精品解析：福建省莆田第十二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

莆田第十二中学2024-2025学年上学期10月月考 高二数学试卷 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列直线中，倾斜角为锐角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系可得. 【详解】设直线倾斜角为， A选项， 直线，斜率，即倾斜角为钝角； B选项， 直线，斜率，倾斜角为，是锐角； C选项， 直线，斜率，即倾斜角为，不是锐角； C选项， 直线，斜率不存在，即倾斜角为，是直角不是锐角. 故选：B. 2. 已知等差数列满足，且，则首项（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式直接求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，因为，且， 所以，所以. 故选：A 3. 已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的公比是（ ）. A. 1 B. 2. C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差与首项的关系即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，由成等比数列，得， 整理得，则，所以的公比. 故选：C 4. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变形给定的递推公式，再逐次计算即可. 【详解】由，得， 所以． 故选：D 5. 设是数列的前项和，,，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数的运算性质可推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，再利用等比数列求和公式可求得的值. 【详解】因为是数列的前项和，，， 所以，，所以，数列为等比数列，且其首项为，公比为， 则，解得. 故选：A. 6. ，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求解即可. 【详解】，故， 故……， 故. 故选：D 7. 已知数列{}满足 设数列的前项和为，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为 ，， 所以数列是首项为1，公差为3的等差数列， 所以，即 ， 所以 ， 因此 ， 所以 故选：C. 8. 南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前项分别为、、、、、、，则该数列的第项为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设所求数列为，分析可得，，，，，利用累加法可求得的值. 【详解】设数列的前项分别为、、、、、、， 由题意可得，，，，， 上述等式全加可得， 所以，. 故选：C. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9. 已知数列的通项公式为，则-19是该数列中的第几项的是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】AC 【解析】 【分析】令，求解判断. 【详解】令，即，解得或. 故选：AC 10. 已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】通过观察数列各项可得选项A错误；根据数列通项公式计算，结果为关于的一次函数形式可得选项B正确；利用，代入数据可得选项C错误；利用分组求和可得选项D正确. 【详解】A.根据数列各项可得，选项A错误. B. ∵， ∴是以为首项，为公差的等差数列，选项B正确. C. ，选项C错误. D. ，选项D正确. 故选：BD. 11. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由、知、，即可判断AB；根据数列的单调性即可判断CD. 【详解】由，得，即， 由，得，即，所以. A：由，可知，故A正确； B：由，可知数列的公差，故B错误； C：，由知随的增大而增大， 则，所以的最小值为，故C正确； D：当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以当时，；当时，；当时，， 又，， 所以，， 所以，即， 所以的最小值为，故D正确； 故选：ACD 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知数列的前项和为，若则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由分组求和法以及等差数列求和公式即可运算求解. 【详解】由题意. 故答案为：190. 13. 拓扑结构图在计算机通信、计算机网络结构设计和网络维护等方面有着重要的作用.某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则到第10层一共有______个节点.（填写具体数字） 【答案】1023 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式即可求得答案. 【详解】由图可知，每一层节点的个数组成以1为首项，2为公比的等比数列， 所以到第10层节点的总个数是. 故答案为：1023. 14. 已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】当时，；当时，可推出，，代入整理可得.即可得出答案. 【详解】解：设公比为. 当时，，则，此时有； 当时， 因为，，， 所以，， 所以，， 所以， 当时，有最小值为. 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. （1）已知的三个顶点坐标为，，，为的中点，为的中点，求中位线所在直线的两点式方程． （2）一条光线从点射出，经过轴上点反射后，通过点，求反射光线所在直线的一般式方程． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据中点坐标公式求出点，，然后写出直线的两点式方程即可； （2）先求出关于轴的对称点，再根据两点求斜率，最后用点斜式求方程即可. 【详解】（1）由题意知，， 所以中位线所在直线的两点式方程为. （2）点关于轴的对称点为， 则反射光线经过、两点， 所以斜率，所以反射光线所在直线方程为， 化简得． 16. （1）已知是等差数列的前n项和，证明：是等差数列； （2）已知数列的通项公式，前n项和为，求取得最小值时n值． 【答案】 （1）因为数列是等差数列，可设，， 所以， 所以当时， 所以是以为首项，以为公差的等差数列. （2）7 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义，通项公式和前项和公式进行判断. （2）根据数列前项的单调性进行计算可得结果. 【详解】（1）略 （2）由， 所以数列的第二项到第七项非正. 所以当时，取得最小值. 17. 已知数列满足 （1）令，求证：数列为等比数列； （2）求数列的前项和为. 【答案】（1） ∵， ∴数列是以首项为，公比为等比数列； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由等比数列的定义判断，即可证明； （2）根据题意，结合分组求和法，再由等差数列求和以及等比数列求和公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：， ∴， 从而 故. 18. 已知等差数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用可得答案； （2）分、求即可. 【小问1详解】 时，， 时，， 又， 所以； 【小问2详解】 由（1）， 当时，， 当时， ， . 19. 已知为数列的前项和，且． （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据前项和与项的关系求出的通项公式，再由对数运算求出； （2）根据错位相减法求和； 【小问1详解】 当时，，所以， 当时，由可得， 两式相减可得：，即， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，即； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以， ， 两式相减得： ， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田第十二中学2024-2025学年上学期10月月考 高二数学试卷 一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列直线中，倾斜角为锐角的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列满足，且，则首项（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知等差数列的公差不为0，且成等比数列，则的公比是（ ）. A. 1 B. 2. C. 3 D. 5 4. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设是数列的前项和，,，，，则（ ） A. B. C. D. 6. ，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列{}满足 设数列的前项和为，则 （ ） A. B. C. D. 8. 南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前项分别为、、、、、、，则该数列的第项为（　　） A. B. C. D. 二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．) 9. 已知数列的通项公式为，则-19是该数列中的第几项的是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 11. 已知等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知数列的前项和为，若则___________. 13. 拓扑结构图在计算机通信、计算机网络结构设计和网络维护等方面有着重要的作用.某树形拓扑结构图如图所示，圆圈代表节点，每一个节点都有两个子节点，则到第10层一共有______个节点.（填写具体数字） 14. 已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为______． 四､解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. （1）已知的三个顶点坐标为，，，为的中点，为的中点，求中位线所在直线的两点式方程． （2）一条光线从点射出，经过轴上点反射后，通过点，求反射光线所在直线的一般式方程． 16. （1）已知是等差数列的前n项和，证明：是等差数列； （2）已知数列的通项公式，前n项和为，求取得最小值时n值． 17. 已知数列满足 （1）令，求证：数列为等比数列； （2）求数列的前项和为. 18. 已知等差数列的前项和为，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 19. 已知为数列的前项和，且． （1）求数列与的通项公式； （2）求数列的前项和； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $