应用等知识，利用，为圆心，得出为中点，再利用解直角三角形知识是解决问题的关键． （1）根据切线的性质得出，进而得出，再由，可得，即可证明； （2）由垂径定理可得，为中点，根据已知可利用勾股定理求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，为圆心， 为中点， 又， ， ， ． 26. 如图内接于，，CD是的直径，点P是CD延长线上一点，且． 求证：PA是的切线； 若，求的直径． 【答案】 （1）证明：连接OA，如图， ， ， 又， ， 又， ， ， ， 是的切线． （2）的直径为． 【解析】 【分析】连接OA，根据圆周角定理求出，再根据同圆的半径相等从而可得，继而根据等腰三角形的性质可得出，继而由，可得出，从而得出结论； 利用含的直角三角形的性质求出，可得出，再由，可得出的直径． 【详解】略 在中，， ， 又， ， ， ． 的直径为． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、圆周角定理及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键. 27. 如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）． （1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程； （2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=-x2+x+4，x=3；（2）C（0，4）；y=−x+4；（3）Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4-）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=−求出对称轴方程； （2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式； （3）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解． 【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+4的图象经过点A（-2，0）， ∴-×（-2）2+b×（-2）+4=0， 解得：b=， ∴抛物线解析式为 y=-x2+x+4， 又∵y=-x2+x+4=-（x-3）2+， ∴对称轴方程为：x=3． （2）在y=-x2+x+4中，令x=0，得y=4， ∴C（0，4）； 令y=0，即-x2+x+4=0，整理得x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2， ∴A（-2，0），B（8，0）． 设直线BC的解析式为y=kx+b， 把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得： ， 解得， ∴直线BC的解析式为：y=−x+4． ∵抛物线的对称轴方程为：x=3， 可设点Q（3，t），则可求得： AC=， AQ=， CQ=． i）当AQ=CQ时，有=， 25+t2=t2-8t+16+9， 解得t=0， ∴Q1（3，0）； ii）当AC=AQ时，有 t2=-5，此方程无实数根， ∴此时△ACQ不能构成等腰三角形； iii）当AC=CQ时，有， 整理得：t2-8t+5=0， 解得：t=4±， ∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4-）． 综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4-）． 【点睛】本题考查二次函数综合题，综合性较强，有一定难度，注意分类讨论是本题的解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $